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Laboratório de Engenharia Química I
Aula Prática 02
Determinação do coeficiente de viscosidade
de líquidos – Método de Stokes
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
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1- Introdução
Viscosidade é uma grandeza física frequentemente associada às
propriedades dinâmicas dos fluidos, nos quais se incluem gases,
vapores, líquidos, materiais plásticos, ou mesmo grãos de
matéria sólida. O aparecimento das tensões num fluido pode ser
explicado através da sua viscosidade. Num sólido a aplicação de
tensões provoca deformações ou cisalhamento de um corpo e nos
fluidos, a aplicação de tensões provoca o escoamento do mesmo.
Assim, dizemos que sólidos são elásticos e fluidos são viscosos.
Medidores de viscosidade, chamados viscosímetros, são
idealizados de diversas formas. Veremos a seguir alguns modelos
de viscosímetros que medem a viscosidade diretamente e
indiretamente.
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2- Tensão de cisalhamento e viscosidade
Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um
material é deformado ou cisalhado elasticamente e para um
fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao
escoamento viscoso.
Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A.
Essa força pode ser decomposta segundo a direção normal à
superfície e da tangente, dando origem a uma componente de
força normal e outra tangencial.
tF
nF F
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Defini-se tensão de cisalhamento como sendo o quociente
entre o módulo da componente da força tangencial e da área
a qual está aplicada.
Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente
entre o módulo da componente da força normal (força de
compressão) e da área a qual está aplicada.
A
F
t=
A
F P
n=
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Consideremos a Figura a seguir. Nela estão representadas duas placasplanas e paralelas, de área A, cuja distância entre si é dy (ou L). Oespaço confinado entre as duas placas é ocupado por um fluido.
Suponhamos que a placa superior tenha uma velocidade dvx (ou V)relativa à placa inferior, considerada estacionária. Para manter essavelocidade, é necessária uma força F. Suponhamos também que avelocidade criada no fluido confinado entre as placas seja tal que aspartículas do fluido se movam em linhas retas e paralelas,características do escoamento laminar.
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Para os fluidos chamados newtonianos, a tensão de cisalhamento, yx, que
é igual a relação entre a força F aplicada à placa superior por unidade de
área A, é proporcional ao perfil de velocidade dvx/dy (deformação por
cisalhamento), isto é,
A inclusão do fator de proporcionalidade, representado pela letra grega
, permite-nos escrever:
onde é a viscosidade dinâmica ou absoluta. A equação 1 representa a lei
de Newton da viscosidade.
dy
dv τ x
yx = ( 1 )
Fluidos Newtonianos
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dy
dv
A
F x
yx =
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Dividindo a viscosidade dinâmica, , pela massa específica do
fluido, , temos uma outra quantidade útil, a viscosidade
cinemática, ou seja:
=ν ( 2 )
7Viscosidade cinemática (m2/s) versus temperatura (ºC)
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Viscosidade de um fluido:
→ É a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao corte,
ou seja, exprime a resistência oposta pelas camadas do fluido ao
escoamento relativo entre si ou relativo à parede sólida, quando
submetido à ação de uma força cisalhante externa, ou;
→ É a medida da resistência do fluido à fluência quando sobre ele
atua uma força exterior como por exemplo um diferencial de
pressão ou gravidade;
A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) e
não está diretamente relacionada com a densidade do líquido, que é
a relação massa/volume. Por exemplo, o óleo de soja utilizado para
cozinhar é mais viscoso do que a água, embora seja menos denso.
A maioria dos líquidos viscosos fluem facilmente quando as suas
temperaturas aumentam; o comportamento de um fluido quando
varia a temperatura, pressão ou tensão depende do tipo de fluido. 8
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Unidades para as grandezas relacionadas
Grandeza SI CGS Britânico
Pa.s g/cm.s = poise lb/ft.s
m2/s cm2/s = stoke ft2/s
Nota:
Pascal, Pa, é o mesmo que N/m2, e Newton, N, é o mesmo que
kg.m/s2.
A abreviação para “centipoise” é cP.
1,0 cP = 10-2 poise (g/cm.s) = 10-3 kg/m.s.
1,0 stoke (St) = 1 cm2/s. 1,0 centistokes (cSt) = 10-2 cm2/s
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3- Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos
Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menos viscosos,
caracterizam-se por terem uma viscosidade constante, ou seja, seguem a Lei de
Newton da viscosidade. São exemplos a água, o leite, os óleos vegetais, etc. Já
nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia com a força aplicada (e por
vezes com o tempo também) e portanto têm propriedades mecânicas muito
interessantes.
Em resumo, de uma forma simplificada, podemos dizer que os fluidos não-
newtonianos não possuem uma viscosidade bem definida.
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A viscosidade pode mudar com o tempo (todas as outras
condições ficam constantes);
A coesão molecular é a causa dominante da viscosidade nos
líquidos; à medida que a temperatura de um líquido aumenta,
estas forças coesivas diminuem, resultando uma diminuição da
viscosidade;
Nos gases, a causa dominante são as colisões aleatórias entre as
moléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com a
temperatura; assim a viscosidade dos gases aumenta com a
temperatura;
Apesar da viscosidade dos líquidos e gases aumentarem
ligeiramente com a pressão, o aumento é insignificante num
intervalo de pressões considerável; assim, a viscosidade
absoluta dos gases e líquidos é usualmente considerada
independente da pressão;
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Influência da temperatura na viscosidade dinâmica:
12Viscosidade dinâmica (N.s/m2) versus temperatura (ºC)
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A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as propriedades
físicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento num
fluido. É o ramo da física que estuda a viscosidade, plasticidade,
elasticidade e o escoamento da matéria.
Podemos então concluir que é a ciência responsável pelo estudo do fluxo e
deformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido.
A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida, e a única que
caracteriza os fluidos newtonianos.
A viscosidade aparente, ap , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, a
qual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluido
Newtonianos é idêntica a .
A viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação em
fluidos pseudoplásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões de
cisalhamento).
Os fluidos nos quais a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de
deformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais espessos
quando sujeito a tensões de cisalhamento). 13
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Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever os
fluidos não-newtonianos independentes do tempo. Para muitas aplicações
da engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadas
pelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se:
dy
dvk
n
x
yx
=
onde o expoente, n, é chamado de índice de comportamento do escoamento
e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de
Newton da viscosidade para n = 1 e k = . Para assegurar que yx tenha o
mesmo sinal de dvx/dy, a equação anterior é reescrita na forma:
dy
dv
dy
dv
dy
dvk
dy
dv
dy
dv
dy
dvk x
ap
x
1 n
xx
1
x
n
x
yx
ap
=
=
=
−−
onde ap é referenciado como viscosidade aparente do fluido.
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Esquema de classificação dos fluidos conforme o comportamento reológico:
Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, y , seja
excedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de
deformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal. O modelo
correspondente de cisalhamento é:
dy
dv x
apyyx +=
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Existem materiais que se comportam parcialmente como um
fluido e parcialmente como um sólido. Estes são os fluidos
viscoelásticos.
Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como:
- o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, mas
descrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluido
em questão;
- a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidos
newtonianos;
- a viscosidade é dependente da temperatura.
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Classificados em dois grupos: primários e secundários
Determinação simultânea da tensão de cisalhamento e da taxa de
deformação num mesmo ponto do aparelho de medição
Há viscosímetros: rotacionais e capilares.
Instrumentos que realizam medidas diretas da
tensão e da taxa de deformação do fluido, = tensão
de cisalhamento/taxa de deformação;
Viscosímetros tipo rotacional: De placas paralelas,
de cone-disco, de cilindro concêntricos e misturador;
Todos eles visando a reprodução do escoamento
entre placas planas paralelas.
Podem ser aplicados para ensaios tanto de fluidos
Newtonianos como de fluidos com comportamento
tensão versus deformação não-linear e/ou
viscoelásticos.
Primários
4- Determinação experimental de propriedades reológicas
Viscosidade:
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Esquema de viscosímetros primários
= viscosidade;
= velocidade angular aplicada
= ângulo do cone
R = raio
B = distância;
T = torque medido, que resulta da tensão
oriunda da deformação do fluido.
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Viscosímetro primário de Brookfield
Mede-se o torque necessário para manter uma determinada velocidade de
rotação. A análise da taxa de deformação neste tipo de geometria é bastante
complexa sendo, portanto difícil utilizar esse equipamento para análise de
fluidos não-newtonianos.
"spindles" cada um apropriado
para medir a viscosidade de fluidos
em uma faixa específica:
- Os de menor diâmetro, as maiores
viscosidades;
- Os de maior diâmetro, as menores
viscosidades.
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O viscosímetro secundário não medem a
tensão e a taxa de deformação diretamente.
Aplicam-se somente a fluidos Newtonianos, por
medirem a viscosidade indiretamente.
Ex.: Viscosímetro de tubo capilar (tipo tubular),
viscosímetro de Stokes e Copo Ford.
Secundários
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Q = vazão volumétrica
L = distância entre as tomadas de pressão
P = diferença de pressão
D = diâmetro do tubo capilar
Viscosímetro de tubo capilar
Não se usam para medir características de fluidos não-newtonianos
porque a força motriz (a pressão hidrostática) varia durante a
descarga, e isso afeta a taxa de deformação.
A viscosidade é obtida por meio da
medida do gradiente de pressão de
um escoamento laminar em um tubo.
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23
Viscosímetro de Cannon-Fenske
O fluido a ser analisado é colocado
no reservatório superior com tubo
de diâmetro maior, com um volume
conhecido, a partir do qual ele é
descarregado através de um tubo
capilar como resultado da força
motriz (gravidade). É realizado uma
sucção no tubo de menor diâmetro
de modo que o fluido suba. Retira-
se a sucção e o fluido passa a escoar
lentamente por gravidade cruzando
uma marca. Entre as duas marcas é
medido o tempo de escoamento que
normalmente está entre 5 e 10
minutos.
Viscosímetro de tubo capilar tipo Cannon-Fenske
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μ1 é a viscosidade do líquido em teste
μ2 é a viscosidade do líquido referência (ex. água)
ρ1 é a densidade do líquido em teste
ρ2 é a densidade do líquido referência (ex. água)
t1 é o tempo de escoamento do líquido em teste
t2 é o tempo de escoamento do líquido referência (ex. água)
A viscosidade é obtida pela
expressão:
onde:
.t
.t
22
11
2
1
=
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O Copo Ford é um viscosímetro de fácil
manuseio, no qual a viscosidade está
relacionada com o tempo de esvaziamento de
um copo de volume conhecido que
tem um orifício calibrado na sua base.
O Copo Ford possui um conjunto de
orifícios-padrão (giglê) feitos de bronze
polido que dependem da faixa de viscosidade
e tempo de escoamento;
Equação: Depende do tempo de
esvaziamento e do orifício utilizado (giglê);
A viscosidade do fluido a ser analisado
deverá estar na temperatura de 25,0 ºC ±
0,2ºC.
Viscosímetro Copo Ford
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26
Copo FordEquação
(cSt) e t (s)
Copo Ford 1 = 0,49(t − 35)
Copo Ford 2 = 1,44(t − 18)
Copo Ford 3 = 2,31(t − 6,58)
Copo Ford 4 = 3,85(t − 4,49)
Copo Ford 5 = 12,1(t − 2,0)
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27
Copo Ford
(número do orifício)
Faixa de viscosidade
(centi stokes)
Tempo de efluxo
(tempo de escoamento em segundos)
1
(Ø = 1,90 mm)10 a 35 55 - 100
2
(Ø = 2,53 mm)25 a 120 40 - 100
3
(Ø = 3,40 mm)49 a 220 20 - 100
4
(Ø = 4,12 mm)70 a 370 20 - 100
5
(Ø = 5,20 mm)200 a 1200 20 - 100
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g = aceleração da gravidade
D = diâmetro da esfera
s = densidade da esfera
f = densidade do fluido
V = velocidade terminal de queda livre, isto é, a razão entre a distância L e o intervalo
de tempo t.
* Esta relação aplica-se somente para esferas em queda livre em meio infinito, com
Reynolds menores do que 1.
A viscosidade é obtida através
de medições do tempo de
queda livre de uma esfera
através de um fluido
estacionário.
Viscosímetro de Stokes
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Fg
Fv FE
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Lei de Stokes
Quando um corpo se movimenta no interior de um fluido existem
também forças de atrito entre eles que tendem a reduzir a velocidade
do corpo. Esta resistência depende da velocidade relativa entre o
corpo e o fluido de forma que para velocidades relativas baixas
(condição associada ao regime de resistência de viscosidade ou regime
de Stokes) a resistência do fluido ou força de arrasto (FD) é
proporcional à viscosidade do fluido () e à velocidade relativa (v):
Stokes mostrou analiticamente que escoamentos com número de
Reynolds muito baixos, a força de arrasto sobre uma esfera de raio r,
movendo-se com uma velocidade v através de um fluido de
viscosidade , é dada por:
( 1 )
.v FD
.v.r .6. F D
=
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30
Para número de Reynolds muito baixos, Re 1,0 , não há separação
do escoamento para uma esfera; a esteira é laminar e o arrasto é
predominantemente arrasto de atrito, conforme foi demostrado por
Stokes..v.r .6. F
D= ( 1 )
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31
Balanço de forças na esfera em movimento uniforme (ā = 0):
FD
Fg
FE
D
d
submersa) esfera da (volume V V mas
.g.V .g.V .r v..6.
F F F
Empuxo Peso Força Arrasto Força
Empuxo Arrasto Força Peso Força
ESesfera
ESfluidoesferaesferaL
EgD
=
−=
−=
−=
+=
0 F F F
0 F
dt
vdm. am. F
gED =−+
=
==
z
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32
( 1 )
( )
( )
2
d r ;
.rv.6.
.r.3
4
.r.3
4 .r v..6.
.g .r.3
4 .g.r.
3
4 .r v..6.
L
fluidoesfera
3
fluidoesfera
3
L
fluido
3
esfera
3
L
=−
=
−=
−=
g
g
( )
v
.g.dρ ρ
18
1 μ
L
2
fluidoesfera−
=
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Foi assumido:
→ Velocidade pequena, regime laminar (Re 1);
→ Distância da parede infinita (efeito de parede);
→ Distância do fundo infinita (efeito de borda);
→ No interior do recipiente, a equação (1) deve ser corrigida, para dar
conta da influência da parede do recipiente no movimento da esfera.
Para um recipiente cilíndrico de diâmetro D, a velocidade limite média
no meio infinito é dado por:
onde FL é conhecida como Fator de Ladenburg, válida para d/D 0,2.
( 2 )( )
( ) Poise V
g.dρ ρ
18
1 μ
C
2
fluidoS−
=
(cm/s) t
L V ;
D
d
4
9 X
X X 1V V
L
FL
2
LC
==
++=
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Procedimento Experimental
Objetivo: Medir a velocidade de queda livre de esferas de aço de vários
diâmetros, as quais serão soltas dentro de uma coluna transparente
contendo um óleo desconhecido.Passo 1: Acoplada à coluna, existe uma marca que indica o ponto inicial em que o
aluno deverá iniciar a medição do tempo de queda livre de cada esfera, sendo esta
altura equivalente a 60 cm;
Passo 2: Um aluno deverá girar a coluna em 180 que contém um fluido com as três
esferas com diâmetros diferentes;
Passo 3: Um grupo de três alunos deverá anotar o tempo de queda livre de cada
esfera a partir da marca indicada até que cada esfera atinja o fundo da coluna;
Passo 4: Repete-se o experimento pelo menos três vezes para se obter uma média
dos tempos encontrados;
Passo 5: Muda-se o grupo de alunos para a medição do tempo para observar o erro
cometido por cada grupo;
Passo 6: A massa específica de cada esfera deverá ser obtida através da informação
da massa e do diâmetro fornecido no material didático;
Passo 7: A velocidade limite média de cada esfera será obtida com o percurso e o
tempo médio obtido pelos grupos de alunos;
Passo 8: A velocidade limite média no meio infinito, utilizando o Fator de
Ladenburg, deverá ser calculada antes de ser calculada a viscosidade do óleo.
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Procedimento ExperimentalDados das esferas de aço:
Diâmetro (mm) Massa (g)
Bolina Pequena 6,35 1,043
Bolinha Média 7,95 2,043
Bolinha Grande 9,50 3,531
Dado da densidade do óleo: óleo = 0,8958 g/cm3 a 25°C
Comprimento do percurso percorrido: L = 60 cm
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CálculosVelocidade limite média (VL):
Velocidade limite média no meio infinito (VC):
Cálculo do número de Reynolds:
Viscosidade do óleo:
( )( ) Poise
V
g.dρ ρ
18
1 μ
C
2
fluidoS−
=
D
d
16
81
D
d
4
9 1V V
2
LC
++=
(cm/s) t
L VL
=
.D.V
N CRe
=
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Arranjo FísicoViscosímetro de Stokes
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