la recta - Álgebra i unsl 2014 (90 hs.)
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La recta
Encontraremos la ecuación vectorial de una recta r que pasa por el punto�nal P de un vector
�!OP, con la dirección de un vector
�!d . Como muestra
la �gura:
() May 5, 2014 1 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación vectorial de una recta
Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo
con lados�!OP y λ
�!d para algún λ
Vemos que todos los puntos sobre r son
de la forma�!OP + λ
�!d
Ecuación vectorial de la recta�!OX=
�!OP+λ
�!d
Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.
�!OP es el vector posición
�!d es el vector director o generador delarectar.
() May 5, 2014 2 / 36
Ecuación paramétrica de una recta
Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector
�!d = (d1, d2) es:
r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2
con λ 2 R
Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.
Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de
�!d = (d1, d2, d3) es:
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
() May 5, 2014 3 / 36
Ecuación paramétrica de una recta
Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector
�!d = (d1, d2) es:
r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2
con λ 2 R
Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.
Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de
�!d = (d1, d2, d3) es:
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
() May 5, 2014 3 / 36
Ecuación paramétrica de una recta
Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector
�!d = (d1, d2) es:
r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2
con λ 2 R
Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.
Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de
�!d = (d1, d2, d3) es:
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
() May 5, 2014 3 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Una representación paramétrica de la recta en el espacio, quecontiene al P = (0, 1, 3) y tiene la dirección del vector
�!d = (1, 5, 0) es:
r :
8<:x = λy = 1+ 5λz = 3
con λ 2 R
() May 5, 2014 4 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Una representación paramétrica de la recta en el espacio, quecontiene al P = (0, 1, 3) y tiene la dirección del vector
�!d = (1, 5, 0) es:
r :
8<:x = λy = 1+ 5λz = 3
con λ 2 R
() May 5, 2014 4 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?
Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =
�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)
Como punto a P = (�1, 1, 0) .
Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (1)
() May 5, 2014 5 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?
Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =
�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)
Como punto a P = (�1, 1, 0) .
Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (1)
() May 5, 2014 5 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?
Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =
�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)
Como punto a P = (�1, 1, 0) .
Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (1)
() May 5, 2014 5 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?
Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =
�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)
Como punto a P = (�1, 1, 0) .
Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (1)
() May 5, 2014 5 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?
Consideremos la representación de la recta
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (2)
Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es
PQ :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con 0 � λ � 1.
() May 5, 2014 6 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (2)
Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es
PQ :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con 0 � λ � 1.
() May 5, 2014 6 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (2)
Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .
Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es
PQ :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con 0 � λ � 1.
() May 5, 2014 6 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (2)
Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.
El segmento de recta que une a P y Q es
PQ :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con 0 � λ � 1.
() May 5, 2014 6 / 36
Ecuación de una recta. Ejemplos
Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta
s :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con λ 2 R. (2)
Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es
PQ :
8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ
con 0 � λ � 1.
() May 5, 2014 6 / 36
Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos
Una representación paramétrica de la recta l , que contiene a los puntosP = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:
8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)
con λ 2 R y (x , y , z) es un punto cualquiera de l
() May 5, 2014 7 / 36
Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos
Una representación paramétrica de la recta l , que contiene a los puntosP = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)
con λ 2 R y (x , y , z) es un punto cualquiera de l
() May 5, 2014 7 / 36
Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos
Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:
PQ :
8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)
con 0 � λ � 1
Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:
PQ =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + λ
��!OQ ��!OP
�con λ 2 [0, 1]
oGra�car...En particular si λ = 1
2 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.
�!OXm =
�!OP+
12
��!OQ ��!OP
�=
�!OP +
�!OQ
2=
�x1 + x22
,y1 + y22
,z1 + z22
�
() May 5, 2014 8 / 36
Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos
Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:
PQ :
8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)
con 0 � λ � 1
Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:
PQ =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + λ
��!OQ ��!OP
�con λ 2 [0, 1]
oGra�car...
En particular si λ = 12 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.
�!OXm =
�!OP+
12
��!OQ ��!OP
�=
�!OP +
�!OQ
2=
�x1 + x22
,y1 + y22
,z1 + z22
�
() May 5, 2014 8 / 36
Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos
Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:
PQ :
8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)
con 0 � λ � 1
Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:
PQ =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + λ
��!OQ ��!OP
�con λ 2 [0, 1]
oGra�car...En particular si λ = 1
2 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.
�!OXm =
�!OP+
12
��!OQ ��!OP
�=
�!OP +
�!OQ
2=
�x1 + x22
,y1 + y22
,z1 + z22
�() May 5, 2014 8 / 36
Posiciones relativas de las rectas
En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.
En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.
Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.
En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.
Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....
() May 5, 2014 9 / 36
Posiciones relativas de las rectas
En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.
En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.
Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.
En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.
Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....
() May 5, 2014 9 / 36
Posiciones relativas de las rectas
En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.
En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.
Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.
En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.
Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....
() May 5, 2014 9 / 36
Posiciones relativas de las rectas
En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.
En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.
Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.
En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.
Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....
() May 5, 2014 9 / 36
Posiciones relativas de las rectas
En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.
En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.
Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.
En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.
Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....
() May 5, 2014 9 / 36
Rectas paralelas
Las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R s :
8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03
con α 2 R
son paralelas si los vectores directores�!d y
�!d 0 son paralelos
Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ
�!d 0 , para algún λ 2 R.
Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y
solo si�!d �
�!d 0 =
�!0 .
() May 5, 2014 10 / 36
Rectas paralelas
Las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R s :
8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03
con α 2 R
son paralelas si los vectores directores�!d y
�!d 0 son paralelos
Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ
�!d 0 , para algún λ 2 R.
Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y
solo si�!d �
�!d 0 =
�!0 .
() May 5, 2014 10 / 36
Rectas paralelas
Las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R s :
8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03
con α 2 R
son paralelas si los vectores directores�!d y
�!d 0 son paralelos
Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ
�!d 0 , para algún λ 2 R.
Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y
solo si�!d �
�!d 0 =
�!0 .
() May 5, 2014 10 / 36
Rectas paralelas
Si las rectas son paralelas pueden ser coincidentes o distintas. Paradeterminar si ocurre lo uno o lo otro, sustituimos un punto perteneciente ar en la recta s y si se veri�can las ecuaciones, son la misma recta.
() May 5, 2014 11 / 36
Rectas no paralelas
Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.
Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03
en el cual las incógnitas son λ y µ.
Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.
() May 5, 2014 12 / 36
Rectas no paralelas
Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.
Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03
en el cual las incógnitas son λ y µ.
Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.
() May 5, 2014 12 / 36
Rectas no paralelas
Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.
Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03
en el cual las incógnitas son λ y µ.
Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.
() May 5, 2014 12 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ
con λ 2 R s :
8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ
con µ 2 R
Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a
�!d 0 = (10,�2, 2) ya que
�!d �
�!d 0 =
������i j k�5 1 �110 �2 2
������ = �!0o bien veri�camos que
�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d
Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.
() May 5, 2014 13 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ
con λ 2 R s :
8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ
con µ 2 R
Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a
�!d 0 = (10,�2, 2) ya que
�!d �
�!d 0 =
������i j k�5 1 �110 �2 2
������ = �!0
o bien veri�camos que�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d
Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.
() May 5, 2014 13 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ
con λ 2 R s :
8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ
con µ 2 R
Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a
�!d 0 = (10,�2, 2) ya que
�!d �
�!d 0 =
������i j k�5 1 �110 �2 2
������ = �!0o bien veri�camos que
�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d
Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.
() May 5, 2014 13 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ
con λ 2 R s :
8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ
con µ 2 R
Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a
�!d 0 = (10,�2, 2) ya que
�!d �
�!d 0 =
������i j k�5 1 �110 �2 2
������ = �!0o bien veri�camos que
�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d
Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .
Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.
() May 5, 2014 13 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ
con λ 2 R s :
8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ
con µ 2 R
Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a
�!d 0 = (10,�2, 2) ya que
�!d �
�!d 0 =
������i j k�5 1 �110 �2 2
������ = �!0o bien veri�camos que
�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d
Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.
() May 5, 2014 13 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.
Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.
Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
r :
8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ
con λ 2 R
8<:x = 1� µy = µz = 5
s : con µ 2 R.
Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y
�!d 0 = (�1, 1, 0) no
son paralelos (veri�carlo)
Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:
8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5
8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5
Ya que λ = 5
3λ� µ = �1) µ = 16
5λ+ µ = �3) µ = 28
Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.
() May 5, 2014 14 / 36
Rectas paralelas y no paralelas.
Cortan No se cortanParalelas
Producto vectorial igual a�!0
Iguales Paralelas distintas
No ParalelasProducto vectorial distinto de
�!0
Cortan en un punto Cruzan
() May 5, 2014 15 / 36
Ángulo entre rectas
Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....
Dadas las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03
s : con µ 2 R
que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.
ang(r , s) = arccos
0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���
1A .Consideramos
����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....
() May 5, 2014 16 / 36
Ángulo entre rectas
Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03
s : con µ 2 R
que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.
ang(r , s) = arccos
0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���
1A .Consideramos
����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....
() May 5, 2014 16 / 36
Ángulo entre rectas
Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03
s : con µ 2 R
que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.
ang(r , s) = arccos
0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���
1A .
Consideramos����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.
Gra�car....
() May 5, 2014 16 / 36
Ángulo entre rectas
Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas
r :
8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03
s : con µ 2 R
que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.
ang(r , s) = arccos
0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���
1A .Consideramos
����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....
() May 5, 2014 16 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:
Un vector posición�!OP que nos
sitúe en un punto P del plano;
Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos
Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R
π =nX 2 R3 /
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R
o
() May 5, 2014 17 / 36
Ecuación del plano
Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es
π :�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.
Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:
π :
8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3
con α, β 2 R (3)
A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.
() May 5, 2014 18 / 36
Ecuación del plano
Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es
π :�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.
Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:
π :
8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3
con α, β 2 R (3)
A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.
() May 5, 2014 18 / 36
Ecuación del plano
Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es
π :�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.
Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:
π :
8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3
con α, β 2 R (3)
A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.
() May 5, 2014 18 / 36
Ecuación del plano
Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).
Solución: Una ecuación vectorial es
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v
(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R
Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β
con α, β 2 R
() May 5, 2014 19 / 36
Ecuación del plano
Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).Solución: Una ecuación vectorial es
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v
(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R
Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β
con α, β 2 R
() May 5, 2014 19 / 36
Ecuación del plano
Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).Solución: Una ecuación vectorial es
�!OX =
�!OP + α�!u + β�!v
(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R
Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β
con α, β 2 R
() May 5, 2014 19 / 36
Ecuación implícita del plano
Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo
π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0
con
�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3
���� i� ���� u1 v1u3 v3
���� j+ ���� u1 v1u2 v2
���� k. (4)
Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car
() May 5, 2014 20 / 36
Ecuación implícita del plano
Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo
π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0
con
�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3
���� i� ���� u1 v1u3 v3
���� j+ ���� u1 v1u2 v2
���� k. (4)
Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car
() May 5, 2014 20 / 36
Ecuación implícita del plano
Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo
π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0
con
�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3
���� i� ���� u1 v1u3 v3
���� j+ ���� u1 v1u2 v2
���� k. (4)
Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car
() May 5, 2014 20 / 36
Ecuación implícita del plano
Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es
�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0
Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.
() May 5, 2014 21 / 36
Ecuación implícita del plano
Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es
�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0
Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.
(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.
() May 5, 2014 21 / 36
Ecuación implícita del plano
Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es
�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0
Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.
() May 5, 2014 21 / 36
Ecuación implícita del plano
Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos
P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).
Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),
Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v
�!u ��!v =
������i j k�3 �3 5�6 �4 2
������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es
14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.
() May 5, 2014 22 / 36
Ecuación implícita del plano
Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos
P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).
Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),
Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v
�!u ��!v =
������i j k�3 �3 5�6 �4 2
������ = 14i� 24j� 6k
Elegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es
14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.
() May 5, 2014 22 / 36
Ecuación implícita del plano
Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos
P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).
Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),
Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v
�!u ��!v =
������i j k�3 �3 5�6 �4 2
������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,
Así una ecuación implícita es
14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.
() May 5, 2014 22 / 36
Ecuación implícita del plano
Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos
P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).
Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),
Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v
�!u ��!v =
������i j k�3 �3 5�6 �4 2
������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es
14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o
14x � 24y � 6z = 44.
() May 5, 2014 22 / 36
Ecuación implícita del plano
Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos
P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).
Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),
Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v
�!u ��!v =
������i j k�3 �3 5�6 �4 2
������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es
14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.() May 5, 2014 22 / 36
Posiciones relativas de Planos
Dos planos en R3,
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...
Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que
Recta%
Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%
Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes
() May 5, 2014 23 / 36
Posiciones relativas de Planos
Dos planos en R3,
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.
Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que
Recta%
Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%
Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes
() May 5, 2014 23 / 36
Posiciones relativas de Planos
Dos planos en R3,
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).
Así tenemos que
Recta%
Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%
Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes
() May 5, 2014 23 / 36
Posiciones relativas de Planos
Dos planos en R3,
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que
Recta%
Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%
Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes
() May 5, 2014 23 / 36
Planos paralelos
Los planos
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.
Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si�!n ��!n, = �!0
Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0)
son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces
analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:
Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.
Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).
() May 5, 2014 24 / 36
Planos paralelos
Los planos
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si
�!n ��!n, = �!0
Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0)
son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces
analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:
Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.
Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).
() May 5, 2014 24 / 36
Planos paralelos
Los planos
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si
�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y
�!n0 = (a0, b0, c 0)
son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces
analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:
Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.
Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).
() May 5, 2014 24 / 36
Planos paralelos
Los planos
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si
�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y
�!n0 = (a0, b0, c 0)
son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces
analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:
Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.
Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).
() May 5, 2014 24 / 36
Planos paralelos
Los planos
π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0
son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si
�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y
�!n0 = (a0, b0, c 0)
son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces
analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:
Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.
Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).
() May 5, 2014 24 / 36
Planos paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40
Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4
En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes
() May 5, 2014 25 / 36
Planos paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40
Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4
En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes
() May 5, 2014 25 / 36
Planos paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40
Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4
En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes
() May 5, 2014 25 / 36
Planos no paralelos
Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0) no son paralelos,
los planos no son paralelos y se cortan en una recta.
Proposición: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y �!n, = (a0, b0, c 0) noson paralelos, entonces el vector �!n ��!n, es un vector director de la rectaintersección de los planos. Gra�car...
() May 5, 2014 26 / 36
Planos no paralelos
Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0) no son paralelos,
los planos no son paralelos y se cortan en una recta.
Proposición: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y �!n, = (a0, b0, c 0) noson paralelos, entonces el vector �!n ��!n, es un vector director de la rectaintersección de los planos. Gra�car...
() May 5, 2014 26 / 36
Planos no paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28
(5)
Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)
�!n ��!n, =
������i j k2 �1 �54 5 4
������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0
Por lo tanto los planos se cortan.
El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).
() May 5, 2014 27 / 36
Planos no paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28
(5)
Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)
�!n ��!n, =
������i j k2 �1 �54 5 4
������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0
Por lo tanto los planos se cortan.
El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).
() May 5, 2014 27 / 36
Planos no paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28
(5)
Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)
�!n ��!n, =
������i j k2 �1 �54 5 4
������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0
Por lo tanto los planos se cortan.
El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).
() May 5, 2014 27 / 36
Planos no paralelos
Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:
π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28
(5)
Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)
�!n ��!n, =
������i j k2 �1 �54 5 4
������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0
Por lo tanto los planos se cortan.
El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).
() May 5, 2014 27 / 36
A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)
Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema��y � 5z = �145y + 4z = 28
resulta que y = 4 y z = 2.Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:
r :
8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ
con λ 2 R.
() May 5, 2014 28 / 36
A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema�
�y � 5z = �145y + 4z = 28
resulta que y = 4 y z = 2.
Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:
r :
8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ
con λ 2 R.
() May 5, 2014 28 / 36
A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema�
�y � 5z = �145y + 4z = 28
resulta que y = 4 y z = 2.Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:
r :
8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ
con λ 2 R.
() May 5, 2014 28 / 36
Representación grá�ca de rectas
Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el
origen de coordenadas
Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector
�!d . Gra�car...
Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.
() May 5, 2014 29 / 36
Representación grá�ca de rectas
Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el
origen de coordenadas
Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector
�!d . Gra�car...
Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.
() May 5, 2014 29 / 36
Representación grá�ca de rectas
Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el
origen de coordenadas
Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector
�!d . Gra�car...
Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.
() May 5, 2014 29 / 36
Representación grá�ca de rectas
Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3
con λ 2 R
Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el
origen de coordenadas
Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector
�!d . Gra�car...
Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.
() May 5, 2014 29 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...
() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.
- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...
() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .
- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...
() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .
- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...
() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...
() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Representar la recta
r :
8>>><>>>:x = 1+ 2λ
y =12+ λ
z =12� λ
con λ 2 R (6)
Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a
�!d = (2, 1,�1)
Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .
Gra�car ...() May 5, 2014 30 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector
�!d = (3,�2, 0).
Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:
r :
8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3
con λ 2 R (7)
Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 31 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector
�!d = (3,�2, 0).
Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:
r :
8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3
con λ 2 R (7)
Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.
- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 31 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector
�!d = (3,�2, 0).
Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:
r :
8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3
con λ 2 R (7)
Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .
- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 31 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector
�!d = (3,�2, 0).
Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:
r :
8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3
con λ 2 R (7)
Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .
- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 31 / 36
Representación grá�ca de rectas
Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector
�!d = (3,�2, 0).
Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:
r :
8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3
con λ 2 R (7)
Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 31 / 36
Representación grá�ca de rectas
- La intersección de r con el plano yz , es el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , es el punto (3, 0, 3) .- La recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 32 / 36
Representación grá�ca de rectas
- La intersección de r con el plano yz , es el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , es el punto (3, 0, 3) .- La recta no corta al plano xy , es paralela a él.
() May 5, 2014 32 / 36
Representación grá�ca de Planos
La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.
- La intersección de un plano
π : ax + by + cz + d = 0
Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es
ax + d = 0! x =�da
Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0
�.
Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.
() May 5, 2014 33 / 36
Representación grá�ca de Planos
La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano
π : ax + by + cz + d = 0
Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.
Por tanto es
ax + d = 0! x =�da
Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0
�.
Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.
() May 5, 2014 33 / 36
Representación grá�ca de Planos
La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano
π : ax + by + cz + d = 0
Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es
ax + d = 0! x =�da
Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0
�.
Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.
() May 5, 2014 33 / 36
Representación grá�ca de Planos
La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano
π : ax + by + cz + d = 0
Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es
ax + d = 0! x =�da
Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0
�.
Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.
() May 5, 2014 33 / 36
Representación grá�ca de Planos
La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano
π : ax + by + cz + d = 0
Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es
ax + d = 0! x =�da
Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0
�.
Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.
() May 5, 2014 33 / 36
Representación grá�ca de Planos
- La intersección de un plano π, con un plano coordenado, por ejemplocon el plano xy , cuya ecuación es z = 0, es�
ax + by + cz + d = 0z = 0
,�ax + by + d = 0
z = 0
Obtenemos una recta ax + by + d = 0 situado en al plano xy .
() May 5, 2014 34 / 36
Representación grá�ca de Planos
- La intersección de un plano π, con un plano coordenado, por ejemplocon el plano xy , cuya ecuación es z = 0, es�
ax + by + cz + d = 0z = 0
,�ax + by + d = 0
z = 0
Obtenemos una recta ax + by + d = 0 situado en al plano xy .
() May 5, 2014 34 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6
Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:
Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0!
3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6!
x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2!
(2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)
Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0!
y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6!
(0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)
Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0!
� 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6!
z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3!
(0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)
() May 5, 2014 35 / 36
Representación grá�ca de Planos
Observaciones: 1) Si el termino independiente d de la ecuación del planoes cero, el plano corta a los tres ejes el punto (0, 0, 0) .
2) Si en la ecuación del plano falta un variable, por ejemplo z , elplano será paralelo al eje z .
() May 5, 2014 36 / 36
Representación grá�ca de Planos
Observaciones: 1) Si el termino independiente d de la ecuación del planoes cero, el plano corta a los tres ejes el punto (0, 0, 0) .
2) Si en la ecuación del plano falta un variable, por ejemplo z , elplano será paralelo al eje z .
() May 5, 2014 36 / 36