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! L’attrito
! Tensione e pulegge
! Molle e legge di Hooke
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Le 3 leggi della dinamica 1. Un oggetto non cambia il proprio stato (quiete o moto
rettilineo uniforme) finché su di esso non agiscono forze con risultante diversa da 0
2. La risultante delle forze , agendo su un corpo di massa m, fornisce allo stesso un’accelerazione avente la sua stessa direzione ed il suo stesso verso, intensità direttamente proporzionale alla forza ed inversamente proporzionale alla massa del corpo.
a∑F
3. Durante l’interazione tra due corpi 1 e 2, se il corpo 1 esercita una forza (azione) sul corpo 2, quest’ ultimo reagisce esercitando sul corpo 1 una forza (reazione) uguale in direzione e modulo alla forza subita, ma di verso opposto.
F∑ = ma
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Applicazioni delle leggi di Newton ! il mondo reale
Attrito
Corde e tensione =
Una frattura in trazione
Molle
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L’attrito
Una cassa su una superficie “liscia”
Le irregolarità della superficie sono la causa dell’attrito
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L’attrito dinamico fk Tiro un oggetto con velocità costante e
con il dinamometro misuro la forza F che esercito
F∑ = ma
0 a x =
0 a y = L’oggetto non si stacca dal piano Velocità costante ! moto rettilineo uniforme Condizioni a
contorno
x
y
A S
S I
0 f F k =+
Asse x
0 N w =+Asse y
0 f - F k =
0 w- N =
kf F=mg N =
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L’attrito dinamico fk Tiro un oggetto con velocità costante e con il dinamometro
misuro la forza che esercito ! 2 casi (w e 2w)
0 f F k =+
0 f - F k =
kf F=
k2f 2F=
Se raddoppio w, ovvero m ! 2m
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L’attrito dinamico fk La forza di attrito dinamico:
fk = µkN
• Si oppone sempre al moto
• Ha modulo proporzionale alla forza normale alla superficie sulla quale scorre l’oggetto
• La costante di proporzionalità adimensionale è µk, coefficiente di attrito dinamico
• E’ indipendente dalla velocità di scorrimento
• E’ indipendente dall’area di contatto
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L’attrito statico fs
Tutto fermo
F1 è piccola, il blocco non
si muove
F2 è piccola, il blocco non
si muove
F è abbastanza grande, il blocco si muove
con v costante fs
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L’attrito statico fs La forza di attrito statico:
fs, max = µsN• Si oppone sempre al moto
• Ha modulo proporzionale alla forza normale alla
superficie sulla quale scorre l’oggetto
• La costante di proporzionalità è µs,
coefficiente di attrito statico
• E’ indipendente dall’area di contatto
• Può assumere valori tali per cui 0 < fs < µsN
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Attrito statico e attrito dinamico
Materiali µk! µs, max Gomma su
cemento asciutto 0.80 0.90
Acciaio su acciaio 0.57 0.74
Gomma su Cemento bagnato
0.25 0.30
Sci/Snowboard sciolinati sulla neve
0.05 0.10
Teflon su Teflon 0.04 0.04
1. Attrito statico
2. Attenzione a quando piove
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Esercizio Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile sul quale è posta una cassa di m = 95.0 kg. La cassa inizia a scivolare per un angolo di inclinazione θ = 23.2o.
1. Calcolare µs e N
x
y
w cosθ
w senθ
w
θ!
0 f w N s =++
0 Nµ - senθ w s =
x
y
θ!
Ν!
w
fs
Asse x
Asse y
0.432 tgθ cosθ mgsenθ mg
µs ===
0 cosθ w- N = N 856cos23.2)ms (9.81kg) (95.0N o-2 =⋅⋅=
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Esercizio Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile sul quale è
posta una cassa di m = 95.0 kg. La cassa inizia a scivolare per un angolo
di inclinazione θ = 23.2o.
2. Se µk = 0.35, con quale accelerazione scende verso terra ?
x
y
w cosθ
w senθ
w
θ!
am f w N k
=++
ma Nµ - senθ w k =
0 cosθ w- N =
Asse x
Asse y
x
y
θ!
Ν!
w
fk
a
N 856cos23.2)ms (9.81kg) (95.0N o-2 =⋅⋅=
ms 0.690.32)-)(0.39ms (9.8m
cosθ mgµ - senθ mga 2-2-k ===
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! L’attrito
! Tensione e pulegge
! Molle e legge di Hooke
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Tensione e pulegge In ogni punto, la tensione vale T
" T1 = mcassag " T2 = mcassa g + ½ mfune g " T3 = mcassa g + mfune g
" Approssimazione: mfune = 0
Se il peso della fune non è trascurabile, T varia:
Con una puleggia, riesco a cambiare direzione a T. Se la corda e la puleggia sono ideali (m=0), |T| è costante
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Mettiamo in trazione una gamba rotta Un meccanismo di trazione, che impiega tre pulegge, è applicato
a una gamba rotta. Trovare il valore della massa m se la forza esercitata sul piede è di 165 N e θ = 40o.
x
y
T
T cosθ θ
T se
nθ
T se
nθ
T cosθ θ
T
T
T
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Mettiamo in trazione una gamba rotta
x
y
T
T cosθ θ
T se
nθ
T se
nθ
T cosθ θ
T
Forze che agiscono sul piede Asse y 0 senθ T - senθ T =
TRAZIONE N 165 cosθ 2mg =
Asse x cosθ 2T cosθ T cosθ T =+
kg 10.9 cosθ 2g
N 165 m ==
mg T =Condizioni a contorno
Puleggia non cambia il modulo della Tensione
Un meccanismo di trazione, che impiega tre pulegge, è applicato a una gamba rotta. Trovare il valore della massa m se la forza esercitata sul piede è di 165 N e θ = 40o.
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! L’attrito
! Tensione e pulegge
! Molle e legge di Hooke
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F forza esercitata dalla molla
Le molle e la legge di Hooke
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Le molle e la legge di Hooke
! Una molla allungata o compressa di una quantità x rispetto alla sua lunghezza di equilibrio esercita una forza data da
F = - k x Legge di Hooke
" Una molla ideale è priva di massa e ubbidisce esattamente alla legge di Hooke
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Esercizio
Una molla lunga 8 cm (x0) ha una costante elastica k
pari a 160 N/m.
Determinare:
! la lunghezza della molla quando è tirata da una forza di 4 N;
! quale sarebbe l’allungamento x della molla se si agganciasse un oggetto di massa m = 200 g
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22
Esercizio Soluzione
Si ricorda la legge di Hooke
F = - k x
da cui x = F / k (allungamento ! x > 0)
Tenendo presente che la lunghezza finale è data dalla somma della
lunghezza iniziale della molla e dell’allungamento dovuto alla
forza applicata:
x = x0 + ( F / k ) = 0.08 m + (4 N / 160 Nm-1) = 0.105 m = 10.5 cm
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Esercizio
Soluzione Aggiungendo ad un’estremità della molla un oggetto di massa pari a 200 g si applica una forza
F = m g
quindi l’allungamento della molla risulta
x = F / k = mg / k
x = (0.2 kg 9.8 N kg-1) / 160 N m-1 = 0.012 m = 1.2 cm
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24
Problema n. 27 , pag. M185 Walker Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.
θ!
1
2
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25
Problema da svolgere a casa n. 27 , pag. M185 Walker Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.
θ!
1
2 x
y
a
a
T T
m1g
m2g
N
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26
Soluzione n. 27 , pag. M185 Walker Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.
(1)x θ cos a m θ cos T θsen N- 1=+
(2)y a m - g m - T 22 =
(1)y θsen a m θsen T g m - θ cos N 11 =+
2-
21
12 ms 0.92 m m
) θsen m - (m g a =
+=
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27
Esempio
0 F =∑
0 T- T - T 112 =
2mg 2T T 12 ==
0 w- T1 =
mg T1 =
Uso di una carrucola per sollevare un secchio d’acqua da un pozzo
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Esercizio Problema: Un blocco di massa m1=20.0 kg scivola su un piano privo di attrito
ed è collegato a un filo che passa su una puleggia e tiene sospesa una massa m2=40.0 kg . Calcolare:
1. L’accelerazione delle due masse
x
y
a
T
Blocco m1
x
y
a
T
Blocco m2
m2g
Condizioni a contorno T e a sono uguali per
entrambi i blocchi
2--2
21
2 ms 6.54 kg) 40.0 kg (20.0
)ms (9.81kg) (40.0 m mgm
a =+
⋅=
+=
am T 1=Blocco m1
am- gm - T 22 =Blocco m2
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Soluzione esercizio Problema: Un blocco di massa m1=20.0 kg scivola su un piano privo di attrito
ed è collegato a un filo che passa su una puleggia e tiene sospesa una massa m2=40.0 kg . Calcolare:
2. La tensione del filo
2--2
21
2 ms 6.54 kg) 40.0 kg (20.0
)ms (9.81kg) (40.0 m mgm
a =+
⋅=
+=
am T 1=Blocco m1
am- gm - T 22 =Blocco m2
N 131 gmm
mm am T
21
211 =
+==