LA TEORA DE CONJUNTOS Y SUS PARADOJAS

Preguntas sobre la naturaleza d ciertos temas de matemtica se pueden responder con lo bsico de la teora de conjuntos. Por ejemplo,

Qu son los nmeros?

Los matemticos Weierstrass, Dedekind, Kroneker, Peano, Russel y Cantor, entre otros, basaron sus investigacin es en tratar de caracterizar los nmeros. Eudoxio present los nmeros irracionales como medias geomtricas. (presentado en los Elementos de Euclides) A Cantor, se le considera el fundador de la teora de conjuntos cuando busca trabajar con los infinitos y da la teora de los TRANSFINITOS.

POR QU ES TAN REVOLUCIONARIA LA TEORA DE CONJUNTOS ?

Se desarrolla de forma axiomtica y no de forma intuitiva. Con los axiomas se responde a la pregunta: Qu suposiciones, fuera de la lgica elemental, se requieren como base de la matemtica? Antes de contestar la pregunta anterior: Qu debemos saber de la lgica elemental?

SIMBOLOGA BSICA DE LA TEORA DECONJUNTOS

Smbolos no definidosy

Pertenece:

y

Conjunto: Se entiende por conjunto a la agrupacin en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuicin o nuestro pensamiento. (Cantor)

TEORA INICIAL DE CANTOR

Cantor en su teora de conjuntos no present axiomas pero al hacer el anlisis sus demostraciones se puede concluir que se derivaban de los axiomas

A1: AXIOMA DE EXTENSIN Dos conjuntos son idnticos si tienen los mismos elementos. A2: AXIOMA DE ABSTRACCIN Dada una propiedad existe un conjunto cuyos elementos son precisamente aquellas entidades que tienen la propiedad. Es decir,

A3: AXIOMA DE ESCOGENCIA SELECCIN

PARADOJA DE RUSSEL

Esta paradoja se desprende del Axioma de Abstraccin cuando se propone el conjunto de todas las cosas que tienen la propiedad de no ser elementos de si mismas.

Esto significa que no podemos sostener que para cada propiedad exista un conjunto correspondiente de cosas que tengan esa propiedad.

SOLUCIN: ESQUEMA AXIOMTICO DESEPARACIN

Se le debe a Ernst Zermelo Propone que el axioma de abstraccin sea un conjunto de axiomas. Entonces el axioma de abstraccin queda como

primero tiene que conocerse quien es z para poder hablar de la existencia de y.

TIPOS DE PARADOJASLgicas o matemticas: Salen de construcciones matemticas. Ejemplos: 1. La paradoja de Russell 2. La paradoja de Burali-Forti (de los nmeros ordinales)

3. La paradoja de Cantor (de los nmeros cardinales) Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es as mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C; pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, segn el teorema de Cantor, la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia. As pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradiccin.

TIPOS DE PARADOJASLingsticas o semnticas: Salen de la consideracin directa del lenguaje que utilizamos para hablar de matemtica y de lgica. Ejemplos: 1. Paradja de Epimnides de Creta Yo soy mentiroso

TIPOS DE PARADOJAS2. La paradoja de Richard El nmero de palabras del idioma espaol es limitado: no hay infinitas palabras. El nmero de frases de menos de cincuenta palabras que pueden formarse en espaol es tambin limitado. El nmero de nmeros naturales que pueden definirse con frases de menos de cincuenta palabras, tambin es limitado. Sea T el conjunto (finito) de todos los nmeros naturales que se pueden definir con frases de menos de cincuenta palabras. "Sea A el nmero entero que sigue al mayor de los nmeros enteros que se pueden definir con menos de cincuenta palabras."

SOLUCIONESPara evitar las paradojas semnticas. Se utilizarn proposiciones que puedan escribirse nicamente con conectivos lgicos y variables. Es decir, conjuntos como el conjunto de todas las manzanas rojas no son admisibles en la teora axiomtica de conjuntos.

SOLUCIONESPara evitar las lgicas: Axiomas de Zermelo Fraenkel de separacin en donde para construir un conjunto se debe conocer un conjunto de elementos que posea cierta propiedad y de all seleccionar los elementos Axiomas de von Neumann-Bernays-Gedel que propone la teora de clases que hace una distincin bsica entre una clase y un conjunto.