EXPERIMENTO 3. GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓN

I. OBJETIVOS

Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su período independiente de su amplitud angular θ. (θ ≤ 12°)

Determinar la relación entre el período y la longitud ℓ del péndulo. Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

PÉNDULO SIMPLE

Un péndulo simple es un ente ideal constituido por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento.

Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:

Periodo

Se define como el tiempo que se demora en dar una oscilación completa. Para determinar el tiempo se utiliza la siguiente expresión T/N° de osc (tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).

El período de un péndulo es independiente de su amplitud (ángulo menor que 12°). Esto significa que si se tienen dos péndulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es la misma.

El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

III. MATERIALES

IV. DATOS EXPERIMENTALES

k ℓk m Tk1 Tk2 Tk3 Tk4 Tk5 Tk Tk2

1 0,10 0.61 0.62 0.63 0.65 0.59 0.62 0.39

Papel milimetrado

2 0,20 0.91 0.92 0,91 0,90 0,91 0,91 0,83

3 0,30 1.12 1.12 1.12 1.12 1.11 1.12 1.25

4 0,40 1.27 1.27 1.26 1.27 1,28 1.27 1.61

5 0,50 1.43 1.43 1,42 1,42 1,42 1.42 2.02

6 0,60 1.55 1.55 1,56 1,56 1,55 1.55 2.40

7 0,70 1.68 1.68 1,68 1,68 1,67 1.68 2.82

8 0,80 1.79 1.79 1.78 1,79 1,79 1.79 3.20

9 0,90 1.91 1.90 1.90 1.90 1.91 1.90 3.61

10 1,00 2.01 2.01 2.02 2.01 2.01 2.01 4.04

V. CÁLCULOS Y RESULTADOS

Cuando queremos analizar una gráfica debemos procurar que la ecuación de esta grafica sea de primer grado para no complicar el análisis. Así que tomaremos la gráfica LONGITUD VERSUS PERIODO AL CUADRADO.

Calculando la incertidumbre resulta:

△ f={ 110∑k=110

⦋ lk−f (T k) ⦌2}1 /2

ℓk f(Tk) ⦋ℓk - f(Tk)⦌20.1 0,09 0,00010,2 0,20 00,3 0,31 0.00010,4 0,37 0,00090,5 0,50 00,6 0,60 00,7 0,70 00,8 0,76 0,00160,9 0,87 0,00091,0 1.01 0,0001

△ f=√0,00037

△ f=¿ 0,019

Tenemos la Pendiente de la gráfica que es: 0.2497

Donde : m= g

4 π 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f(x) = 0.24967482187948 x − 0.00352908010680786R² = 0.999758514034986

Grafica de Longitud versus Periodo al cuadrado

Periodo al Cuadrado(s^2)

Long

itud(

m)

Reemplazando la gravedad nos saldría: g=9.86 m

s2

Con la incertidumbre hallada anteriormente aproximando a los decimales de la gravedad hallada. Nos quedaría de la siguiente forma:

g=9.86±0.02

El error porcentual con respecto a valor teórico (g=9.81m/s2) y el experimental seria.

error%=|9.81−9.86|

9.86100%=0.51%

VI. PREGUNTAS

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el período deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la “masa”?Al lanzar la “masa” se le estaría otorgando al péndulo una velocidad inicial lo cual haría que varíe el periodo de las oscilaciones. Además el movimiento ya no sería periódico, sería forzado y la altura máxima que alcanzaría la “masa” sería mayor a la altura inicial respecto al punto más bajo.

2. ¿Depende el período del tamaño que tenga la “masa”? Explique.Cuando se utiliza péndulos de la misma longitud y diferentes masas en un mismo lugar, se demuestra que el período de un péndulo simple es independiente de su masa; sólo depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad.

3. ¿Depende el período del material que constituye la “masa” (p.e.: una pesa de metal, una bola de papel, etc.)?Por definición de péndulo simple, se considera al cuerpo suspendido como una masa puntual por tanto el período no depende del material de que está hecha la “masa”.

4. Supongamos que se mide el período con θ = 5° y con θ = 10°. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el período?Cuando se analiza un péndulo simple, el ángulo que forma la cuerda con la vertical es menor que 12°. Bajo estas condiciones el movimiento que describe la masa es un movimiento oscilatorio en el cual el período es independiente de la amplitud angular, entonces se puede afirmar que con ángulos θ = 5° y θ = 10°, el período sería el mismo.

5. Para determinar el período (duración de una oscilación completa), se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. ¿Por qué no es conveniente medir la duración de una oscilación? ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones?

No es conveniente medir la duración de una oscilación ya que no va a ser preciso el momento de salida y llegada del péndulo, pero si se midiera el tiempo de 50 oscilaciones se reduciría el margen de error.

6. ¿Dependen los coeficientes α, β, γ de la terna de puntos por donde pasa f?Si ya que sólo se toma tres puntos para calcular la ecuación; con otra terna de puntos los valores serían diferentes y se obtendría otra ecuación aunque con una incertidumbre ligeramente diferente.

7. Para determinar α, β, γ se eligieron tres puntos. ¿Por qué no dos? ¿o cuatro?Debido a que para determinar tres incógnitas (variables) se necesitan por lo menos tres ecuaciones, se eligen tres puntos. Dos puntos serían insuficientes y cuatro puntos serían innecesarios.

8. En general, según como elija α, β, γ obtendrá un cierto valor para Δf. ¿Podría Ud. elegir α, β, γ de manera que Δf sea mínima (aunque f no pase por ninguno de los puntos de la función discreta?Sí se podría, probando todas las combinaciones de ternas posibles y obteniendo su media aritmética reduciendo así al mínimo el margen de error.¿Puede elegir α, β, γ de manera que Δf = 0?En un trabajo experimental, siempre habrá factores que alteren de alguna manera los resultados, por tanto se obtendrá una curva inexacta por lo que Δf será diferente de cero.

9. ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente γ de la función g(T)?Se puede afirmar que los coeficientes varían según los puntos tomados. Para obtener una curva más exacta se debe tener más coeficientes.

10. ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros de Δf = 0?El incremento del número de coeficientes determina que el valor de la incertidumbre se aproxime a cero.

11. ¿Opina Ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa?Sí, siempre y cuando la tuerca sea lo suficientemente pesada para tensionar el hilo.

12. ¿Tiene Ud. idea de cuántas oscilaciones puede dar el péndulo empleado con ℓk = 100 cm, antes de detenerse?Supongamos que el movimiento del péndulo disminuye una centésima de segundo por oscilación debido a la fricción del aire sobre el cuerpo. Haciendo los cálculos al reemplazar los datos en la fórmula T = 2π (l/g)½ , se obtiene que el período es igual a 2,005 s.El periodo en n oscilaciones disminuye n/100 s.Al final de la n oscilaciones, el período es T – n/100.

Cuando T – n/100 = 0, n = 200 oscilaciones aproximadamente.

13. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”. ¿Modifica tal rotación el valor del período?Un cuerpo en rotación sí modifica el período porque constantemente estaría alterando la tensión ejercida por la cuerda por lo que no describiría un movimiento oscilatorio.

¿Qué propondría Ud. para eliminar la citada rotación?Para evitar la rotación se podría usar una cuerda de mayor rigidez.

VII. CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES

El periodo del movimiento es independiente de la masa, depende de la longitud del punto del eje al punto en que se sitúa la masa.

Para lograr un movimiento oscilatorio del péndulo la amplitud angular no debe ser mayor a 15°.

El periodo guarda una relación no lineal con respecto al tiempo de oscilación: aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la longitud de la varilla.

El error hallado es muy bajo pues disminuimos los errores aleatorios midiendo 20 oscilaciones, no pudiendo completar todo el experimento debido ala falta de tiempo