SUMATORIA OBJETIVO.-Introducir la notación sigma y dar fórmulas de sumas que se utilizarán en la

sección siguiente

• La sumatoria o sumatorio se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos.

La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n".

• La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ. i es el valor inicial llamado límite inferior. n es el valor final llamado límite superior. Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede

simplificar:

• Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.• La suma de las frecuencias absolutas se puede expresar como:

1.-

• 2.-

Y la media como:

• 1.-

• 2.-

• Ejemplo:

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcular la media.

Xi fi Xi * fi[10, 20) 15 1 15[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60) 55 8 440

[60, 70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

Σfi = 42 Σxi · fi = 1 820

SUMATORIA

• Considerar el cálculo de la suma S de los primeros n enteros positivos

(1) S = 1 +2 + … + (n - 1) + n

(2) S = n + (n - 1) + … + 2 + 1

S = 1 +2 + … + (n - 1) + n

S = n + (n - 1) + … + 2 + 1

______________________________________

2S = ( n +1) + ( n + 1 ) + … + ( n +1 ) + ( n +1)

2S = n ( n + 1)

Por ejemplo

1(3)

2

n nS

3

1

2 5k

k

• Denota la suma de aquellos números que se obtienen de la expresión 2k + 5 al reemplazar primero k por 1, luego por 2 y finalmente por 3.

• k= índice de la sumatoria• 1 = límite inferior• 3 = límite superior

Ejemplo: Evaluar

3

1

2 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5

= 7+9+11=27k

k

27

4

21 2

0

3)

2

) 1 1

k

j

j

ka

b j

• Note que en la ecuación siguiente es una función sólo de n, no de k

Ejemplo: Evaluar

Otra forma útil es la suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos

1

14)

2

n

k

n nk

1

n

k

k

60

1

1

1

)

)

k

n

k

a k

b k

2

1

2

3

1

1 2 15)

6

16)

2

n

k

n

k

n n nk

n nk

Reglas sencillas para trabajar con notación sigma

1

1 1

1 1 1

1 1 1

7)

8)

9)

10)

n

i

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

n n n

i i i ii i i

c nc

ca c a

a b a b

a b a b

Sumatoria

• Propiedades de las sumatorias

La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

• La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

• La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término.

• La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.