la potencia del álgebra

La potencia del álgebra Didáctica de la Matemática

Agosto de 2014 LORENA CABAÑA

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La potencia del álgebra 2014

I N D I C E

¿Para qué sirven las letras en matemática?........................................... Pág. 3

El sentido de los símbolos ………………………………………………….

Pág. 4

¿De qué hablamos cuando hablamos de resolver ecuaciones?............

Pág. 5

Enseñanza y aprendizaje de ecuaciones………………………………….

Pág. 7

Bibliografía…………………………………………………………… Pág. 9

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¿PARA QUÉ SIRVEN

LAS LETRAS EN

MATEMÁTICA?

¿No es suficiente con

los números? ¿Para qué

nos agregan letras

ahora? Estas son quejas

que a menudo solemos

escuchar por parte de

nuestros alumnos, es

probable que esto se deba a que, en general, el modo en el que estas letras se

hacen presentes pareciera ser que es “por arte de magia”. Se suele introducir

al trabajo algebraico con actividades en las que tienen por objetivo el simple

hecho de traducir expresiones coloquiales al lenguaje simbólico y viceversa. De

este modo aparecen las letras antes de que los alumnos tengan la oportunidad

de necesitarlas, puede que a ello se deba que luego no les resulte útil ni

necesario el trabajo con las mismas. Una de las consecuencias que conlleva

este modo de introducir el álgebra es que luego se les dificulta reconocer en

qué ocasiones es conveniente o no utilizarla.

Por otro lado, “Chevallard (1989) plantea que la noción de modelización

permite “mirar” globalmente la actividad matemática desde la escuela hasta la

universidad y suministra un marco de referencia a partir del cual es posible

reconocer diferencias significativas entre “aritmética” y “álgebra”.”1

Con respecto a lo mencionado anteriormente Sadovsky dice que esta idea

ofrece elementos para estudiar la relación entre estos dos dominios

considerando el tipo de problemas que pueden modelizarse en cada uno, los

modelos que toleran, las herramientas que ofrece el algebra para modelizar la

aritmética y los aportes de esta última para justificar el trabajo algebraico. Por

ejemplo si a un alumno se le plantea el siguiente interrogante: ¿Qué ocurre al

sumar tres números consecutivos?, el alumno podría plantear 12 + 12 + 1 +

1 Sadovsky, Patricia. Condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y

prácticas algebraicas. Tesis de doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 36

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12 + 2 = 3.12 + 3 y afirmar que el resultado es siempre un múltiplo de 3. Si

bien este razonamiento se basa en un ejemplo numérico tiene en cierto modo

un grado de generalización puesto que si el 12 se reemplaza por cualquier otro

número se obtendrá la misma conclusión. Se podría decir que generalmente la

escuela primaria está relacionada con la aritmética mientras que la escuela

secundaria está más relacionada con el trabajo algebraico. Por ello, es posible

que al principio muchos alumnos usen números de forma general como si

estuviesen usando letras.

En el siguiente link se puede ver una breve descripción sobre que es el álgebra

y un poco de su historia.

http://www.slideshare.net/alejandritro/el-algebra-12236177?related=1

EL SENTIDO DE LOS SIMBOLOS

“Creemos que el sentido de

símbolo debería incluir, más allá

de la invocación relevante de los

símbolos y de su uso correcto, la

apreciación de la elegancia, de la

brevedad, de la comunicabilidad y

el poder de los símbolos para

mostrar y probar relaciones en un

sentido en que con la aritmética no

puede hacerse.”2

Luego del trabajo con el lenguaje

coloquial y simbólico, se comienza a trabajar con las ecuaciones, que en

general, se las plantea como expresiones en las que es necesario utilizar las

letras para designar números desconocidos, aparece la letra como una

incógnita a descubrir. Sessa señala que esta idea de ecuación deja afuera a las

ecuaciones sin solución y a las que tienen infinitas soluciones, ya que en

ninguno de estos casos hay un número para encontrar. Dicha definición

2 Arcavi, A. Symbol sense: Informal sense-making in Formal Mathematics" aparecido en la revista For the

Learning of Mathematics,1994.P 6


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tampoco contempla las ecuaciones cuadráticas o las ecuaciones en dos o más

variables. Suelen ser escasos los problemas en que se pregunta por la posible

existencia de una solución y bastante inusuales los problemas que tengan

infinitas soluciones o ninguna. Con esta concepción de ecuación los alumnos

van construyendo una noción limitada o incompleta de la idea de ecuación.

¿DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE RESOLVER

ECUACIONES?

Cuando se habla de pasaje de términos o de

aplicar la propiedad uniforme, descripta a

continuación:

(https://www.youtube.com/watch?v=xO_fbXB

J-m8), no se hace evidente que las

transformaciones que se pueden hacer en

una ecuación, son aquellas que conservan el

conjunto solución. Son ecuaciones diferentes

que tienen las mismas soluciones. Por ejemplo: no es posible afirmar si

5𝑥 + 2 = 22 es o no una igualdad. Ya que si 𝑥 vale 2, la expresión se

transforma en una igualdad falsa. En cambio para 𝑥 = 4 se convierte en una

igualdad verdadera. Lo que sí se puede afirmar es que 5𝑥 + 2 = 22 tiene el

mismo conjunto solución que 5𝑥 = 20 y que 𝑥 = 4, aunque las tres son

ecuaciones diferentes tienen el mismo conjunto solución. Si tenemos en

cuenta la siguiente expresión: 5𝑥 − 6 = 5𝑥 + 3 se puede observar que nunca

puede obtenerse el mismo número si se resta que si se suma tres a 5𝑥, para

cualquier valor de 𝑥 se obtendrá una igualdad falsa. Esta expresión no

cumpliría con la definición planteada anteriormente, de ecuación como igualdad

con una incógnita a descifrar, pero no deja de ser una ecuación. En este caso

estaríamos hablando de una ecuación en la que el conjunto solución es vacío.

Del mismo modo, si consideramos 5𝑥 − 6 = 5𝑥 − 3 − 3, las expresiones que

aparecen en ambos miembros son equivalentes, por lo tanto el conjunto

solución de esta ecuación son todos los números. Por lo expuesto se podría

afirmar que no es posible hablar siempre de una igualdad cuando interviene

una incógnita. Dado que las ecuaciones se convierten en igualdades

https://www.youtube.com/watch?v=xO_fbXBJ-m8



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verdaderas o falsas una vez que la variable es reemplazada por números. Por

otro lado, se podría decir entonces, que lo que se hace es transformar las

ecuaciones de modo tal que mantengan el mismo conjunto solución y que de

este modo se facilita la lectura de la solución.

“Para lograr un buen desempeño con las ecuaciones, los alumnos deberán

aprender que en las mismas, el signo igual representa una condición sobre un

cierto dominio.” 3

En cuanto a la resolución de ecuaciones habitualmente se basa en el pasaje de

términos o través de la propiedad uniforme y para lograr el dominio de la

técnica se suelen proponer varias ecuaciones similares. En otros casos se

plantean ecuaciones como esta: 𝑥 + 32 − 16: 22 = 8100: 100 + 50 en las que

la complicación radica en cuestiones aritméticas y en la resolución de

ecuaciones, ya que si se resuelven todos los cálculos indicados la ecuación a

resolver sería la siguiente: 𝑥 + 5 = 10

“De este modo, separada de un elemental principio de necesidad, la nueva

herramienta aparece como una complicación innecesaria. Su sentido no puede

llegar a ser construido por los alumnos principiantes que se atienen a

memorizar las reglas que permiten “despejar la x”.”4

También se podría agregar que no siempre es necesario llegar a la expresión

𝑥 = 𝐴 para resolver una ecuación, ya que si pensamos que resolver una

ecuación significa encontrar, si existen, el o los valores de la variable que

hacen verdadera la igualdad. En el ejemplo planteado resulta fácil determinar

que en 5𝑥 = 20 la solución es 4. Con esto no se intenta decir que no es

necesario llegar al último paso, si no que plantear un debate de este estilo

puede ser fructífero, con el objetivo final de poner en discusión que significa

resolver una ecuación y que hacemos para resolverla.

3 Sadovsky, Patricia. Condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y

prácticas algebraicas. Tesis de doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 38 4 Sessa, Carmen. Iniciación al estudio didáctico del álgebra. El zorzal. PP. 2

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ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE ECUACIONES

Se pueden citar algunas paradojas en torno a la enseñanza y el aprendizaje de

las ecuaciones: a veces por tratarse de una herramienta nueva se les suelen

proponer ecuaciones demasiado sencillas que pueden resolver utilizando

herramientas que ya disponen de la aritmética y esto se contradice el regular

funcionamiento de las clases que en general son del modo: “si estamos viendo

ecuaciones para resolver una actividad que se plantea se deben utilizar

ecuaciones.” Es por ello que: “muchos alumnos primero resuelven

aritméticamente y luego lo traducen a ecuación, porque esto último es lo que el

profesor quiere.”5 Para evitar esto se le podrían proponer antes problemas que

les muestren las limitaciones de las resoluciones aritméticas y las ventajas de

las algebraicas. Por ejemplo: se podría utilizar el problema que propone Arcavi

en su texto el Problema de los Cuadrados Mágicos

En estos cuadrados mágicos, la suma de todas las filas, columnas y diagonales

debe ser la misma. Los casilleros deben completarse con números enteros y

ellos pueden repetirse. Las consignas son las siguientes

a) Completar los casilleros vacíos para obtener un cuadrado mágico con la

suma de 9.

3

2

1

b) Completar el siguiente cuadrado mágico para el cual la suma es 8.

4

2 2

5 Sessa, Carmen. Iniciación al estudio didáctico del álgebra. El zorzal. PP. 2

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c) ¿Siempre es posible completar el cuadrado mágico? Explique por qué.

La resolución de este problema se puede iniciar sin grandes problemas, dado

que se cuenta con los datos suficientes para poder llenar todos los casilleros de

los dos primeros cuadros.

El problema surge al intentar completar el último cuadrado, los casilleros

tienen que dar el mismo resultado sin importar desde dónde se los mire y esto

no es posible. El problema radica justamente aquí, en justificar o encontrar las

razones por las cuales no se puede completar este cuadrado y porque los

anteriores sí. A partir de aquí se espera que comience un proceso de revisión

de lo ya resuelto intentando analizar cuáles pudieron haber sido las causas que

posibilitaron el llenado o no del cuadrado mágico. Es probable que los alumnos

formulen hipótesis y traten mediante ejemplos demostrar lo pedido. Luego de

varios intentos se espera que se den cuenta de que la exploración numérica no

es la más adecuada y aunque se encuentre un ejemplo que “verifique” la

hipótesis planteada, nada puede asegurar que sea válida siempre. Este

problema se podría utilizar para mostrar el límite de lo numérico, puesto que

muestra la insuficiencia de mirar los ejemplos dados para buscar qué hay de

general en ellos y al mismo tiempo brinda un contexto para el uso de letras.

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BIBLIOGRAFÍA

ARCAVI, A. Symbol sense: “Informal sense-making in Formal Mathematics"

aparecido en la revista For the Learning of Mathematics, 1994.P 6

SADOVSKY, PATRICIA. “Condiciones didácticas para un espacio de

articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas.” Tesis de

doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 36

SESSA, CARMEN. “Iniciación al estudio didáctico del álgebra.” El zorzal. PP. 2





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