lab - tratamiento de datos experimentales
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7/28/2019 LAB - Tratamiento de Datos Experimentales
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Tema:
TRATAMIENTO DE DATOS
EXPERIMENTALES
Curso :Laboratorio de Fsica I
Profesor : Lic. Malco Reyes Sifuentes
Alumnos : Cdigo :
Horario : Jueves
24 pm
Ciudad Universitaria, setiembre del 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR
DE SAN MARCOS
(Universidad del Per, Decana de Amrica)
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LABORATORIO DE FISICA I
LABORATORIO 2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Pgina 2
TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES
I. OBJETIVOS1. Obtener grficas de los datos experimentales en tablas.2. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.3. Obtener graficas en papel milimetrado, semilogartmico y logartmico.4. Hacer el uso del mtodo de mnimos cuadrados para una mejor
representacin de un conjunto de N puntos.5. Conocer el mtodo de aproximacin de pares y hacer uso del mismo.
II. EXPERIMENTO
A. MODELO FISICO
Los dados obtenidos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Estas tablas nos informan
acerca de relaciones entre una de ellas llamada variable independiente y otra llamada variable
dependiente. Estos valores pueden seguir o no una ley, si lo hacen, se podr expresar mediante una
ecuacin matemtica. Una alternativa para establecer dichas relaciones s hacer representaciones
grficas lineales (rectas), para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representan
las leyes que gobiernan el fenmeno.
Para hallar estas ecuaciones o frmulas experimentales se hace lo siguiente:
a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la tabla.
b) Se compara la distribucin de puntos obtenida con curvas conocidas
c) Si se logra identificar la forma de la distribucin de los puntos, el siguiente paso es realizar un
ajuste de curvas correspondientes mediante la tcnica de mnimos cuadrados:
Mtodo de Mnimos Cuadrados:
De la distribucin lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logartmico o semilogaritmico se
calcula la pendiente m y la ordenada b. El mtodo de ajusta ms adecuado para una distribucin lineales la tcnica de mtodos cuadrados. Para aplicar este mtodo primero se construye la tabla:
Xi Yi Xi Yi Xi
X1 Y1 X1Y1 X1
X2 Y2 X2Y2 X22
Xp Yp XpYp Xp2
Xi Yi Xi Yi Xi2
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LABORATORIO DE FISICA I
LABORATORIO 2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Pgina 3
Luego se calculan la pendiente y la ordenada en el origen
m =pXi Yi - Xi Yi
; b =Xi2 Yi - Xi XiYi
pXi2 - (Xi )2
p Xi2 - (Xi)2
Donde p es el nmero de mediciones.
Luego, la frmula experimental resultante ser: Y = mx + b
Una vez ajustada la distribucin lineal, se procede a hacer los clculos a fin de encontrar la frmula
experimental buscada. Hay que mencionar que en los casos de las distribuciones lineales en papeles
logartmico y semilogartmico las frmulas experimentales son
Y = bxm.......................................................Se grafica en papel logartmico
Y = n 10mx
, Y = be2.303 mx
.........................Se grafica en papel semilogartmico
Donde 10 = e2.303
Dada que el ajuste lineal es por el mtodo de los mnimos cuadrados, la Tabla se convierte en
logartmica y semilogartmica, cuidando de colocar los valores con un mnimo de 4 decimales de
redondeo en cada columna. Hay que observar que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:
Log Y = m Log x + Log b , y Log Y = mx + Log b
La ordenada en el origen b obtenida por la frmula ser b que corresponde a Log b, por lo que b se
calcula como antilogartmo de b. As:
b = Antilog b
En caso de no ser necesario el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribucin lineal donde el
valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongacin de la recta con el eje
vertical.
El modelo de ajuste que se utiliza es lineal, esto significa que la ecuacin que se busca tiene la forma
de una recta cuya ecuacin es: Y = mx + b. Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son
constantes a determinar. Pero hay que mencionar que este ajuste o determinacin ahora se puede
automatizar mediante programas de cmputo que facilitan el trabajo,
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LABORATORIO DE FISICA I
LABORATORIO 2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Pgina 4
Otro mtodo que se utiliza es el mtodo de aproximacin de pares.
Mtodo de Aproximacin de pares de puntos
Para utilizar este mtodo debemos tener presente las siguientes consideraciones:
a) Se aplica a grficas donde los puntos del eje horizontal estn igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en 2 grupos iguales. Un grupo para valores bajos de Y, y otro para
valores altos de Y.
c) A continuacin se aparean los puntos unos de cada grupo
d) Luego se calcula la diferencia de los valores de Y para cada par de puntos
e) A continuacin se calcula el valor medio de las diferencias Y.
f) Por la primera consideracin se sabe que la distancia X entre cada par de puntos es la
misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada ser:
m = Y
X
g) Se determina el valor medio de X y el valor medio de Y.
h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (X, Y ) con una pendiente igual a m
entonces la ecuacin de la recta ser:
Y = mx + (Y - mX)
Grficas en Papel Logartmico
El papel logartmico es construido a partir de la superposicin de 2 escalas logartmicas en forma
perpendicular. Se utiliza para obtener rpidamente el valor de n: y el valor de c. Sea la funcin:
Y = Cxn
Si se toman logaritmos a ambos lados en esta relacin, resulta:
Log Y = n Log X + Log C
Vemos que al graficar Log Y en funcin de Log X resulta una lnea recta que tiene una pendiente igual
a n y su interseccin con el eje vertical igual a Log C. Como a veces resulta laborioso obtener los
logaritmos de los nmeros de la tabulacin, se puede eliminar este trabajo utilizando el papel
logartmico. Es conveniente advertir que el papel logartmico da la escala en que se dividen los ejes X
e Y, por lo cual no es vlido alterarla como cuando se usa una escala lineal.
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B. DISEO
Papel logartmico:
Papel semilogartmico:
C. Materiales
Tomamos un papel milimetrado y trabajamos el punto4.1 (aplicaciones) de acuerdo alas tablas 1, 2 y 3. Para ellos requerimos materiales de trabajo en este caso son:
6 Hojas de papel milimetradas 2 Hojas de papel logartmicas 1 Hojas de papel semilogartmico Calculadora cientfica
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D. ANALISIS
4.1 En la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente elctrica i conducida por un hiloconductor de nicrn, y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.
TABLA 1
I V(I)
0.5 2.18
1.0 4.36
2.0 8.72
4.0 17.44
4.2 La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depsito con agua y lasmedidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros (D).
TABLA 2
h (cm.) 30 20 10 4 1
d (cm.) Tiempo de vaciado t(s)
1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5
2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.2
3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7
5.0 6.8 5.3 3.9 2.2 1.5
7.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8
4.3 La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radn. El dacero se detect una desintegracin de 4,3 x 1018 ncleos.
TABLA 3
T(das)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17
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E. APLICACIONES
1. Grafique las siguientes distribuciones:
De la tabla 1:
a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V v.s. i.
De la tabla 2:
b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D para cada una de las alturas.
y = 4.36x + 4E-15
R2
= 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 1 2 3 4 5
Intensidad de corriente
Voltaje
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8
h=30
h=20
h=10
h=4
h=1
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c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h para cada dimetro.
d) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. D para cada una de las alturas.
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e) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. h para cada dimetro.
f) Haga el siguiente cambio de variables: z= 1/D2 y grafique t =t(z) en papel
milimetrado.
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De la Tabla 3:
g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.
h) En una hoja de papel semilogartmico grafique A vs. T.
2. Hallar las frmulas experimentales:
a) Obtenga las frmulas experimentales usando el mtodo de regresin lineal para lasgrficas en los casos a, d, e y f.
Al analizar la grafica de la Tabla 1 se nota que es una recta, por lo tanto planteo para
hacer mis ajustes una recta y=mx+b
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80 100 120
A vs. T
A vs. T
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ix iy ix iy ix2
0.5 2.18 1.09 0.25
1.0 4.36 4.36 1.0
2.0 8.72 17.34 4.0
4.0 17.44 69.76 16.0
5.7ix 70.32iy 65.92ii yx 25.212 ix
Al analizar la Tabla 2 obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi ecuacinde la recta.
36.45.725.214
70.3265.765.9242
m
0
5.725.214
65.925.770.3225.212
b
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
V(I)=4.36I
Al analizar la grafica de la Tabla 2 se nota que es una funcin exponencial t (d) por lotanto planteo para hacer mis ajustes una funcin igual a:
y=kxn
Ahora analizare para el caso en el que h=1:
Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armar mi funcinexponencial.
82481.149829.255197.15
66982.249829.277984.052
nm
90901.2744574.149829.255197.15
77984.049829.266982.255197.1log
2
kk
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
82481.190901.27 xy
ixT iyD ixlog iylog ii yx loglog ix2log
1.5 13.5 0.17609 1.13033 0.19903 0.03100
2.0 7.8 0.30102 0.89209 0.26853 0.09061
3.0 3.7 0.47712 0.56820 0.27109 0.22764
5.0 1.5 0.69897 0.17609 0.12308 0.48855
7.0 0.8 0.84509 -0.09691 -0.08189 0.71417
total 2.49829 2.66982 0.77984 1.55197
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xy
xnky
xnky
xky
kxy
kxy
n
n
n
82481.144574.1
logloglog
logloglog
loglog
Ahora analizare para el caso en el que h=4:
Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi funcinexponencial.
94912.1
49829.255197.15
96401.32.498291.388745
2
n
43844.5876670.149829.255197.15
38874.149829.296401.355197.1log
2
kk
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
94912.143844.58 xy
xy
xnky
xnky
xky
kxy
kxy
n
n
n
94912.176670.1
logloglog
logloglog
loglog
ix iy ixlog iylog ii yx loglog ix2log
1.5 26.7 0.17609 1.42651 0.25119 0.03100
2.0 15 0.30102 1.17609 0.35402 0.09061
3.0 6.8 0.47712 0.83250 0.39720 0.22764
5.0 2.6 0.69897 0.41497 0.29005 0.48855
7.0 1.3 0.84509 0.11394 0.09628 0.71417
total 2.49829 3.96401 1.38874 1.55197
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Para h=10 cm. de donde se obtendr esta funcin:
40987.049829.255197.15
96401.32.498291.8561852
n
66948.9497621.149829.255197.15
85618.149829.292146.455197.1log
2
kk
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
40987.066948.94 xy
xy
xnky
xnky
xkykxy
kxy
n
n
n
40987.097621.1
logloglog
logloglogloglog
Para h=20 cm. de donde se obtendr esta funcin:
01419.2
49829.255197.15
63385.52.498292.2033352
n
ix iy ixlog iylog ii yx loglog ix2log
1.5 43 0.17609 1.63346 0.28763 0.03100
2.0 23.7 0.30102 1.37474 0.41382 0.09061
3.0 10.5 0.47712 1.02118 0.48722 0.22764
5.0 3.9 0.69897 0.59106 0.41313 0.48855
7.0 2 0.84509 0.30102 0.25438 0.71417
total 2.49829 4.92146 1.85618 1.55197
i
x i
y i
xlog i
ylog ii
yx loglog i
x2log
1.5 59.9 0.17609 1.77742 0.31298 0.03100
2.0 33.7 0.30102 1.52762 0.45984 0.09061
3.0 14.9 0.47712 1.17318 0.55964 0.22764
5.0 5.3 0.69897 0.72417 0.50624 0.48855
7.0 2.7 0.84509 0.43136 0.36493 0.71417
total 2.49829 5.63385 2.20333 1.55197
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88654.13513318.249829.255197.15
20333.249829.263385.555197.1log
2
kk
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
01419.288654.135 xy
xy
xnky
xnky
xky
kxy
kxy
n
n
n
01419.213318.2
logloglog
logloglog
loglog
Para h=30 cm. de donde se obtendr esta funcin:
01463.249829.255197.15
08066.62.498292.4264552
n
01518.16722276.249829.255197.15
42645.249829.208066.655197.1log 2
kk
De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:
01463.201518.167 xy
ix iy ixlog iylog ii yx loglog ix2log
1.5 73 0.17609 1.86332 0.32811 0.03100
2.0 41.2 0.30102 1.61489 0.48611 0.09061
3.0 18.4 0.47712 1.26481 0.60346 0.22764
5.0 6.8 0.69897 0.83250 0.58189 0.48855
7.0 3.2 0.84509 0.50514 0.42688 0.71417
total 2.49829 6.08066 2.42645 1.55197
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xy
xnky
xnky
xky
kxy
kxy
n
n
n
01463.222276.2
logloglog
logloglog
loglog
Para 2.F se necesita hacer una nueva Tabla:
t (z) z=1/d2 d13.5 0.4444 1.5
7.8 0.25 2.0
3.7 0.11111 3.0
1.5 0.04 5.0
0.8 0.02041 7.0
ix iy ii yx 2
ix
0.4444 13.5 5.9994 0.19749
0.25 7.8 1.95 0.0625
0.1111 3.7 0.4111 0.0123
0.04 1.5 0.06 0.0016
0.02041 0.8 0.01633 0.00042
86591.0x i 3.27yi 43683.8yx ii 2743.0x2
i
Cuando h = 1:
82920.29
86591.02743.05
3.2786591.043683.852
m
29412.086591.02743.05
43683.886591.03.272743.02
b
2
182920.29
dt
Cuando h=4 la ecuacin resulta ser:
2
184.59
dt
Cuando h=10 la ecuacin resulta ser:
2
181.96
dt
Cuando h=30 la ecuacin resulta ser:
2
181.163
dt
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3. Interpolacin y extrapolacin:
a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn, segn laTabla 2.
diast %A it iAlog ii At log 2
it 0 100 0 2 0 0
1 84 1 1.9243 1.9243 1
2 70 2 1.8451 3.6902 4
3 59 3 1.7706 5.3126 9
4 49 4 1.6902 6.7608 16
5 41 5 1.6128 8.0632 25
6 34 6 1.5315 9.1889 36
7 27 7 1.4314 10.0195 49
8 24 8 1.3102 11.0417 64
9 20 9 1.3010 11.7093 81
10 17 10 1.2304 12.3045 100
55
t i 245
A i 55
t i 7175.17
logA i 150.80
logt i iA 385
t 2i
0779.0
5538511
7175.1755015.80112
n
0003.2
5538511
0150.80557175.17385log
2
k
xA 0779.010069.100(%)
El tiempo de desintegracin del 50% de los ncleos de radon es igual a:
diast
x
8681.3
10069.10050 0779.0
b) Halle los tiempos de vaciado del agua si:
Casos Altura h(cm) Dimetro d(cm) Tiempo t (s)
01 20 4.0 8.54 s
02 40 1.0 190.94 s
03 25 3.5 12.46 s
04 49 1.0 211.48 s
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* Caso 01 : w =
= 0.28 y reemplazando en la ecuacin:
t = 30.2 w + 0.08 = 30.2 (0.28) + 0.08
t = 8.54 s
* Caso 02: w =
= 6.32 y reemplazando en la ecuacin:
t = 30.2 (6.32) + 0.08
t = 190.94 s
* Caso 03: w =
= 0.41 y reemplazando en la ecuacin:
t = 30.2 (0.41) + 0.08
t = 12.46 s
* Caso 04: w =
= 7 y reemplazando en la ecuacin:
t = 30.2 (7) + 0.08
t = 211.48 s
4. Haga
para las alturas y dimetros correspondientes y complete la
tabla:
d(cm) h(cm) t(s) w=h1/2/d2 t(s)
1,5 30 73,0 2,44 73,0
1,5 10 43,0 1,40 43,0
1,5 4 26,7 0,89 26,7
2,0 4 15,0 0,50 15,0
3,0 10 10,5 0,35 10,5
5,0 10 3,9 0,13 3,9
5,0 1 1,5 0,04 1,5
De donde:
i = 5,75 i = 173,6 iYi = 273,83 i2 = 9,09
m = 30,05 ; b = 0,11 => y= mx+ b
t = 30,05 w + 0,11, pero:w = h1/2/d2
La ecuacin experimental ser:
t = t(h ,d) t = 30,05 (w = h1/2/d2) + 0,11
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7/28/2019 LAB - Tratamiento de Datos Experimentales
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LABORATORIO DE FISICA I
LABORATORIO 2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Pgina 18
III. CONCLUSIONES
A travs de las diversas ecuaciones obtenidas con slo datos
experimentales, hemos llegado a la conclusin que con slo un cuadro
que explique el comportamiento de un experimento, se pueden
obtener, mediante mtodos, la ecuacin que describe el
comportamiento de dicho experimento, no solo en los casos que
aparecen en la Tabla sino en casos supuestos que son hallados sin la
necesidad de experimentar otra vez sino haciendo uso de la ecuacin
experimental la cual nos da un valor aproximado que contiene un
mnimo error, el cual es aceptable considerando el tiempo que se
ahorra.