Ley de Ohm

Neira N.,* Cano J.,** and Leon W.***

(Dated: 23 de agosto de 2015)

Resumen

La ley de Ohm asocia tres variables muy importantes en el campo de la electricidad las cuales sonel voltaje la corriente y la resistencia, En esta practica se busco hallar la relacion entre la corrientey el voltaje, la cual es la resistencia en tres deferentes arreglos de resistencias, uno simple el otroen serie y el ultimo en paralelo, dando como resultados discrepancias en estas de 4, 98 %, 8, 87 % y0, 46 % respectivamente. Ademas de determinar la diferencia del valor nominal dado por el codigode colores y el experimental dado por el multımetro el cual dio una discrepancia menor a 2 %.

I. INTRODUCCION

Los conceptos involucrados en la ley de Ohm dado a suimportancia son mostrados con sumo cuidado los cualesson Diferencia de potencial, corriente electrica y resisten-cia.

A. Diferencia de potencial y potencial electrico

Cuando se coloca una carga de prueba qo en un cam-po electrostatico E, la fuerza electrica sobre la carga deprueba es qoE. La fuerza qoE es la suma vectorial delas fuerzas ejercidas sobre qo por las diversas cargas queproducen el campo E. Se deduce ası que la fuerza qoE esconservativa, ya que cada una de las fuerzas gobernadaspor la ley de Coulomb es conservativa. El trabajo reali-zado por la fuerza electrica qoE sobre la carga de prueba,en un desplazamiento infinitesimal ds, esta dado por:

dw = F · ds = qoE · ds (1)

Por definicion, el trabajo efectuado por una fuerza con-servativa es igual al valor negativo del cambio en laenergıa potencial dU ; por consiguiente, se ve que:

dU = −qoE · ds (2)

Para un desplazamiento finito de la carga de prueba en-tre los puntos A y B, el cambio en la energıa potencialesta dado por:

∆U = −qo∫ B

A

E · dx (3)

La integral de la ecuacion 3 se considera a lo largo de latrayectoria por lo cual se mueve qo desde A a B y se llamaintegral de lınea. Como la fuerza qoE es conservativa, esta

* npneirap@unal.edu.co** jorcanoro@unal.edu.co

*** wnestacloro@unal.edu.co

integral no depende de la trayectoria tomada entre A yB.

VB − VA =UB − UA

qo= −

∫ B

A

E · dx (4)

La diferencia de potencial VB−VA, entre los puntos A yB se define como el cambio de energıa potencial divididoentre la carga de prueba qo.

∆U = qo∆V (5)

Como la diferencia de potencial es una medida de laenergıa por unidad de carga, las unidades del potencialen el sistema SI son joule por coulomb, la cual se definecomo una unidad llamada volt(v):

1V = 1J

C(6)

B. Corriente

Figura 1. Cargas en movimiento a traves de un area A. Larapidez del flujo de carga a traves del area se define como lacorriente I, La direccion de la corriente es en la direccion enla cual fluirıan las cargas positivas.

Siempre que cargas electricas del mismo signo estan enmovimiento, se dice que existe una corriente. Suponga-mos que las cargas se mueven perpendicularmente a un

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area superficial A como en la figura 1. Por ejemplo, estaarea podrıa ser la seccion trasversal de un alambre. Lacorriente es la rapidez con la cual fluye la carga a travesde esta superficie. Si ∆Q es la cantidad de carga que pasaa traves de esta area en un tiempo ∆t la corriente pro-medio, Ip, es igual a la razon de la carga en el intervalode tiempo:

Ip =∆Q

∆t(7)

Si la rapidez con la que fluye la carga varia con eltiempo, la corriente tambien varia en el tiempo y se definela corriente instantanea, I, como el limite diferencial dela expresion anterior.

I ≡ dQ

dt(8)

La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde:

1A = 1C

s(9)

Es decir, 1A de corriente equivale a que 1 coulomb decarga que pase a traves de la superficie en 1 segundo.Otra forma para obtener la corriente electrica es:

∆Q = (nA∆x)q (10)

Donde n representa el numero de portadores de cargaen el elemento de volumen esta dado por nA∆x. y q esla carga de cada partıcula. Si los portadores de carga semueven con una velocidad vd, la distancia que se muevenen un tiempo ∆t esta dada por ∆x = vd∆t. Por lo tanto,podemos escribir ∆Q en la forma.

∆Q = (nAvd∆t)q (11)

Si se dividen ambos lados de la ecuacion por ∆t , se veque la corriente en el conductor esta dada por:

I =∆Q

∆t= nqvdA (12)

C. Resistencia y la ley de Ohm

Si se toma como tiempo τ el tiempo promediado en-tre colisiones del electron con los iones atomicos, usan-do la expresion de la aceleracion que provoca un campoelectrico sobre una carga, se obtiene la velocidad de deri-

va ~vd = q ~Emeτ . Sustituyendo en la ecuacion anterior para

la densidad de corriente ~J , se llega a la ley de Ohmmicroscopica o en forma local.

~J =nq2 ~E

meτ = σ ~E (13)

Donde σ es la llamada conductividad electrica que re-

laciona directamente la densidad de corriente ~J en unconductor y el campo electrico aplicado al mismo ~E. Enmateriales lineales u ohmicos esta relacion es lineal y amayor campo electrico aplicado, mayor sera la densidadde corriente generada, con su misma direccion y sentidoya que es una ley vectorial.

A partir de la ley de Ohm en forma local se puede ob-tener la ley de Ohm macroscopica, generalmente usada.Para ello se parte de un conductor metalico de seccion Apor donde circula una corriente I y se toma una longitudl del mismo. Entre los dos extremos del tramo apareceuna diferencia de potencial ∆V = E · l. Por tanto, si sesustituye en la expresion anterior sucede que

∆V =me · lnq2τ

· J =l

σA· I = R · I (14)

Por definicion, la relacion entre la densidad J y la in-tensidad I de la corriente electrica que circula a traves delconductor es J = I

A y R es una propiedad importante delmaterial conductor que se llama resistencia electrica, quees inversamente proporcional a la conductividad del ma-terial y que representa una medida de la oposicion delconductor a la conduccion electrica.

D. Asociacion de resistencias

Figura 2. Arreglos generales de resistencias: a) Serie y b) Pa-ralelo. c) Resistencia equivalente.

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Resistencia equivalente : Se denomina resisten-cia equivalente de una asociacion respecto de dospuntos A y B, a aquella que conectada a la mismadiferencia de potencial, UAB , demanda la misma in-tensidad, I (ver figura 2). Esto significa que ante lasmismas condiciones, la asociacion y su resistenciaequivalente disipan la misma potencia.

Asociacion en serie :Dos o mas resistencias seencuentran conectadas en serie cuando al aplicaral conjunto una diferencia de potencial, todas ellasson recorridas por la misma corriente. Para deter-minar la resistencia equivalente de una asociacionserie imaginaremos que ambas, figuras 2a) y 2c),estan conectadas a la misma diferencia de poten-cial, UAB . Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoffa la asociacion en serie tendremos:

UAB = U1 + U2 + ...+ Un (15)

Aplicando la ley de Ohm:

UAB = IR1+IR2+...+IRn = I(R1+R2+...+Rn) (16)

En la resistencia equivalente:

UAB = IRAB (17)

Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtieneque:

IRAB = I(R1 +R2 + ...+Rn) (18)

Y eliminando la intensidad:

RAB = R1 +R2 + ...+Rn =

n∑k=1

Rk (19)

Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resisten-cias montadas en serie es igual a la sumatoria dedichas resistencias.

Asociacion en paralelo :Dos o mas resistenciasse encuentran en paralelo cuando tienen dos termi-nales comunes de modo que al aplicar al conjuntouna diferencia de potencial, UAB , todas las resis-tencias tienen la misma caıda de tension, UAB .

Para determinar la resistencia equivalente de unaasociacion en paralelo imaginaremos que ambas, fi-guras 2b) y 2c), estan conectadas a la misma dife-rencia de potencial mencionada, UAB , lo que origi-nara una misma demanda de corriente electrica, I.Esta corriente se repartira en la asociacion por cadauna de sus resistencias de acuerdo con la primeraley de Kirchhoff:

I = I1 + I2 + ...+ In (20)

Aplicando la ley de Ohm:

I =UAB

R1+UAB

R2+...+

UAB

Rn= UAB

(1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn

)(21)

En la resistencia equivalente se cumple:

I = UAB/RAB (22)

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la ten-sion UAB :

1

RAB=

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn(23)

De donde:

RAB =1∑n

k=11Rk

(24)

Por lo que la resistencia equivalente de una asocia-cion en paralelo es igual a la inversa de la suma delas inversas de cada una de las resistencias.

II. RESULTADOS Y ANALISIS

Todas las resistencias traen consigo un valor nominalel cual es dado por su codigo de colores, para esta pri-mera parte se halla su valor real experimental con unmultımetro digital YF-3503 y se compara con el nominalpor medio de la discrepancia o exactitud:

%E =p Teorico− Experimental p

Teorico100 % (25)

Los datos para mayor facilidad de entendimiento seagruparon en la Cuadro 1.

(Rnom ± 5 %)Ω (Rexp ± ∆Rexp)Ω %E680 671 ± 1 1,302000 1977 ± 1 1,152700 2670 ± 10 1,1

Cuadro I. Comparacion de la resistencia por codigo de coloresRnom con la resistencia por medio del multımetro Rexp

En el cuadro 1. Podemos notar que el valor nominal noesta muy lejos del valor experimental de la resistencia,aunque todos estos fueron menores al nominal. Seguida-mente se hizo un arreglo en serie, con las dos primerasresistencias de R1 = (671 ± 1)Ω y R2 = (1977 ± 1)Ω elcual por medio de la ecuacion 19. Tenemos:

Reqit = R1 +R2 = (2648 ± 2)Ω (26)

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Su respectivo error se hallo por derivadas parciales, elmedido con el multımetro fue de:

Reqiexp = (2640 ± 10)Ω (27)

Luego su discrepancia fue de:

%E = 0, 3 % (28)

Lo que quiere decir que la ecuacion 19. Modela bien elarreglo en serie. Por ultimo para esta parte se hizo lomismo para un arreglo en paralelo el cual se modela conla ecuacion 24.

Reqit = (500, 9 ± 0, 2)Ω (29)

El medido con el multımetro fue de:

Reqiexp = (501 ± 1)Ω (30)

Luego su discrepancia fue de:

%E = 0, 008 % (31)

Por lo tanto podemos modelar el arreglo en paralelo conla ecuacion 24.para la segunda parte del laboratorio se analizo la leyde Ohm para diferentes arreglos el primero simple, luegoen serie y por ultimo en paralelo con dos resistencias pe-quenas, dado que para una fuente de alimentacion PKT-6150 el voltaje no puede superar los 30v y la corriente2, 5A por ende:

A. resistencia simple

Figura 3. Montaje experimental, la resistencia utilizada fue deR1 = (22, 7 ± 0, 1)Ω el amperımetro y voltımetro utilizadosson dos multımetros digital YF-3503

El montaje simple se trata de un circuito formado pordos componentes una fuente y una resistencia, luego sepaso a medir la corriente de salida y el voltaje en la resis-tencia deR1 = (22, 7±0, 1)Ω Figura 3. Los datos tomadosfueron registrados en el Cuadro 2.

El en analisis grafico Figura 4.se utilizo la aproxima-cion lineal Y = ax+ b donde:

r = 0, 999 (32)

(I ± 0, 01)A (V ± 0, 01)v0,06 1,440,09 2,000,13 3,010,18 3,950,23 4,990,27 5,920,32 6,930,37 7,940,41 8,860,45 9,830,55 12,09

Cuadro II. Diferentes diferencias de potencial para valoresdistintos de la corriente para el arreglo simple.

b± ∆b = (0, 086 ± 0, 006)Ω (33)

a± ∆a = (21, 57 ± 0, 02)Ω (34)

Como se puede notar el intercepto b es casi nulo noes nulo dada las condiciones externas y el tiempo de usode la resistencias, aquello era lo esperado dado la formade la ley de Ohm ecuacion 14. La pendiente es el valorexperimental de la resistencia Rexp = (21, 57 ± 0, 02)Ωla cual al compararla por medio de la ecuacion 25 de ladiscrepancia con el valor esperado de la resistencia deR1 = (22, 7 ± 0, 1)Ω tenemos :

%E = 4, 98 % (35)

Este valor puede ser relativamente alto para el tipo deexperimento dado las pequenas oscilaciones del valor enel voltaje y la corriente, pero esta entre los lımites de loaceptable.Dado el coeficiente de correlacion de Pearson r = 0, 999que significa una correlacion directamente proporcionalentre las variables tal como predice la teorıa.

B. resistencias en serie

El montaje en serie se trata de un circuito formado portres componentes una fuente y dos resistencias dispuestascomo en la figura 5. , luego se paso a medir la corriente desalida y el voltaje en la resistencia equivalente de Reqit =(34, 3 ± 0, 2)Ω. Los datos tomados fueron registrados enel Cuadro 3.

El en analisis grafico Figura 6.se utilizo la aproxima-cion lineal Y = ax+ b donde:

r = 0, 999 (36)

b± ∆b = (0, 218 ± 0, 006)Ω (37)

a± ∆a = (31, 44 ± 0, 03)Ω (38)

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Figura 4. Aproximacion lineal por el metodo de mınimos cua-drados de I vs V

Figura 5. Montaje experimental, las resistencias utilizadasfueron de R1 = (22, 7 ± 0, 1)Ω y R2 = (11, 6 ± 0, 1)Ω esdecir una resistencia equivalente (ecuacion 19.) de Reqit =(34, 3 ± 0, 2)Ω .

El intercepto b es casi nulo, semejante a lo aprecia-do con el circuito simple. La pendiente es el valor ex-perimental de la resistencia Rexp = (31, 44 ± 0, 03)Ω lacual al compararla por medio de la ecuacion 25. De ladiscrepancia con el valor esperado de la resistencia deRequt = 34, 3 ± 0, 2)Ω tenemos :

%E = 8, 87 % (39)

Esta discrepancia puede estar dado por el tipo de cableutilizado un banana-banana y no uno caiman-caiman elcual tiene mejor agarre. Pero esta entre los lımites de loaceptable.El coeficiente de correlacion de Pearson r = 0, 999 quesignifica una correlacion directamente proporcional entrelas variables tal como predice la teorıa.

(I ± 0, 01)A (V ± 0, 01)v0,02 0,950,06 2,020,09 3,100,12 4,030,16 5,150,19 6,160,24 7,680,27 8,750,33 10,650,40 12,82

Cuadro III. Diferentes diferencias de potencial para valoresdistintos de la corriente para el arreglo en serie

Figura 6. Aproximacion lineal por el metodo de mınimos cua-drados de I vs V en serie

C. resistencias en paralelo

El montaje en paralelo se trata de un circuito formadopor tres componentes una fuente y dos resistenciasdispuestos como en la figura 7., luego se paso a medirla corriente de salida y el voltaje en la resistenciaequivalente de Reqit = c. Los datos tomados fueronregistrados en el Cuadro 4.

El en analisis grafico Figura 8.se utilizo la aproxima-cion lineal Y = ax+ b donde:

r = 0, 999 (40)

b± ∆b = (0, 030 ± 0, 004)kΩ (41)

a± ∆a = (1, 940 ± 0, 001)kΩ (42)

El intercepto b es casi nulo, semejante a lo apreciadocon el circuito simple. La pendiente es el valor experi-mental de la resistencia Rexp = (1, 940 ± 0, 001)kΩ la

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Figura 7. Aproximacion lineal por el metodo de mınimos cua-drados de I vs V en paralelo

Figura 8. Montaje experimental, las resistencias utilizadasfueron de R3 = (3, 290± 0, 001)kΩ y R4 = (4, 680± 0, 001)kΩes decir una resistencia equivalente (ecuacion 24.) de Reqit =(1, 931 ± 0, 001)kΩ .

cual al compararla por medio de la ecuacion 25. De ladiscrepancia con el valor esperado de la resistencia deRequt = (1, 931 ± 0, 001)kΩ tenemos :

%E = 0, 46 % (43)

Es la discrepancia esperada dado que se cambiaron lasresistencias por unas relativamente nuevas, los cables porcaiman-caiman asegurando un mejor agarre para la tomade los datos.

El coeficiente de correlacion de Pearson r = 0, 999 quesignifica una correlacion directamente proporcional entrelas variables que es exactamente como sucedio en los doscasos anteriores y lo esperado por la teorıa de la ley deOhm ecuacion 14.

(I ± 0, 01)mA (V ± 0, 01)v0,01 0,020,04 0,070,10 0,211,00 2,002,00 4,003,00 6,004,00 7,805,80 11,406,70 13,008,70 17,00

Cuadro IV. Diferentes diferencias de potencial para valoresdistintos de la corriente para el arreglo en paralelo

III. CONCLUSIONES

Se determino que el valor nominal dado por elcodigo de colores de una resistencia al ser compa-rado con el valor directamente calculado con unmultımetro digital YF-3503, son muy cercanos estocon base en que su discrepancia no supera el 2 %.

Se Concluyo que las resistencias en serie y en pa-ralelo actuan como una sola resistencia equivalentesiendo esta calculada por las ecuaciones 19. Y 24.muy similares a las experimentales con discrepan-cias del 0, 3 % a 8, 87 % que fue la mas alta.

Se hallo que el modelo teorico de la ley de ohmecuacion 14. Se ajusta al modelo experimental dadopor el metodo de mınimos cuadrados esto con uncoeficiente de correlacion casi perfecto en todos loscasos r = 0, 999.

IV. BIBLIOGRAFIA

Sadiku M., Alexander C. (2006). Fundamentos deCircuitos Electricos, Tercera edicion. Mexico D.F.,Mexico: McGraw-Hill.

Serway R., jewett J. (2009). Fısica. Para Ciencias eIngenieria, Septima edicion. Mexico D.F., Mexico:Cengage Learning.