la résolution de problème aux cycles 2 et 3

La résolution de problème

aux cycles 2 et 3

Circonscription de Claye Souilly

Mercredi 10 octobre 2018

I. Résolution de problèmes

Que pensez-vous du protocole d’aide à la

résolution de problème ci-dessous ?

Quelle analyse pouvez-vous faire : ce qui

est pertinent, ce qui est à changer ?

On vous propose 4 problèmes.

Vous allez résoudre les 4 problèmes et vous allez essayer de vous souvenir comment vous avez

procédé.

a) Un massif de fleurs est formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes. Quel est le nombre de

tulipes de ce massif ?

b) Un massif est formé de 60 rangées de 15 tulipes. Quel est le nombre de tulipes de ce massif ?

c) Un massif de 60 fleurs, est formé de tulipes et de 15 jonquilles. Quel est le nombre de tulipes

de ce massif ?

d) 60 tulipes sont disposées en 15 massifs réguliers. Quel est le nombre de tulipes de chaque

massif ?

Comment a-t-on fonctionné ?

On réfléchit à peine, l’opération à faire s’invite toute seule,

On peut avoir une évocation imagée,

Certains mots ont induit une opération (rangées, et,… = mots inducteurs).

Ces exemples permettent d’invalider les aides méthodologiques portant sur des

“compétences isolées” (chercher la question, relever les informations utiles,

inutiles….)

Rappel : la typologie de Vergnaud :

les problèmes additifs et soustractifs

Problèmes additifs et soustractifs

Les problèmes de transformation d’état Pierre arrive à l’école avec 8 billes, il en perd 6

à la récré. Combien en a –t-il après la récré?

Les problèmes de composition d’état Pierre a 8 billes en verre et 6 billes en terre .

Combien en a-t-il en tout?

Les problèmes de comparaison d’états Pierre a 8 billes. Eric en a 6 de plus que Pierre.

Combien Eric a –t-il de billes?

Les problèmes de composition de transformation Pierre a gagné 8 billes le matin et 6 billes

l’après-midi. Combien de billes a-t-il gagnées

dans la journée?

Transformation d’un état

Le réservoir de ma voiture est plein : il contient 60 litres. Au cours d’un voyage , j’ai consommé 49 litres. Combien reste-t-il de litres d’essence dans mon réservoir ?

Recherche de l’état final

Recherche de la transformation

Recherche de l’état initial

Composition de 2 états

Dans la classe, il y a 7 chaises rouges et 6 chaises jaunes. Combien y a-t-il de chaises en tout dans la classe ?

Recherche du composé

Recherche d’une partie

Comparaison d’états

Ma cousine a 28 ans. Elle a 6 ans de plus (ou de moins) que son frère. Quel âge a son frère ?

Recherche de la comparaison

Recherche de l’un des états

Composition de transformations

A la gare le train repart avec 140 personnes de moins qu’à son arrivée. 270 personnes sont descendues. Combien de personnes sont montées ?

Recherche de la transformation

composéeRecherche de l’une des composantes

Recherche de l’état initial ou final

La typologie de Vergnaud :

les problèmes multiplicatifs et de division

PROBLEMES TERNAIRES PROBLEMES QUATERNAIRES

N fois plus ou

moins

Produit

cartésien

Configuration

rectangulaire

Multiplication La division

quotition

La division

partition

La

proportionnalité

Pierre a 9 billes.

Son copain Eric

en a 4 fois plus

que lui.

Combien Eric a –

t-il de billes?

Pierre a 3

shorts et 4

maillots.

Combien de

tenues

différentes

peut-il former?

Pierre a planté 8

rangées de 4

salades. Combien

a-t-il planté de

salades?

Pierre vend des

roses. Dans

chaque bouquet

il y a 5 roses.

Eric achète 3

bouquets.

Combien a-t-il

de roses?

Dans la classe

de Mme Durand

, il y a 24

élèves. Elle

leur demande

de former des

équipes de 4.

Combien

d’équipes les

élèves

pourront-ils

faire?

Quatre enfants

se partagent

équitablement

28 bonbons.

Combien de

bonbons aura

chaque enfant?

Le maître a besoin

de 12 cahiers pour 3

élèves. Combien de

cahiers doit-il

acheter pour une

classe de 18 élèves ?

Attention

La typologie des problèmes de Vergnaud est un outil de l’enseignant :

- pour construire des séries de problèmes ressemblants

- Pour aider les élèves à catégoriser les problèmes basiques.

- Pour ne pas évaluer les élèves sur des types de problèmes qu’ils n’auraient pas travaillés.

Les schémas de Vergnaud ne sont pas proposés pour faire l’objet d’un enseignement.

Objectifs liés à l’utilisation de cette typologie

Du côté de l’enseignant Du côté de l’élève

Proposer toutes les catégories de problèmes basiques pour

entraîner les élèves à les réussir.

S’entraîner pour réussir toutes les catégories de problèmes

basiques.

Apprendre aux élèves la nécessité de se construire une

représentation.

Se construire des représentations.

Les traduire par le récit, le dessin, le schéma …

Faire identifier aux élèves les différents raisonnements

associés aux différentes catégories de problèmes.

Savoir qu’il existe différents types de problèmes « basiques »

- pour addition soustraction

- pour multiplication division .

Catégoriser les différents problèmes.

Faire construire des outils référents et garder la mémoire

des catégories.

Construire et utiliser des outils référents pour s’entraîner à

reconnaître les différentes catégories.

Vers une typologie des problèmes

arithmétiques

Problèmes « basiques » (d’un savoir, d’un concept)

→ Enjeu élève : les mémoriser

Problèmes « complexes »→ Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats

Problèmes atypiques→ Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement , persévérance et confiance en soi

Qu’est ce qu’un problème basique ?

Une piste d’athlétisme mesure 400 m. Paul fait 5 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue ?

CE2

Dans cette salle, 400 places en 25 rangées régulières. Combien de places par rangée ? CM

Problèmes basiques

Pas de donnée superflue

Une syntaxe facile

Un contexte facile à comprendre (a priori)

PROBLEME « COMPLEXE »

Au cinéma ‘Royal Ciné’ un adulte paye 6€ par séance et un enfant paye 4€ par

séance. A la séance de l’après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. A la

séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est 542€

Combien y avait-il d’enfants à la séance de l’après-midi ?

ERMEL (1997 ; 2005) Apprentissages

numériques et résolution de problèmes CM1.

Paris :Hatier

PROBLÈMES « COMPLEXES »

Un problème qui est un composé de problèmes basiques “cachés” à construire par l’élève !L’exemple du problème de recette du cinéma:

Sous problèmes calculables Sous problèmes utiles

Séance du soir : nombre de personnes

Séance du soir : prix que payent les adultes

Séance du soir : prix que payent les enfants

Séance de l’après midi : prix que payent les

adultes

Deux séances : prix que payent les adultes

Recette de la séance du soir

OU

Recette venant des adultes

ET

Séance du soir : prix que payent les enfants

Enjeux des problèmes « complexes»

Tester les opérations (toutes et/ou leurs propriétés)

Adapter à de nouveaux contextes*

des problèmes basiques mémorisés (typologie Vergnaud)

Renforcer

les contrôles sémantiques (sens des mots)

pragmatiques* (sens du réel)

et syntaxiques (sens du texte)

(*) les deux sont liés


Inférences et contrôles sémantiques (sens des mots) : s’appuyer sur le sens des mots pour

inférer un raisonnement… (attention mots inducteurs)

Ex : Partager c’est une division ; fois c’est multiplier; si on fait une multiplication on va trouver

plus…

Inférences et contrôles pragmatiques (sens du réel) : Le calcul contrôlé par comparaison avec

connaissance de la réalité évoquée, puis accepté ou rejeté ou requestionné

Ex : je partage une bouteille de jus d’orange entre 4 personnes. J’ai calculé que chacun va

boire 223 verres : c’est impossible

Inférences et contrôles syntaxiques (sens du texte) : synthétiser le problème en une

écriture algébrique

conversion en écriture à trou (pré-algébrique) ; voire transformation en écriture « directe »

« il faut faire 573 plus quelque chose égale 1260 » Écriture de 573 + ? =1260


Exemple de problème complexe cycle 2 :

Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3€. Une bouteille de soda coûte 2€.

Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois boissons ?

3X2 = 2X3 =

10X3 = 30. possible ?

Analyse des productions des élèves (cycle 3)

Production 5

Apprendre à valider

« Trouve le nombre de sachets pleins si on empaquette 38 objets par paquets de 5 »

« 38 personnes décident de partir en voiture ; une voiture peut transporter 5 personnes ; de

combien de voitures ont elles besoin ? »

Apprentissage d’un sens critique des modèles appris.

Sensibilité au contexte

contrôle par le réel (pragmatique)

Verschaeffel parle d’un phénomène de suspension de sens commun, résistant même aux mises en

garde.

Qu’est ce qu’un problème atypique ou problème pour

« chercher » ?

Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand.

Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand

panier pèsent le double de celles du panier moyen. Après avoir rempli les trois paniers, il lui reste

quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier.

Combien de kg de châtaignes Charles a –t-il mis dans chaque panier ? Combien de kg lui reste-il ?

Les châtaignes de Charles ©ARMT cat.5 6 7

Charles a récolté 108 kg de châtaignes.

Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand.

Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent

le double de celles du panier moyen

x 2x 4x

Après avoir rempli ces trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des

châtaignes du grand panier.

x = 12 ; 2x = 24;

108

Un problème « atypique » ou « pour chercher »

Inventivité stratégique

Flexibilité de raisonnement

Persévérance et confiance en soi

Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de

problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :

Cycle 2 : les problèmes atypiques (pour chercher) se travaillent dès le CP :

« On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements ».

Depuis

l’ouverture de ce

stand, un seul

client a acheté

des fraises.

Combien a-t-il

payé ?

Exemple de

problème atypique

de cycle 2

Exemple de problème atypique de cycle 2

Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de

problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :

Cycle 3 : recherche par tâtonnements :

« On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à

chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours

d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se

résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un

raisonnement et des recherches par tâtonnements. »

Petit aparté sur les mots inducteurs

Dans la classe A il y a 19 élèves, ce qui fait 7 élèves de moins que dans la

classe B. Combien d’élèves dans la classe B ?

Aujourd’hui Marie a 20 marrons. Elle a 12 marrons de plus qu’hier. Combien

en avait elle hier?

Vigilance par rapport à ces tâches qui ne produisent pas les effets qu’elles

sont censées produire

Contexte concret ou familier?

On essaie parfois de trouver des situations concrètes pour aider les élèves, mais... ces situations ne

leur sont pas familières.

Utiliser des euros reste abstrait pour les élèves de CP

Reproduire à la règle le tracé d’un château fort peut paraitre très familier à un enfant de 6 à

10 ans alors que cela n’aura rien de concret vis-à-vis de son quotidien.

Même si les savoirs des mathématiques sont abstraits, ils peuvent être convoqués dans des situations

plus en phase avec l’âge, la culture et les centres d’intérêt des élèves.

Thierry DIAS : Nous sommes tous des mathématiciens (P.11)

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques Cycle 2 (1 au CE2 dans les programmes)

« Au CE2, les élèves sont amenés à résoudre des

problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes,

nécessitant par exemple l’exploration d’un tableau ou

d’un graphique, ou l’élaboration d’une stratégie de

résolution originale. »

Des documents authentiques sont utilisables en CP et CE1

pour la résolution de problèmes basiques par exemple.

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques (1 au CM1)

A propos de données utiles et inutilesUtilisation de documents authentiques : 2 au CM2Exemple : la visite de la cité des sciences

1°)


1°) Combien paye un enfant de 6 ans ?

2°) Combien paye un adulte qui veut

également aller au planétarium ?

3°) Quel sera le coût pour une famille de

deux adultes et 2 enfants ?


4°) Quel sera le montant payé par une

classe maternelle de 24 élèves en Réseau

d’éducation prioritaire ?

5°) Quel sera le montant payé par une

classe élémentaire de 26 enfants qui

souhaite aller au planétarium ?

Enjeux des problèmes « pour chercher »

Réinvestissement de savoirs

(en particulier mathématiques, construits en amont ou en parallèle)

Apprentissage de raisonnements

(suite organisée d’inférences conduisant à une conclusion : par analogie, en contexte...)

Apprentissage de validation (contrôler, rapport à la vérité)

Démarche hypothéticodéductive

L’apprentissage de modèles

Un des apprentissages du cycle 2 est celui d’une transformation (épuration)

raisonnée du dessin en un schéma fonctionnel pour raisonner.

Cet apprentissage n’est pas terminé au cycle 3

Petite modélisation

Combien y a t il de poules et de lapins dans notre ferme ?

Tu vas le trouver toi-même :

Lorsque je rassemble toutes les poules et les lapins de la ferme, il y a en tout

25 têtes et 64 pattes.

(Pluvinage 2008)

Petite modélisation

Une mise en schéma avec une tête représentée par un rond et une patte

représentée par un trait, puis le dessin de toutes les têtes suivi d’une

distribution raisonnée des pattes donne la réponse.

Cette représentation sera susceptible de devenir un modèle si l’élève a

l’occasion de rencontrer plusieurs fois ce type de problèmes.

Grande modélisation

Tu disposes de deux boites vertes, trois boites rouges

et 50 jetons.

Il faut mettre les 50 jetons dans les boites.

Aucune boite ne doit être vide et il doit y avoir le même nombre de jetons dans les

boîtes de la même couleur.

Validité des modèles

Dans l’usage français, seules les validations syntaxique (sens du texte) et

sémantique (sens des mots) sont prises en compte.

Il nous faut aussi prendre en compte la dimension pragmatique (sens du

réel), de façon non anecdotique dans nos enseignements.

Le projet de circonscription

Le projet de circonscription

Les compétences mathématiques mises en jeu :

Débutez avec maths en vie

Activités mathématiques autour de photos numériques prises dans l’environnement des élèves.

3 intérêts :

les élèves construisent l’intérêt d’apprendre les mathématiques parce que cette discipline s’inscrit dans leur réalité de tous les jours ;

les élèves mettent du sens derrière chaque donnée et mettent alors en œuvre des procédures de résolution cohérentes ;

Les élèves construisent des ordres de grandeurs et exercent un regard critique sur les solutions de leurs problèmes.

Commencer dans sa classe puis collaborer avec d’autres classes.

la résolution de problème aux cycles 2 et 3

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