l’integrabilita secondo riemann` · 2019. 12. 20. · `e integrabile secondo riemann se e solo se...

LrsquoINTEGRABILITA SECONDO RIEMANN

Tutto cio che ho sempre desiderato saperee non ho mai osato chiedere

prof Antonio Grecohttppeopleunicaitantoniogreco

Dipartimento di Matematica e Informatica

Universita di Cagliari

18-12-2019

Indice

Prefazione 3

Integrali semplici

Due impostazioni a confronto 5Vantaggi e svantaggi 5Equivalenza dimostrazione ele-

mentare 6Equivalenza dimostrazione col

teorema di Lebesgue-Vitali 8

Integrali doppi

Premessa 10Lrsquoimpostazione semplificata e-

quivale a quella usuale 11Integrabilita per rettangoli chiusi 12Integrabilita per successioni 13Limitatezza 13Definizione tramite la misura 14Il teorema di Lebesgue-Vitali 15

Appendice

La tesi di Riemann 18

Bibliografia 21

PREFAZIONE

Questa dispensa ancora nello

stato di bozza da verificare e com-pletare scaturisce da diverse esi-

genze

1) rispondere alla domanda ldquocosacrsquoe di male se divido lrsquointervallo

di integrazione in parti ugualirdquo

2) semplificare la vita agli stu-

denti che nel breve tempo con-

cesso al corso vogliono studia-re la definizione dellrsquointegrale di

Riemann

3) capire il teorema di Lebesgue-

Vitali enunciato dal prof Man-

dras quando ero studente

Sia chiaro che la vera ldquosempli-

ficazionerdquo consiste nel prendereper buona la definizione sempli-

ficata (con lrsquointervallo suddiviso

in parti uguali) e non leggere leprossime pagine

Integrali semplici

DUE IMPOSTAZIONI A CON-

FRONTO

Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si

possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni

Le illustriamo per semplicita

con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x

Impostazione usuale si divide lrsquoin-

tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti

a = x0 lt x1 lt lt xm = b

non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-

detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da

δ = maxh=1m

(xh minus xhminus1) (1)

Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli

aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito

In questo caso i punti di divisio-

ne sono

xi = a+ ibminus a

n i = 0 n (2)

Lrsquoimpostazione semplificata e la

sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-

ca opera del Dini v [4 sect184 pa-

gina 240]

VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-

LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA

Lrsquoimpostazione semplificata pre-

senta alcuni vantaggi

1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-

zionerdquo

2) si fa un limite per n rarr +infin

che e piu congeniale del limite per

δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ

3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-

visione deve tendere allrsquoinfinitordquo

dimenticandosi di dire che δ rarr 0

Lrsquoimpostazione semplificata mo-

stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-

grale

Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e

detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-

li

Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare

suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro

Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-

ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-

le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-

lirdquo

Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco

Verifichiamo che le due imposta-

zioni sono equivalenti fra loro

Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-

ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx

Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt

nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1

f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)

∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)

indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono

come nella (2)

Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti

di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione

xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m

e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha

∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1

f(xlowasth) (xh minus xhminus1)

∣

∣

∣

∣

∣

lt ε

essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione

Possiamo dunque prendere i punti

xi come nella (2) purche

n gt nε =bminus a

δε

e la (3) e soddisfatta concluden-

do cosı la prima parte della dimo-strazione

Seconda parte Supponiamo che

f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-

mostrare che f e integrabile nelsenso usuale

A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di

integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto

Sm =sum

h=1m

(xh minus xhminus1) infIh

f

e

Sm =sum

h=1m

(xh minus xhminus1) supIh

f

con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono

e coincidono rispettivamente con

supD

Sm e infD

Sm

dove gli estremi superiore e infe-

riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z

+ ed al variare del-

la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre

supD

Sm le infD

Sm (4)

E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se

e solo se sussiste lrsquouguaglianza

supD

Sm = infD

Sm (5)

Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n

e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali

tramite i punti xi dati dalla (2)


Consideriamo ora una suddivi-

sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m

parti m ge 1

I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni

contengono uno o piu punti xi con

i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno

Dunque possiamo scrivere

Sm =sum

h=1mIhcapx1xnminus16=empty


f

+sum



f

e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1

Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome

f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0

Inoltre un intervallo Ih che non

contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-

che i e si ha

infIh

f ge infIi

f

Quindi lrsquoultima sommatoria si puo

riscrivere come seguen

sum

i=1

sum

IhsubIi


f

e si puo stimare per difetto conn

sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi

xh minus minxhgeximinus1

xh) infIi

f

Dunque facendo tendere δ a zero

si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1

(xi minus ximinus1) infIi

f

Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-

to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R

si hasupD

Sm ge ℓ

Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere

che

infD

Sm le ℓ

Ma siccome in generale sussiste

la disuguaglianza (4) la (5) e di-

mostrata


Alternativamente la seconda

parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue

Supponiamo che f risulti inte-

grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata

Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di

Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger

Per il teorema di Lebesgue-Vitali

la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se

lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con

ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)

f minus inf(xminusr x+r)

f)

il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-

viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0

In virtu della numerabile addi-

tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha

misura nulla lrsquoinsieme

Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0

Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-

la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1

|Eε0 cap (ximinus1 xi)|

e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-

li Ii che intersecano Eε0 soddisfa

m0 lebminus a

nν (6)

Questa disuguaglianza ci servira

tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-

tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-

le che ω(x) gt ε0

Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin

Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che

f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02

Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere

xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann

Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano

Slowastn minus Slowastlowast

n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)

Quando n tende a +infin poiche Slowastn e

Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-

ro differenza tende a zero e per-

cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare

Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-

le

daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104


Integrali doppi

PREMESSA

La dissertazione di Riemann [10]

riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce

Secondo Kline [7] (pag 1122)

la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni

di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]

La suddetta comunicazione fa

riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel

quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-

grale doppio


LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-

TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE

Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo

ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy

Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-

siamo un intero positivo n e di con-

seguenza i punti di suddivisione

xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n

in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast

ij

In tale suddivisione andiamo a fis-

sare i punti plowastij in modo tale che

f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε

Confrontiamo con Sn le somme di

Cauchy-Riemann definite come diconsueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1

f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)

Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-

gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj

Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma

delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque

S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|

Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast

hk) ge infRhkf ge infRij

f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)

Quando la norma δ della decom-

posizione tende a zero si hasum

RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|

e quindi nella (8) risulta

nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1

(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|

gt ℓminus ε (1 + |R|)

percio esiste δε tale che se δ lt δε si

haS gt ℓminus ε (2 + |R|)

Con un ragionamento analogo si

dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha

S lt ℓ+ ε (2 + |R|)

dunque per la definizione di limi-

te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso

usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ


INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI

Nel testo [2] le somme di Cauchy-

Riemann si costruiscono prenden-do il punto p

lowasthk nel rettangolo

chiuso Rhk

In tal modo e legittimo prende-

re ad esempio plowasthk = p

lowasthk+1 per un

k lt my

Verifichiamo che se una funzio-

ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e

anche per rettangoli chiusi Po-sto

ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy

e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-


xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n

in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε

per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =

(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε

Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di

consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1


dove questa volta si intende plowasthk isin

Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]

Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-

tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj



S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|

Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha

f(plowasthk) ge infRhk

f ge infRijf giungiamo

nuovamente alla (8)

Procedendo come a pagina 11

si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso



INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI

Consideriamo una funzione limi-

tata f R rarr R

Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =

1 n scegliamo un punto plowastij isin

Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Se tutte le successioni di Cauchy-

Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si

haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ

Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-

postazione semplificata

Per ogni n le somme di Cauchy-

Riemann corrispondenti alle diver-

se scelte dei punti plowastij costituisco-

no un insieme Yn incluso in un in-

tervallo [mM ] indipendente da n

Siccome f non e integrabile per

ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge

ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk

e Snprime

kcon-

vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi

Dunque lrsquointegrabilita per suc-

cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale

LIMITATEZZA

Lrsquoipotesi che la funzione inte-

granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-

di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-

mite finito

Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R

allora f e limitata

A tal fine verifichiamo che se

f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-

re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin

Basta procedere come segue Per

ogni n isin Z+ il dominio di integra-

zione R risulta suddiviso in n2 ret-

tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-

ne f non e superiormente limitata

Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast

ij negli altri n2minus 1 ret-

tangoli

Poi sfruttando il fatto che f

non e superiormente limitata in

Ri0j0 prendiamo plowasti0j0

in modo taleche Sn gt n

Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare


DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-

SURA DI PEANO-JORDAN

Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-

cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan

In sintesi si considerano le somme

s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f

dove P = X1 Xm e una qua-

lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili

secondo Peano-Jordan

La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann

sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)

Tale definizione riformula in mo-

do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]

Thomae considerava ldquoelementi

di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-

Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan

Osserviamo che i rettangoli Rij

costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-

lita nel senso usuale (5) implicala (9)

Verifichiamo allora che se f e

integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale

Fissata una partizione P = X1

Xm per ogni n isin Z+ la somma

superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f

si puo ripartire in m sommatorie

piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij

inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-

no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene

Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)

Lrsquoultimo termine e infinitesimo

perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-

Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome

|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f

ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh

f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )

Per lrsquoarbitrarieta di P si ha

limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )

e siccome per ipotesi vale lrsquougua-

glianza (9) ne segue che

limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn

dunque f e integrabile nel senso

usuale come volevasi dimostrare


IL TEOREMA DI LEBESGUE-

VITALI dagger

Il teorema di Lebesgue-Vitali

afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo

Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-

rabile ed ha misura nulladagger

Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-

lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-

pure lo e ma ha misura positiva


tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann

Verifichiamo che lrsquoinsieme dei

suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla

Procediamo come a pag 8 Indi-cato con

ω(x y) = limrrarr0+

(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)

il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-

nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto

Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ

lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-

nuita e lrsquounione

E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ

della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere

di λ


Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha

misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-

sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0

Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in

ciascuno dei ν rettangoli (aperti)

Rij che intersecano Eλ0esiste per

definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0

Quindi prendendo punti plowastijp

lowastlowastij isin

Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che

f(plowastij)minus f(plowastlowast

ij ) geλ0

2

Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0

prendiamo a piacere plowastij

= plowastlowastij Cosı facendo le somme di

Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2

dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan

nulla ricopre Eλ0

Quando n tende a +infin poiche

Slowastn e Slowastlowast

n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero

e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di

Peano-Jordan nulla come voleva-

si dimostrare



VITALI (SEGUE)

Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-

sura nulla secondo Lebesgue

Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann

1 Per gli insiemi chiusi e limi-

tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di

Lebesgue Conviene quindi defini-re

Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ

ed osservare che Fλ e chiuso per

ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti

di discontinuita e lrsquounione

E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ

della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere

di λ

Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la

misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0

2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in

quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-

struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano

Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn

Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per

la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0

Dunque preso ε gt 0 piccolo a

piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε

Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha

ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta

Sn minus Sn le (supR

f minus infR

f) ε+ |R|λ0

Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-

tegrabilita di f segue

Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-

simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel

Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali


Appendice

Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica

di

B Riemann

[omissis]

Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita

4

Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita

Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con

int b

a

f(x) dx

Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε

una frazione propria positiva Allora il valore della somma

S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)

dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ

diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b

af(x) dx

Se essa non ha tale proprietaint b

af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-

cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S

puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e

int b

af(x) dx non avrebbe

nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli

int cminusα1

af(x) dx +

int b

c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con

int b

af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene

qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune

B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica

Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no

Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche

δ1D1 + δ2D2 + + δnDn

deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene

σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆

σ

Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d

lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta

anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d

Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei

quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole

Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt

σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini

lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo


Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b

Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori

[omissis]

dagger Si intende ldquolimitatardquo

Bibliografia

[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977

[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008

[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112

[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878

[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996

[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003

[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996

[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf

[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998

[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854

[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010

[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227

[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875

[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372

Indice

Prefazione

Integrali semplici

Due impostazioni a confronto

Vantaggi e svantaggi

Equivalenza dimostrazione elementare

Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali

Integrali doppi

Premessa

Limpostazione semplificata equivale a quella usuale

Integrabilitagrave per rettangoli chiusi

Integrabilitagrave per successioni

Limitatezza

Definizione tramite la misura


Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

Indice

Prefazione 3

Integrali semplici

Due impostazioni a confronto 5Vantaggi e svantaggi 5Equivalenza dimostrazione ele-

mentare 6Equivalenza dimostrazione col

teorema di Lebesgue-Vitali 8

Integrali doppi

Premessa 10Lrsquoimpostazione semplificata e-

quivale a quella usuale 11Integrabilita per rettangoli chiusi 12Integrabilita per successioni 13Limitatezza 13Definizione tramite la misura 14Il teorema di Lebesgue-Vitali 15

Appendice

La tesi di Riemann 18

Bibliografia 21

PREFAZIONE



genze






Riemann








Integrali semplici


FRONTO










δ = maxh=1m





ne sono

xi = a+ ibminus a

n i = 0 n (2)




gina 240]






zionerdquo









grale



li






lirdquo





ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx


nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)


come nella (2)





∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε




n gt nε =bminus a

δε








Sm =sum

h=1m


f

e

Sm =sum

h=1m


f



supD

Sm e infD

Sm





supD

Sm le infD

Sm (4)



supD

Sm = infD

Sm (5)







parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

PREFAZIONE



genze






Riemann








Integrali semplici


FRONTO










δ = maxh=1m





ne sono

xi = a+ ibminus a

n i = 0 n (2)




gina 240]






zionerdquo









grale



li






lirdquo





ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx


nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)


come nella (2)





∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε




n gt nε =bminus a

δε








Sm =sum

h=1m


f

e

Sm =sum

h=1m


f



supD

Sm e infD

Sm





supD

Sm le infD

Sm (4)



supD

Sm = infD

Sm (5)







parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

Integrali semplici


FRONTO










δ = maxh=1m





ne sono

xi = a+ ibminus a

n i = 0 n (2)




gina 240]






zionerdquo









grale



li






lirdquo





ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx


nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)


come nella (2)





∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε




n gt nε =bminus a

δε








Sm =sum

h=1m


f

e

Sm =sum

h=1m


f



supD

Sm e infD

Sm





supD

Sm le infD

Sm (4)



supD

Sm = infD

Sm (5)







parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia


FRONTO










δ = maxh=1m





ne sono

xi = a+ ibminus a

n i = 0 n (2)




gina 240]






zionerdquo









grale



li






lirdquo





ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx


nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)


come nella (2)





∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε




n gt nε =bminus a

δε








Sm =sum

h=1m


f

e

Sm =sum

h=1m


f



supD

Sm e infD

Sm





supD

Sm le infD

Sm (4)



supD

Sm = infD

Sm (5)







parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia




ne usuale e poniamo

ℓ =

int b

a

f(x) dx


nε risulta∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusn

sum

i=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε (3)


come nella (2)





∣

∣

∣

∣

∣

ℓminusmsum

h=1


∣

∣

∣

∣

∣

lt ε




n gt nε =bminus a

δε








Sm =sum

h=1m


f

e

Sm =sum

h=1m


f



supD

Sm e infD

Sm





supD

Sm le infD

Sm (4)



supD

Sm = infD

Sm (5)







parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia



parti m ge 1





Sm =sum



f

+sum



f






che i e si ha

infIh

f ge infIi

f



sum

i=1

sum

IhsubIi


f


sum

i=1

infIi

fsum

IhsubIi

(xh minus xhminus1)

=n

sum

i=1

(maxxhlexi


xh) infIi

f


si conclude che

supD

Sm gen

sum

i=1


f



si hasupD

Sm ge ℓ


che

infD

Sm le ℓ



mostrata











ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia










ω(x) = limrrarr0+

(

sup(xminusr x+r)


f)








la (2) Poiche si ha

|Eε0| =n

sum

i=1




m0 lebminus a

nν (6)




le che ω(x) gt ε0






Slowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowasti )

e

Slowastlowastn =

bminus a

n

nsum

i=1

f(xlowastlowasti )

soddisfano


n gebminus a

nνε02

e quindi per la (6)


n ge m0ε02 (7)






le



Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

Integrali doppi

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

PREMESSA









grale doppio





ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy




xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n


ij



f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε



S =

mxsum

h=1

mysum

k=1






S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|



f possiamo

scrivere

S ge o(1) +n

sum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| (8)



RhksubRij

|Rhk| rarr |Rij|


nsum

ij=1

infRij

fsum

RhksubRij

|Rhk| rarrn

sum

ij=1

|Rij| infRij

f

gt

nsum

ij=1







S lt ℓ+ ε (2 + |R|)









chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia





chiuso Rhk



lowasthk+1 per un

k lt my




ℓ =

intint

R

f(x y) dx dy



xi = a+ ibminus a

n

yj = c+ jdminus c

n






f(plowastij) lt inf

Rij

f + ε


consueto

S =

mxsum

h=1

mysum

k=1








S = o(1) +n

sum

ij=1

sum

RhksubRij

f(plowasthk) |Rhk|




nuovamente alla (8)







tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia



tata f R rarr R




Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)



haintint

R

f(x y) dx dy = ℓ











e Snprime

kcon-




LIMITATEZZA




mite finito


allora f e limitata











tangoli












s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia






s(P ) =msum

h=1

|Xh| infXh

f

S(P ) =msum

h=1

|Xh| supXh

f





sul rettangolo R se

supP

s(P ) = infP

S(P ) (9)













superiore

Sn =|R|

n2

nsum

ij=1

supRij

f





Sn =|R|

n2

msum

h=1

sum

RijsubXh

supRij

f + o(1)




|R|

n2

sum

RijsubXh

supRij

f le|R|

n2

sum

RijsubXh

supXh

f


f ne segue che

limnrarr+infin

Sn le S(P )


limnrarr+infin

Sn le infP

S(P )


dimostra che

limnrarr+infin

Sn ge supP

s(P )



limnrarr+infin

Sn = limnrarr+infin

Sn





VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia


VITALI dagger














(

supBr(xy)

f minus infBr(xy)

f)






E0 =⋃

λgt0

Eλ = limλrarr0+

Eλ


di λ










lowastlowastij isin



ij ) geλ0

2




Cauchy-Riemann

Slowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastij)

Slowastlowastn =

|R|

n2

nsum

ij=1

f(plowastlowastij )

soddisfano


n ge|R|

n2νλ0

2= |P |

λ0

2


nulla ricopre Eλ0






si dimostrare



VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia


VITALI (SEGUE)











E0 =⋃

λgt0

Fλ = limλrarr0+

Fλ


di λ






Fλ0

Fλ0=

+infin⋂

n=1

Pn = limnrarr+infin

Pn








f minus infR

f) ε+ |R|λ0







Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

Appendice


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia


di

B Riemann

[omissis]


4



int b

a

f(x) dx






af(x) dx





int b



int cminusα1

af(x) dx +

int b


int b









σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia







σ












[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia




[omissis]


Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

Bibliografia















Indice

Prefazione

Integrali semplici





Integrali doppi

Premessa




Limitatezza



Appendice

La tesi di Riemann

Bibliografia

l’integrabilita secondo riemann` · 2019. 12. 20. · `e integrabile secondo riemann se e solo se...

Documents