l’algebra di clifford e il rasoio di occam giorgio vassallo silvia franchini seminario di logica e...
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L’algebra di Clifford e il rasoio di Occam
Giorgio VassalloSilvia Franchini
Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo 27/11/2013
Conoscenza e modelli
La conoscenza scientifica si fonda sulla creazione e la validazione di modelli e paradigmi in grado di codificare e interpretare sia concetti astratti che dati sperimentali.
E’ possibile definire formalmente la qualità di un modello/paradigma?
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Il Rasoio di Occam
Il principio logico del rasoio di Occam afferma il valore della semplicità e della sinteticità.
Tra i diversi modelli che consentono di spiegare un dato fenomeno, si deve preferire il modello più semplice, che non introduce enti inutili.
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
“Pluralitas non est ponenda sine necessitate”
“Frustra fit per plura quod potest fieri per
pauciora”
“Entia non sunt multiplicanda praeter
necessitatem”
Guglielmo di Occam
“Pluralitas non est ponenda sine necessitate”
“Frustra fit per plura quod potest fieri per
pauciora”
“Entia non sunt multiplicanda praeter
necessitatem”
Guglielmo di Occam
Formalizzazione del rasoio di Occam
La qualità di un modello è definita da:
1.Aderenza ai dati e concetti che si vogliono codificare o interpretare (misura di distanza delle informazioni fornite dal modello rispetto alle informazioni attese, es. dati sperimentali)
2.Complessità (numero di assi concettuali, paradigmi, postulati, parametri, variabili necessari alla costruzione del modello)
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Modelli di massima entropia
Principio della Massima Entropia o MaxEnt(E. T. Jaines)
“In presenza di dati e/o evidenze sperimentali riguardanti un ben determinato fenomeno fisico o statistico, per stimarne la relativa distribuzione di probabilità, è sufficiente scegliere un modello che sia [il più possibile] consistente con i dati disponibili ma che altrove abbia la massima entropia.”
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I modelli della conoscenza scientifica
La conoscenza scientifica si fonda sul linguaggio matematico.
Dal punto di vista strettamente epistemologico, seguendo il principio del rasoio di Occam, è fondamentale, quindi, utilizzare un linguaggio ottimale in termini di semplicità e universalità.
Ad esempio, il paradigma classico per formalizzare i concetti della geometria e della fisica mette insieme una serie di simbolismi e linguaggi matematici diversi che violano il principio di massima semplicità portando ad una costosa e pesante frammentazione della conoscenza.
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Il paradigma classico
Il paradigma tradizionalmente usato per formalizzare i concetti della geometria e della fisica è fondato sull’algebra lineare.
L’algebra lineare classica utilizza un insieme limitato di elementi (scalari e vettori) che sono manipolati attraverso un insieme limitato di operatori (prodotto scalare, definito per tutte le dimensioni, e prodotto vettoriale, definito solo in tre dimensioni).
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Il paradigma classico
Le limitazioni dell’algebra lineare hanno portato alla formulazione di tanti micro-modelli separati e alla creazione di una Babele di linguaggi matematici diversi:
Numeri complessi
Quaternioni
Algebra vettoriale
Matrici di Dirac
Coordinate di Plücker
Coordinate omogenee
Spinori
Forme differenziali
Trasformazioni di Lorentz
Equazioni di Maxwell
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Il paradigma classico
Gli stessi concetti sono rappresentati in tanti sistemi diversi.
Ciò comporta costi enormi in termini delle necessarie traduzioni per passare da una rappresentazione all’altra.
Tutte le algebre usate per modellare la fisica e la geometria si possono rappresentare come algebre di matrici.
Le matrici nascondono la semantica delle informazioni, per esempio il significato geometrico delle informazioni codificate. Ad esempio, le matrici ortogonali per rappresentare le rotazioni nascondono il piano e l’angolo di rotazione.
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Un nuovo paradigma
La complessità introdotta dal formalismo classico basato sull’algebra lineare con la sua miriade di micro-modelli e la sua Babele di linguaggi matematici diversi è necessaria?
Esiste un paradigma capace di unificare tutti questi micro-linguaggi in un contesto unico?
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Una risposta ottimale:l’Algebra di Clifford
L’Algebra di Clifford (o Algebra geometrica) risponde pienamente al principio di Occam in quanto
Introduce un formalismo unico ed estremamente semplice.
Fornisce un modello semplificato e un linguaggio matematico unificante per la codifica della conoscenza.
Reinterpreta ed integra diversi linguaggi e termini scientifici in un unico contesto.
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Due semplici postulati !
L’algebra di Clifford è fondata su questi due semplici postulati, ovvero gli assiomi del prodotto geometrico.
Le caratteristiche e le potenzialità dell’algebra derivano esclusivamente da questi due assiomi.
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Prodotto geometrico
Dati due vettori a e b, il loro prodotto geometrico è la somma del prodotto interno ab e del prodotto esterno a∧b.
Il prodotto geometrico (o prodotto di Clifford) è il prodotto fondamentale introdotto da Clifford, dal quale è possibile derivare tutti gli altri prodotti.
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Prodotto geometrico
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a0 a1 a2 a3
b0
b1
b2
b3
ab = (a0b0+a1b1+a2b2+a3b3) +
(a0b1 – a1b0)e0e1+
(a0b2 – a2b0)e0e2 +
(a0b3 – a3b0)e0e3 +
(a1b2 – a2b1)e1e2 +
(a1b3 – a3b1)e1e3 +
(a2b3 – a3b2)e2e3
a = a0e0+a1e1+a2e2+a3e3b = b0e0+b1e1+b2e2+b3e3
scalare bivettore
Prodotto interno eprodotto esterno
Il prodotto interno di due vettori coincide con il classico prodotto scalare.
Il prodotto esterno (o wedge product) di due vettori può essere interpretato geometricamente come un segmento di piano orientato ed è chiamato bivettore.
A differenza del prodotto vettoriale a × b, il prodotto esterno è definito per qualsiasi dimensione.
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BladesIl prodotto esterno di tre vettori può essere
interpretato geometricamente come un elemento di volume orientato ed è chiamato trivettore.
In generale, il prodotto esterno di k vettori è un sottospazio orientato a k dimensioni ed è chiamato blade di grado k o k-blade.
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a∧b∧c
MultivettoriIn uno spazio ad n dimensioni le blades sono in
tutto 2n, mentre il numero di blades di grado k è pari a
Gli elementi generali dell’algebra di Clifford sono detti multivettori.
Il multivettore dell’algebra di Clifford ad n dimensioni è una combinazione lineare con coefficienti reali delle 2n blades di base.
Nello spazio 2D il multivettore ha la forma:
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Codifica binaria delle blades
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Il prodotto geometrico di due blades è lo XOR delle due maschere di bit corrispondenti
Esempio:
e0e1 * e1e2e3 = e0e2e3
0011 1110 = 1101
Blades 4D
Maschera di bit
1 0000
e0 0001
e1 0010
e0e1 0011
e2 0100
e0e2 0101
e1e2 0110
e0e1e2 0111
e3 1000
e0e3 1001
e1e3 1010
e0e1e3 1011
e2e3 1100
e0e2e3 1101
e1e2e3 1110
e0e1e2e3 1111
Prodotto geometrico
Qual è il significato geometrico del prodotto geometrico?
Se a e b sono ortogonali (ab=0)
Se a e b sono collineari (a∧b=0)
Il prodotto geometrico dà una misura della direzione relativa di due vettori.Commutatività => Vettori collineariAnticommutatività => Vettori ortogonali
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Numeri complessi
L’algebra dei numeri complessi è isomorfa all’algebra di Clifford ad 1 dimensione con signature −
L’algebra dei numeri complessi è pure isomorfa alla sottoalgebra di grado pari dell’algebra di Clifford a 2 dimensioni con signature ++
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Il bivettore i
La moltiplicazione per i ruota i vettori di un angolo retto:
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QuaternioniL’algebra dei quaternioni è isomorfa all’algebra di
Clifford a 2 dimensioni con signature − −
L’algebra dei quaternioni è pure isomorfa alla sottoalgebra pari dell’algebra di Clifford a 3 dimensioni con signature +++
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Riflessioni
Riflessione di un vettore a in un piano con normale m
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RiflessioniDimostrazione
Pre-moltiplichiamo e post-moltiplichiamo a per m e invertiamo di segno
Essendo
si ottiene
da cui
Essendo ed m ortogonali e a|| ed m collineari,
si ha
da cui
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Riflessioni
Dimostrazione (cont.)
Essendo m2 = 1
si ottiene
Ma
per cui
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Rotazioni
La rotazione del vettore a si può ottenere attraverso due riflessioni in due piani con normali m ed n, dove il bivettore m∧n è il piano di rotazione e l’angolo θ tra i due vettori m ed n è la metà dell’angolo di rotazione.
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Rotazione di un vettore a
Rotazioni
Prima riflessione
Seconda riflessione
da cui
è il rotore
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Regola di CramerUtilizzando l’algebra di Clifford, si ottiene una
dimostrazione semplice e immediata della regola di Cramer per la soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Sia dato un sistema di equazioni lineari:
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Regola di CramerPre-moltiplichiamo e post-moltiplichiamo per
dove il pedice i indica l’assenza del termine
Semplificando in base alle regole del prodotto esterno, si ottiene:
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Regola di CramerEssendo
con al posto di
si ottiene
che è proprio la regola di Cramer.
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Equazioni di Maxwell
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
ρ☐ Hxy Hxz Ext
-Hxy ρ☐ Hyz Eyt
-Hxz -Hyz ρ☐ Ezt
-Ext -Eyt -Ezt ρ☐
Algebra dello spazio-tempo ovvero
Algebra di Clifford 4Dcon metrica di Minkowski
Le 4 equazioni di Maxwell si riducono ad una sola.
ρ☐ è la quadridensità di carica
simile all’equ. di Dirac con m = 0
J☐ è la quadricorrente
Equazione di Dirac
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Applicazioni dell’algebra di Clifford
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Un po’ di storia
W. K. Clifford, “On the Classification of Geometric Algebras”, Mathematical Papers, R. Tucker, ed., pp. 397-401, Macmillian, 1882.
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
William K. Clifford (1845-1879)
Hermann Grassmann (1809-1877)
David Hestenes (1933-)
William R. Hamilton (1805-1865)
D. Hestenes, “New Foundations for Classical Mechanics”, Kluwer Academic, 1986.
D. Hestenes, G. Sobczyk, “Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics”, Kluwer Academic, 1987.
D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics”.
Un po’ di storia (2)
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Leo Dorst
Stephen Mann
L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 1: Algebra),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp. 24-31, May/June 2002.
L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 2: Applications),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp. 58-67, July/Aug. 2002.
L. Dorst, D. Fontijne, S. Mann, “Geometric Algebra for Computer Science: An Object Oriented Approach to Geometry”, Morgan Kaufmann, 2007.
Ambiti applicativi
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Algebra di Clifford
Computer grafica
Visione artificiale
Robotica
Elaborazione di immagini
Coprocessori grafici innovativi
Le attuali schede video utilizzano, per le elaborazioni grafiche tridimensionali, i modelli geometrici tradizionali basati sull’algebra lineare e sui calcoli matriciali.
Il nuovo paradigma fondato sull’algebra di Clifford consente lo sviluppo di coprocessori grafici innovativi.
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
L’algebra di Clifforde la computer grafica
Per le applicazioni grafiche si utilizzano le algebre di Clifford 4D e 5D.
Le algebre di Clifford 4D e 5D rappresentano i modelli più potenti della geometria euclidea tridimensionale:Modello omogeneo (coordinate omogenee)Modello conforme
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Modello omogeneo(coordinate omogenee)
Algebra di Clifford 4D
Modello conforme Algebra di Clifford 5D
Il modello omogeneo
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22
33
44
11
L’intersezione di due rette si
ottiene applicando
semplicemente l’operatore “meet” ai due
bivettori
Gli oggetti geometrici
sono rappresentati direttamente dagli elementi dell’algebra
4D
Il modello conforme
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Punto= c ∧ ∞Retta= a ∧ c ∧ ∞Cerchio= a ∧ b ∧ cPiano= a ∧ b ∧ c ∧ ∞Sfera= a ∧ b ∧ c ∧ d
Tutti gli oggetti geometrici (compresi cerchi e sfere)
sono rappresentati direttamente dagli
elementi dell’algebra 5D
Tutte le operazioni geometriche conformi (rotazioni, traslazioni,
dilatazioni) si ottengono attraverso il prodotto
geometrico con operatori detti versori
X può essere di qualsiasi dimensione !
Implementazioni dell’algebra di Clifford
Lo sviluppo di coprocessori grafici basati sull’algebra di Clifford richiede la ricerca di implementazioni efficienti dal punto di vista computazionale delle algebre di Clifford 4D e 5D
Implementazioni esistenti: Implementazioni software Implementazioni hardware
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Algebra di Clifford 4D
Un generico multivettore dell’algebra di Clifford 4D contiene 24 = 16 blades, dove ogni blade è una coppia coefficiente-blade di base
Come è possibile rappresentare le blades del generico multivettore?
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m = s0+
a0e0+a1e1+a2e2+a3e3+
a01e0e1+a02e0e2+a03e0e3+a12e1e2+a13e1e3+a23e2e
3+
a012e0e1e2+a013e0e1e3+a023e0e2e3+a123e1e2e3+
a0123e0e1e2e3
Codifica binaria delle blades
Il prodotto geometrico di due blades è lo XOR delle due maschere di bit corrispondenti
Esempio:
e0e1 * e1e2e3 = e0e2e3
0011 1110 = 1101
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Blades 4D
Maschera di bit
1 0000
e0 0001
e1 0010
e0e1 0011
e2 0100
e0e2 0101
e1e2 0110
e0e1e2 0111
e3 1000
e0e3 1001
e1e3 1010
e0e1e3 1011
e2e3 1100
e0e2e3 1101
e1e2e3 1110
e0e1e2e3 1111
Una rappresentazione orientata all’hardware
Qual è la migliore rappresentazione degli elementi dell’algebra di Clifford nell’ottica di una esecuzione delle operazioni di Clifford direttamente in hardware?
La rappresentazione naturale, basata sugli elementi omogenei, ha il difetto di utilizzare elementi di dimensione variabile.
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Elementi omogeneispazio 4D
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BladesElemento omogeneo
1 scalare (s)
e0 e1 e2 e3 vettore (v)
e0e1 e0e2 e0e3 e1e2 e1e3 e2e3 bivettore (b)
e1e2e3
e0e2e
3
e0e1e
3
e0e1e
2
trivettore (t)
e0e1e2e
3pseudoscalare (p)
multivettore 4D – rappresentazione basata su elementi omogenei
m = (s, v, b, t, p)
Necessità di una rappresentazione più compatta
Blades
1
e0
e1
e2
e3
e0e1
e0e2
e0e3
e1e2
e1e3
e2e3
e0e1e2
e0e1e3
e0e2e3
e1e2e3
e0e1e2e3
Una rappresentazione di dimensione fissa
Qual è il modo ottimo di posizionare le 16 blades del multivettore 4D in una matrice 4x4?
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1
e0
e1
e2
e3
e0e1
e0e2
e0e3
e1e2
e1e3
e2e3
e0e1e2
e0e1e3
e0e2e3
e1e2e3
e0e1e2e3
24 42
?
Dalle blades alle quadruplette
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
BladesQuadruplet
ta
e0 e1 e2 e3 V
e1e2e3
e0e2e
3
e0e1e
3
e0e1e
2
T
1 e0e1 e0e2 e0e3 S
e0e1e2e
3
e2e3 e1e3 e1e2 P
vettorescalare
trivettore
bivettore
pseudoscalare
multivettore 4D – rappresentazione basata su quadruplette
m = (V, T, S, P)
Blades
1
e0
e1
e2
e3
e0e1
e0e2
e0e3
e1e2
e1e3
e2e3
e0e1e2
e0e1e3
e0e2e3
e1e2e3
e0e1e2e3
Quadruplette - Vantaggi
Elementi di dimensione fissa
Architettura hardware compatta e veloce
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Semplificazione delle operazioni algebriche
Il prodotto di due quadruplette dà come risultato la somma di due quadruplette
Tutte le operazioni di prodotto possono essere ricondotte ad un’unica operazione: prodotto di due vettori V
Quadruplette - Vantaggi
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
V 0001 0010 0100 1000
T 1110 1101 1011 0111
S 0000 0011 0101 1001
P 1111 1100 1010 0110
V e0 e1 e2 e3
T e1e2e3 e0e2e3 e0e1e3 e0e1e2
S 1 e0e1 e0e2 e0e3
P e0e1e2e3 e2e3 e1e3 e1e2
XOR con 1111
XOR con 0001
XOR con 1110
T, S e P possono essere ottenute attraverso operazioni XOR tra V e opportune maschere di bit
I = e0e1e2e3 1111
W = e0 0001
Z = e1e2e3 1110
Maschere di bit
Quadruplette - Vantaggi
Il prodotto di due quadruplette dà come risultato la somma di due quadruplette
Formato unico per i dati di input e di output
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
* V T S P
V S + P S + P V + T V + T
T S + P S + P V + T V + T
S V + T V + T S + P S + P
P V + T V + T S + P S + P
Quadruplette - Vantaggi Tutte le operazioni di prodotto tra due quadruplette di qualsiasi tipo
possono essere ricondotte ad un prodotto tra due vettori
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
T S
Pre-processing Pre-processing
IrT=V V=SW
Vector_Product
S + P
Post-processing
I (S + P) Wr
4 4
4 4
4 4+
4 4+
Le due quadruplette sono trasformate in due vettori attraverso uno stadio di pre-processing che consiste in semplici cambiamenti di segno dei coefficienti
Si esegue il prodotto geometrico dei due vettori
Le due quadruplette del risultato sono ottenute attraverso uno stadio di post-processing che consiste in semplici operazioni di cambiamenti di segno e/o swapping
Esempio
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
a0 a1 a2 a3T
- a0 a1 - a2 a3V = IrT
b0 b1 b2 b3
b0 - b1 - b2 - b3
S
SW = V
c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
V * V
c4 c5 - c6 c7 - c0 - c1 c2 - c3
Pre-processing solo cambiamenti di segno
Post-processing solo cambiamenti di segno e swapping
Esempio: T*S
Conclusioni
La rappresentazione semplificata basata sull’uso delle quadruplette ha consentito lo sviluppo di un’architettura hardware veloce e compatta.
E’ stata progettata e realizzata una famiglia di architetture dedicate per l’esecuzione nativa delle operazioni di Clifford 4D e 5D.
I risultati sperimentali hanno mostrato un significativo aumento delle prestazioni rispetto all’esecuzione su processori general-purpose tradizionali.
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Bibliografia D. Hestenes, “New Foundations for Classical Mechanics”, Kluwer Academic,
1986.
D. Hestenes, G. Sobczyk, “Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics”, Kluwer Academic, 1987.
D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics”.
L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 1: Algebra),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp. 24-31, May/June 2002.
L. Dorst, S. Mann, “Geometric Algebra: A Computational Framework for Geometrical Applications (Part 2: Applications),” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp. 58-67, July/Aug. 2002.
L. Dorst, D. Fontijne, S. Mann, “Geometric Algebra for Computer Science: An Object Oriented Approach to Geometry”, Morgan Kaufmann, 2007.
Silvia Franchini, Giorgio Vassallo, Filippo Sorbello, “A brief introduction to Clifford algebra”, Rapporto tecnico N. 2/2010, Dipartimento di Ingegneria Informatica - Università degli Studi di Palermo, 2010, http://www.dinfo.unipa.it/~franchini/CliffTechRep.pdf.
27/11/2013Seminario di Logica e Filosofia della Scienza Università degli Studi di Palermo
Bibliografia Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo,
Salvatore Vitabile, “Design and implementation of an embedded coprocessor with native support for 5D, quadruple-based Clifford algebra”, IEEE Transactions on Computers, Vol. 62, No. 12, pp. 2366-2381, 2013.
Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “Design Space Exploration of Parallel Embedded Architectures for Native Clifford Algebra Operations”, IEEE Design and Test of Computers, Volume 29, Issue 3, May-June 2012, pp. 60-69.
Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “Fixed-size Quadruples for a New, Hardware-Oriented Representation of the 4D Clifford Algebra”, “Advances in Applied Clifford Algebras”, Volume 21, Issue 2, June 2011, pag. 315-340, Springer Basel AG.
Silvia Franchini, Antonio Gentile, Filippo Sorbello, Giorgio Vassallo, Salvatore Vitabile, “An Embedded, FPGA-based Computer Graphics Coprocessor with Native Geometric Algebra Support”, Integration, The VLSI Journal, Vol. 42, No. 3, June 2009, pp. 346-355, ISSN: 0167-9260, doi: 10.1016/j.vlsi.2008.09.010.
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