Captulo 1

Lgica matemtica

1.1. Formas proposicionalesLa lgica matemtica se ocupa del anlisis de las proposiciones y demostraciones del razon-

amiento lgico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusin deductiva,desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribucin esencial al desarrollo del pensamientocientfico y creador. Esto se manifiesta, por ejemplo, en la correcta comprensin de las estructuraslgicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenmenoslgicos, en la aplicacin de las leyes y reglas lgicas y en la pretensin de claridad, sencillez yeconoma en la expresin lingstica.

Una de las propiedades de la forma de expresin matemtica, es la de representar los objetos,las imgenes mentales, los vnculos y las relaciones mediante smbolos (signos), y combinarlos entres.

Definicin 1.1 ConstanteUna constante es un signo que tiene una determinada significacin fija.

Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigacin o en la solucin de unatarea, siempre la misma significacin.

Definicin 1.2 VariableUna variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio bsico previamenteestablecido.

Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo de cualquier elemento deldominio bsico. Entonces se habla de la sustitucin de la variable, o de la interpretacin de lavariable.

Definicin 1.3 TrminoPor trmino entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos deoperacin y los signos tcnicos.

Los trminos son, por tanto, las denominaciones de los objetos matemticos o las combina-ciones de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediantela interpretacin de las variables se omiten en las designaciones de los objetos matemticos. El ob-jeto matemtico, identificado como un trmino, y en cuya denominacin se omite este calificativo

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despus de la interpretacin de las variables, se conoce como valor del trmino.

Las proposiciones son estructuras lingsticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. Lalgica clsica, a travs de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el con-tenido de verdad de una proposicin. El principio de la bivalencia expresa: Toda proposicin o esfalsa o es verdadera.

De este principio se pueden deducir dos teoremas.1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:Toda proposicin es falsa o verdadera.2. El teorema de la contradiccin excluida, expresa:Ninguna proposicin es falsa y verdadera al mismo tiempo.

En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, ex-presan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede procedera la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibil-idad excluida y del principio de la contradiccin excluida.

A cada proposicin se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es poresta razn que tambin se habla de una lgica bivalente. La asignacin de los valores de verdad F oV de una proposicin, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia seexpresa claramente que una proposicin es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente sicada proposicin es falsa o verdadera. En matemticas existen actualmente muchas proposicionesque hasta el momento no han podido ser demostradas, concebida, la demostracin, como unaaseveracin de la verdad, a continuacin se dan dos ejemplos de este tipo de proposiciones.

Ejemplo 1.1 La proposicin: Todo nmero par que sea mayor que 4, se puede representarcomo la suma de dos nmeros primos, excepto el 2, existe desde el ao 1742. Hasta el momentono se ha podido demostrar si es una proposicin falsa o verdadera. (Suposicin de Goldbach).

Definicin 1.4 Forma proposicionalUna estructura lingstica que contiene por lo menos una variable libre, se convierte en una proposi-cin, cuando se sustituyen todas las variables por smbolos, que denotan objetos del dominio bsico,recibe el nombre de forma proposicional.

Ejemplo 1.2 8 + x

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pueden transformar en una proposicin verdadera, se denominan interpretables. Todas las demsse denominan no interpretables. Entre las interpretables se destacan las formas proposicionales devalidez general, que son aquellas que al hacer cualquier sustitucin por los elementos del dominiobsico se convierten en una proposicin verdadera.

Ejemplo 1.3 (x+ y)2 = x2 + 2xy+ y2 x, y R. En toda sustitucin de x e y por elementosdel dominio bsico se obtiene una proposicin verdadera. Este ejemplo es, por tanto, una formaproposicional de validez general en el conjunto de los nmeros reales. El conjunto solucin es elconjunto de todos los pares (x, y) donde x e y son elementos de un dominio bsico; luego, en estecaso coincide con el conjunto base de solucin. Este ejemplo trata entonces de una identidad.

Ejemplo 1.4 Sea (x+ y)2 = x2 + y2 x, y R.

(x+ y)2 x2 + y2 Valor de verdad0 0 V9 9 V36 36 V9 5 F

361 193 F

La presente tabla muestra que a partir de esta forma proposicional se pueden obtener proposi-ciones falsas y verdaderas. El conjunto solucin es, un subconjunto propio del conjunto base desolucin. El conjunto solucin consta, de los pares ordenados de elementos del dominio bsico.Este ejemplo trata entonces de una neutralidad.

Ejemplo 1.5 x2 5x+ 10 = 0 x R. En el dominio bsico no hay elementos que satisfaganesta forma proposicional, es decir, toda sustitucin la convierte en una proposicin falsa. Esteejemplo trata por consiguiente de una contradiccin.

1.1.1. Operaciones entre proposiciones lgicasEn esta seccin trataremos exclusivamente las proposiciones y las formas proposicionales.

Primeramente, introduciremos algunas combinaciones de proposiciones, mediante las cuales a su vezse obtienen otras proposiciones. Despus obtendremos mediante definiciones las funciones proposi-cionales y ms tarde las funciones veritativas. En todas las operaciones con proposiciones sealare-mos el proceso de abstraccin circunstancia - proposiciones - valores de verdad.

Definicin 1.5 ProposicinDenominaremos proposicin a una frase narrativa que puede calificarse como verdadera o falsa,pero no ambas al mismo tiempo.

Los valores verdadero y falso mencionados en la definicin se denominan valores de certeza ovalores de verdad. As cuando una proposicin se considere verdadera o falsa diremos que dichaproposicin tiene valor de certeza verdadero o falso.

Ejemplo 1.6 Las siguientes frases son proposiciones:- La tierra es plana.- 547 es un nmero primo.- Los nmeros irracionales son complejos.- Los nmeros complejos son un subconjunto de los reales.- La Escuela Politcnica del Ejercito es un instituto de educacin superior.- No es verdadero que 3 sea un entero par o 7 un primo.

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- 2n = n2 para alguna n N.- 289301 + 1 es un nmero primo.- Si un rbol tiene n vrtices, entonces tiene exactamente n - 1 aristas.- 2n + n es un nmero primo para una infinidad de n.- Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos nmeros primos.- Las matemticas son divertidas.- Los rboles son ms interesantes que las matrices.

Ejemplo 1.7 Las siguientes frases no son proposiciones:- Porqu es importante la lgica proposicional?- 323789 ext 205- Porqu es importante la induccin?- x - y = y - x.

Es importante hacer notar que el valor de verdad de una proposicin no es trabajo ni partede la lgica aqu tratada, por tal razn dichos valores los supondremos ya asignados. Todas lasproposiciones constituyen una clase que, a su vez, se descompone en dos subclases, en la clase delas proposiciones verdaderas V y en la clase de las proposiciones falsas F.

La verdad o falsedad de las proposiciones no puede ser demostrada inmediatamente en todoslos casos, pero, para toda proposicin, independientemente de que an no haya sido comprobada nirefutada, solo cabe una de las dos posibilidades, es verdadera V o es falsa F. El proceso de negacinlo denominamos operacin lgica de un lugar. Los enlaces de dos proposiciones, como resultado delos cuales se obtiene una proposicin nica se denominan operaciones lgicas de dos lugares.

Definicin 1.6 Funcin proposicional de n-lugaresCuando a cada n-uplo de proposiciones se le hace corresponder unvocamente una proposicin, estacorrespondencia se denomina funcin proposicional de n-lugares.

Se entiende por n-uplo, un conjunto de n elementos dependientes del orden, en este caso proposi-ciones. De todas las funciones proposicionales, las llamadas funciones proposicionales clsicas tienenuna gran importancia por las razones siguientes:a) porque las restantes funciones se pueden representar en trminos de estas.b) porque en la lgica formal tradicional se han tratado especialmente las cinco siguientes fun-ciones:

Nombre Argumento Funciones proposicionales Nmero de lugaresNegacin P No P Uno

Conjuncin P, Q P y Q DosDisyuncin P, Q P o Q DosImplicacin P,Q Si P, entonces Q DosEquivalencia P, Q P exactamente cuando Q Dos

En estas funciones proposicionales el valor de verdad de la proposicin resultante depende so-lamente de los valores de verdad de los argumentos correspondientes, y no de su contenido, y sedenominan funciones proposicionales extensionales. Adems de las funciones proposicionales clsi-cas existen otras funciones proposicionales que son extensionales.

En el transcurso de las observaciones hemos hecho abstraccin del contenido concreto de lasproposiciones o de los enlaces de proposiciones y, alcanzado las etapas de abstraccin de las fun-ciones proposicionales.

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