O PRESENTADO POR:FABIÁN MUÑOZ PÉREZ

O PRESENTADO A:LIC. LUZ DAZA

LaS CóNiCaS

hIsToRiA De LaS CóNiCaS La primera definición de sección

cónica aparece en Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; varias de estas definiciones provienen de la geometría proyectiva en el plano.

LAS CÓNICAS

Cónica, cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.

El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo α de la superficie cónica y del ángulo β que forma el plano P con el eje e.

LAS CÓNICAS

Si β > α entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤ α se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome β.

LAS CÓNICAS

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: ax^2 + 2hxy + by^2

+ 2gx + 2fy + c =0 \ h² = ab: parábola. h² < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia. h² > ab: hipérbola.

Si β = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.

Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

L=2πr (x-a)2 +(y-b)2 =r2

Si β > α y β < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a α) sea el ángulo β.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

Centro, O Eje mayor, AA´ Eje menor, BB´ Distancia focal, OF La elipse tiene la siguiente expresión

algebraica:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

La PaRáBoLa La PaRáBoLa Si β = α el plano es paralelo a

una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

La PaRáBoLa La PaRáBoLa La parábola es el lugar geométrico de los

puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

Eje, e Vértice, V Distancia de F a d, p. Una parábola, cuyo vértice está en el

origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguinte ecuación: \ y=a{x^2}\

La PaRáBoLa La PaRáBoLa

Si β < α entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < β < α) como cuando es paralelo a él (β = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

Centro, O Vértices, A y A Distancia entre los vértices Distancia entre los focos La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es: \frac{x^2}

{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

LAS CÓNICAS La excentricidad de una cónica es un número

que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos α y β.

La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.

Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen una excentricidad mayor que uno.

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

Desde una punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.

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