laboratorio de matematicas h
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LABORATORIO DE MATEMATICAS H
^ PROBLEMAS TECNICOS Y CON
APLICACIONES A DISTINTAS RAMAS
COLEGIO DE MATEMATICAS
Lic . M a r g a r i t a González G.
L i c . Ora l ia Flores de la C.
Ing. M a y r a Thelma Covarrubias Mart ínez
1 0 2 0 1 1 1 5 1 2 ACTIVIDADES Y LABORATORIOS DE MATEMATICAS I I
INTRODUCCION:
Las matemáticas como c i e n c i a s básicas y en p a r t i c u l a r e l Ca lcu lo
le p roporc ionará los recursos necesar ios para la comprensión y -
eva luac ión de d i f e r e n t e s problemas de la i n v e s t i g a c i ó n B i o l o g f c a
El aluimo a l te rminar e l curso a p l i c a r á algunas técn icas del Cal
culo D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l para e l a n á l i s i s del comportamiento-
de funciones a l g e b r á i c a s y t rascendenta les asi* como en la s o l u - -
xión de algunos problemas re lac ionados con la B i o l o g í a .
El alumno a l te rminar e l curso:
A p l i c a r á los conceptos de las funciones t r i g o n o m é t r i c a s en la —
solución de problemas.
E s t a b l e c e r á la r e l a c i ó n e n t r e los sistemas de coordenadas, c a r t e
sianas y p o l a r e s .
I d e n t i f i c a r á los d i f e r e n t e s t ipos de funciones a p a r t i r de su - -
expresión matemáticas y su representac ión g r á f i c a .
C a l c u l a r á e l 1 fmi te de d i f e r e n t e s t i p o s de funciones y a n a l i z a r á
la can t idad de las mismas en un punto dado.
I n t e r p r e t a r á grá f icamente e l concepto de der ivada de una función
y además la c a l c u l a r á .
A p l i c a r á e l concepto de der ivada de una función para la d e t e r m i -
nación de los va lores máximos y mínimos r e l a t i v o s de un f i n c i ó n . 7 fM\T 0«ri
OBJETIVO DEL CURSO:
ACTIVIDADES:
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COLEGIO DE MATEMATICAS.
MATEMATICAS I I TEMA : No. I
INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA
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OBJETIVO:
Al t e rminar e l tema, e l alumno a p l i c a r á los conceptos de las funciones
t r i g o n o m é t r i c a s en la so luc ión de problemas.
ACTIVIDADES:
1 . - Memor i zara las 6 funciones t r i gonométi cas . A
2 . - C a l c u l a r á e l v a l o r de las demás funciones t r i g o n o m é t r i c a s , dada - -
una de e1 l a s ,
3 . - Sin usar t a b l a s t r i g o n o m é t r i c a s ( ni c a l c u l a d o r a ) , c a l c u l a r á e l va_
l o r de funciones t r igonomét r icas para :
30°, k5° 60° 0? 90°, 270°, 360°
30° + £ J L 6 0 + J ? f _ . ^ o + 2 | L ; donde
N - 0 , 1, 2 , 3,
1*.- Demostrará algunas ident idades t r i g o n o m é t r i c a s .
E x p l i c a r á los pasos paré la demostración de la Ley de los Senos y
Cosenos.
6 . - Resolverá t r i á n g u l o s no rec tángu los , ap l icando la Ley de los Senos
y Cosenos.
7 . - A p l i c a r á los conceptos t e o r i c o s a la solución de problemas re l a c i o
nados co la B i o l o g f a y o t ras ramas.
9
^TEMATICAS I I
TEMA INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA
LABORATORIO
I . - Dada una función t r i g n o m é t r i c a , h a l l a r el v a l o r de las demás, usando las d e f i n i c i o n e s
para ángulos en g e n e r a l .
a ) S m H = . j L O H ^ - i L e) A = 7
5 ' ' 3 ' ? í . H
L ) e . s c A - - J T O r ) d o s A - - 3 \ n r
3 V W I I . - Sin usar t a b l a s , dar los v a l o r e s de las funciones t r i g o n o m é t r i c a s para los s igu ien tes
ángulos.
a ) s?o° g . ) - 3 3 0 ° 9 » 3 3 C '
I ) * * ^ '
I I I . - Demostrar las s i g u i e n t e s ident idades t r i g o n o m é t r i c a s
i ) ( ( L o s e ) ( a s c . e ) C ^ 6 ) = . 1
i) Son tc.se CX) + ̂ = V+ t o s ^
_ i 2 ( U a * O )
1 V (Los ( * . ) l - (Los w
4) (LoA - W x = dos x r
5) S o A - X í k _ j
I + d o s -X 4- C.0S 3L% ^
^ ^ a - * . _
Se.r> ? í d o s %
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- i a i i i L
1 - San X
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dos ?c 1 1 S a a X
= 0
q ) = 1 f d o s X
(Lsc. x - x
1 - w - x
1 v . - R e s o l v e r l os s i g u i e n t e s t r i angu los
zr il
b ) i . q s A = ^ 3 °
0 a = ?
d = 2 - 3 a - U
d _ 1 . 2 .
a = . 3 5 t = . 3 6
a = i. cu = 2 1
a = 3 1
6 =
(L = i?6
(L -A
6 , 5 a 0
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Sen X = 1 ( ¡ s e . r
d o s * = _ i
SC-C. "X
• U *
SC-Q. = C . 0 5 X
k * - S ( m X -0 dos "X-
(L03X z<¿r\X
V SJ)
o
H* I a - O
- A
X - l - jO
s a n ( * - s a n X d o s y + Q m X s a n Y .
s a n ( 9 c - V ) = s a n x e o s y - a o s x $ < ¿ n y .
(LOS ( x + Y Ì ^ ( ¡ o s * C o s ^ - s a r \ x s e n y .
d o s ( x - y ) - GOS X d o s c ^ s a n x s a n y .
( IOS I X -
= . i s a n X ( i o s X
d o s 1 a - s a n ^ ^
= 2 ( ¡ o s 1 X - 1
= 1 - 2 s a n 2 - X
d e . l o s ( L ó s a n o s
d o s K
a x + c . x - 2- a a d o s 6
e - < x a + t > l - i a f c > d o s 0 -
L a ^ ( i t - l o s s a n O S
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MATEMATICAS I I
TEMA : INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES
TEMA I I
OBJETIVO:
A l t e r m i n a r e l tema e l a lumno será capaz de e s t a b l e c e r l a r e l a c . o n
e n t r e e l s i s t e m a de coordenadas r e c t a n g u l a r y p o l a r .
ACTIVI DADES: 1 . - D i s t i n g u i r e n q u e s i s t e m a e s t á r e p r e s e n t a n d o u n p u n t o
2 . - Deduc i rá l a s e c u a c i o n e s que r e l a c i o n a n e l s i s t e m a r e c t a n g u l a r -
( c a r t e s i a n o ) y p o l a r
3 . - T r a n s f o r m a r a un p u n t o de l s i s t e m a r e c t a n g u l a r p o l a r
1».- T rans forma ra un p u n t o de l s i s t e m a p o l a r a l r e c t a n g u l a r
5 . - A p l i c a r á los a c e p t o s t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de prob lemas r e í a
d o n a d o s con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas.
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MATEMATICAS I I
TEMA I I
INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES
LABORATORIO
I . - G r a f i c a r á los s i g u i e n t e s p u n t o s y t r a n s f o r m a r l o s a su fo rma p o l a r c o r r e s p o n d i e n t e
(da r po r l o menos 2 r e p r e s e n t a c i o n e s p o l a r e s de cada uno de e l l o s )
1)
5 ) p ( o ,5)
4 ) p r j
I I . - G r a f i c a r á e l pun to dado y t r a n s f o
5) PC^-V)
é) p ( f j r 1 )
y ) P ( 3 1 ^ , 0 )
P [vílfVfo)
ar lo a su forma r e c t a n g u l a r c o r r e s p o n d i e n t e
i) P (H fx 1
l ) P (1,1?°°)
3 ) H t , 1 5 0 ° )
4) P í ^ r ' ^
5) P
8) P
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TRlGOM'OHE-tRl/Y COROENADAS POLARES - 7 -
1 . - Uo hombre de 6 p i e s , p r o y w c t a una sombra de 4 p i e s . Encuen t re l a t a n g e n t e
de l á n g u l o que forman los rayos de l so l con l a h o r i z o n t a l .
2 Se usa un a lambre de 30 p i e s de l o n g i t u d para amar ra r una a s t a de b a n d e r a .
Si e l a lambre e s t á a tado a l a s t a a 25 p i e s sobre e l n i v e l de l s u e l o .
¿ Cuál es e l consenso de l á n g u l o formado por e l amabre con e l s u e l o ?
3 . - Un hombre sobre un a c a n t i l a d o de 225 m. m i ra h a c i a a b a j o un bote de menos
que se sabe e s t á a 75 m. de la base de l a c a n t i l a d o . ¿ cuá l es e l seno de l
á n g u l o de d e p r e s i ó n ? ( El á n g u l o de d e p r e s i ó n se d e f i n e como e l ángu lo en
t r e la h o r i z o n t a l y la 1fnea de o b s e r v a c i ó n , cuando ve un o b j e t o hac ia —
a b a j o ) .
k . - Va a i n c l i n a r s e un pane l s o l a r ( como se m u e s t r a en la f i g u r a ) de modo que
e l á n g u l o 0 = 100 °cuando e l á n g u l o de e l e v a c i ó n de l s o l sea de 27°
Encuen t re h, s i la l o n g i t u d de l pane l es 6 . 4 m.
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5 . - En un puente de a c e r o , una p a r t e de l armazón es de la forma de un t r i á n g u l o
í s c o c e l e s como la mues t ra la f i g u r a . ¿ Con que á n g u l o se j u n t a n los lados -
de l armazón.
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9i.n! s l ^ M o o n ? . a e i q A 3b STdnoa ¿ w a í ^ o i q . .as iq ¿ 9b 9-,dmori nU - . í
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s( st a .) nos ^mB I sb - m s q snu
6 . - En un l o t e t r i a n g u l a r ABC, la e s t a c a que marcaba l a e s q u i n a C, se ha p e r d i d o
c o n s u l t a n d o sus e s c r i t u r a s l a dueña e n c u e n t r a que AB = 80 p i e s , BC - 50 p i e s
y CA = 40 p i e s , ¿ con que á n g u l o deberá t i r a r una l i n e a de modo que r e c o r r i e n
do 40 p i e s a la l a r g o de e s t a 1 mea pueda e l l a l o c a l i z a r l a e s q u i n a C .?
7 . - Un b a r c o es r a s t r e a d o p o r dos e s t a c i o n e s de r a d i o A y B que e s t á n en l f n e a
n o r t e - s u r y d i s t a n t e s una de o t r a 6500 m. La e s t a c i ó n A lo l o c a l i z a en —
l a d i r e c c i ó n N-E 34°y l a B l o l o c a l i z a en l a d i r e c c i ó n N-E 4 8 ° i A que d i s t a n
c í a e s t á e l b a r c o de l a e s t a c i ó n B ?
8 . - Una pesa es a tada a dos p o s t e s v e r t i c a l e s como se mues t ra en l a f i g u r a .
¿ Que tan l e j o s de l pos te de l a i z q u i e r d a e s t á la p e s a . Si 9 = 41 °y 0 = 75°
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Una a b e j a e x p l o r a d o r a descub re m i a l a l m e d i o d í a
l a m i e l e s t a s i t u a d a a 850 m. a l e s t e y 1200 m. a l s u r de l a co lmena
¿ Qué coo rdenadas p o l a r e s s e ñ a l a r á l a a b e j a ? .
Cons ide ramos un e x p e r i m e n t o sob re o r i e n t a c i ó n y n a v e g a c i ó n , en que -
f u e r o n s o l t a d a s a l g u n a s pa lomas a 11 km. de su p a l o m a r . Si c o n s i d e r a
mos e l pa lomar como c e n t r o de un s i s t e m a de coo rdenadas p o l a r e s , e l -
p u n t o de s u l e t a t i e n e un a z i m u t de 2 4 ° ( a z i m u t : á n g u l o medio en la -
d i r e c c i ó n de l a s a g u j a s de un r e l o j desde la d i r e c c i ó n n o r t e a l p u n -
t o de sue1 ta ) .
¿ A c u a n t o s k i l ó m e t r o s a l s u r y a l o e s t e d e l pa l omar e s t á e l p u n t o -
de s u e l t a ?
D u r a n t e l a época húmeda se e n c u e n t r a una f i n a capa de agua sob re l as
h o j a s c a í d a s y o t r a de l eche s o b r e la s u p e r f i c i e d e l s u e l o . En e s t a s -
p e l i c u l a s f l o t a n M e t e r í a s , p r o t o z o o s , hongos y e s p o r a s sob.re l o s n i -
v e l e s s u p e r i o r e s ( Bandoni y K o s t e r , 197*+ ) Sí e l á n g u l o de i n c l i n a -
c i ó n es de 30°y l a d i s t a n c i a que se mueve h a c i a a r r i b a , d en 5 cm.
c a l c u l a r l a d i f e r e n c i a h en e l n i v e l a l c a n z a d o p o r l o s m i c r o o r g a n i s m o s .
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MATEMATICAS I I
TEMA No. M I
GRAFICAS DE FUNCIONES
0 B J E T , V 0 :A 1 t e r m l n a r e l t e m a e l alumno se rá capaz de d i s t i n g u i r l os d i f e r e n t e s
t i p o s de f u n c i o n e s a p a r t i r de su e x p r e s i ó n ma temá t i ca y de sus repre
s e n t a c i o n g r á f i c a .
ACT IVI DA DES:
1 . - D e f i n i r á e l concep to de f u n c i ó n
2 . - I d e n t i f i c a r á f u n c i o n e s de l o . , 2 o . , y 3 e r . g rado
3 . - G r a f i c a r á f u n c i o n e s de p r i m e r o , segundo y t e r c e r g r a d o .
i , . . I d e n t i f i c a r á f u n c h e s t r i t r i c a s ( seno y coseno ) , l o g a r i t m i
cas y e x p o n e n c i a l e s .
5 . . G r a f i c a r á f u n c i o n e s t r i g o n o n é t r i cas ( seno y coseno ) , l o g r a r i t -
micas y e x p o n e n c i a l e s .
6 . - A p l i c a r á l os concep tos t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de prob lemas r e l a -
c i onados con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas.
n i
'MATEMATICAS I I
TEMA I I I
GRAFICAS DE FUNCIONES
LABORATORIO
I . - G r a f i c a r las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s
i ? ) b z é x 2
3-) Y ^ - S J T . H h x - S L
3) V- X ^ - ó *
i ) Y = i - dos (í-xl
5) Y =. 3LX-3
^ ^ = X 3 +
<?) - 4 5 c r \ ( ^ S r )
8) - + 1
q) i X Cs-x)
ta) ^ - 6 dos ( i y )
I I ) b = £
' 3 j ü = J ^ x
M^ ^
>0 Ü = X Í r \ 3X i
GRAFICA DE FUNCIONES
1 . - Un p o l u c i n a n t e i m p o r t a n t e p r o d u c i d o a l q u e m a r c o m b u s t i b l e f ó s i l e s es e l
D i x i d o s u l f u r o s o ( SO2). Una i n v e s t i g a c i ó n en O s l o , Noruega , mos t ró que
e l número N de mues t ras p o r semana, es una f u n c i ó n l i n e a l de l a conse_n
t r a c i ó n media C de SO2 media un Mg/m^
La f u n c i ó n e m p f n i c a es : N = Sk + ( 0 .0331 ) C
El d o m i n i o e s : j C/ kOO C 700 }
2 . - Los b i o l ó g o s han b a i l a d o que l a v e l o c i d a d de la sangre en una a r t e r i a -
es una f u n c i ó n de l a d i s t a n c i a de la sangre a l e j e c e n t r a l de la a r t e r i a .
De acue rdo con l a Ley de P o i s e v i l l e , la v e l o c i d a d ( en cm, po r segundos )
de l a sangre e s t á a r c e n t í m e t r o s de l e j e c e n t r a l de una a r t e r i a v i ene -
dada por l a f u n c i ó n v ( r ) = C ( R2 - r 2 ) donde C es una c o n s t a n t e y R
es e l r a d i o de la a r t e r i a . Supongamos que p a r a una c i e r t a a r t e r i a C=1.7é x
105 cm. y R = 1.2 x 10" 2 cm.
a) C a l c u l e la v e l o c i d a d de la sangre en e l e j e c e n t r a l de e s t a a r t e r i a
b) Dar la r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a de l a f u n c i ó n .
3 . - El número de b a c t e r i a s p r e s e n t e s en un c u l t i v o es un t i empo t e s t á dada
p o r Y = 2 £ 3 t
a) ¿ Cuál es e l número de b a c t e r i a s en 3 horas ?
b) R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e l a r e l a c i ó n e n t r e e l t iempo t y e l número de -
b a c t e r i a s en e l i n t e r v a l o de 0 a 7 h o r a s .
k El e s p e r m a t o z o i d e c o n s i s t e en una cabeza y un t a l l e c i l i n d r i c o . Si asuminos
que su m o v i m i e n t o es un un p l a n o , en tonces en c u a l q u i e r t i empo t e l t a l l e -
toma la forma de una onda s i n u s o i d a l l lamada onda de d e s p l a z a m i e n t o i n a t e r a l
En un t i e m p o dado t e l p u n t o ( x , y ) en e l t a l l e e s t á n d e s c r i t o s po r la - -
ecuac i ón .
Y = a sen K (x + c t ) donde a , k , y c
son c o n s t a n t e s . Una func ión de l a p o s i c i ó n x h o r i z o n t a l y de l t i empo t .
Supongamos que cuando han t r a n s c u r r i d o 30 m inu tos la f u n c i ó n de p o s i c i ó n toma
la forma de: Y = 3 «en ( X + Tí/3 )
G r a f i q u e d i c h a f u n c i ó n tomando X «orno á n g u l o .
5 . - La febsorción t o t a l ( X un idades cúb i cas ) de c i e r t o gas p o r o t r o conpues to -
q u í m i c o v a r i ó con e l t i empo ( t un idades ) según l a s i g u i e n t e t a b l a
X 0 1 2 3
Y 0 3 12 26
a) C o l o c a r los da tos de la g r á f i c a en una t a b l a
b) I n t e r p r e t a r p o r medio de l a g r á f i c a , l a r e l a c i ó n e n t r e las dos v a r i a b l e s
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29Í detf l e i aob as! Jos o o í d l i i- s
6 . - Suponga t horas después de l a medinoche la t e m p e r a t u r a en Mi ami e r a de 2
C ( t ) - - 1/6 + 4 t + 1 0 grados c e l s i u s .
a) ¿ Cuál es l a t e m p e r a t u r a a las 2 . 0 0 P.M.
b) Cuanto c rec ió " o d e c r e c i ó la t e m p e r a t u r a e n t r e las 6 : 0 0 y las 9 :00 P.M.
c) g r a f i q u e la f u n c i ó n
MATEMATICAS I I
TEMA IV
LIMITES Y CONTINUIDAD
OBJETIVO:
Al t e r m i n a r e l tema e l alumno c a l c u l a r á e l l i m i t e de d i f e r e n t e s
t i p o s de f u n c i o n e s y d e m o s t r a r á s i son c o n t i n u a s o no en un pur^
t o dado. ACTIVIDADES:
1 . - I n t e r p r e t a r á geomét r i camen te e l l í m i t e de una f u n c i ó n
2 . - C a l c u l a r á , usando l os teoremas r e s p e c t i v o s , e l l í m i t e de fun_
c i ones a l g e b r a i c a s y t r i gonome't r i cas
3 . - C a l c u l a r á usando los teoremas los l í m i t e s i n f i n i t o s y los - -
1ími t e s a 1 i n f i n i t o .
k . - D e f i n i r á e l concep to de c o n t i n u i d a d
5 . - I n t e r p r e t a r á eñ concep to de c o n t i n u i d a d
6 . - Demos t ra rá s i una f u n c i ó n es c o n t i n u a o n o , e n un p u n t o dado
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MATEMATICAS I I
TEMA . IV
LIMITES Y CONTINUL DAD
LABORATORI 0 I - E n c o n t r a r l os l í m i t e s de las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s
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- u t i l i z a r la d i f i n i c i ó n de c o n t i n u i d a d p a r a d e c i r s i l a f u n c i ó n dada es c o n t i n u a o
no en e l p u n t o i n d i c a d o
- , e A "X = - 1 ' 2.
C x ) - x = 2 _
3 ) r Cx) = X Z ~ 3 X - H ¡ ) c = - 2.
f ' S i
JJ • s i x - i
y - a . 5» X JL
2 -
; 5 1 ? = 4 :
. - Exp resa r los v a l o r e s de " X " p a r a los cua' les l a f u n c i o n e s dada sea d i s c o n t i n u a
r t ^ -E X
i) T Cx) c 3¿±J^ -i X + 3 L
í F M =-
¿f) F (•*) =
5) F M =•
V-
3 - i o
-Í
1 0 2 1 1 1 5 1 2
i í n o o «9 Bb'fib nö ionu^ s i i a n b e b 6 t&3 b e b í a n i Jnc:> 9b n o í o i n
( " f Tí;
-X A9 ; \
-c - = K ; X f
1 = K ; ^ J
j L ^ *
4 t . = >v" f 2 '
MATEMATICAS I I
TEMA V
DERIVADAS
OBJETIVO:
Al t e r m i n a r e l tema, e l a lumno sera' capaz de i n t e r p r e t a r g e o m e t r i c ?
mente e l concep to de d e r i v a d a de una f u n c i ó n y c a l c u l a r l a d e r i v a d a
de d i f e r e n t e s t i p o de f u n c i o n e s .
ACTIVIDADES:
1 . - E x p r e s a r á verba lmente e l c o n c e p t o de d e r i v a d a
2 . - Rep resen ta rá g r á f i c a m e n t e e l concep to de d e r i v a d a
3 . - C a l c u l a r á l a d e r i v a d a de a lgunas f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s por d e f i -
n i c i ó n .
i».- C a l c u l a r á p o r los teoremas l a d e r i v a d a de f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s ,
t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r í t m i c a s .
5 . - De f i na e l c o n c e p t o de d e r i v a d a i m p l í c i t a
6 . - D e r i v a r á f u n c i o n e s en las aue "Y " i mp 1 i s i tamen t e .
7 D e f i n a e l concep to de d i f e r e n c i a l e s
8 . - U l t i l i z a r á las f o r m u l a s de d i f e r e n c i a l e s
9 . - D e f i n i r á ' l a ant i - .der i vadas de una f u n c i ó n .
A I O . t C a l c u l a r á l a a n t i d e r i v a d a de una f u n c i ó n usando las f o r m u l a s
1 1 . - A p l i c a r á los concep tos t e o r i c e s a las s o l u c i ó n de prob lemas
r e l a c i o n a d o s con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas
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MATEMATICAS
TEMA V
DERIVADAS
LABORATORIO
vi i
F (xi
A F U) - ^ L ^ + S*
f M = ' y x1-
F W
F tíí X - x
6 ) p M x f i r ^ r
F (*) - 7 - X 1
8) F Cx) ^
D e r i v a r l as s i g u i e o t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o
la d e f i n i c i ó n
I I . - D e r i v a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o los teoremas de d e r i v a d a s
!•] F 6c\ ~ _ + J U -x3
i) F (•*) - - i - + - L . - J L yVx X ^
l) F 6 ) = - - L -
>] F 6 c ) = fr-iXfilVxV)
i) F 6c) V
) F Cx) = I
¿V* 1 - ta . ) 1
^ F M a
j ) F M =
li) F M = J Z t L
^ FCx) - ( x H J 3
26b
\J
= (yd *
X \ 3
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\ 1
+
Í Ó £ jT \
V J \ f
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- X \
V r . KZ) s: f
.sr i . - t
3 r
/5 r
_ ( 6 X - + É X - I
3 X z - f I
D e r i v a r las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r i tmos
, ) F C x ) = S e n ^
t 2-x. z
2.) F ( x ) - e . +
F (.x) •=
4) PCx) -
5) F Cx) •=
' ( i ) P C x ) =
?) F C x ) =
BÌ FCx ) :
^ R x )
\o) F U )
F ( x )
f U )
Un ( S x ^ x - t l )
U i - e < * 7
S e n ( t Cas* >
c + 3 ( ^ - x , ) + SU ( ^ x - x ;
^ ( ^ T T ^ ) x." - x
t a CP"
Jrv { o X ^ H ^ x t l )
13? e -
13) PCx) = j U TSer> ( x 1 - ^ ]
F C x ) „ S c c * C x W ) . M * 9 - ^ }
x**-t x
\
JZC
i +
X i T
D e r i v a r i mp í c i tarnen te l as s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s
a.) -
x 4) ^ * *
U U S O - 6 4
7 ) -
DERIVADAS - 2 2 -
Cuando se s i n t e t i z ó una p r o t e í n a en una c é l u l a , la masa "M" de p r o t e i n a
como f u n c i ó n de t i empo aumentó de acue rdo a la f ó r m u l a .
2 M = p + q t + r t ( donde p , q y r son c o n t a n t e s )
H a l l a r l a razón ¡ n s t a n t a n e a de r e a c c i ó n como f u n c i ó n de " t " , donde la -
r e a c c i ó n es l a razón con que cambia la masa.
( u t i l i z a r l a d e f i n i c i ó n de d e r i v a d a como razón de cambio i n s t a n t a n e a )
Una masa de a i r e f r f o se ap rox imo a una u n i v e r s i d a d . La t e m p e r a t u r a es de " t "
g r a d o s / 1 t " horas después de la media noche , y d i c h a v a r i a b l e s e s t á n r e l a c i o -
nadas med ian te la s i g u i e n t e f u n c i ó n .
T = 0 . 1 (400 - 40 t + t 2 ) t á 12
C a l c u l a r la razón ¡ n s t a n t a n e a de cambio de 11 T " con r e s p e c t o a t a "1 as h o r a s :
a) 0 ho ras
b) 5 horas A.rA.
c) 12 horas P . M
Supongamos que una p r o t e i n a ( masa "M" en g r. ) se d i s g r e g a en aminoác idos - -
seaúh la f o r m u l a : 0
M - i i L + 2
Donde e l t i empo e s t á medido en h o r a s . H a l l a r la razón de cambio i n s t a n t á n e a
para un t i empo . t = 2 h .
El g a s t o de e n e r g f a de a l g u n o s p á j a r o s a l v o l a r se puede m e d i r . Para e l p e r i -q u i t o a u s t r a l i a n o ( M e l o p i t t a c u s u d u l a t u s ) a l g a s t o de e n e r g í a en C a l . g "
_ i K m ( c a l o r í a por gramo a la i n v e r s a y po r k i l o g r a m o s a l a menos uno ) , se -puede d e s c r i b i r med ian te la f ó r m u l a :
E = V | 0 . 0 7 4 ( V - 35 ) 2 + 22 )
_ i donde la " V " es la v e l o c i d a d d e l p á j a r o en Km. h r . ( l a v e l o c i d a d de l v i e n t o
no se cons i d e r a ) .
Se p r o y e c t a qye d e n t r o de " X " meses, la p o b l a c i ó n de una c i e r t a c i u d a d s e r á :
P ( X ) = 2x + 4 X 3 / 2 + 500
¿ A que r í t m o e s t a r á cambiando la p o b l a c i ó n d e n t r o de 9 meses? (
( d e r i v a d a = r i t m o de cambio )
ZAl&Mtt
t o i c 9b ' W 626m 61 »6 iü190 snu os sol-sn o í q &ou ó s i í 9 í o i a 9a obnstjO
. s í u r n i M eí e ob i9U36 9b o í n w i u * oqrng i í 9b o o b n u 1 omoo
( a s í o s í o o o noc 1 y p , q sboob ) S í i + í p + q - «
', , - 2 N I 0 0 S 6 1 6 I 1 £ Í Í &H I 9bfíob " 9b n o i o n u i omoo 00 0 0 6 9 1 9D 6S06Jna> en i •«
.&asm 6 í . 6 i d m 6 0 sup r o o ids fc i s í as no iooe
nos e l omoo 6 b 6 v i i 9 b sb n o i o i n H s b 6 i t 6 S Í í i i ' -
" 1 " 9b 29 S1U Í619<T19Í oJ . bsb i 3 "»9V i HU 60U 6 O m Í X O i q f c 92 9T ¡ 6 9b 636m 6nU <
- 0 - . 0 6 Í 9 1 ns í 29 2 9 ¡ d 6 h B V 6riO i b Y , 9 d O O O 6 ib9m S Í 9 b 29üq29b a S l O O " t 2 0 t 3 6 ' . 0
. n o i o n u ^ s í n s i u p i a 6 l s ín6 Íbs rn 26b6n
£[ 2t , =t o ( 2 1 - í 04 - 004 ) I . O - T
26T od ? 6 Í " 6 í & o í O 9q 2 noo " T " :3b o i d n e o sb 6 S n © í n 6 Í 3 n i nOSBl 6 16 ÍUOÍ6J
a e i o d 0 (e
. M . A 2 o r í 2 (d
M .9 2S10d Sí (o
, , «iis aa n "m" ) 6 n i s í o i q enu 9üp aom6Dnoque - - 2 o b i o 6 o n i m 6 os 6 p 9 i p a i b 92 o / ^ : 6 Í u m i O ^ 6 1 f 1 U P S 2
c + JLL. M
b s n & J M J t n i o l dmso 9b nos s i s i I S I I B H . a s i orí ns ob ibsm * ; « » oqm9Í 3 í s sbnoG ^ — $ , o q m s i í nu 6 i e c
- i - j q f s 616^ . l i b a n sbsuq 9a i 6 Í o v \e aoib[_sq aoruo e sb 6 - 5 1 9 0 9 9b o í a s e (3
% . [63 09 6 ^ 1 9 0 9 9b O j a s p 16 ( s u í s l u b u a u o s í í i q o O M ) o o B i l s U a u s o í i u p
- sa , ( oou aoosm s f 6 a a m s i e o t i * i o q y 62 n i s í B orr:Sir. l o q s i i o l '
: s i u m e r st s i or-
ss + s ( ££ - V ) IKO.O ) ~ ' 3
i i d i 1 oe-.o sbsu'
.10 .mX os o i e l s q í 9b b e b i o o l s v ef as " V " sf sboob i í 09 i V {9b bsbÍOOl9V 6 ! ) . ( 6 i 9 b i anoo
b s b u i o B 3 1 9 Í 0 B O U 9 b o ó i o s i d o q 61 < 3 9 3 9 m « X » s b o i í o 9 b 9 Y p B í o s y o i q
0 0 $ + S N £ X 4 + X S - ( X ) 1
) Í 8 939JI £ 9b o l í 0 9 b o ó i o s f d o i d m B O 6 1 6 í 3 9 o m í l l 9 U p
6 0 9 b o m í i l 6 b 6 V i 1 9 b
- 23 -
6 . - El tamaño de un c u l t i v o de b a c t e r i a s que c r u c e l e n t a m e n t e e s t á dado
ap rox imadamente p o r :
2
N = No + 521 + 2 t ( t i e m p o de ho ras )
H a l l a r la razón i n s t a n t a n e a de c r e c i m i e n t o e n :
t = 5 h o r a s .
1
- 2h -
MATEMATICAS I I
TEMA : VI
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
OBJETIVO:
A l t e r m i n a r e l tema, e l alumno se rá capaz de a p l i c a r l a d e r i v a d a
de una f u n c i ó n , para o b t e n e r l os máximos y mínimos y p u n t o s de -
i n f l e x i ó n de una f u n c i ó n .
ACTIVI DADES:
1 . - D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximos y mínimos r e l a t i v o a una f u n -
c i ó n .
2 . - D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximo y mínimo a b s o l u t o a una f u n -
c i ón .
3 . - D e f i n i r e l concep to de p u n t o c r i t i c o
k . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de la p r i m e r a d e r i v a d a
3 . - C a l c u l a r á máximos y mínimos de una f u n c i ó n usando e l c r i t e r i o de
l a p r i m e r a d e r i v a d a .
6 . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de la segunda d e r i v a d a
7 . - C a l c u l a r á máximos y mínmos de una f u n c i ó n usando e l c r i t e r i o -
de la segunda d e r i v a d a
8 . - A p l i c a r á l os conceptos t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de prob lemas a p l i c a
dos con l a B i o l o g í a y - o t r a s ramas.
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MATEMATICAS I I
TEMA VI APLICACIONES DE LA DERIVADA
LABORATORI 0
I . - E n c o n t r a r los pun tos donde l as s i g u i e n t e s f u n c i o n e s tengan máximos y mínimos
' ) F U ) í x - x + 3
P ( x ) Z 2.X - 3X2* - f Z
PCx) r ± ^ _ Z x 3
4 ) P CX) r 5 . X - Z x 2 " - I b * - l
5 ) P C X ) R I - X 4 - ^ * + I
6>) P-Cx) = -t Z x + I
F e x ) = ^ c x - O 2 ,
8 ) P C x ) - + 1 * - ~ I r
^ p c x ) ^ h ** * v/3 x 3 - y * x 2 -
3 i o ) P C x ) r - 3 *
I l 2A3ITAM3TAM
AV IF30 AJ 30 23*K)ï3A3ïJ<B\ IV AM3T
0l f l0TAfl08AJ
2ó I 9bnob e o i n u q zol ~6$-3no9ffl3 - .1
£ +• x~ "x- = (3Ü q
x J k - or — [ x j -y i
£ . b. •x - x -L r (ao* (e
-f- JC A f ~t _ - (-O5» (*>
- f j c j q
— Je h j : + ^ f
X sV - JC * % iX r U =f
APLICACION DE LA DERIVADA
1 La Ley de Poi sevi l i e a f i rma que la v e l o c i d a d de la sangre que es ta a r
cent ímet ros del e j e c e n t r a l de una a r t e r i a de r a d i o R e s
s ( r ) = c ( R2 . r
2 ) donde C es una constante p o s i t i v a
Donde es mayor la v e l o c i d a d de la sangre?
2 . - Un pez nada cont ra c o r r i e n t e a una v e l o c i d a d constante V r e l a t i v a a l
agua. El agua t i e n e una v e l o c i d a d V , con respecto a l l s u e l o . El pez in
t e n t a a l c a n z a r un punto a una d i s t a n c i a S agua, a r r i b a . La energTa r e -
quer ida esta' esenc ia lmente determinada por la f r i c c i ó n en e l agua y por
e l t iempo t n e c e s a r i o para a l c a n z a r e l o b j e t i v o .
Los exper imentos han demostrado que e s t á energTa es E = CV t donde C > 0
y K > 2 , son c i e r t a s constantes ( k depende de la forma pez ) .
Dados los s i g u i e n t e s datos , que v e l o c i d a d minimiza la e n e r g í a ?
t = . K = 3 ; vi = 3 .6 m/seg. v -v , 1 '
3 . - Una pulga que s a l t a en d i r e c c i ó n v e r t i c a l a lcanza la s i g u i e n t e a l t u r a h
(en metros ) como función del tiempo t ( en seg . )
h - ( V» ) t - ( 4 . 9 ) t 2
H a l l a r la v e l o c i d a d en e l t iempo t - o y la máxima a l t u r a a lcanzada .
4 . - En una reacción a u t o c a t a l i t i ca, una sus tanc ia se c o n v i e r t e en o t r a nueva
sus tanc ia l lamada producto , de modo que e l producto c a t a l i z a su prop ia -
fo rmac ión . Supongamos que la reacción d es proporc iona l a la can t idad X
del producto en e l tiempo t , y también p r o p o r c i o n a l a la cant idad todavfa
u t i l i z a b l e de la sus tanc ia o r i g i n a l .
Si a denota la c a n t i d a d o r i g i n a l de la s u s t a n c i a decrece a - x en e l t iem
po t . por t a n t o .
d x _ k x ( a = x ) ( K es una constante p o s i t i v a )
H a l l a r e l v a l o r p a r t i c u l a r de x que maxi mi za la razón de reacción __dx_
ÍTAM
•M3T
if l0TA#08AJ
aomix6m n6pi 39J
t + X - X
3 («*>
- 27 -
MATEMATICAS I I
TEMA No. V I I
INTEGRALES
OBJETIVO:
A l t e r m i n a r e l tema e l a lumno, i n t e r p r e t a r á geomét r i camente e l
concep to de i n t e g r a l de una f u n c i ó n y l o a p l i c a r á pa ra c a l c u l a r
e l á rea b a j o c u r v a s .
ACTIVIDADES:
1 . - E n u n c i a r á e l concep to de i n t e g r a l i n d e f i n i d a
2 . - E n u n c i a r á e l concep to de i n t e g r a l d e f i n i d a
3 . - I n t e r p r e t a r á geomét r i camen te e l concep to de i n t e g r a l d e f i n i d a
k . - C a l c u l a r á i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s a p a r t i r de f o r m u l a s
5 . - E n u n c i a r á e l teorema fundamen ta l de l c á l c u l o
6 . - C a l c u l a r á i n t e g r a l e s d e f i n i d a s a p a r t i r de l t e o . fundamenta l -
de l c a l c u l o .
7 . - C a l c u l a r á e l á rea l i m i t a d a p o r v a r i a s f u n c i o n e s
8 . - A p l i c a r á los concep tos t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de prob lemas - -
r e l a c i o n a d o s con la B i o l o g f a y o t r a s ramas
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261 í o
^ ATEMATívJIS
TEMA VI I
INTEGRALES
LABORATORIO
. - C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s
) ^ ( e x - s U ^ - S x + a í LO") £ C O S * 2 . X - ^ l x
C - 8 x A-
- %
» > - A l
A)
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Cos 4 x
^ S e n 2 x (Cos2" X + 0 i -
V 3
1%)
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+ ^ x ) e
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- De te rm ina r e l á r e a de la r e g i ó n l i m i t a d a por la g r á f i c a de las ecuac iones dadas
En cada caso d i b u j e la f i g u r a e i n d i q u e c l a r a m e n t e l a r e g i ó n cuya área se p i d e .
0 M = r x. «j n O ; x - O "„ x - 2
2.) A j r 2 . x - * ; M -r - x
3 ) M - X
4 ) ^ r + fex-^ ; 9 = °
4 x - x ;
O ^ 3 x ^ * + 2 ; 2 - *
x + x
- 12 x ' / ^
- ^ te.
j o ) - x ; ^ SO