Laboratorio 06

TEMA: CONVERSION DE SITEMAS CONTINUOS A DISCRETOS

OBJETIVOS

- Comprender la importancia de la conversión de modelos continuos al tiempo discreto.- Aplicar el software Matlab para la conversión de modelos continuos a discretos.

MATERIALES Y EQUIPOS

- Computadora con software Matlab

INTRODUCCIÓN

La figura de abajo muestra el típico sistema continuo realimentado que hacemos considerado hasta ahora en este tutorial. Casi la totalidad de los controladores continuos pueden implementarse usando electrónica analógica.

El controlador analógico, encerrado en el cuadro a trazos, puede reemplazarse por un controlador digital, como se muestra abajo, el cual hace la misma tarea de control que el controlador analógico. La diferencia básica entre estos controladores es que el sistema digital opera con señales discretas (o muestras de señales sensadas) en lugar de señales continuas.

Los diferentes tipos de señales en el esquema de arriba pueden representarse por las figuras siguientes.

El propósito de este laboratorio de control es mostrarle como trabajar con funciones discretas en la forma función de transferencia para diseñar sistemas de control digital.

Mantenedor de orden cero

En el esquema de arriba del sistema de control digital, vemos que el sistema de control digital contiene partes discretas y analógicas. Cuando se diseña un sistema de control digital, necesitamos hallar el equivalente discreto de la parte continua de modo que sólo necesitamos mejorarnos funciones discretas.

Para esta técnica, consideramos la siguiente parte del sistema de control digital y reordenemos como sigue:

El reloj conectado a los conversores D/A y A/D suministra un pulso cada T segundos y cada D/A y A/D envía señal solo cuando llega el pulso. El propósito de tener este pulso es que Hzoh(z) tiene solo muestras u(k) para tratar y produce solo muestras como salidas y(k); por lo tanto, Hzoh(z) puede ser implementado como función discreta.

La filosofía del diseño es la siguiente. Queremos hallar una función discreta Hzoh(z) de modo que para una entrada constante a tramos al sistema continuo H(s), la salida muestreada del sistema continuo sea igual a la salida discreta.

Supongamos que la señal u(k) representa una muestra de la señal de entrada. Existen técnicas para tomar esta muestra u(k) y mantenerla para producir una señal continua uhat(t) (por u circunflejo). El croquis abajo muestra que uhat(t) se mantuvo constante a u(k) en el intervalo kT a (k+1)T. La operación de mantener uhat(t) constante durante el tiempo de muestreo se denomina mantenedor de orden cero.

La señal mantenida uhat(t) pasa por H2(s) y A/D para producir la salida y(k) que será la misma señal que tramos como si fluyera u(t) continua a través de H(s) para producir la salida continua y(t)

Dibujemos ahora el esquema poniendo Hzoh(z) en el aparte continua.

Mediante Hzoh(z), podemos diseñar sistemas de control digital tratando solamente con funciones discretas.

Nota: existen ciertos casos donde la respuesta discreta no coincide con la respuesta analógica debido a los circuitos de digital

Conversión de c2dm

Existe una función en Matlab, denominada c2dm, que convierte un sistema continuo dado (ya en la forma función de transferencia o en la forma espacio de estado) al sistema discreto usando la operación de retención de orden cero explicada arriba. El comando básico para este comando 2dm es el siguiente.

[numDz, denDz] = c2dm (num, den, Ts, ‘zoh’)

El tiempo de muestreo (Ts en seg/muestra) debería ser menor que 1/(30*BW), donde BW es el ancho de banda a lazo cerrado.

PROCEDIMIENTO

Ejemplo de conversión de un modelo continuo a discreto. Suponga que tiene la siguiente función de transferencia continua

X (s)F (s )

= 1M s2+bs+k

M= 1Kg, b= 10N.s/m, k= 20N/m, F(s)= 1

Asumiendo que el ancho de banda a lazo cerrado es mayor que 1 rad/seg, elegiremos el tiempo de muestreo (Ts) igual a 1/100 seg. Ahora, cree un archivo-m nuevo e ingrese los siguientes comandos

M= 1;

b= 10;

k= 20;

num=[1];

den= [M b k];

Ts= 1/100;

[numDz, denDz] = c2dm(num, den, Ts, ‘zoh’)

Luego de corer este archivo-m en la ventana de commandos de debería dar las siguientes matrices numDz y denDz.

numDz=

1.0e-04 *

0 0.4837 0.4678

denDz=

1.0000 -1.9029 0.9048

De estas matrices, la función de transferencia discreta puede escribirse como

XF

=0.0001(0.4837 z+0.4678)z2−1.9029 z+0.9048

Ahora tiene la función de transferencia en la forma discreta

Ejercicio: mediante el empleo del comando c2dm encuentre la función de transferencia discreta para el modelo continuo que se presenta a continuación.

a. El motor de CC es un antuador común en control sistemas. Provee movimiento rotatorio diectamente y, acoplado con ruedas dentadas o poleas y cables, puede proveer movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre de rotor se muestra en la siguiente figura:

Para este ejemplo, asumimos los valores siguientes para los parámetros físicos. Estos valores se derivaron experimentalmente de un rotor real.

- momento de inercia del rotor (J) = 0.01 Kg.m2/s2

- coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico (b)= 0.1 Nms- cosntante de fuerza electromotriz (k=ke=kt) = 0.01 Nm/Amp- Resistencia eléctrica (R) = 1 ohm- inductancia eléctrica (L)= 0.5 H- entrada (V): Fuente de tensión- salida (theta): posición del eje- el rotor y eje se consideran rigido

L a función de transferencia a lazo abierto, donde la velocidad de rotación es la salida y el voltaje es la entrada

θ̇V

= K( Js+b ) (Ls+R )+K2

θ̇V

= 0.01

0.005 s2+1.05 s+0.1001

Al poner los valores en Matlab y colocando un tiempo de muestreo Ts= 1/100, obtenderemos lo siguiente:

>> num=[0.01];

>> den=[0.005 1.05 0.1001];

>> Ts=1/100;

>> [numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

numDz =

1.0e-004 *

0 0.5543 0.2813

denDz =

1.0000 -1.1216 0.1225

De estas matrices, la función de transferencia discreta puede escribirse como

θ̇V

=0.0001(0.5543 z+0.2813)z2−1.1216 z+0.1225

Ahora tiene la función de transferencia en la forma discreta

Cuestionario:

a. ¿Por qué es importante obtener el modelo matemático discreto o proceso real?Por lo que ahí nos daremos cuenta del comportamiento del sistema

b. ¿Cómo afectara a la conversión de sistemas continuos a discretos el empleo de otros métodos de retención?

c. ¿Cómo se puede observar la respuesta en el tiempo de estos sistemas? Concluya