l’analisi marginale ed il problema della produzione · l’analisi del caso lineare nel piano...

L’Analisi Marginale ed il problema della produzione

Massimo Paolucci

([email protected])

DIST – Università di Genova

2

Il problema della produzione

Problemi micro-economici delle aziende:• quali prodotti produrre (tra quelli compatibili)

• in quali quantità produrre i prodotti

• se introdurre o meno nuovi prodotti

• come utilizzare le risorse disponibili (limitate)

• a quale prezzo vendere

• ...

Prodotto ⇒ bene o servizio

Il metodo dell’analisi marginale:• non considera la domanda di prodotti

• analizza il processo di offerta dei prodotti

• si basa sulla formalizzazione del processo di trasformazione tecnologica delle risorse in prodotti

• si basa su considerazioni locali e marginali

3Il problema della produzione – la funzione di produzione

La decisione economica circa l’offerta di prodotti richiede la valorizzazione delle risorse e dei prodotti stessi (processo complesso)

L’analisi dell’offerta utilizza un modello semplificato: la funzione di produzione (funzione tecnologica)

Risorse Prodotti

Tecnologia

Processo di

Trasformazione

Funzione di Produzione (FP)Date r risorse e x prodotti, la FP è il luogo dei punti di trasformazione efficiente, ossia dei punti corrispondenti alle massima produzione a parità di risorse

4Il problema della produzione – la funzione di produzione

Caratteristiche della FP x = x(r) (esempi grafici monodimensionali)

• Andamento generale della FP (rendimento del processo di trasformazione)

Non ammissibile

r

x

Ammissibile

x*

r*

x

rendimenti crescenti

r

rendimenti decrescenti

zona di inefficienza

FP convessa FP concava

il problema è significativo in questa zona

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Il problema della produzione – l’analisi marginale

L’analisi marginale considera la FP x = x(r) monotona crescente e concava (nel seguito considereremo l’analisi di un prodotto)

Prodotto Marginale (MP)• Data la FP x = f(r) (indicata anche con x = x(r) )

• Indica come varia la produzione al variare della risorsa i-ma con le altre risorse fissate

• è una proprietà locale (dipende dal punto r* in cui è calcolato)

x

r

MPf(r)

*riii r

)r(xr

)r(fMP

∂∂=

∂∂=

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Nella zona a rendimenti descrescenti MP è descrescente

La FP considera una tecnologia fissata: per aumentare la produzione a parità di risorse è necessario cambiare la tecnologia

Si produce sempre sulla curva (non si sprecano risorse)

L’andamento della FP considerato:

Nella teoria della produzione l’analisi della FP è effettuata:• sul breve periodo per stabilire la produzione più economica a disponibilità

di risorse fissate

• sul lungo periodo, per determinare la scala ottima di produzione

x

rrmin

f(r)

rmax

7


Analisi nel lungo periodo: il Rendimento di Scala

Rendimento di scalaLa variazione della produzione quando variano gli input (risorse) di una quantità proporzionale fissata (r →λr)

• Cambia la scala del processo ma non la tecnologia

• Se f(r) è omogenea di grado m: x0=f(r0) ⇒ λmx0=f(λr0) con λ>1

• Si parla di:Rendimenti crescenti per m>1

Rendimenti costanti per m=1

Rendimenti descrescenti per m<1

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Analisi nel breve periodo: gli Isoquanti di Produzione

Isoquanto di produzioneLe curve nello spazio delle risorse ( r ) corrispondenti ad una produzione costante

• Corrispondono alle proiezioni nello spazio delle r delle curve f ( r ) = K cost.

• Definiscono delle relazioni di sostituibilità tra le risorse (più combinazioni efficienti di risorse per produrre)

r1

r2

x

9


Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS)

• Considerando due risorse

• I punti A e B corrispondono alla stessa produzione x0 ottenuta con una diversa combinazione di risorse

r1

r2

x0

x1

x2

A

B

10


Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS)• Definito sugli isoquanti

• Permette di valutare gli effetti di certi cambiamenti di tecnologia

• Indica di quanto si deve variare l’uso di alcune risorse per mantenere la produzione costante a fronte di una diminuizione dell’uso di altre risorse

• Esprime una proprietà marginale e locale (dipende dal punto r*)

• E’ definito per coppie di risorse

• E’ sempre negativo

r1

r2

x=f(r1,r2)=K

∆r1

A

B

∆r2

∑ ∂∂∂=∂

ii

ir

rf

x

221122

11

rMPrMP0rrf

rrf

0x ∂+∂⇒=∂∂∂+∂

∂∂

⇒=∂

2

1

1

212 MP

MPrr

MRS −=∂∂=

11Il problema della produzione – l’analisi marginale

Il caso lineare (la PL)• Il consumo delle risorse è costante

• La funzione di produzione (singolo prodotto) è una retta così come la sua proiezione nello spazio r

• L’isoquanto per un singolo prodotto è un punto (non c’è sostituibilità)

r1

r2

x

a1r1

a2r2

12


Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse

• Approccio con risorse monetizzabili:stessa unità di misura del prodotto

difficile da applicare (e.g. nel settore pubblico)

massimizzare differenza tra il valore dei prodotti ed i costi delle risorse

La funzione di produzione x = f(r) (f vettoriale)

Valore delle risorse h(r)

Valore dei prodotti (ricavo vendita) v(x)

{ }

)r(fx

)r(h)x(vmaxr,x

=

−

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• Approccio con risorse non monetizzabili:si risolvono due sottoproblemi (soluzione sub-ottima rispetto al caso precedente)

le funzioni h(r) e v(x) hanno diverse unità di misura

(a) Minimizzazione del valore delle risorse per una produzione x* fissata

(b) Massimizzazione del valore dei prodotti fissato il valore delle risorse

*x)r(f

)r(hminr

=Uso efficiente delle risorse

H*))x(r(h

)x(vmaxx

=

Uso efficace delle risorse

dove r(x)=f-1(x)

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• Si risolve (a) provando (in teoria) tutti i livelli di produzione possibili, ottenendo i valori minimi delle risorse necessari

• Si risolve (b) per i valori di risorse ottenuti cercando la combinazione di prodotti più vantaggiosa

• Osservazioni:in (b) si può imporre h(r(x*))≤H

la soluzione dei problemi può non essere semplice o attuabile

spesso si risolve uno solo problema: fissato il throughput si ricavano le risorse necessarie

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Soluzione analitica del problema della produzione

• Caso monodimensionale (singolo prodotto)

*x)r(f

)r(hminr

=

))r(f*x()r(hmin,r

−λ+λ

))r(f*x()r(h),r(l −λ+=λ lagrangiana

=⇒=λ∂

∂

=∀=∂∂λ−

∂∂=

∂∂

*x)r(f0l

n,...,1i0rf

rh

rl

iii(risorse)

n+1 equazioni in n+1 incognite

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Soluzione analitica del problema della produzione

• Costo Marginale (MC)Variazione del costo rispetto alle variazione della risorsa i-ma

• La condizione all’ottimo

i

rfrh

i

i ∀

∂∂∂∂

=λ j,i

rf

rh

rfrh

j

j

i

i ∀

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

ii r

)r(hMC

∂∂=

ii r

)r(fMP

∂∂=

*x)r(f

j,iMP

MC

MPMC

j

j

i

i

=

∀=

17


Soluzione analitica del problema della produzione• Graficamente

Due risorse con costo lineare: h(r1,r2) = c1r1+c2r2 (c1,c2>0)

Nel punto di tg per piccole variazioni delle risorse non varia nè il prodotto nè il costo delle risorseDomande:

– Qual è l’andamento di h(r) lineare nello spazio?– Cosa succede se h(r) non è lineare?

2

1

2

1MPMP

MCMC =

r1

r2

f(r1,r2)=x*

isoquanto

ottimo

isocostoNel punto di ottimo

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Soluzione analitica del problema della produzione• Le curve di isocosto

Luogo dei punti dello spazio delle risorse a parità di costo delle risorse

Che significato hanno le isocosto concave o convesse? Cammino di espansione: luogo dei punti nello spazio delle risorse che rappresentano la combinazione ottima (efficiente) delle risorse per produrre il prodottoRappresenta l’evoluzione della produzione quando aumenta (punti soluzione di (b))

r1

r2

isoquanto

Cammino di Espansione

isocosto

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Approfondimenti

• Verificare nel caso di FP monodimensionale il significato dell’ipotesi di concavità della FP

Costi e ricavi lineariCosti lineari e ricavi con saturazione

• Andamento di una FP in più dimensioni (e.g. x=f(r1, r2))concavità efficiente ed andamento degli isoquanti

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L’analisi del caso lineare nel piano delle risorse

Il problema

Ipotesi• Le variabili xj: quantità di uno stesso prodotto prodotte con

tecnologie diverse (processi produttivi)• Coeff. aij: differente uso delle risorse dei diversi processi produttivi• Coeff. cj: guadagni associati ai processi produttivi (ricavi-costi)• Analisi rispetto 2 risorse (possibile l’analisi grafica)

Due problemi• Massimizzare la produzione • Massimizzare il guadagno

0x

bxA

xcmax T

≥≤

21


La funzione di produzione dei processi• Retta nello spazio (e.g., per il processo 1)

• Identifica la combinazione di risorse che permette la realizzazione del processo

• Un esempio con Excel ...

r1

r2

x1

a11

a21

1

===

tx

tar

tar

1

212

111

22


La funzione di produzione dei processi• La proiezione nel piano delle risorse di più processi

• Processi efficienti e processi dominati

r1

r2 x1

a11

a21

1

x2

x3

x41

1

1

a22

a12

r1

r2

a11

a21

x1

x2

1

1a22

a12

regione dominata da x1

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Gli isoquanti• La pendenza delle rette è a2i/a1i

• I punti sulle rette rappresentano i diversi livelli di produzione• Unendo punti sulle rette a parità di produzione si ottengono dei

segmenti che identificano la produzione combinata

• Isoquanti = luogo dei punti a produzione costante⇒ la spezzata che unisce i punti a pari produzione

r1

r2x1

1 x2

x3

1

1

p

a

b

===

tx

tar

tar

1

212

111

===

vx

var

var

2

222

121

+=+=

+=

vtx

vatar

vatar

22212

12111

24


Gli isoquanti• Eliminando t e v si ottiene il segmento dell’isoquanto relativo alla

combinazione di x1 e x2

• La curva definisce l’uso delle risorse a produzione fissata• Gli isoquanti sono formati solo dai segmenti che identificano una

combinazione efficienti di coppie di processi

r1

r2x1

1 x2

x31

1

1112

1112122212 aa

xar)aa(xar

−−−+=

+=+=

+=

vtx

vatar

vatar

22212

12111

x1-x3 è dominato da x1-x2 e x2-x3

25


Gli isoquanti• Se si varia il livello di produzione si ottiene una spezzata parallela

r1

r2

x1

1 x2

x31

1

26


Gli isoquanti• Nelle zone A e B la produzione avviene con spreco di risorse

• Le risorse in R:non permettono la produzione x1 di Ppermettono la produzione x1 di Qcon sprecopermettono la produzione x2 di Ncon spreco

r1

r2

x1

1 x2

x31

1B

A

r1

r2

x1

Q

x2P

R

N

27


Gli isoquanti• Nelle zone oltre gli ultimi processi divengono paralleli agli assi

r1

r2

x1

1x2

x31

1

28


Il problema della massimizzazione della produzione• Si considera la disponibilità delle risorse• Si identifica l’isoquanto ammissibile associato alla maggior

produzione

Quali sono i processi prodotti?

r1

r2

x1

ottimox2

x3

b2

b1

29


Il problema della massimizzazione del guadagno• Si devono costruire le curve di isoguadagno:

ai punti sulle le rette dei processi vengono associati i valori di guadagno (scalando con i coeff. cj)si uniscono i punti a pari guadagno identificando una diversa spezzata

r1

r2

x1

x2

x3

1

C1

1

1 isoquanto

isoguadagno

C2

C3

===

=tcG

tar

tar

)x(guad

11

212

111

1

30


Il problema della massimizzazione del guadagno• Le curve di isoguadagno devono risultare convesse

esempio: x2 non verrà mai prodotto perchè a parità di guadagno

consuma più di x1 e x3

r1

r2

x1

x2

x3

G=1

G=1

G=1

dominata

dominata

31


Il problema della massimizzazione del guadagno• La produzione a guadagno massimo

• Cosa accade se si considera un problema di blending (e.g., la dieta)? ... un esempio con Excel

r1

r2

x1

x2

x3

ottimo

b2

b1

32


Il Simplesso nel piano delle risorse• Consideriamo il problema di Product-Mix con 2 risorse

• Le xj rappresentano diversi processi con cui produrre un prodotto

• I guadagni unitari: cj = p – kj dove

p = prezzo unitario del prodotto

kj costo delle risorse necessarie a produrre un’unità di prodotto con il processo j-mo

pi costo unitario della risorsa i-ma

• La soluzione di base iniziale ⇒ produzione nulla, slack in base

0x

bxA

xcmax T

≥≤

∑=

⋅=m

1iiijj pak

33


Il Simplesso nel piano delle risorse• I passi del Simplesso

Chi entra e chi esce di base ad ogni passo? Perchè?

r1

r2

x1

x3

x2Ottimo

b2

b1A

(soluzione iniziale)

B

ipotesi c1>c2>c3

C

isoguadagno

34


Il Simplesso nel piano delle risorse• I passi del Simplesso

Il ragionamento deve considerare le variabili di slack delle 2 risorse.

• Esercizi...

ipotesi c3>c2>c1

ipotesi c2>c1>c3

r1

r2 x1x3

x2

b2

b1A

r1

r2x1

x3

x2

b2

b1A

35


Il Simplesso nel piano delle risorse• Il Simplesso cerca le nuove soluzioni in modo da aumentare il

guadagno assoluto

• Si sposta verso guadagni marginali decrescenti (ovvero costi marginali delle risorse crescenti)

Ipotizzando il costo lineare h(x) = k1x1+k2x2 si può verificare l’andamento

del costo di una risorsa (e.g., r2) in funzione di x=x1+x2

r1

r2 x1

x2b2

b1O

1

A B

+=+=

21

2221212

xxx

xaxab

il consumo di r2 in A

36


Il Simplesso nel piano delle risorseRicaviamo x1 e x2 in funzione di x e verifichiamo la forma di h(x)

r1

r2 x1

x2b2

b1O

1

A B

−−=

−−=

2122

2122

2122

2221

aaxab

x

aabxa

x

in A

=

=

0x

ab

x

2

21

21

h(x)

x

k1

21

2ab

37


Il Simplesso nel piano delle risorseDa A a B x1 e x2 sono entrambe positive e poichè a22-a21<0

r1

r2 x1

x2

b2

b1O

1

A B

2221

2122

2221

2221 aa

xabk

aaxab

k)x(h−

−⋅−−

−⋅=

h(x)

x

k1

21

2ab

a21

a22

“B”

2221

221

2221

122aaka

aaka

−+

−−

coeff. angolare

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Il Simplesso nel piano delle risorse

• h(x) è più ripida andando da A a B, infatti

k2 > k1

c1 > c2 perchè x1 è entrata per prima in base

• il costo marginale cresce andando verso l’ottimo

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La pianificazione della produzione: modelli lineari

Production Planning• definire i livelli di produzione su un orizzonte temporale di N periodi

• nei diversi periodi può variare:la capacità produttiva

i costi di produzione, i costi di magazzino, i costi di set-up

la domanda (con e senza backlogging)

t1 t2 tNz0magazzino

iniziale

zNmagazzino finale

produzione periodo 1 x1

d1

domanda periodo 1

z1

40


Production Planning• Il modello a singolo prodotto:

xi produzione nel periodo i

zi magazzino nel periodo i (fine periodo)

pi costo di produzione nel periodo i

hi costo di inventory nel periodo i

ci capacità produttiva nel periodo i

di domanda nel periodo i

M0 magazzino iniziale( )

N,...,1izx

N,...,1i0z0x

Mz

N,...,1icx

N,...,1idzzx

zhxpmin

ii

ii

00

ii

ii1ii

N

1iiiii

=∈∈

=≥≥

=

=≤

==−+

+

−

=∑

RR

equazioni di continuità (senza backlogging)

41


Production Planning• Il modello multi-prodotto:

con t si indica il periodo (t=1,...,N) e con i il prodotto (i=1,...,K)

i costi, la domanda sono riferiti a prodotto e periodo

la capacità è complessiva del periodo (ipotesi)

sit set-up del prodotto i nel periodo t (costo fisso che si produce i in t)

yit var. binaria: se produrre i nel periodo t

Dit produzione massima del periodo t (≈ big-M)

( )

t,iBy,z,x

t,i0z,0x

iMz

iMz

i,tyDx

tcx

i,tdzzx

yszhxpmin

ititit

itit

iTiT

0i0i

ititit

tK

1iit

itit1t,iit

K

1i

N

1titititititit

∀∀∈∈∈

∀∀≥≥

∀=

∀=

∀∀≤

∀≤

∀∀=−+

++

∑

∑ ∑

=

−

= =

RR

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