labo_de_fisicaii_completo2 (1)

Péndulo físico y teorema de Steiner

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL

Laboratorio de física II

INFORME Nº. 1

PENDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

REALIZADO POR: MESA: D6

Sánchez Moreno Edith Clara

Pérez Yanayaco Rocío

Escobar Soto Frank

PROFESOR:

PERIODO ACADÉMICO: 2012-I

FECHA DE LA PRÁCTICA: 29/03/2012

LIMA- PERÚ

Universidad Nacional de Ingeniería FIQT

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Moglfm2111pendulo_fisico.jpg


PENDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

I. OBJETIVO:

Medir de manera experimental los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

Un péndulo físico o compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

Deducción del periodo

El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′. La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo θ,

actúan sobre él dos fuerzas (mg y N) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo.

Si es IO el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y

llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple .

El periodo de las oscilaciones es:

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos.

Universidad Nacional de Ingeniería FIQT 2

http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple

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El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Materiales utilizados- Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares.- Un soporte de madera con cuchilla. - Dos mordazas simples.- Un cronometro digital.- Una regla milimetrada.

PARTE EXPERIMENTAL:

Procedimiento:

- Ubicamos el centro de masa de la barra suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. - Suspendemos la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y se hace oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (a lo mas 15º), tome nota del tiempo que emplea en 20 oscilaciones y medir también la distancia d (Distancia de C.G al centro de gravedad). - Medir las dimensiones de la barra.

III. CALCULOS Y RESULATDOS

1. Cuadro de datos:

# de hueco d(cm) t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) # de oscil. T(s)

1 50,6 33,92 34.14 33,72 39.93 20 1,9965

2 45,6 32.96 33,09 33,03 33,03 20 1,6515

3 40,6 32,51 33.36 32,43 32,43 20 1,6217

4 35,6 32,24 32,20 32,01 32,15 20 1,6075

5 30,6 31.90 32.01 32,21 32,04 20 1,6020

6 25,6 32,50 32,42 32,22 32,38 20 1,6190

7 20,6 33,56 33,57 33,55 33,56 20 1,6780

8 15,6 17,71 17,90 17,72 17,78 10 1,7780

9 10,6 20,68 20,64 20,41 20,58 10 2,0580

10 5,6 26.90 26.79 26.82 26.84 10 2,6840

Longitud de la barra: 1.099m Ancho de la barra=0.037m

Masa de la barra: 1845.9g Momento de inercia respecto al CG. (IG)= 0.1858 Kgm2

2. Resultados:



a) Gráfica periodo vs longitud

Realizando el ajuste de la curva usando (parábola mínimo cuadrática) se tiene:

xi yi xi yi xi2 xi

2 yi xi3 xi

4

50,6 1,99 100,69 2560,36 4150 129554,22 6555443,3345,6 1,65 75,24 2079,36 3341,25 94818,82 4323738,0140,6 1,62 65,77 1648,36 2592 66923,42 2717090,6935,6 1,61 57,32 1267,36 1960 45118,02 1606201,3730,6 1,60 48,96 936,36 1431 28652,62 876770,0525,6 1,62 41,47 655,36 1000 16777,22 429496,7320,6 1,68 34,61 424,36 664 8741,82 180081,4115,6 1,78 27,77 243,36 400,5 3796,42 59224,0910,6 2,06 21,84 112,36 204 1191,02 12624,775,6 2,68 15,01 31,36 67,25 175,62 983,45

∑ 275,6 17,89 488,67 9958,6 17258 395749.16 16761653,9

F(x) =y =a0 +a1X +a2X2 , n=10

Reemplazando los valores de las sumatorias del cuadro en el sistema:

∑yi = a0n+ a1∑xi +a2∑xi2

∑xiyi = a0∑xi + a1∑xi2 +a2∑xi

3

∑xi2yi = a0∑xi

2 +a2∑xi3+ a1∑xi

4

Se tiene: a0 = 2,9992 a1= - 0,0919 a2=0,0014

Entonces: F(x) = 0,0014 X2 – 0,0919X + 2,9992



0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(x) = 0.00141845454545455 x² − 0.0918904787878788 x + 2.99916031030303

PERIODO (T) vs LONGITUD(d)

Series2Polynomial (Series2)

L(cm)

T(s)

b). Distancia d para la cual el periodo mínimo.

Se sabe que el periodo en un péndulo físico esta dado por:

T=2π √ Imgd

……… (1)

Además por el teorema de Steiner:

……..(2)

Reemplazando (2) en (1), tenemos que:

Derivando con respecto a la longitud d, para hallar el mínimo valor de d

igualaremos a cero:


T=2π √ I G+md2

mgd

I 1=I C .G+md2

dTdd

=2π

(IG

mgd2−1

g)

√ IG

mgd+ d

g

.1

mgd2=0

dmin=√ I g

m

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


Donde b es el ancho de la barra y L el largo de la barra, b = 0.037m y L = 1.099m

Entonces al reemplazar obtendremos que:

l=√ 112 (1.0992+0.0372)l=0.317

c) Comparando los valores de d (teórico y práctico) para el cual T es

mínimo.

Para hallar en la gráfica el valor de d para el cual T es mínimo; se deriva su ecuación

T= 0.0014d2 - 0.0919d + 2.9992

y se iguala a cero.

Es decir: T’ = 0.0028 d- 0.0919=0 d=32.82cm.

Por tanto d = 0.3282m corresponde a T mínimo según la grafica (valor teórico)

y comparando con el valor d=0.317m (valor práctico) se tiene:

%error= (0.317-0.3282)x100/ 0.3282 = - 3.47%

d) hallando el periodo mínimo (para d=0.32m).

Se sabe que:

T=2π √ Imgd

y I 1=I C .G+md2

y reemplazando para d=

0.317m se halla: T = 1.60s

e) Puntos de la grafica con el mismo periodo.

Observando la ecuación de la curva del grafico

T= 0.0014d2 - 0.0919d + 2.9992

y evaluando por ejemplo para T= 1.62s se halla:



Lo que significa que cuando la distancia al centro de gravedad sea d1=

0.42cm o d2= 0.232cm el péndulo oscilara con el mismo periodo e igual a

1.62s.

3. Para hallar el momento de inercia para cada longitud se uso la

siguiente relación:

T=2π √ Imgd

Entonces despejando: Id =(T/2Л)2Mgd

# de hueco d(cm) T2(s2) Id(g.cm2) d2(cm2)

1 50,6 3.980 9237427.2 2560.36

2 45,6 2,73 5710115.9 2079.36

3 40,6 2,63 4897779.4 1648.36

4 35,6 2,58 4212958.1 1267.36

5 30,6 2,57 3607214.7 936.36

6 25,6 2,62 4278275.3 655.36

7 20,6 2,85 2692957.6 424.36

8 15,6 3.16 2261148.7 243.36

9 10,75 4,24 2090700.2 115.56

10 5,85 7,2 1931994.1 34.22

4.-Hacer el grafico I1 vs. L2 , y ajustar por el método de mínimos cuadráticos cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.

Se realiza la grafica l1 vs. L2 , y por el método del ajuste cuadrático se obtiene la ecuación de la gráfica.

L2 I1 I1 x L2*1010 (L 2)2

2560.36 9237427.2 2.36 6555443.3

2079.36 5710115.9 1.19 4323738

1648.36 4897779.4 0.81 2717090.7

1267.36 4212958.1 0.53 1606201.4

936.36 3607214.7 0.34 876770

655.36 4278275.3 0.27 429496.73

424.36 2692957.6 0.11 180081.4

243.36 2261148.7 0.055 59224.09

115.56 2090700.2 0.024 13354.11



34.22 1931994.1 0.0066 1171.01

∑ 9964.66 40920571.2 5.6956 16762570.74

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

8000000

9000000

10000000

Y=2391.88+ 1732542,282

I1 vs. L2

Valores Y

L2(cm2)

I1(gcm2)

y =a0 +a1X

yi = I1

xi = L2

a1 =2391.88; a0=1732542.282

Se obtiene aproximadamente como ecuación de la grafica:

I1 = 2391.88 L2 + 1732542.282

5.- Del grafico anterior y por comparación con la ecuación (14.2) determine IG y M

I1 = 2391.88 L2 + 1732542.282

I1= MxL2+ IG

Por comparación:

IG = 1732542.282 gxcm2

M=2391.88 g


∑yi = a0n+ a1∑xi

∑xiyi = a0∑xi + a1∑xi2


6.-Compare el valor de la IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b, IG = 1/12 x M x (L2+ b2). ¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?

Masa de la barra: 1845.9g Momento de inercia respecto al CG. (IG)= 1858000 gcm2

a. Error en el I G :

(1858000- 1732542.282)/ 1858000De lo cual se obtiene un error de ±6.75%

b. Error en M :

(2391.88 -1845.9)/ 1845.9De donde se obtiene un error del ±29.57%

7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne el número de hueco.

Teniendo en cuenta la ecuación del periodo del péndulo simple:

Pero así mismo el periodo para un péndulo físico es:

Entonces igualando ambas ecuaciones para que se cumpla la equivalencia obtenemos:

En donde: *M es la masa de la barra la cual es 1845.9 gramos.*Il es el momento de inercia respecto del centro de masa.

Para el determinar el momento de inercia respecto del centro de masa lo hacemos tomando un agujero de la barra asignado por el profesor el cual es “3”.

Il = ICM + Md2

* d es distancia del agujero 3 al CM. Il = 0,1858 kg.m2 + 1, 8459kg.(0.406m)2

Il =0.490 kg.m2



Ahora reemplazando en la ecuación:

l =√ 0.490kg .m2

1.8459kg

→ l = 0,515metros

Por lo tanto la longitud del péndulo simple equivalente para el péndulo físico en el agujero asignado es 0,515 metros

8. Demuestre en forma analítica las relaciones: T=2π √ I 1Mgl

y

I 1=IG+M l2.

*Para la demostración de la primera relación partimos con la ayuda de la imagen.Cuando el cuerpo rígido se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta, el péndulo físico oscila en un plano vertical.En el tiempo t, la recta que une O con el centro de gravedad forma el angulo θ con la vertical.El peso del cuerpo origina un momento recuperador

alrededor del eje horizontal que pasa por O, y está dado por:

M=-(mg.Sen θ) l

Siendo h la distancia del centro de gravedad del cuerpo.Teniendo en cuenta que:

M = I . α

I = momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro.

α = d2θdt 2

; aceleración angular

Reemplazando obtenemos:

I.d2θdt 2

= =-(mg.Sen θ) l


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:HarmOs10.png


d2θdt 2

= -(mgl

I) Sen θ

En general, no se puede considerar que el movimiento sea armónico simple, sin embargo para pequeñas oscilaciones Sen θ = θ.Con lo que resulta:

d2θdt 2

= -(mgl

I ) θ ; en donde w2 = mgl

I

Y la ecuación es análoga a la del M.A.S.

d2 xdt2

= -(Km

)x ; en donde w2 = Km

El periodo del péndulo físico será:

T = 2πw

= 2π √ Imgl

……. L.q.q.d.

*Para la demostración de la segunda relación partimos de la ecuación del momento de inercia: ∫r 2CM dm ….. (1)

En donde r es la distancia al eje de rotación.

Luego consideramos que la descomposición de coordenadas relativa al centro de masa es:

...… (2)

Luego reemplazamos (2) en (1) y obtenemos:

∫r 2dm = ∫r . r dm

= ∫(r¿¿c . rc+2r c . h+h .h)dm ¿

= ∫r c . rc dm + ∫2 rc . h dm + ∫ h. h dm

= ICM + 2h ∫r c dm + Mh2

“0”



Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

Por lo tanto:

Ieje = ICM + Mh2 ……. L.q.q.d.

Observación: el centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser

coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del

cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en

el que está inmerso dicho cuerpo

III. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

Se debe tener en cuenta que el ángulo desde el cual se suelta la barra debe ser pequeño (a lo más 15ª) ya que solo así se puede decir que: sen(θ) = θ que es necesario para que cumpla la ecuación diferencial de este movimiento.

Mientras más cantidad de oscilaciones se tome para medir el periodo, este será más próximo a su valor teórico, pero siempre existirá un margen de error ya que depende de la reacción de la persona que toma el tiempo.

La ecuación del periodo de un péndulo físico permite calcular el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje paralelo a cierta distancia del eje que pasa por el centro de gravedad con facilidad sin importar la geometría del cuerpo.

En un péndulo físico, cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.

Los errores obtenidos se deben a que en los cálculos se desprecia el valor de la fuerza de resistencia del aire, además de las aproximaciones que se toman en los cálculos y del error que se comete en la obtención de los datos experimentales.



IV.BIBLIOGRAFÍA

Libros consultados:

- Humberto Leyva N. / FISICA II / Tercera edición – 2006 , Págs. 28-58.

- Marcelo Alonso Edward J. Finn / Addison-Wesley Iberoamericana / Física Volumen I Mecánica -1986/ Págs. 366-371

- Robert Resnick David Halliday /física, parte I /1980 /Págs. 325-327


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