laboratoire d’astrophysique · • en 1859, j. c. maxwell (1831-1879) a établi une formule...
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EPFL - GM 1
Cours de physique généralePhysique II pour étudiants de première année
en section de mathématiques
Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique
8 mai 2009cours de la semaine # 11b
Bienvenue au
Site web du laboratoire et du cours :
http://lastro.epfl.ch
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Un travail écrit : unique test, sans bonus• Date : vendredi 15 mai 2009 (attention : nouvelle date)• Heure : de 08:15 à 10:00• Lieu : dans l’auditoire CE 2
Ceux qui ne veulent pas faire le test mais simplement le considérercomme une série d’exercices vont dans la salle CE1 100
• Simulation des conditions d’examen :– Les données des problèmes à résoudre sont distribuées en début
de séance– Les solutions rédigées sont à rendre au plus tard à la fin de la
séance de 2 heures– Matériel autorisé : papier vierge, crayon/stylo, formulaire
personnel manuscrit (maximum : 2 feuilles A4 double face)– Aucun autre matériel n’est autorisé !– Travail individuel en silence– Aucune interaction autorisée entre les étudiants pendant le test
• Les travaux rendus sont corrigés et notés : échelle de 1(-) à 6(+)
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Surface des états d’un gaz parfait
• Définie dans l’espace à 3 dimensions p, V, T comme le lieu des points qui correspondent à des états d’équilibre du système• Donnée par l’équation d’état pV = nRT ( → paraboloïde hyperbolique )
p
T
droites
p
V
V
T
p hyperboleséquilatères
V1
V2
V1
V2
T4
T3T4
T2
T3T2
isothermes=
Attention :contrairement au gazparfait, tous les gazréels se liquéfient àbasse température
Démo : Modèles pression - volume - température # 430
Fig. (ii.4)
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Thermodynamique
Chapitre (iii)
Théorie cinétique des gaz
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Théorie cinétique des gaz
• Etude d’un gaz au niveau microscopique (molécules) :– interprétation de la pression et de la température à l’échelle non pas
macroscopique, mais microscopique
• Hypothèses (pour un gaz parfait) :– Nombre considérable N de molécules, considérées comme des points
matériels de masse m, de taille négligeable, se déplaçant à différentesvitesses sans direction précise, confinés dans une enceinte de volume V
– En moyenne, les molécules restent très éloignées les unes des autres,i.e. que la distance moyenne entre chacune d’elles est très supérieure àleur diamètre
– Elles obéissent aux lois de la mécanique classique et n’interagissent quelorsqu’elles entrent en collisions. Pas de forces à distance, pas d’énergiepotentielle d’interaction : même si elles exercent de forces d’attractionles unes sur les autres entre les collisions, l’énergie potentielle associéeà ces forces est très faible en comparaison de leur énergie cinétique
– Les collisions entre deux molécules ou entre une molécule et une desparois du contenant sont parfaitement élastiques et de très courtesdurée en comparaison du temps qui s’écoule entre chacune d’elles
– Les mouvements sont désordonnés, distribution isotrope des vitesses,pas de vitesse du centre de masse du gaz
Démo : Appareil pour l’étude de la théorie cinétique des gaz # 167
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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz
• Considérons les molécules contenues dans le cubed’arête l et de surface A.
• La force d’une molécule sur la paroi A est égale autaux de changement de sa quantité de mvt p , selonla deuxième loi de Newton :
F = dp/dt (avec des collisions supposées élastiques)
∆(mv) = mvx - (-mvx) = 2mvx (selon la direction x)
• Entre deux collisions de la molécule avec la paroi A,il s’écoule le temps :
∆t = 2l/vx ∆t << 1 ⇒ nombre de collisions par sec >> 1
• La force moyenne (sur beaucoup de collisions) =(force durant une collision)/(temps entre 2 collisions)
F = ∆(mv) / ∆t = (2mvx)/(2l/vx) = mvx2/l due à 1 molécule
Fig. (iii.1 a)
Fig. (iii.1 b)
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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)
• Le traitement de la composante selon x seulement n’est pas restrictif• Les collisions entre molécules ne changent rien : il y a transfert de quantité
de mouvement p de l’une à l’autre et l’on somme sur un très grand nombre• La force due à toutes les molécules nécessite la somme de toutes les forces
individuelles :
F = (m/l) (vx12 + vx2
2 + vx32 + … + vxN
2)
On cherche la moyenne de la somme des carrés :
vx2 = (vx1
2 + vx22 + … + vxN
2) / N Eq. (iii.1)
d’où : F = (m/l) N vx2
• On a également que : v2 = vx2 + vy
2 + vz2
d’où : v2 = vx2 + vy
2 + vz2
et comme il n’y a pas de direction préférentielle, i.e., isotropie, on a :
vx2 = vy
2 = vz2
d’où : v2 = 3 vx2
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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)
• On remplace dans l’équation de la force nette :
F = (m/l) N (v2/3)
La pression sur la paroi A est donc égale à :
P = F/A = (1/3)(Nmv2)/(lA) avec lA = V = volume ⇒
P = (1/3)(Nmv2)/V Eq. (iii.2)
Après quelques réarrangements, on obtient :
PV = (2/3) N ((1/2)mv2) Eq. (iii.3)
où (1/2)mv2 = énergie cinétique moyenne K des molécules constituant le gaz.Si l’on compare Eq. (iii.3) avec Eq. (ii.1) (PV = NkT) , on voit que :
(2/3) (1/2) mv2 = kT
K = (1/2) mv2 = (3/2) kT Eq. (iii.4) gaz parfait
Pression gazeuse, exprimée en fonction des propriétés microscopiques du gaz,
i.e., de ses molécules
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• Eq. (iii.4) ⇒ l’énergie cinétique moyenne de translation des molécules d’un gaz parfait est directement proportionnelle à sa température Plus la température est grande, plus les vitesses des molécules sont grandes
Eq. (iii.4) fournit la possibilité de calculer la vitesse des molécules.
Les deux Eqs. (iii.1) et (iii.4) sont des quantités utilisant les carrés desvitesses. On peut calculer la racine carrée de la moyenne des vitessesau carré :
vitesse quadratique moyenne Eq. (iii.5)(root mean square velocity)
v = moyenne des vitesses ≠
Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)
!
v2
= vrms
=3kT
m
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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)
• Exemple. Vitesse moyenne et vitesse quadratique moyenne :
Huit particules possèdent les vitesses individuelles suivantes :1,0 , 6,0 , 4,0 , 2,0 , 6,0 , 3,0 , 2,0 , 5,0 m/s.
Calculer : et
= ( 1,0 + 6,0 + 4,0 + 2,0 + 6,0 + 3,0 + 2,0 + 5,0 ) / 8 = 3,6 m/s
= √ {[(1,0)2+(6,0)2+(4,0)2+(2,0)2+(6,0)2+(3,0)2+(2,0)2+(5,0)2]/8} = 4,0 m/s
⇒ ≠
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Théorie cinétique des gaz : calcul de la pression d’un gaz (suite)
• Exemple. Vitesses des molécules d’air Quelle est la vrms des molécules d’air (O2 et N2) à la température de 20 C ?
• On applique Eq. (iii.5) à l’oxygène et à l’azote séparément car elles ont desmasses individuelles différentes. Sachant que 1 u = 1,66 10-27 kg, la massed’une molécule de O2 (masse moléculaire = 32 u) et la masse d’une moléculede N2 (masse moléculaire = 28 u) sont égales à :
m(O2) = 32 × 1,66 10-27 kg = 5,3 10-26 kgm(N2) = 28 × 1,66 10-27 kg = 4,7 10-26 kg
Pour l’oxygène :
Pour l’azote :
• Remarque. Avec T → 0, la physique classique laisse supposer que v → 0. La physiquequantique ⇒ les mvts des molécules ne cessent pas totalement, même au zéro absolu.
!
vrms =3kT
m=
3(1,3810"23J /K)(293K)
5,310"26kg
= 480 ms"1
!
vrms =3kT
m=
3(1,3810"23J /K)(293K)
4,710"26kg
= 510 ms"1
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires
Fig. (iii.2)
• Les molécules dans un gaz possèdent des vitesses aléatoires, donc beaucoupd’entre elles ont des vitesses v < vrms et v > vrms .
• En 1859, J. C. Maxwell (1831-1879) a établi une formule décrivant ladistribution la plus probable des vitesses d’un gaz contenant N molécules.
• Attention :f(v) ne donne pas le nombre de molécules à la vitesse vf(v)dv donne le nombre de molécules avec vitesses entre v et v+dv
avec : m = masse d’une moléculeT = température absoluek = cte de Boltzmann
!
f (v) = 4" Nm
2" kT
#
$ %
&
' (
3 / 2
v2exp )
1
2
mv2
kT
#
$ %
&
' (
une démonstration
ardue⇒ Eq. (iii.6)
distribution maxwellienne des vitesses
maxwellienne ≠ gaussienne
!
" f (v)dv = N0
#
$
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)
• Exemple. Déterminer v et vp
Déterminer les formules exprimant :(a) la vitesse moyenne v
La valeur moyenne d’une quantité = d’où :
Par intégration par parties [f = v2 et dg = v exp(-av2) avec a = (m/(2kT))]
-
!
Niv
i
i
"
Ni
i
"= v
!
v =v f (v)dv
0
"
#f (v)dv
0
"
#=
v f (v)dv0
"
#N
= 4$m
2$ kT
%
& '
(
) *
3 / 2
v3exp +
1
2
mv2
kT
%
& '
(
) * dv
0
"
#
!
v = 4"m
2" kT
#
$ %
&
' (
3 / 2
2k2T2
m2
= 16" 2 m3
(2" kT)3
4k4T4
m4
=8
"
kT
m)1,60
kT
m
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)
• Exemple. Déterminer v et vp
Déterminer les formules exprimant :(b) la vitesse la plus probable vp des molécules dans un gaz parfait
à température T
La vitesse la plus probable se définit comme la vitesse la plus fréquemmentobservée, i.e., celle pour laquelle f(v) atteint sa valeur maximum. Etantdonné df(v)/dv = 0 à ce point maximum, on trouve que :
En résolvant en fonction de v on trouve :
Une autre solution existe pour v=0, mais cela correspond à un minimum etnon un maximum de f(v).
-
!
df (v)
dv= 4"
m
2" kT
#
$ %
&
' (
3 / 2
2v exp )1
2
mv2
kT
#
$ %
&
' ( )2
2
mv3
kTexp )
1
2
mv2
kT
#
$ %
&
' (
*
+ ,
-
. / = 0
!
2v =mv
3
kT" vp =
2kT
m#1,41
kT
m
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)
• Résumé.
Eq. (iii.7a) vitesse la plus probable
Eq. (iii.7b) vitesse moyenne
Eq. (iii.7c) vitesse quadratique moyenne
avec : vp < v < vrms
Fig. (iii.3)
!
vp =2kT
m"1,41
kT
m
!
v =8
"
kT
m#1,60
kT
m
!
vrms
=3kT
m"1,73
kT
m
Ces trois vitesses ne dépendent que d’une seule variable d’état :
la température
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)
• Remarque. Illustration de comment la théoriecinétique des gaz peut expliquer la
présence ou non de réactions chimiques, y compris dans des cellules vivantes, dans des solutions liquides.
Il existe une énergie minimale EA d’activation de la réaction.
Le nombre de molécules possédantune énergie E > EA
augmente très fortement avec la température.
La vitesse de déroulement d’une réaction chimique dépend du nombre de moléculesavec E > EA , dépend de la température.
Cette aile de distribution de particules à grandes vitesses permet d’expliquer en cosmologie pourquoi l’univers était ionisé alors que
la température moyenne était déjà inférieure à la température d’ionisation
Fig. (iii.4)
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Théorie cinétique des gaz : la distribution des vitesses moléculaires (suite)
• Utilisation de f(v).• Soit un échantillon de gaz d’hélium à T = 300 K contenant N = 106 atomes,
chacun de masse mHe = 6,65 10-27 kg. Trois questions :
(a) Quelle est la vitesse la plus probable vp d’un atome d’He de cet échantillon ?
(b) Estimer combien d’atomes dans cet échantillon ont une vitesse dans l’intervalle entre vp et vp + 40 m/s .
(c) Soit v = 10 vp ; calculer le nombre d’atomes avec des vitesses entre vp et vp + 40 m/s .
Fig. (iii.5)