la variable aleatoire continue.ppt
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LA VARIABLE ALEATOIRELA VARIABLE ALEATOIRE
CONTINUECONTINUE
Facult de Mdecine dOranFacult de Mdecine dOran
Laboratoire de BiostatistiqueLaboratoire de Biostatistique
BOUKERMA AMEURBOUKERMA AMEUR
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La variable alatoire continue :
I. a. Dfinition :
Une variable alatoire est dite continue si elle peut prendretoutes les valeurs dans un intervalle. En rgle gnrale,toutes les variables qui rsultent dune mesure sont de
type continu.Eemples :
!es variables alatoires,
" le masse corporelle des individus pour une espce animaledonne," tau de glucose dans le sang, " etc.#ont des variables
alatoires continues
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I. b. !a $onction densit de probabilit :
Dans le cas dune variable alatoire continue, laloi de probabilit associe une probabilit % c&aqueensemble de valeurs dfinies dans un intervalle donn.En effet, pour une variable alatoire continue, la
probabilit associe % lvnement 'X ( a) est nulle, car ilest impossible dobserver eactement cette valeur.*n considre alors la probabilit que la variable alatoireX
prenne des valeurs comprises dans un intervalle +a, b tel
que P-aXb/.!orsque cet intervalle tend vers 0, la valeur prise parXtend alors vers une fonction que lon appelle fonctiondensit de probabilit ou densit de probabilit
http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/stats/chap3/c3p2/c3p2.htmlhttp://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/stats/chap3/c3p2/c3p2.html -
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*n appelle densit de probabilit toute application
continue :Telle que :
(P1) x R f (x) 0
(P2) f (x) dx= 1 (en supposant que f (x)dx e!"ste
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##
I.c. !a $onction de rpartition$
!a fonction de rpartition $-/ et la fonctiondensit de probabilitf-x/ est la suivante :
1 t 2Fx( t )=P-X
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%%
I.d. Esprance mat&matique et la variance :
1. Esprance mathmatique E(X)
Si X est une variable alatoire absolumentcontinuede densit f., on appelle esprance de X, le rel(X), dfini par !
E(X) ! "#
$#x %(x) &x
2.Variance V(x)
Si X est une variable alatoire continue donne par sadensit de probabilit alors la variance de X est le nombre relpositif tel "ue !
#(X) $ % &'&
(x' (X))f (x)dx $%4"4xf (x) dx ' (X)*
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&&
!e"ple
+a vie utile dune certaine composante dune pice
lectroni"ue est dcrite par le densit de probabilit suivante!
o- x est exprim en centaines deures. /'Prouver "ue lon a bien une fonction de densit0 '1onner la reprsentation 2rapi"ue de cette fonction0
3'4alculer ! P(x )0 P(x 5 6) et P ( x 6). 6'4alculer (x) et #(x). 7'1terminer la fonction de rpartition$-/.
=
ailleurs0
5067/-
xx
xf
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''
2ponse :
a) a on*t"on a une +ens"t, +e
P-o.a."/"t,
*) P (!2)=
P(!4)=
P (2 ! 4) =
+) E(!)=
=5
0
6
67
dxx
685
85
/0-/5-85
5
0
9
===
FF
x
85
:/0-/9-
8567/-
9
0
99
0
9
0
==
== FF
xdx
xdxxf
;
"/ aut que$
++
=++=
6 9
6 96/-/-/-6/- dxxfdxxfdxxfdxxf
==9
6
9
6
66/- dx8xdxxf
69
86
9
6
9
9+/6-/9-+6
9+
99
9
6
9
==== 88FF8x
8
Do k = 2/3
Exemple 2:
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1212
++
++==
6 9
6 9
/-/-/-/-/- dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx
[ ]960/-96/- == xsixfetxsi8xxfcar
;
6:
8
6
8
7
8
9
88
9
8
9
8
9/-
9
89
6
99
6
=
=
=== xdxxdxxxx
9. ? @alcul de la moyenne E-/
Or k = 2/3
=0
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1313
99
6
:99
6
9
;
6:
:8
9
;
6:
8
9/-
=
= x
xxx#
9::
;
6:
:
6
:
9
8
9/-
=x#
DoA B-/ ( 9C8+65C 6C "+6C;9(
-80C69/ -6C;/9(0,89=
9. ? @alcul de la variance B-/
On sait que V(x) = E(x)2 [E(x)]2, par consquent on peut
crire:
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36 on*t"on +e -,pa-t"t"on (!)
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1#1#
Reprsentation rap!ique "e la #onction "e rpartition
si x 2 : %(x) = $
0
5/12
1
1 3/2 2 X
F(x)
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1%1%
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1&1&
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