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L’ellisse L’equazione dell’ellisse
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Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze dadue punti fissi detti fuochi.
L’ellisse L’equazione dell’ellisse
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la forma canonica dell'equazione generale di un'ellisse che ha centro nell’origine e fuochi sull’asse x è
L’ellisse con i fuochi sull’asse x
x 2
a 2+y 2
b 2=1
dove a rappresenta il semiasse appartenente all’asse delle ascisse, b rappresenta il semiasseappartenente all’asse delle ordinate e a > b.
L’ellisse L’equazione dell’ellisse
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Caratteristiche dell’ellisse con i fuochi sull’asse x
Vertici (punti di interazione tra l’ellisse e gli assi cartesiani)
Fuochi F1 − a 2 −b 2 , 0( ) F2 a 2 −b 2 , 0( )
( )0 ,1 aA - ( )bB - ,01
( )0 ,2 aA ( )bB ,02
a 2 −b 2 = c 2con
È simmetrica rispetto agli assi cartesiani e rispetto all’origine.
È tutta contenuta nel rettangolo determinato dalle parallele agli assicartesiani passanti per i suoi vertici.
L’ellisse La retta
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Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazionex 2
16+y 2
9=1
ESEMPIO
Poiché a2 = 16 e b2 = 9, il semiasse maggiore è 4 e quello minore è 3.
I vertici sono i punti di coordinate
A 1 −4, 0( ) B 1 0, −3( )A 2 4, 0( ) B 2 0, 3( )
Dalla relazione ricaviamoa 2 −b 2 = c 2 c 2 =16−9 = 7
I fuochi sono dunque i punti di coordinate F 1 − 7, 0( ) F 2 7, 0( )
y
x-4
-3
3
4
F2F1
L’ellisse L’equazione dell’ellisse
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L’ellisse con i fuochi sull’asse y
L’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse y ha equazione
I fuochi hanno coordinate 0, ± b 2 −a 2( )
con a < bx 2
a 2+y 2
b 2=1
I suoi vertici sono A ±a, 0( ) B 0,±b( )
Vale in questo caso la relazione c 2 = b 2 −a 2
L’ellisse
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Studiamo le caratteristiche dell’ellisse di equazionex 2
9+y 2
16=1
ESEMPIO
Essendo a < b i fuochi appartengono all’asse y
c = 16−9 = 7
a = 3
b = 4
F 0, ± 7( )
L’equazione dell’ellisse
y
x-3 3
4
F2
F1
L’ellisse
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Riassumiamo in una tabella le caratteristiche algebriche dell’equazione di un’ellisse a seconda dellaposizione dei fuochi.
L’equazione dell’ellisse
L’ellisse Eccentricità
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Si dice eccentricità di un'ellisse il rapporto fra il semiasse focale e il semiasse maggiore:
In particolare:
• se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse
• se l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate
e si ha che
e = semiasse focalesemiasse maggiore
e = ca
e = cb
0 ≤e ≤1
L’ellisse Eccentricità
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Per come è definita, l’eccentricità rappresenta loschiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore: piùil valore di e si avvicina a 0, meno l’ellisse èschiacciata, più si avvicina a 1 più lo diventa.
se e = 0 : l’ellisse diventa una circonferenza
se e = 1 : l’ellisse degenera nel segmento F1F2
L’ellisse
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Calcoliamo l’eccentricità di un’ellisse di equazione x 2 +9y 2 = 9ESEMPIO
Scriviamo l’equazione dell’ellisse in forma canonica dividendo entrambi i membri per 9:
x 2
9+ y 2 =1
L’equazione dell’ellisse
Essendo a > b l’ellisse hai fuochi sull’asse delle ascisse
e = ca=a 2 −b 2
a=
9−13
=2 23
L’ellisse
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L’equazione di un’ellisse dipende dai due parametri a e b.x 2
a 2+y 2
b 2=1
Per risolvere problemi sulla sua determinazione sono perciò sufficienti due informazioni indipendenti.
Problemi sull’ellisse
se si conoscono le coordinate di due suoi punti (non simmetrici rispetto ai suoi assi o all’origine) perdeterminare l’equazione si deve imporre alle coordinate dei punti di soddisfare l’equazione canonica.
Per esempio:
L’ellisse
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ESEMPIO
Problemi sull’ellisse
Prendiamo l’equazione dell’ellisse con assi di simmetria gli assi cartesiani e passante per i punti:
A 5, 0( ) B 4, 95
!
"#
$
%&
a 2 = 251625
+8125b 2
=1
!
"#
$#
a 2 = 25b 2 = 9
!"#
L’ellisse ha equazionex 2
25+y 2
9=1
e ha i fuochi sull’asse delle ascisse.
Imponiamo il passaggio per i due punti
25a 2
=1
16a 2
+
8125b 2
=1
!
"
##
$
##
Passaggio per A
Passaggio per B
y
x�
�A
B
L’ellisse
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Per trovare l’equazione della retta tangente ad un’ellisse si deve:
Problemi sull’ellisse
• scrivere l’equazione generale della retta
• impostare il sistema fra l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta
• trovare l’equazione risolvente del sistema
• calcolare il discriminante di questa equazione e imporre che sia uguale a zero.
Le rette tangenti
In particolare, se la retta tangente passa per un punto P (x0, y0) che appartiene all’ellisse, oltre almetodo illustrato si possono usare le formule di sdoppiamento ponendo nell’equazione dell’ellisse:
x0x al posto di x2 y0y al posto di y2
L’ellisse
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ESEMPIO
Problemi sull’ellisse
Determiniamo l’equazione della tangente per P (4, 1) all’ellisse di equazione x 2
20+y 2
5=1
Sostituiamo le coordinate di P nell’equazione dell’ellisse:
1620
+15=2020
=1 P è un punto dell’ellisse.
Possiamo applicare le formule di sdoppiamento: nell’equazione dell’ellisse nella forma x 2 + 4y 2 = 20
operiamo le seguenti sostituzioni:
x0x=4x al posto di x2 y0y =y al posto di y2
L’equazione della tangente per P è quindi 4x + 4y = 20 x + y = 5