“MEDIDAS PIE DE REY Y TORNILLO MICROMÉTRICO”

OBJETIVO

OBJETIVOS

Construir múltiplos y submúltiplos de un unidad de medida para elaborar un sistema de

medidas

Utilizar correctamente la notación del sistema métrico

Tomar conciencia de la importancia que tiene el expresar correctamente cualquier

medición

Estudiar los conceptos básicos de medida y error

Determinar errores en una medida

MATERIALES

Reglilla sin divisiones

Regla plástica

Pie de Rey

Micrómetro

Balanza

Cilindro metálico

Esferas

Placas metálica

FUNDAMENTO TEORICO

METROLOGÍA

Magnitud: Toda propiedad de un cuerpo que se puede medir. El tiempo, la longitud, la masa, la

fuerza, etc., son magnitudes susceptibles de medición.

Sistema de unidades: Para medir con corrección dentro de una comunidad (país, región, estado

etc.) Es necesario fijar un sistema de unidades de referencia. Históricamente, la humanidad ha ido

estableciendo diferentes sistemas para medir magnitudes. De todos ellos, destaca por su

importancia el llamado sistema internacional de medidas (SI).

MIRAR “BREBE HISTORIA DE LA METROLOGIA” MOISES ROSALES ROMERO

Instrumentos de medida: Son los aparatos desarrollados para poder medir cualquier magnitud.

En metrología dimensional podemos destacar: Pie de Rey, Tornillo Micrométrico, Goniómetro,

termómetro, las probetas…

Medir: medir consiste en determinar el tamaño de una magnitud respecto a una unidad patrón

(de referencia); el valor numérico obtenido como resultado de la acción de medir lo llamamos

medida.

Medida directa: se dice que una medición es directa, cuando se obtiene con un instrumento de

medida, si se desea medir la distancia de un punto A a un punto B, y tenemos un instrumento para

hacerlo, esta será una medida directa

Medida indirecta: el valor de la cantidad es el resultado de la aplicación de una o varias fórmulas

que involucran medidas directas. Para hallar la densidad de un material es necesario conocer

primero la masa de éste y su volumen

Un Pie de Rey, un Goniómetro, un tornillo micrométrico, un termómetro, una probeta son

instrumentos de medida directa

𝜌(𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑); 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 =𝑚(𝑚𝑎𝑠𝑎); 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

𝑉(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛); 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

Comparar: comparar es la operación con la que se examinan dos o más objetos geométricos, para

descubrir sus relaciones, diferencias y semejanzas. Uno de los objetos a comparar será el de

referencia que llamaremos patrón. Llamamos pieza patrón a un objeto de forma y medidas

prefijadas con un grado de exactitud superior al objeto a comparar. Con esta operación se

comprueba si son iguales las dos piezas (la patrón y la que queremos comparar), si tienen la misma

forma, pero sin expresar numéricamente su valor

Verificar: verificamos cuando no nos interesa conocer el valor de la magnitud de una pieza sino

tan solo saber si cumple o no unas determinadas características preestablecidas como la

uniformidad geométrica, la forma, el material.

Para las medidas directas de longitud en la vida diaria utilizamos la cinta métrica, la regla y algunos

instrumentos más sofisticados como son: el Pie de Rey, el Micrómetro y el Goniómetro

Cinta Métrica y Regla son los que más utilizamos en nuestra cotidianidad, vienen graduadas en

centímetros o milímetro, construidos en aleaciones metálicas, en madera o plásticos. Estos

instrumentos no son muy precisos. El pie de rey y el tornillo micrométrico son instrumentos de

medida mucho más precisos, constan de un nonio que aprecia un valor inferior al milímetro

(decimas, centésimas y milésimas de milímetro)

Del análisis anterior, podemos deducir que la sensibilidad del instrumento con nonio incorporado

es la diferencia entre el valor de una división del instrumento y una del nonio. En general, si el

nonio divide en n partes una longitud n-1 de la regla fija, la sensibilidad o resolución es:

Nonius de 50 divisiones: si tomamos en la regla móvil 49 mm y los dividimos en 50 partes iguales,

cada una de ellas valdrá 49/50 mm y su resolución será (Fig.15):

Micrómetro o Palmer: El Micrómetro es un instrumento de medida más preciso que el Pie de

Rey, dado que es capaz de medir centésimas y milésimas de milímetro. En el Micrómetro para

medidas exteriores también se le llama Pálmer. El principio de funcionamiento de este

instrumento es el del caracol - hembra: en una hembra fija se hace girar un tornillo una vuelta

completa, este avanzará axialmente una distancia igual al paso, el Micrómetro consta de un

cuerpo principal en forma de herradura que lleva incorporados una hembra fija en un extremo y

un palpador fijo que hace de tope al otro. El tornillo micrométrico está enroscado en la hembra

fija de manera que, si se hace girar en el sentido de las agujas del reloj, avanza hacia el palpador

fijo y viceversa. Habitualmente, los Micrómetros se fabrican con un paso de rosca de medio

milímetro, por lo que si damos una vuelta completa de caracol, este avanza 0,5 mm

Ej.:

TEORIA DE ERRORES Y MEDICIONES

Esta pretende ser una guía para estudiantes de educación media, por lo tanto no se hace

profundidad en el tema y se hacen algunas sugerencias personales

Siempre que se dé una medida (medida de tendencia central: media, moda, mediana) debe venir

acompañada de una medida de dispersión (recorrido, varianza, desviación típica, coeficiente de

variación)

Al efectuar una medición influyen factores que no permiten un valor real de la medida, y se

necesita hallar una medida muy aproximada, llamada valor verdadero

𝑋 = �̅� + ∆𝑥

�̅� 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 ∆𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎

Cuando tomamos una sola medida la incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura

mínima del instrumento

Ej.: la lectura mínima de una regla es el milímetro, si en la medida que tomamos obtuvimos 23

mm, el ∆𝑥 =1 𝑚𝑚

2= 0,5𝑚𝑚, por lo tanto la lectura a entregar será 23,0 ± 0,5𝑚𝑚

Ej.: si tenemos una cinta métrica de la usada por los agrimensores, la apreciación de la cinta es de

1 cm, como error de instrumento podemos tomar ∆𝑥 =1 𝑐𝑚

2= 0,5𝑐𝑚. Independiente de si el

objeto a medir tiene su extremo sobre el 124, o cerca a éste, la medida a dar será

𝑋 = �̅� + ∆𝑥 = 124,0 ± 0,5 𝑐𝑚

Si se está usando un instrumento de precisión el error será la resolución del instrumento

Estas reglas, en algunos casos no se aplican al pie de la letra, porque hay momentos que si la

aplicamos la incertidumbre que obtendríamos sería mucho mayor

Ej.: si tenemos una regla que solo mide en unidades de metro y se la medida que vemos está más

allá de la mitad de la regla, terminado la regla, como muestra la figura, no sería prudente aplicar la

norma, nos daría una lectura de 1,0 ± 0,5 𝑚. Si virtualmente dividiéramos la regla en decímetros

tendríamos una mejor estimación 1,80 ± 0,05 𝑚

Cuando se toman varias mediciones (n) el valor estimado de la magnitud física es la media

aritmética

�̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛=

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

Y el error lo podemos tomar, si son pocas medidas (3- 6), la desviación media, error absoluto

𝐸𝑎 = ∆𝑥 =∑|𝑥𝑖−�̅�|

𝑛. El 𝐸𝑎 debe darse con una sola cifra significativa

Ej.: 0,0462 ≈ 0,05

Si la cifra que quede es 1 o 2 se dejan dos cifras significabas, en este caso la segunda cifra, con los

redondeos respectivos

Ej.: 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑒𝑟𝑎 0,0236 ≈ 0,024 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑒𝑟𝑎 1,027 ≈ 1,0

233 ≈ 230 ; 0,0202 ≈ 0,020; 4320 ≈ 4000

Más indicativo que el error absoluto, desviación de la media, es el error relativo 𝐸𝑟 =𝐸𝑎

�̅� . El error

relativo entrega mayor información que el error de la media, pues me dice la gravedad o no

gravedad del error que se está cometiendo, se acostumbra a dar en porcentaje

El error aleatorio en una medida depende del número de veces que se repita la medida (n) a

través de la relación 𝐸𝑟𝛼1

√𝑛. De aquí se deduce que toda medida debe repetirse varias veces

Ej.: si hemos tomado dos medidas, con la cinta de agrimensor, la medida del ancho del salón y la

medida del ancho del cuaderno, obtenido respectivamente 835,5 ± 0,5 𝑐𝑚 𝑦 12,5 ± 0,5 𝑐𝑚

El error relativo para cada medida será 𝐸𝑟 =0,5

835,5∗ 100 = 0,06% 𝑦 𝐸𝑟 =

0,5

12,5∗ 100 = 4%, los

que nos indica que el error en la medida del cuaderno es mucho mayor que el error en la medida

del salón y que es posible que la cinta de agrimensor no sea el instrumento más adecuado para

medir el ancho del cuaderno, pero si es el adecuado para la medida del salón

Y si son varios los datos (10 o más), se puede tomar la desviación estándar 𝑆 = √∑(𝑥𝑖−�̅�)2

𝑛.

Nosotros utilizaremos la desviación de la media, el error absoluto

CUANTAS MEDIDAS TOMAR

Se podría hacer como tanteo el tomar tres medidas, hallamos el valor medio de estas �̅� , hallamos

el recorrido (𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛), luego hallamos el error relativo de ellos, 𝐸𝑟 =(𝑋𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑚𝑖𝑛)∗100

�̅�

Si el porcentaje es menor al 3%, podríamos trabajar con 3 medidas

Si el porcentaje es mayor a 3% es mejor realizar de 5 a 10 medidas

Si el porcentaje es mayor a 8% realizar 15 o más medidas

Los errores accidentales se compensan realizando varias medidas

Ej.: si llegamos a tener las siguientes medidas con una regla de colegio, mínima medida es 1 mm

Medida N°

Resultado 𝑥𝑖(𝑚𝑚)

Desviación respecto a la media 𝑥𝑖 − �̅�

Valor absoluto de la desviación

|𝑥𝑖 − �̅�|

Cuadrado de la desviación (𝑥𝑖 − �̅�)2

1 13,0 13,0-14,0=-1 1 1

2 14,5 14,5-14,0=0,5 0,5 0,25

3 15,0 15,0-14,0=1 1 1

4 13,5 13,5-14,0=-0,5 0,5 0,25

�̅� =13,1+14,5+15,0+13,5

4=

56,1

4= 14,025 𝑚𝑚

Si utilizamos el error absoluto, desviación de la media

∆𝑥 =∑|𝑥𝑖−�̅�|

𝑛

Para nuestro caso sería ∆𝑥 =1+0+1+1

4=

3

4= 0,75 ≈ 0,8𝑚𝑚, entonces la medida a entregar será

14,0 ± 0,8 𝑚𝑚, la media no puede tener más precisión que el error, como el error tiene décimas,

la media debe tener décimas

Si utilizamos el error relativo, 𝐸𝑟 =𝐸𝑎

�̅�=

0,75

14= 0,0536, 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 5%

También podríamos hallar la desviación estándar 𝑆 = √2,5

4= 0,25

Hay que precisar que ∆𝑥, se debe expresar en las unidades de la cantidad medida. El 𝐸𝑟 es

adimensional, no tiene unidades

CUANDO SON MEDIDAS INDIRECTAS

Recordemos que las medidas indirectas surgen de la utilización de fórmulas, densidad,

velocidad…como referencia se da una tabla de la expresión para los errores de algunas funciones

simples

FUNCION ERROR

Suma o Resta A+B o A-B ∆𝑧 = ∆𝐴 + ∆𝐵 Multiplicación y

División A*B o A/B

∆𝑍

𝑍=

∆𝐴

𝐴+

∆𝐵

𝐵

Potencia y Raíz 𝐴𝑛 𝑜 √𝐴

𝑛

∆𝑍

𝑍= 𝑛 ∗

∆𝐴

𝐴 ;

∆𝑍

𝑍=

1

𝑛∗

∆𝐴

𝐴

Multiplicación por constante K

K*A ∆𝑍 = 𝐾 ∗ ∆𝐴; ∆𝑍

𝑍=

∆𝐴

𝐴

Ej.: Supongamos que hemos medimos el volumen y la masa de un cuerpo obteniendo como

resultados 𝑉 = 1,00 ± 0,05 𝑚3 𝑦 𝑀 = 10,000 ± 0,001 𝐾𝑔 si queremos hallar la densidad del

objeto.

𝜌 =𝑚 (𝑚𝑎𝑠𝑎)

𝑉 (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)

Por ser una división utilizamos la segunda fila de la tabla

Masa 𝑚 = 10,000 ± 0,001 𝐾𝑔 ∆𝑚

𝑚=

0,001

10= 0,0001 → 0,0001 ∗ 100 = 0,01 %

Volumen 𝑉 = 1,00 ± 0,05 ∆𝑉

𝑉=

0,05

1= 0,05 → 0,05 ∗ 100 = 5 %

𝐷 = 𝑑 ± ∆𝑑

𝑑 =𝑀

𝑉=

10

1= 10

∆𝑑

𝑑=

∆𝑚

𝑚+

∆𝑣

𝑣= 0,01% + 5% = 5,01% = 0,0501 ≈ 0,05

La densidad del objeto será 𝐷 = 10,00 ± 0,05 𝐾𝑔

𝑚3⁄

Ej.: se pretende hallar la densidad de un cable de cobre y se tienen las siguientes medidas

Longitud del cable 𝐿 = 60,0 ± 0,1 𝑐𝑚

∆𝐿

𝐿=

0,1

60∗ 100 = 0,17%

Diámetro del cable ∅ = 0,632 ± 0,002 𝑐𝑚

∆∅

∅=

0,002

0,632∗ 100 = 0,32%

Masa del cable 𝑀 = 162,0 ± 0,1 𝑔

∆𝑀

𝑀=

0,1

162∗ 100 = 0,06%

La expresión para calcular la densidad es

𝜌 =𝑀

𝑉=

𝑀

𝐿𝜋((∅

2)2)

=4𝑀

𝜋𝐿∅2

Remplazando hayamos el valor de la densidad media

𝜌 =4𝑀

𝜋𝐿∅2=

4 ∗ 162

𝜋 ∗ 60 ∗ 0,6322= 8,6067606

𝑔𝑐𝑚3⁄

El error relativo utilizando la segunda y tercera fila de la tabla será

∆𝜌

𝜌=

∆𝑀

𝑀+

∆𝐿

𝐿+ 2

∆∅

∅=

0,1

162+

0,1

60+ 2

0,002

0,632= 0,06% + 0,17% + 2 ∗ 0,32% = 0,861% = 0,00861

∆𝜌

𝜌= 0,00861 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝜌 = 8,6067606 ∗ 0,00861 = 0,0741 ≈ 0,07

El resultado de la densidad de cable de cobre es 𝜌 = 8,61 ± 0,07𝑔

𝑐𝑚3⁄

Ej.: se desea medir la aceleración de un objeto que desliza por un plano inclinado, realizando

medidas con regla y cronometro. Los datos obtenidos por el estudiante son

Distancia recorrida 𝑆 = 2,000 ± 0,002 𝑚 ∆𝑆𝑆⁄ = 0,1 %

Tiempo transcurrido 𝑡 = 4,2 ± 0,1 𝑠 ∆𝑡𝑡⁄ = 2,4 %

La aceleración la calculara mediante la ecuación 𝑆 =1

2𝑎𝑡2

La aceleración media se calculara como 𝑎 =2𝑆

𝑡2 =2∗2,00

4,22 = 0,226757 𝑚𝑠2⁄

El error relativo utilizando la segunda y tercera fila de la tabla

∆𝑎

𝑎=

∆𝑆

𝑠+ 2

∆𝑡

𝑡= 0,1% + 2 ∗ 2,4% = 4,9% = 0,049

∆𝑎

𝑎= 0,049 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝑎 = 0,226757 ∗ 0,049 = 0,01111 𝑚

𝑠2⁄ ≈ 0,01

El resultado de la medida de la aceleración será 𝑎 = 0,23 ± 0,01 𝑚𝑠2⁄

Ej.: supongamos que se ha medido directamente el valor del diámetro de una esfera con una

precisión de 1 cm; 𝐷 = 150 ± 1 𝑐𝑚 se pretende hallar el área y el volumen de la esfera

Sabemos que el área de una esfera viene dada por la ecuación 𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒 = 4𝜋𝑟2 y el volumen por la

ecuación 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒 =4

3𝜋𝑟3

Primero que todo vamos a hallar el radio 𝑟 =1

2𝐷, de por sí ya tenemos que utilizar la última fila de

la tabla 𝐾 ∗ (𝐴 ± ∆𝐴) = 𝐾 ∗ 𝐴 + ∆𝑍; ∆𝑍 = 𝐾 ∗ ∆𝐴

Entonces tendríamos 𝑟 =1

2∗ 150 ±

1

2+ 1 = 75 ± 0,5 𝑐𝑚

Para hallar el área de la esfera

Hallamos el área media 𝐴 = 4𝜋 ∗ 752 = 70685,8347 𝑐𝑚2

Hallamos el error relativo para el área

∆𝐴

𝐴= 2 ∗

∆𝑟

𝑟= 2 ∗

0,5

75= 0,0133333 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆𝐴 = 70685,8347 ∗ 0,013333 ≈ 942,5

𝐴 = 70686 ± 900 𝑐𝑚2

Para hallar el volumen de la esfera

Hallamos el volumen medio de la esfera 𝑉 =4

3𝜋 ∗ 𝑟3 =

4

3𝜋 ∗ 753 = 1767145,868 𝑐𝑚3

Hallamos el error relativo para el volumen

∆𝑉

𝑉= 3

∆𝑟

𝑟= 3

0,5

75= 0,02 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝑉 = 1767145,868 ∗ 0,02 = 35342,917 ≈ 4000

𝑉 = 1767145 ± 4000 𝑐𝑚3

EJEMPLO REDONDEO DE ERRORES

MEDIDA ERROR ERROR REDONDEADO ESCRITURA FINAL

0,756 0,0178 0,018 0,766 ± 0,018

42,9341 0,077 0,08 42,93 ± 0,08 459.4780 13,93 14 459 ± 14 3 487,96 27 30 3 490 ± 30

25,4 354,2 300 0 ± 300 26,3 0,036 0,04 26,30 ± 0,04

332,4 132 130 330 ± 130 Se permite únicamente una cifra significativa en el error, pero si el número que queda es 1 o 2 se

deben dejar 2 cifras significativas. Podemos mirar siempre las dos cifras y si estas son menor que

25, después de redondear, se deben dejar las dos cifras y si no redondeamos a una cifra

En el caso de 25, 4 y un error de 300, el error es un orden de magnitud mayor que la medida y a

ésta tocaría llenarla con ceros 025,4 luego redondear las primeras cifras, quedándonos cero

En el caso de 26,3 con un error de 0.04, la media de la medida no puede tener menor cantidad de

decimales que el error

El valor de la magnitud no puede ser más preciso que el error. Por eso, el valor de la media de las

medidas se debe redondear de forma que su última cifra significativa sea de la misma precisión

que la cifra significativa del error

3 487, 96 y un error de 30, por eso la magnitud se aproxima a 3 490 ± 30. Si el error fuera de

300, entonces quedaría así 3 500 ± 300

NOTA: la imprecisión en los instrumentos analógicos, los que constan generalmente de una aguja

que se mueve por todas las medidas, es la menor división de la escala. En muchos de estos

instrumentos la imprecisión la da el fabricante

La precisión está indicada en el error relativo. El error absoluto máximo de una medida en esa

escala se halla aplicando el error relativo al fondo de la escala

Ej.: para un voltímetro en la escala de rango 0-250 V. el fabricante asegura una precisión

porcentual absoluta del 2%. Por lo tanto el error absoluto en esa escala será 0,02 ∗ 250 = 5𝑉

Lo cual nos dice que si la lectura es de 250V la imprecisión es de ±5 𝑉 o si la lectura es de 13V la

imprecisión es de ±5 𝑉

No siempre la resolución, medida más pequeña del aparato, coincide con la precisión

La imprecisión en los aparatos digitales las indica el fabricante. Todo valor que se tome debe estar

acompañado de su imprecisión

Para una medida de 25.6 g, la escritura correcta será 25.6 ± 0,1 𝑔

Para una medida de 75.4 g la escritura correcta será 75.4 ± 0.2 𝑔

https://www.uclm.es/profesorado/jmcolino/Docencia_archivos/Apuntes%20de%20C%C3%A1lcul

o%20de%20Errores.pdf

http://gfam.udea.edu.co/~mahecha/Tratamiento-estadistico-de-datos-experimentales.pdf

https://issuu.com/moisesrosalesromero/docs/breve_historia_de_la_metrolog__a

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/mecanica/practicas-

1/Errores%20en%20la%20medidas.pdf