laboratorio n 02.representacion grafica y tratamiento estadistico de los datos experimentales

7/26/2019 Laboratorio n 02.Representacion Grafica y Tratamiento Estadistico de Los Datos Experimentales

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Ms. Jos Castillo

1

Facultad de Ingeniera

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FSICA I

LABORATORIO N 0

REPRESENTACIN GRFICA Y TRATAMIENTO ESTADSTICO DE LOS DATOS

EXPERIMENTALES

OBJETIVOS . -Estudiar las ecuaciones que permitan el tratamiento estadstico de los datosexperimentales en mediciones directas indirectas y su aplicacin en la ejecucinde experimentos.-Aplicar el tratamiento estadstico a datos experimentales.-Graficar un conjunto de datos experimentales considerando los criterios necesariopara su ejecucin.

FUNDAMENTO TERICO

Proporcionalidad.- Muchas de las leyes dentro de la sica adoptan la forma de funciones

matem!ticas de la forma"

y =axn

(1.1)

donde a y n son constantes reales #positi$as o ne%ati$as&.

'a expresin 1.1. nos indica la proporcionalidad que existe entre dos $aria(les x y) de tal manera

que al variar x independientemente) pro$ocar! la $ariacin de y) en tal sentido ax se le conoce

como variable independiente(v.i) y a y se le denomina variable dependiente(v.d).

Ejemp"

F =Gm1m2 ) representa la L! d la "ra#i$aci%n &ni#r'al) donde "

r2

$.i " r) distancia entre las masas

$.d" ) fuer*a entre las masa m.

E =1

mv2) representa la ener%a cintica de una partcula) donde "

k2

$.i " $, $elocidad de la partcula.

$.d" E+) ener%ia cintica

F =m x2 ) representa a la fuer*a de restitucin dentro del mo$imiento armnico

$.i " x, desplazamiento.

$.d" ) fuer*a de restitucin #-&

,so de las %r!ficas .- resentan (!sicamente tres usos "

1& ermite determinar el valor de alguna magnitud) %eneralmente la pendiente interseccin

de una recta representa la relacin entre dos $aria(les.

2) ir$en de ayuda visual


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Ms. Jos Castillo

/

0& ermite esta(lecer una relacin emprica entre dos variables.


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onstruccin de %r!ficas a partir de datos experimentales.- A continuacin se tiene un conjunto de

re%las que nos permitir!n ela(orar una %r!fica en (ase a datos experimentales.

1) Elegir el papel adecuado.-

2ipo de papel aracterstica Ecuacin

Milimtrico ara coordenadas rectan%ulares uniformes y =m x +b

emilo%artmico resenta un eje de coordenadas lo%artmico y

otro eje de coordenadas rectan%ulares

on$iertey =Aemx

en

una recta

# ln (y) =m ln (x) +ln ( b)

'o%artmico resenta

lo%artmicas

am(os eje de coordenadas on$iertey =Axm

en

una rectalog(y) =m log(x) +log (b

/& Eleccin de la escala.- rocurar que las escalas presenten m3ltiplos de /) 4) 5 etc.) y no de

0)6)7) a fin de a%ili*ar la lectura.) locali*ar los puntos considerando una distri(ucin de acuerdo

a una nomenclatura) tal que no permita confusin) las escalas no se di(ujan al (orde) y

finalmente las escalas no necesariamente necesitan empe*ar en cero) sino que la

determinacin se har! en funcin a los datos experimentales a representar.

18

89

8:

84

8/

8

8 5 18 15 /8

0& Trazado de la curva.- i dentro de un mismo sistema de coordenadas se di(ujan dos o m!s

%r!ficas) entonces es necesario diferenciar cada una de ellas mediante un conjunto de

sm(olos que nos permitan distin%uir una %r!fica de otra. En cuanto al tra*ado) de(er! hacerse

con tra*o fino de l!pi*) y en el caso de ser una cur$a) de(er! hacerse uso de los pistoletes)

procurando un tra*o continuo.


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x

x

x x

xx

x

x

x x

xx

4& endiente !sica.- Es importante dentro de la confeccin de una %r!fica lo%rar una pendiente

que nos permita el c!lculo de una ma%nitud) en cuyo caso ha(remos determinado el $alor de la

pendiente fsica que ri%e al fenmeno en estudio) sta a diferencia de la pendiente %eomtrica)

presenta unidades.

ar%a#;&

1)8

8)9

m =y

=x

0,9 C

150 mm

C

8):

8)4

8)/


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n (x y )(x )(y ) (x2)(y )(x )(x y )i i i i i i i i im=

n(x2)(x)/

b=

n(x2)(x)/

i i i i


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2

0

8

6

15 20 25 30

En al%unos casos es necesario lineali*ar la cur$a) para ejecutar la %r!fica respecti$a) as

tenemos) para el caso de la ecuacin que %o(ierna el comportamiento de un termistor) es de laB

forma R =Ae T ) donde A y > son constantes y 2 es la temperatura medida en +el$in) sin

em(ar%o para desarrollar sta %r!fica es necesario reali*ar el cam(io de $aria(le respecti$o a

fin de (rindarle la forma de una recta) as tenemos que al toma lo%aritmos en am(os

miem(ros) se tiene"

ln ? @ ln A >B2) comparando con la ecuacin de una recta) y @ mx ( ) se tiene "

y @ ln ?C ( @ ln AC x @ 1B2C m @ >) de sta manera haciendo uso de los mnimos cuadrados)

se pueden hallar los $alores de m y () y por consi%uiente los $alores de A y > estar!n

esta(lecidos) puesto que m @ > y A =eb) resultados con los que podemos formular la

correspondiente ecuacin emprica ) que %o(ierne el comportamiento del termistor en estudio)

al reempla*ar los datos hallados en la ecuacin para ?.

uando se asi%nan $alores numricos a las incertidum(res se hacen uso de ciertos ndices de

precisin como los que seDalaremos a continuacin"

Media aritmtica.- 2am(in denominada promedio) se le define con la si%uiente ecuacin "n

Xi

X =X1 +X 2 +X 3 + ........X n

n=

i =1

n(2.1)

Desviacin media.- 'a des$iacin media de un conjunto de datos experimentales de una

determinada ma%nitud se define como"

n

Xi XX = i

=1, (2.2) ) donde

n

X =Desviacin media

n =Nmero de lectras.

Ejemp" En la medicin de la masa de un cuerpo se tienen los si%uientes datos "

4)/ %C 4)8 %C 4)1 %C 4)/ % y 4)8 %. 'ue%o el resultado de esta medicin se puede expresar de la

forma"

m @ #4)1 8)89& %

puesto que el $alor m!s pro(a(le de m se o(tu$o de la forma "

5

mim = i

=1 =4,1!5


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continuacin"

y la incertidum(re asociada a esta medicin se calcula de la forma indicada a


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5

mi mm = i

=1 =0,08!

5

Desviacin estndar.- Es uno de los ndices de dispersin de m!s utilidad) %eneralmente

representado por ) est! definido para un conjunto infinito de lecturas) de la forma si%uiente"

= (2.3)

d la c&aci%n pr'n$ada( $n)o' * =Desviacin t"#ica est$ndar

Xi=%na de las lectras

n =Nmero de lectras.

L a d$r)inaci%n +ac$a d la d'#iaci%n '$,ndar ' ca'i i)po'il( por lo & '

con'idra a &n con/&n$o 0ini$o d )dicion' co)o &na )&'$ra d &n con/&n$o in0ini$o d

la' )i')a' ! a'1 podr calc&lar la )/or '$i)aci%n d ) este c!lculo se representa por 2'3(

c&!o #alor ' rpr'n$a )dian$ la c&aci%n *

s = (2.4) donde "

s @ =es$iacin est!ndar de un conjunto finito de lc$&ra'.

Desviacin estndar del promedio.-

m= (2.6)

m@ =es$iacin est!ndar del promedio.

X @ Falor promedio de los promedios

M @ 3mero de series de mediciones.

'a 3ltima ecuacin tam(in puede ser calculada mediante la ecuacin"

sm=

(2.7)


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CLCUL D! L" D!#$%"C%&' !#'D" !' M!D%C%'!# %'D%!C"#

ea una ma%nitud H) funcin de las $aria(les y I.


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X KXL2iM

s 2s 2XW

W 2 s 2 X 2 s 2X W

JX K 1

L2 s

2

X

H @ f #) I&) para determinar la desviacin estndar asociada a esta funcin se de(e emplear la

ecuacin "

s& = (2.8)

A continuacin estudiaremos al%unos casos que pueden encontrarse dentro de este c!lculo de la

des$iacin est!ndar) en funcin de dos $aria(les asi%nadas.

#*ma y di+erencia de dos variables.

i H @ I) entonces "

s& = (2.9)

,rod*cto de dos variables

i H @ I) entonces

s' = (2.10)

2am(in es facti(le la expresin"

s'='

(2.11)

,otencia

=ada la funcin H ) donde es una constante) entonces "

s' =

s'=

sX'

X

(2.13)

(2.12) ) de donde

%ntervalo de Con+iabilidad.Aplicacin de criterio de aceptacin de datos" Nx - 0 Cx 0O. El

factor 0 que acompaDa a % representa la pro(a(ilidad de que el 77.9P de los datos estn dentro

del inter$alo. Este es un criterio estadstico) por lo tanto) es o(jeti$o y permite descartar datos


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X KX2n

i

1

n 1K

se%3n la distri(ucin de stos) en una campana de Gauss) cuya !rea (ajo esa cur$a representa la

pro(a(ilidad de encontrar cantidad de datos dentro del inter$alo construido.

ualquier dato del conjunto de n medidas que sea menor que la cota inferior o mayor que la cota

superior del inter$alo de confia(ilidad) puede ser descartado del conjunto y $ol$er a calcular el

promedio) la des$iacin tpica y el nue$o inter$alo de confia(ilidad) hasta que nin%3n dato

sea descarta(le. Qasta ah todo el resto de datos son confia(les y corresponde continuar con la


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(3squeda de la incertidum(re del promedio.

Ci0ra' 'i"ni0ica$i#a'.

&i'ras signi'icativas son todos los d%itos se%uros que entre%a el instrumento m!s la primera cifra

estimada. on los d%itos de una lectura de medicin que en notacin cient'ica aparecen al lado de

la (ase 18 y el exponente. #or e(emplo,12,*+#1,2*+x12

tiene + ci'ras signi'icativas, mientras

ue ,2#2,x1-presenta solo dos ci'ras signi'icativas).

El n3mero de ci'ras signi'icativas de una cantidad deri$ada de otras de(e o(tenerse de las

si%uientes re%las"

I ara la suma de 7)7 y 8)01:0) p. ej.)

,

,*1/*

1,21/*

'ue%o el resultado se expresa como 18./

Es decir) el n0mero de decimales del resultado de una suma algebraica debe coincidir con el

n0mero de decimales de auel sumando ue tiene la menor cantidad de ellos .#el mismo criterio se

utili*a para la resta&

IIara la multiplicacin de 0)410 y /)0)

p. ej)

0) 410 x /)0

18/07

:9/:

6)9477

'ue%o el resultado se expresa como 6)9. Es decir) en una multiplicacin" la cantidad de ci'ras

signi'icativas del resultado debe coincidir con auel 'actor de menor n0mero de ci'ras signi'icativas.

#el mismo criterio se utili*a para la di$isin&

ara la multiplicacin de R #*,11+, r@4)5 cm y @55)6 cm)el $alor de R de(e tomarse con al

menos tres cifras si%nificati$as. El resultado final de este producto de(e escri(irse 0)5x18/.

CUESTIONARIO

A continuacin se le alcan*a un conjunto de datos referentes a experiencias reali*adas en el

la(oratorio) a fin de que puedas procesarlos) hallando en cada caso"

1.- Media aritmtica) des$iacin media) des$iacin est!ndar para un conjunto finito de lecturas.

/.- Esta(lece la %r!fica con los datos asi%nados) reali*ando el ajuste $isual correspondiente.

0.- =e no ser una recta) lineali*a la cur$a. Emplea el mtodo de los mnimos cuadrados para

esta(lecer las nue$a#s& recta#s&.


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X XK L2

i

n

sW sX 2 2

W

X

9

4.- =etermina la ecuacin emprica de la cur$a encontrada.


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Aceleracin instant!nea

2ramo #cm& t #s& F#cmBs&1 / 0 4 5 tprom#s&

AA1 18 5)16 5)14 5)87 5)16 5):7AA/ /8 6)14 :)95 :)60 6)89 :)66AA0 08 9)7/ 9)5/ 9)04 9)66 9)09AA4 48 18)55 18)/0 18)99 18)0: 18)/5AA5 58 11)95 11): 11)15 11)6 11)04

onsiderar que F @ /xB t.Graficar F $s. t

ali(racin de un termistor

n 2#S& 2#T& ?#&1 /: 7:)6/ /6 74)40 /9 7/)14 /7 97)75 08 96)9: 01 90)56 0/ 67)/9 00 6:)47 04 64)/18 05 61):

Graficar ?#& $s. 2#T&) lineali*ar la cur$a y %raficar ? $s. 1B2) determinar la ecuacin emprica.

Qacer uso de los mnimos cuadrados.

laboratorio n 02.representacion grafica y tratamiento estadistico de los datos experimentales

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