la proportionnalité - académie d'aix-marseille...ce que dit le b.o. de 2015 résoudre des...
TRANSCRIPT
-
La proportionnalité
Maze Carine
CPC Marseille 5
Année scolaire 2018 - 2019
-
Plan de la matinée
Les objectifs poursuivis
Des constats en mathématiques
Travail de groupe : Activité autour de 4
exercices traitant la proportionnalité
L’enseignement de la proportionnalité :
définition, difficulté et quelques réponses
Progressivité des apprentissages
Quelques conseils
Analyse d’une vidéo et analyse de
productions d’élèves
-
Objectifs de la formation
Approfondir l’enseignement du concept
de proportionnalité.
Définir des éléments de progressivité.
Mieux identifier les différentes
procédures et les difficultés rencontrées.
Mieux aider les élèves à les dépasser.
-
Tour de table
Sur des post-it de couleurs différentes, faire un
bref retour sur le magistère.
Intérêts
Post it de couleur
jaune….
Limites
Post it de couleur bleue
….
-
L’important en une diapositive
Proposer des situations faisant référence à
des contextes variés.
Jouer sur la multiplicité des procédures
pour favoriser l’adaptabilité des élèves.
Proposer des situations proportionnelles et
non proportionnelles pour développer un
regard et un esprit critique.
Travailler sur la compréhension (images
mentales) des énoncés.
Favoriser la métacognition (utilisation du
schéma) et l’explicitation (recherche
d’arguments).
-
Les constats en mathématiques
-
Bilan du comité scientifique
Un nombre inquiétant d’élèves en
difficulté en mathématique
La qualité de l’enseignement
Ce qui n’est pas enseigné n’est pas
appris
L’enjeu de la maternelle
L’importance de la construction du
nombre
7
-
Quelques éléments parmi les 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques
Les réussites observées viennent d’un
travail collaboratif, d’un travail en
équipe.
Importance de la manipulation
Des élèves en souffrance / rôle de
l’affectivité dans les apprentissages.
Faire en sorte que les nombres soient
les amis des élèves.
Le plaisir par le jeu
Quelques
éléments parmi
les 21 mesures du
plan Villani
Torossian
-
Des points clefs qui
fonctionnent
Pédagogie explicite
Des étapes d’apprentissages bien identifiées
Les 4 opérations dès le CP
Des stratégies de résolution de problèmes
Une formation initiale intensive
Le développement professionnel du professeur
La verbalisation est centrale : amener et
encourager l’élève a expliquer à voix haute et à
échanger avec ses camarades.
-
La proportionnalité : un enseignement riche et complexe
-
Notion dont le temps fort d’apprentissage
se situe à l’articulation entre le CM2 et la
6ème et qui demande du temps.
Notion en lien avec les trois domaines
suivants : « nombres et calcul » ; « espace
et géométrie » et « grandeurs et
mesures ».
La maitrise de cette notion est essentielle
tant pour un usage dans la vie courante
que dans le domaine professionnel.
-
Ce que dit le B.O. de 2015
Résoudre des problèmes en utilisant des fractions
simples, les nombres décimaux et le calcul.
Proportionnalité : reconnaître et résoudre des problèmes
relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure
adaptée.
Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs
(géométriques, physiques, économiques) en utilisant des
nombres entiers et des décimaux. Proportionnalité :
identifier une situation de proportionnalité entre deux
grandeurs. Graphiques représentant des variables entre
deux grandeurs.
Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques.
Proportionnalité : reproduire une figure en respectant une
échelle. Agrandissement ou réduction de figures.
-
Mise en situation
Les 4 entrées : réaliser les quatre
problèmes distribués sur feuille.
Identifier les différentes procédures.
Critères de réussite :
- Avoir réalisé les 4 problèmes
- Dans les vingt minutes imparties
S’organiser en petits groupes de 4.
-
Réaliser les 4 problèmes
suivants
-
Des procédures variées
-
Problèmes classiques
Plusieurs procédures de résolution
-
Propriétés des fonctions
linéaires
Passage par le Plus Petit Commun Multiple ou
PPCM : (2x3x5 = 30)
2kg à 3€ 30kg à 45€
5kg à 7€ 30kg à 42€
3kg à 4€ 30kg à 40€
donc le plus cher
donc le moins cher
Avantage : travail uniquement sur les entiers naturels
-
Retour à l’unité
2kg à 3€ 1kg à 1.50€ le résultat est un décimal
5kg à 7€ 1kg à 1.40€ le résultat est un décimal
3kg à 4€ 1kg à 1.33€ le résultat est un rationnel (le développement décimal se répète)
Nécessite la connaissance des décimaux et de la notion de nombre
arrondi.
donc le plus cher
donc le moins cher
-
La méthode graphique
-
Les tableaux
Pour faire 12 meringues, il faut 4 blancs
d’œuf et 240 g de sucre. On prévoit de
servir 3 meringues par personne.
a) Combien faut-il d’œufs et de sucre
pour 12 personnes ? 6 personnes ? 18
personnes ?
b) Il ne reste que 1,200 kg de sucre.
Combien de personnes pourra-t-on
servir ?
Utilise un tableau pour répondre.
• Plusieurs procédures de résolution
-
Propriétés des fonctions
linéaires
personnes 1 4 12 6 18 20
meringues 3 12 36 18 54 60
œufs 4 12 6 18 20
sucre en g 240 720 360 1080 1200
- d’abord, trouver le 4 en utilisant l’indication de l’énoncé
- trouver (par 12 x 3) le 36 puis par (36 : 2 ou par 12 +
12/2) le 18
- trouver (en utilisant 12 + 6 ou bien 6x3) le 54
-
Retour à l’unitépersonnes 1 4 12 6 18 20
meringues 3 12 36 18 54 60
œufs 4 12 6 18 20
sucre en g 240 720 360 1080 1200
1 personne 3 meringues 1 œuf 60g de sucre
Série de multiplications ensuite pour les premières colonnes
Division par 60 pour trouver la dernière
-
le graphique
Pour trouver le nombre de meringues en fonction
des personnes.
-
Les homothéties
a = 6 mm
b = 10 mm
c = 8 mm
d = 20 mm
e = 16 mm
f = 6mm
A = 15 mm
B = 25 mm
C = 20 mm
D = 50 mm
E = 35 mm
F = 15 mm
• Plusieurs procédures de résolution pour ces
problèmes d’agrandissement ou de réduction
de figures géométriques
-
Propriétés des fonctions
linéaires
e = a+b donc si f(a) = A = 15 et f(b) = B = 25
alors f(e) = E = 40 et non 35
donc Patrick s’est trompé pour E qui aurait dû être de 40 mm
a = 6 mm
b = 10 mm
c = 8 mm
d = 20 mm
e = 16 mm
f = 6 mm
A = 15 mm
B = 25 mm
C = 20 mm
D = 50 mm
E = 35 mm
F = 15 mm
-
Retour à l’unité
b = 10, f(b) = B = 25
donc le coefficient de proportionnalité = 25/10 = 2.5.
Chaque mesure aurait dû être multipliée par 2.5
X 2.5
6 15
10 25
8 20
20 50
16 40 et non 35
6 15
-
le graphique
on trace f(x) = 2.5x
(ou bien on place les 5 points
et on s’aperçoit alors qu’ils sont tous
sur un droite passant par l’origine sauf 1).
L’image de 16 se trouve
sur le graphe en remontant
à la verticale jusqu’à la droite.
On devrait arriver à 40.
16 ; 40
en réalité
-
Les graphiques
• Plusieurs procédures de résolution
-
Propriétés des fonctions
linéaires
Voiture bleue :
f(160) = f(100) + f(60)
f(60) = 3f(20) etc…,
ça marche tout le temps
Voiture rouge :
f(20) = f(40)/2 = 15 minutes
f(190) = 135 et f(130) + f(40) + f(20) = 105 + 30 +
15 = 150
La propriété n’étant pas vérifiée, l’application
n’est pas linéaire.
-
Retour à l’unité
Voiture bleue :
20 km en 15 minutes donnent 7.5 minutes pour 10 km ce qui donne
60 km en 45 minutes (6 fois 7.5 minutes)
100 km en 75 minutes (10 fois 7.5 minutes)
160 km en 120 minutes (16 fois 7.5 minutes
En l’occurrence ici à la base (10)
Voiture rouge :
40 km en 30 minutes donnent 7.5 minutes pour 10 km ce qui donne
90 km en 67.5 minutes et non 75 minutes
-
le graphique
Cette méthode, demandée ici dans l’énoncé, permet de trouver
que pour la voiture bleue, la distance est proportionnelle à la
durée puisque le graphe est une droite passant par l’origine.
-
Définition
On dit que deux mesures sont
proportionnelles lorsque l’on peut
passer de l’une à l’autre en
multipliant ou en divisant par une
même constante non nulle.
Cette constante, dans le cas où l’on
multiplie, est appelée « coefficient
de proportionnalité ».
-
Difficultés à enseigner
La proportionnalité est un sujet vaste et
compliqué à enseigner.
L’intérêt : permet de résoudre nombre de
problèmes.
Proportionnalité : nombreuses approches
et nombreuses propriétés
Des procédures variées
Construire progressivement le sens de
cette notion essentielle pour apprendre
progressivement à résoudre des
problèmes.
-
Progression
-
Des repères de progressions
CP/CE1 : Résoudre des problèmes en « fois plus,
fois moins » ; Lecture de tableaux ; résolution de
problèmes utilisant l’addition et la multiplication.
CE2 : Situations de proportionnalité (résolution
par linéarité) ; réalisation de tableaux de
proportionnalité.
Début du cycle 3 : travailler sur les propriétés
additives et multiplicatives (principe de linéarité)
; reconnaitre une situation de proportionnalité.
Dès le CM1 : amener le procédé dit du « retour à
l’unité ».
Introduction de la règle de trois.
Exercices avec choix de la méthode.
Application à des problèmes de la vie courante.
-
Cas particulier de la règle de
trois
Supprimée dans le BO de 1995, elle
réapparait en 2008 pour à nouveau
disparaître en 2015.
La règle de trois est très souvent
confondue avec le produit en croix.
-
Même si l’on peut envisager une sorte de
progression dans les procédés énoncés
précédemment, on ne peut considérer des
procédures comme étant plus expertes que
d’autres.
-
S’appuyer sur les petits
fondamentaux
Découvrir la proportionnalité avec 3 petits films animés.
-
Typologie des problèmes
-
Typologie
Problèmes avec
recherche d’une
quatrième
proportionnelle
Problèmes de
reconnaissance ou non de
situation de
proportionnalité
Problèmes de comparaison.
Problèmes de
pourcentages, d’échelle,
d’agrandissement /
réduction.
-
Quelques points d’appui
Une variable didactique : le choix des
nombres utilisés et les rapports que les
nombres entretiennent entre eux.
La difficulté varie et s’intensifie avec les
grands nombres ou les nombres à
virgule.
L’utilisation des grands nombres
implique l’utilisation de nouveaux
procédés.
-
Le contrat didactique
Il est important de proposer aux
élèves des situations qui ne sont
pas toutes des situations de
proportionnalité afin de garder
l’élève vigilant quant à sa réflexion,
à ses choix dans les procédures à
utiliser.
-
La difficulté des heuristiques
Comprendre que le fait qu’il y ait
des augmentations ou des
diminutions n’induit pas forcément
comme action une addition ou une
soustraction.
-
Vidéo
Canopé séance de proportionnalité
htpps://www.reseau-
canope.fr/bsd/sequence.aspx?bloc=570932
file://localhost/htpps/::www.reseau-
canope.fr:bsd:sequence.aspx%3Fbloc=570932
La proportionnalité et les intelligences multiples.
https://www.youtube.com/watch?v=QIbQkWy9l0I
/htpps/::www.reseau-canope.fr:bsd:sequence.aspx?bloc=570932https://www.youtube.com/watch?v=QIbQkWy9l0I
-
Quelques conseils
Laisser un temps pour anticiper les
réponses
Si besoin, donner un temps pour valider
par la manipulation.
Importance de la pédagogie explicite et
du travail sur la compréhension.
Importance du rôle et du regard de
l’enseignant pour repérer les réponses
erronées, pour les mettre en débat et
autoriser ainsi les élèves à les dépasser.
-
Mais aussi
Les temps de recherche en classe
L’activité des élèves
La participation des élèves
Le sens.
-
Propositions de sites
Site IREM de Caen en Normandie
propose un jeu pour travailler en ligne la
proportionnalité. 3 niveaux de difficulté /
Des situations en lien avec la vie réelle.
Les petits films d’animation des
« fondamentaux » sur la proportionnalité.
-
Bibliographie
Arnaud Simard « Proportionnalité en CM2
et en 6ème ».
Nathalie Daval « Proportionnalité et
didactique »
BO de novembre 2015
Le nombre au cycle 3 apprentissages
numériques, ressources pour faire la
classe, Scéren, septembre 2012
Apprentissages numériques et résolution
de problèmes, Hatier Ermel, CM2, cycle
3, 2012.
-
Merci pour votre attention !!Très bon après-midi à tous !!
Au plaisir de vous retrouver l’année prochaine !!