Relazione di laboratorio di Fisica dello Spazio

Studente Gianluca Napoletano matr.234126

Lo scopo di questa esperienza lanalisi della risposta nel dominio dellafrequenza di un magnetometro di tipo fluxgate utilizzando una procedura au-tomatizzata di controllo del segnale in ingresso e di acquisizione dei dati. Lastrumentazione fondamentale utilizzata consiste in:

un generatore di segnali; un magnetometro di tipo Fluxgate; una bobina di Helmholtz; una scheda di acquisizione dati.

1 Caratteristiche della bobina di HelmholtzIn riferimento alle grandezze riportate in Figura 1, rappresentante schematica-mente una bobina di Helmholtz, sono state misurate con un righello con erroredi sensibilit di 1mm le quantit

dmax = 15, 9 0, 1 cmdmin = 14, 0 0, 1 cmDmax = 30, 5 0, 1 cm

e con un calibro a cursore con errore di sensibilit di 1/20mm la quantit

D = 6, 10 0, 05mmDa queste misure assumiamo quali dimensioni geometriche della bobina studiatanel modello teorico le quantit:

d =dmax + dmin

2= 14, 9 0, 1 cm

per la distanza tra le due bobine, e

D = Dmax D/2 = 30, 2 0, 1 cm

1

Figura 1: Grandezze misurate in relazione alla bobina.

quale diametro degli avvolgimenti circolari. In corrispondenza, si trova per ilvalore del raggio della bobina

R = D/2 = 15, 1 0, 1 cm

consistente entro lerrore con il valore della distanza tra le bobine.A partire da queste informazioni possibile valutare il numero di spire di

cui costituito ogni singolo avvolgimento. Il costruttore fornisce il valore dellacomponente del campo magnetico lungo lasse della bobina per unit di correnteX = 23.93nT/mA. Dalla trattazione teorica noto che il valore di questacomponente del campo al centro della bobina risulta:

B(x = 0) =80In

5

5R

dove I la corrente che attraversa gli avvolgimenti ed n il numero di spire.Posto in questa relazione X = B/I, si ricava

n =X5

5R

80= 4, 018

e quindi il numero di spire per avvolgimento, che lintero pi vicino, 4.

2

Linduttanza della bobina di Helmholtz stata derminata a partire dallamisura della frequenza di taglio del circuito costituito dalla serie della bobina edi una resistenza. Lo schema del circuito il seguente:

dove R0 = 50 limpedenza dingresso del generatore di segnale ed R unaresistenza adottata per creare il circuito RL serie, con valore 10, 2 0.1 misu-rato con il multimetro digitale. Con lo stesso strumento stata misurata anchela resistenza interna della bobina, che risulta inferiore ad 1 ed e perci tra-scurata nel circuito e nei calcoli rispetto ad R. Dallanalisi del circuito si trovaper lampiezza della tensione ai capi di R la relazione:

VR = V0R

(R0 +R)2 + (L)2

In corrispondenza al valore della frequenza di taglio del circuito RL coscostruito, lampiezza della tensione sinusoidale misurata ai capi della resisten-za diviene 1/

2 del corrispondente valore a frequenza zero, dove il circuito si

comporta come un partitore resistivo di tensione continua. Imponendo questacondizione si ottiene che:

VR(T ) =12 VR( = 0) = T = R0 +R

L

Lampiezza del segnale sinusoidale prodotto dal generatore stata posta pari ad1V. Al variare della frequenza, esaminando alloscilloscopio digitale lampiezzapicco-picco del segnale in uscita ai capi della resistenza R, si ricercato il va-lore della frequenza fT per la quale VR = VR( = 0)/

2 ' 120mV, misurando

fT = 3.5MHz. Di conseguenza, noto che T = 2pifT , si ha L = 2, 7 106H.

2 Impostazione dellesperienza ed acquisizione deidati

A monte dellacquisizione dei dati, stato determinato il valore della massimaampiezza del segnale di ingresso che permette al generatore di erogare una formadonda non distorta a causa della potenza finita del dispositivo. La valutazione stata condotta alimentando il circuito di Figura 1, privato della bobina, con

3

una tensione sinusoidale di frequenza fissata pari a 1 KHz e valori di ampiezzacrescente, ed osservando conseguentemente landamento della tensione ai capidi R alloscilloscopio digitale. La forma donda sinusoidale comincia ad esse-re tagliata a partire da un valore di ampiezza della tensione di alimentazionemisurata pari a 1.7V. Per lesperienza successiva si dunque scelto fornire iningresso al circuito di alimentazione della bobina una tensione di ampiezza 1 V,cos da essere certi che il generatore di segnali operi sempre entro la massimacorrente che esso pu erogare al circuito.

Lo schema del circuito precedentemente rappresentato utilizzato per ali-mentare la bobina di Helmholtz, che produce il campo magnetico da fornire iningresso al magnetometro, posto al centro dellasse della bobina. Il segnale intensione in uscita dal magnetometro viene riportato in ingresso alla scheda diacquisizione, che ne realizza un campionamento digitale.

Tramite la procedura automatizzata realizzata in ambiente MATLAB, sifornisce un valore di tensione continua nellopportuno ingresso del generatoredi segnali finalizzato a variare il valore della frequenza del segnale sinusoidalein ingresso al circuito di alimentazione della bobina. La relazione fra questatensione e la frequenza del segnale segue una legge lineare dipendente dal fon-doscala delle frequenze impostato sul generatore. La scheda di acquisizioneesegue il campionamento digitale del segnale ai capi della resistenza R e in usci-ta dal magnetometro. Il campionamento procede per un intervallo di tempo di1 secondo, per un totale di 2000 campioni acquisiti ad ogni frequenza. Sonostate inviate frequenze nellintervallo 2.18 - 10.16 Hz con un passo di 0.4 Hz,e con la successiva impostazione del fondoscala sul generatore, nellintervallo21.8 - 101.6 Hz con passo 4 Hz. Nel primo intervallo, lacquisizione dei valori ditensione in uscita dal magnetometro inizializzata con due secondi di ritardodallaver posto in ingresso al circuito i valori forniti dal generatore di segnale,per ritenere in questo modo che anche con la frequenza pi bassa (' 2Hz) siastato superato il regime transitorio. Analogamente, nel secondo degli intervallidi frequenze, lacquisizione inizializzata con un ritardo di un secondo. Dopounanalisi preliminare dei risultati, sono state inoltre effettuate ulteriori misurenellintervallo tra 10 e 20 Hz.

3 Elaborazione dei dati e conclusioniSuccessivamente, il programma scansiona il file relativo ad ogni frequenza e ri-cerca tutti i massimi relativi del segnale sinusoidale registrato sulla resistenzae sul magnetometro. Da questo insieme di valori si assume quale misura del-lampiezza la loro media, mentre lerrore standard di questo campione assuntoquale indeterminazione su di essa.

La misura VR dellampiezza della tensione ai capi della resistenza R uti-lizzata per la determinazione dellampiezza relativa alla corrente circolante nelcircuito di alimentazione della bobina di Helmholtz, per mezzo della relazione:

4

Figura 2: Punti misurati della funzione di trasferimento in funzione della fre-quenza. Le barre derrore sono ottenute dalla propagazione dellerrore sulrapporto Vmag/B.

I = VR/R

e quindi dellampiezza della componente assiale del campo magnetico da essaprodotto al centro, data da:

B = X I (1)Detta Vmag lampiezza della tensione in uscita dal magnetometro, il plot

dei rapporti Vmag/B in funzione della frequenza (funzione di trasferimento), riportato in Figura 2.

La differenza di fase tra il segnale sulla resistenza e quello in uscita dalmagnetometro estratta con luso di una funzione di autocorrelazione gi im-plementata nellambiente MATLAB. Landamento delle differenze di fase con lafrequenza rappresentato in Figura 3 e mostra come per basse frequenze la dif-ferenza di fase tra il segnale tenda a pi. Ci si aspetta, ovviamente, che tendendoal regime stazionario i due segnali siano in fase; lo sfasamento misurato di pi indice del fatto che lorientazione dellasse del fluxgate, e quindi la convenzionesul segno della tensione da esso fornito in uscita, opposta rispetto a quella delgeneratore.

La Figura 4 rappresenta linterpolazione con una linea continua dellinsiemedei punti mostrati in Figura 2. Con questa rappresentazione della funzione di

5

Figura 3: Differenze di fase misurate tra il segnale in tensione sulla resistenzaR e il segnale in uscita dal magnetometro.

Figura 4: Interpolazione con una linea continua dei punti misurati della funzionedi trasferimento.

6

Figura 5: Retta interpolante i punti della funzione di trasferimento al di sopradella frequenza di 20 Hz

trasferimento viene evidenziato come il magnetometro tagli la risposta relativaa campi magnetici variabili con frequenze al di sopra di un certo valore. Si notainoltre un avvallamento centrato sulla frequenza di 50 Hz, la cui giustificazione verosimilmente dovuta al fatto che il magnetometro sia dotato di un filtromolto stretto attorno a questa frequenza finalizzato ad eliminare le componentidel campo magnetico prodotto dalla rete elettrica.

Definiamo frequenza di taglio del magnetometro fT quella per la quale ilvalore della funzione di trasferimento 1/

2 del valore in banda passante, pa-

ri a 1.147mV/nT, questultimo valore ottenuto mediante il best fit con unaretta orizzontale sul grafico in scala bilogaritmica dei valori della funzione ditrasferimento nel range di frequenze del primo degli intervalli di misura. Alloscopo di determinare questa frequenza, stata effettuata uninterpolazione li-neare dei dati in scala bilogaritmica al di sopra della frequenza di 20Hz, dallaquale parte il ginocchio della caratteristica Vmag/B. In figura 5 mostrata laretta interpolante insieme ai punti sperimentali.

Il valore della frequenza di taglio del magnetometro estratto da questa inter-polazione lineare risulta pari a 41 3 Hz. La rappresentazione di questa misurarispetto alla funzione di trasferimento riportata in Figura 6.

7

Figura 6: Rappresentazione della misura della frequenza di taglio sul graficodella funzione di trasferimento.

8