lancelotti - analisi ii esercizi
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
1/225
Sergio
Lancelott
Esercizl-
di
Analisi Matematica
rI
CelE
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
2/225
i
Celid,
settenre
2010
.
via Cialdini
26,
10138
Torino
tl. 0r1-44.14'774
i
www.celid.it/casaetlitrice
i
f diritti
di
riproduzione,
di
memorizzazione
e di
adttatnento
totale
o
parziale con
qualsiasi
mezzo
,
(compresi microfirn
e cope
fotostatiche)
sono
risrvati'
IsBN
e78-88-?661-9ol-4
i
Stamps: Digitalpt
Service,
Segrate
(M[)
A
mio
pap,
per
tutti
t,
suoi, socrifi,ci
I
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
3/225
Indice
Prefazione
Massimi e
minimi
liberi
15
1
Alcuni richiami
teorici
.
.
.
15
1-1 Nozionierisultatiprincipali
-......15
1.2 Rjcerca
dei
punti
di
massimo e
di
minimo
locale
. . . .
16
2 Esercizi sui massimi
e minirni
liberi . .
18
2.1
Funzioni
di
due
variabili
.
.
.
.
18
2.2
F\rnzioni
di
tre
variabili
. . . .
19
3
Svolgimentodegiesercizisuimassimieminimiliberi.
.
.
.
.
. . 20
3-1
Funzioni di due
variabiii
.
.
.
-
20
3.2
F\rnzioni di tre
variabili
. .
.
.
30
;
Massimi e
minimi
vincolati
4l
1
Alcuni richiami
teorici
. .i
41
1.1 Nozionierisutatiprincipai.
.
-..
\f
I.2
;
Rcerca dei
punti
di
massimo
e
di
minimo
vincolato
-
.
. 43
2 Esercizisuimassimieminmivincolati
..... 47
2.I
I
I'unzioni
di
due
va,riabili
47
2.2 F\rnzioni
di tre
variabili
, . .
.
49
3 Svolgimento
degli
esercizi
sui
rnassimi e minimi
vincolati
. . .
. . 51
11
-
s
1
3.1
F\rnzioni di due
variabili
3.2 F\rnzioni
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
4/225
Indice
Indice
Serie
numeriche
1
Alcuni richiami teorici
3
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
successicini
di
funzioni
8 Serie
di
funzioni
1
Alcuni richiami
teorici
1.1
Serie
di
poterize
1.2
Serie di
layor
.
1.3
Serie
di
Fourier
Esercizi sulle
serie
di funzioni
2.7 Esercizi sulle serie
di
potenze
2.2
Esercizi
sulle serie di fa,vlor
2.3
Esercizi sulle
serie
di
Fourier
Svolgimento degli
esercizi sulle
serie di
funzioni
3.1
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
serie di
poterize
3.2
Svolgimento degli
eserczi
sulle
serie
di
Taylor
3.3
Svolgimento degli esercizi
sulle serie di Fourier
Elenco
dei
Simboli
Forruule
utili
1.1 Derivate delle
funzioni
elementa.ri
tli una variabile
1.2 Regole
di derivaaione
per
funzioni di
una variabile
1.3 Regola
di
derivaaione
per
funzioni
composte
di
pir
variabili
L.4
Integraaione
indefinita
per
funzioni
di
una
variabile
.
L-2
Inte$ali
tripli
Esercizi
sugli
integrali
multipli
2.1
Integrali
doppi
2.2
Integrali
tripli
. .
Svoigimento degli
esercizi
sugli
integraii
multipli
3.1
Integrali
doppi
.
3.2
Integrali
triPli
.
.
Integrali
curvilinei
e
di superficie
I
Alcuni
richiami
teorici
1.1
Brevi richiami
sulle curve
parametriche
1.2
Integrale
curvilineo
di
I specie
1.3 Integra.le
curvilineo di
ll specie
(o
integrale
di
inea)
1.4
Integrale
di
superficie
di
una
funzione
reale
1.5
Flusso
di
un campo
vettoriale
attra.velso
una superficie
1.6
Teoremi
di
Green, Stokes,
Gauss
Esercizi
sugli
integraii
curvilinei
e
di
superficie
2.L
Esercizi
sr-rgli
integrali
curviiinei
di
I
specie
2.2
Esercizi sugi
integrali curvilinei
di II
specie
(o integrali
di
linea)
2.3 Esercizi sugli
integrali
di
superficie
di
una funzione
reale
'
2.4 Esercizi
sul
flusso
di
un
campo
vettoriale
attraverso
una superficie
2.5 Esercizi
sui
teoremi
di Green,
Stokes,
Gauss
Svolgimento
degli
esercizi
sugli
integrali curvilinei
e di
superficie
3.1
Svolgilnento
degii
esercizi
sugli
integrali
curvilinei
di
I
specie
'
3.2
Svolgimento
degli
esercizi
sugli
integrali
curvilinei
di
II
specie
(r
integrali
di
linea)
3.3 Svoigimento
degli esercizi
sugt
integrali
di
superficie
di
una fun-
zione reale
3.4
Svolgimento
degli eser:cizi
sul
flusso
di
un campo
vettoriale
at-
traverso
una superficie
3.5
Svolgimento
degli
esercizi
sui
teoremi
d
Green, $Lokes,
Gauss
'
105
108
1.2
Ricerca
dei
potenziali
di un campo
vettoriale
conservativo . . .
. 293
2 Esercizi
su campi
conservativi
e
potenziali
, .
.297
3
Svolgimento degli
esercizi
su
campi
conservativi
e
prrlenziali
. . .
-
.
. . 295
08
110
113
113
tJ
327
321
1.1 Criteridiconvergenza .....323
Esercizisulleserienumeriche
.....327
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
serie numeriche . . .
. .
333
7 Successioni
di
funzioni
1
Alcuni richiami
teorici
.
.
.
369
2 Esercizisullesuccessionidifunziorii
.......370
2
J
77
177
777
222
369
178
178
179
180
181
184
184
186
188
190
191
194
1.94
205
a'71
383
383
385
388
389
392
393
3S4
396
398
403
tlt
425
44L
447
447
448
448
449
244
266
A
i
j
1
I
Campi
vettoriali
conservativi
29f
1 Alcuni
richiami
teorici
' '
'
291
1.1
Nozionierisultatiprincipali """'291
B
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
5/225
Indice
10
1.5
LO
I.7
/ 1
.
452
Sviluppi
notevoli
di Mclaurin
Limiti notevoli
di successione
Altre formule
I
Prefazione
Le riforme degli ordinamenti didBttici
che
si sono
succedute a
partire
da"ll'anno accademi-
co
200G2001 hanno comportato
una modifica sostanziale
dei
programmi
di
quasi
tutti
gli
insegnamenti universitari
in rnodo
significativo
per quelli
dei corsi di Matematica.
In
particola::e,
neile facolt ingegnerstiche
si
assistito ad una
contrazione del'im-
postazione
teorica
de concetti matematici,
a vantaggio
delie loro applicazioni
prabiche.
In
questa
realt
pir
che mai
utile
poter
disporre
di
libri
ed eserciziari nei
quali
si
prediliga
I'aspetto tecnico
(calcolo)
a
quello
teorico.
Questo
libro
di esercizi
comprende
quasi
tutti
gli
aspetti
fondamentali
che
erano
pre-
senti
nel classico insegnamento di Analisi N{alematica
II, che
consisteva
sostanzia.lmente
neilo
studio
del calcolo differenziale e
integrale
per
funzioni
di piir
variabili,
compresi
gli
integrali
su curve
e
superfici,
lo studio
dei
campi
vettoriali
e
lo studio delle selie di
funzioni, tra
cui
quelle
di
potenze.
di Taylor
e di
Fourier"
.
Nella
parte
di
calcoio
differenziale
in
pi
variabili si
preferito
non inserire
esercizi
sugli argomenti
di
base
che sono
un'estensione
dei
concetti
e delle tecniche
di
calcolo
differeuiale in una variabile
(domini,
limiti,
derivate
parziali)
e
localizzare
I'attenzione
sugli
esercizi
di
ricerca dei
massimi
e
minimi liberi
e
vincolati,
nei
quali
i
metodi di
risoluzione
sono
tipici
del
calcolo
difierenziale
per
funzioni in
pi
variabili.
lnoltre,
prima
degli
esercizi
sulle
serie di
funzioni,
un capitolo
dedicato
alle serie numeriche-
Pi
in
dettaglio, gli
esercizi
riguardano:
Capitoli
1:
massimi
e
minimi
locali
e assoluti
liberi
per
funzioni
di due
e
tre
variabili;
Capitoli 2:
massimi
e minimi
locali
e
assoluti vincolati
per
funzioni
di due
e tre
varia-
bili;
Capitolo
3:
integrali doppi e
tripli;
Capitolo
4:
integrali curviiinei e di
superficie;
Capitolo 5: campi
vettoriali
conservativi;
11
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
6/225
Prefazione
Capitolo
6:
sere
nurneriche;
Capitolo
7:
successioni
di funzioni;
Capitolo
8:
serie di funzioni
(in
particolare
serie
di
potelue, tra cui
quelle
di Taylor,
e
serie di
Fourier).
Il
libro
contiene
318
esercizi,
tutti
svoti.
In
ogni capitolo
vi
un
elenco
di
esereizi,
per
i
quali viene
poi
fornito
uno
svogmento.
In molti
capitoli,
in
particolare
in
quelli
sui
massimi
e minimi
vincolati,
sugli integrali
muitipli, curvilinei
e
di
superficie,
lo svolgimento
accompagnato
da
varie figure
che
mostrano
la
geometria del
problema e aiutano
a
comprendele
le tecniche
di
ovolgimento.
Complessivamente
sono
presenti
224 frglre-
Per
tutti
gli
esercizi
viene
riportata,
a
fianco dei
testo,
la soluzione'
Esempio
Esercizio.
Calcolare
i
seguenti
integrali
doppi
sugli
insiemi
specificati:
n:
{t",vl
elR2
:
o
.y.g',
a
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
7/225
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
8/225
16
_
*
Capitt:Io7
Massimieninimiliberi
Diciamo
che
I
differertziubilc
in
r0 se
/
ammette
tutte
le derivate
parziali
in 16 e
si ha che
"rn
.f
(r)
-
l("0,
__V_J-(".I-(":'o) :
s,
xiro
ll"
-
,o
ll
lAf Af \
dorrc Vf(rn)
:(?@,...,# ("0)
)it
gradiented/inzse
llz-16ll
lanorma
\dzt'
oxn
/
di
a
-
ro
in
lR.'.
In tal
caso
si chiama
d,ifferenzialc
d:i
f
in
ts
I'applicazione
lineare
d/(ro)
:
IRt
-
lR
definita
da
dJ@o)@):
V.f(co).c.
Talvolta
il differenziale
di
/
in
16
viene denotato
con
d"o/.
(1.4)
Definizione
SianoO
clR'unapertononvuoto,.t0
Qe/:
QtlR
una
funzione
differenZiabile
in 16.
Diciamo che
re
un
punto
stazonario
(a
critico)
Wr f
se d,f
(rs)
:0
(nel
serrso
di
applicazione
lineare nulla).
Evidentemente
questo implica, che
vJ(26)
:0
(nei
senso
di
vettore
nullo
di
R.").
(1.5)
Teorema
(di
Fermat)
Siano O
g R'
un aperto non
uuoto,
J
:
Q
-
R una
funzione
e
zs
O- Suyporamo
che uulgutn i seguenti
fatti:
a)
f
sia
d"iffercnziubile
in
rs;
b)
*s sia
un
punto
d'i
nnssinto
o di
trnrrc
locale
per
J.
Allora so
un
punto
stazionario
per
f.
L.2 Hicerca
dei
punti
di
massimo
e
di
minimo
locale
Siano
fl
C
lR'
un apetto
non
v1loto e
/
:
fl
-.
lR
una
funzione
di classe
C2. Per
il
Teorema
di
Fermat
(vedi Teorema.
(1.5))
i
punti di massimo
e
di
minimo
locale di
/
vanno cercati
fra
i
punti
stazionari
di
/.
sia
co
o
un
punto
stazionario
per
/
e consideriamo
la matrice
Hessiana d,i
f
i.n
'1.
Alcuni richiami teorici
Poich
/
di
claese
C2, risulta
che
'H1(rs)
una malrice reale n
x
n
sirnmetrica.
Si
determinano
gli
autovalori
i
715@s), cio
i
valori
,\
llR soluzioni dell'equazione
det(11,(t:n\
-,\11
:0.
\
/."/
J
dove
I
la
matrice
identica
n
x
n
Valgono
i
seguenti fatti:
a)
se
tutti
gli
autor.alori diHl@t)
sono
positivi,
allora z6 un
punto
di
minimo locale
pet
f;
) se
tutti
gli
autoralori
di ly(r6) sono
negiltivi,
allora
rs
un
punto
di massimo
iocale
per
/;
se'15(.no)
ha sia
autovalori
positivi
che
autorralori
negativi, allora
z6
non
n un
punto
di massimo
n un
punto
di
minimo locale
per
J.
In
questo
caso si dice che
xs
un
ltunto
di
sella
per
J.
Osservazione
Nelle
ipotesi
precedenti,
si
ha
che:
se
tutti
gli
autovalori
di'HS@s) sono
non negativi
e
ne
esiste almeno uno
nullo,
allora ca non un
punto
di
massirno
ocae per
/
ma non
si
pu
concludere
con
cerlezza che
sia
di minimo
locale
per
/.
Per studiare
la
ntura
del
punto
zs
necessario ricorrere ad
altri
metodi
(ad
esempio la definizione);
se
tutti
gli
autovaori di
111@s) sono
non
positivi
e
ne esiste
almeno uno
nullo,
allora
cs non
un
punto
di
minimo
ocale per
/
rna
non
si
pu
concludere con
cetezza che
sia
di
massimo locale
per
/.
Per studiare la natura
del
punto
116
lecessario
ricorrere
ad
altri metodi
(ad
esempio
a
definizione).
(1.6)
i)
'[i]',,1)
It
p
'
ii
ii)
(
{J,ao
-#hr^t
"#rk')l
H,o):l
""*tt""
U',^'
Ot*'
I
\ffir",1
fi{-o"it
ffi^oa
)
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
9/225
18
_
_
Capitolol
Massimieminimjliberi
2
Flsercizi
sui
massimi
e minimi
liberi
2.1
F\rnzioni
di
due
variabili
Esercizio.
Determinare
i
punti
di massimo
e
minimo
locali
e
assoluti
delle
seguenti
funziorii
di
due
variabili:
a)
f
(r,
:
,a
+
aa
-
Atg
[(-1,
-1)
,
(1, 1)
punti
di
minimo
assoiutoJ
Capitolo
7
Esercizi sui massimi e minimi
liberi
2.2
Funzioni
di tre
rariabili
Esercizio. Deberminare i
punti
di massimo
e
minimo
iocali
e assoluti delle
seguenti
funzioni di
tre va.riabili:
c)
@,Y)
:
r2s
-
s2
lnon
esistono
n
punti
di
massimo
n
punti
di minimoJ
b)
(,,t
:
r:+t-
alog
(s
+
1)
f@,:"3+v3-\rv
f
@,s)
:
3r2
+
vYa
f(",y)
:2x4
+
y2
-
3a2y
[(t,
t)
n"nto
di
minimo locale]
[(1,
r)
l""to
di minimo
locae]
[{o,O)
n""to
di
rninirno
assoluto]
q
ir
rs
s
F
i
I
6
I
,ii
il
$
o.t
e)
f)
a)
f(r,y,z):1*
t t +*a,
ruz
b)
f
(r,s,z)
--
"(a2
+
,')
-
u"
c)
f(x,y,z)
:
12
*
A2
+
z2
*
2x
-
7
d))
J(r,y.z):
(,2
+u')"
+,'
^,y
|
(-1, -1,
*1)
punto di
massimo locale,
I
L
(1,
1,
1)
punto
di
minimo
locale
|
(lr,0,0),
con
r -
0
:
/(0,0).
Quindi
(0,0)
un
punto di
minimo
assoluto
per
/.
La funzione
f(",:24+a2
-3*y
di classe
C- su
1R.2.
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
vanno cercati
fi'a
i
punti
stazionari,
ossia
fra
i
pun|i (z,y)
IR2
tali
che V/(c,
g)
:
0. Si ha che
af
,
af
ft@,:8r3
-
6xy,
fia.o:2a
-3r2.
Quindi
fgo3-6r5g:o
vf(r,s)=o
0.
OE
(r,
l2b2
-
6y
-6r
\
tt.
\
-oe
2l
Risolvendo la disequazione
grafica
mente,
risulta
che
in
un qualunque
intorno di
(0,0)
esistono sia
punti
(r,9) in
cui
/(z,y)
(
0 sia
punti
(c,g)
in oti
f
(r,y) >
0. Ne segue
che
(0,0)
un
punto
di
sella
per
/.
/(z'vl
o
La
firnzione
@,:
e-"-a"-n
di
classe C-
su
IR2.
Quindi
i
punti
di estremo
di
J
vanno
cercati
fra
i
punti
stazionari,
ossia
fra i
punti
(",
e
lR?
tali che
v
(r,a):
0.
Si
ha che
A a r Af.
ffi@,ul
=
-(2r
*
t)
e-r,-u2-c, '/rtr, :
-2,
"-x2- 2-r.
Quindi
{ Qt+
l\e
"-v'-'--o
@,s)
:
o ++
\
_'2s
"_,"'_u,_,
:
s.
L'unico
punto
staaionario
di
/
(-
,0)
Per stabifire se di massimo, di minimo
o
di sella, calcoliamo la
matrice
Hessiana
di
/
in
questo punto.
Si ha che
A2
,\
--s2
uz-x
2f
,^^.,
ijeA,o:(+"t
t
4x,1
",
gnzr-,vt:(+'sz
2)
e-'2-u2-',
f@,a)>0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
13/225
Capitolo
I
Massirni
e
minimi liberi
"{ o,ol
:2Y(2x
*
r) P-tz-v2-x
'
0xdy''"'
La
marrice
Hessiana
di
/
in
(
,0)
''
(-*,,
:
(-';*
-f"* )
Gli
aulovalori
ai ar
(-1,0)
sono 11.2
:
-zei
.-S.
n r"tti,
t(*,s,")
r-
-*
-L
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
18/225
j
Caoitolo
1
lt[resimi e
minimi lberi
Si ha
che
x2
+
2y2
+
z2
+
ny
-
rz
)
a2
+
y2
+
z2
*
*g
-
rz
:
passando in
coordinate
cilindriche
nello
spaaio,
cio
ponendo
@,a,r):
(psin$,pcos19,z),
p
>
0, r9,z
R,
si ottiene
:
p2
+
z2
*
p2
ax
r9 sin ri
--
pz
cos
rJ
-
p2
+
z2
+
|02
sin
(2tg)
-
pz
cos )
>
essendo sin(2d)
)
--1
e
cosr9
(
1
1^
-
1.. t^ |
^
2
,e2
|
z'
plrl
2
)p'
r
,"'
-
ol4:
,b
-
lzl)'
>
o.
Ne
segue
che
(0,0,0)
un
punto
di
minimo
assolutr:
per
/.
/)
La
funzione
@,a,:sy"a2+u2*22
di
classe C- su
iR3.
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
r,anno
cerca,ti
fra i
punti
stazionari,
ossia
fra i
punti (z,p,z)
e
R3
tali
che Y
f(r,g,z):
0. Si
ha che
Af
-2\
or2+y2-"2
,-
",
,, : .
(l
.,7o,2\ oz2+y2-22
fr@,u,r):alL+2*
)- '
0a\-,r,2)
-
&\rzc
/
,
ffA,o,
rl
:
*2:Lazeo2+Y2-22
Quindi
Yf(x,s,z):0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
19/225
Capitolo
1
Massimi
e
minimi
liberi
che
aperto.
Quindi
i
punti
di estremo di
/
in
dom
(/)
vanno
cercati
fra i
punti
stazionari, ossia
fra
i
punti
(2.
9.
z)
e dom
(/)
tali
che
V/(c,
g,
z)
:
0.
Si ha
che
o,^
^. -,
4x
al
,..
, ,
6a
d;\r.s,z): fpiAF
+AF=s,
Ay\t,y,z):
2"t
*gB
pqiz
_s,
fft",a,a:rF
#+n-
Quindi
llrlil
-.-..*4'
-
n
22
+3u2
+422
_g
-
"
6a
-*,
-n
rc2
-t
BA2
l4z2
_g
-
"
8z
__n
2x2+3y2+422
_.9-"'
L'unico
punto
stazionario
di
/
dom(/)
si ha che
(0,0,0).
Osserviamo che
per
ogni (z,y,z)
e
2x2-t3g2+422
>
0
.+
f(r,y,r):
tog
(O
-2rz
--sy2
-
lz2)
0,
u
0
.==+
(",y,+y)
punti
di minimo ocale
per
f,
r
0.
Figura
2'12:
L'insieme
M.
Cerchiamo inizialmente
i
punti
di
massimo
e
minimo di
/
in
inf(M),
dove
i,nt(M)--{(",v)
e
ll{2,
"2
+yn0,
y>0}.
Si ha
che
per
ogni
(r,y)
e
int{M)
0,l=I]rUfzuI'a
o,rl=
roe(1+
y),
OT
ol
, ,
f
-lic.Itl
y"''
l+A
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
33/225
::
Caoitolo
2 Ma'ssimi
e minimi assoiuti
vincolati
Quindi
V/(c,
y)
:
(0,0)
+=+
(r,a)
:
@'0)
/.
i'nt(M)'
Ne segue
che
J
non ha punti
di
massimo e
di minimo
in int(M).
Cerchiamo
i
punli
di
massimo e minimo
di
/
su 6^&/.
Osserviamo
che M
non
una variet
di
dimensione
I
in
1R.2,
infatti
in
ogni
intorno
di
ciascu.no
dei punti
(0,0), (1,0)
e
(0,
1) I'inseme
M
non
l'insieme
degli zeri di una
funzione di classe
Cl.
Osserviamo che ?IV:
l.'r U
lz
LJ
13,
dove
l]r
:
{(t,s)
ellt2
:
00,
v>o},
ru
:
{(",y)
lR2
: e:0,
o
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
34/225
i
lrn 9laLi
Cerchiamo
inizialmente
i
punti
di
massimo
e
rninirno
di
f
'n
int(M), dove
int(M)
=
{(r,
eIR.z,
lel
+
lyl
0seesolo
se
g/
>
.
Quindi
9
(,.)
a
.,.utr"*ente
decrescent" u"
[0,
]1.
In
particolare
per
ogni
s
(0,
]]
.i
u
/1 \ /1 \. lL \
1.
/7 \
,li't)= vtoga
*
\
o)r"c
(;
u)-
,tocz
0,0{12r,
ldet"Iq(p,r})l
:p.
1g
:
psrnd,
Allora
{o"t'
(r,g)
eQ
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
59/225
't,
i
,ii
,,t
Figura 3.8: L'insieme 0.
Allora
(z,s)
e
0
++
Quindi
si ha
che
-2
:
D(O'),
dove
[u.r.t
[0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
60/225
i
,
t
":ii
'ii
i
i
i
_ r"r I
Jntos@fidx,dy
:
l_,'
lJ;bg,"dyl:
integrando
per
parti
"-*
/- ,t
=
/_,"
([rt*
a]*-
J^"
integrando
per parti
:
-*
([*t'
r*']--:-
l:,'
,*)+
[-rog
t
r+z*]-i
:
-
*a
(-ro*r*
$)
*u*r-
|
:
srosz
-
e.
i)
Consideriamo I'integrale
;oc4
araU,
a*u
n*{(",v)e
lRz,
},
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
61/225
ir'
iti
'i
li'
:.1,
. litll
i
lii,
i
i
,
dell'inversione
locale
si
ha
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
62/225
4 r2f r2z2
'"
1 r2f Px2
I
Jn;rlgo"ao=
J,U,,
Fiedalh:
J,
U,,
,"*lyydaldr:
:
/'
l"*o"
Ol:'
a,
:
l,'
6,,t,n2r
-
arctanx)
dr
:
integrando
per parli
["{*"tur,z"
-
u,"tao,o)]2
-
Ir'
(3
-
#")
*:
:
2
arctan
4
-
3 arctan
2
+
i
-
[]
r.c
(
+
+"')-
*
.r
(t
*
r')f'r:
:
2arcra'4
-
Barcran
2
+
i
-
jrcsn+
|
roc
s
-
|usz.
n) Consideriamo
l'integrale
In"*o{
drdy,
dove
L'insieme
O
a-semplice.
Quindi
si ha
che
j'tr
I
i;iii
iiif,i
l,Y**:l:
f
"'Y'"1*=
I:lY'l'o'
*-
lii,
ili
iii
:;ll
1'
n:{i",v)lR?,
o 0
-+
(o,-y)eO,
l@,-y):-@,U).
Quindi
[
,yd,rdy--[ ryd,zds.
JOn{(,u):
y>0J
Jon{(o,y);
e
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
63/225
Figura
3-18:
L'irrsierne
f)
Allora
f
o
o,05t932r,
ldet.rqb,)l:p.
I u:
pstnu,
(a,s)
e
O
iD(O'),
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
65/225
'li :
:;
Figura
3.23:
L'insieme
0'
:
Ol U
f2i3.
Ne segue
che
lrr"@
o" an
:
ln,
ps
cos
d.p
d8
:
=
fn,
o3
cos
o do d
n
Ir,
p3
cos
) ttp tttl
:
essendo sia
O',
che
0
psemplici
e
la funzione
integranda
prodotto
di
una funzione
di
p
e
di
una funzione
di
d
si ottiene, si
ottiene
:
(1"'
o'oo)
(1"*.roo;
+
f^
cos,e
jo"'"o
o'oo1or:
:
tin],
F"'li"
+
1","o",e
[],{]"'""
ot
:
:
"
4;["
"o,,e,i,.4,ent
=
-
+
+
ll.i"o]""
=
113
8 40 20'
s) Consideriamo
l'integrale
ln@
t
d,c da, aoue
n:{(",v)
Fl2:
2t2+3f0,
y>o}.
sll
disegno
on
in
scala
Figura
3.24:
L'insieme
Q.
Essendo
Q
la
parte
del
I
quadrante
inclusa nell'ellisse
di
equazione
t'
*
4
passiamo
in coordinate
ellittiche
nel
piano.
Poniarno
quindi
(
n: J2ocosti )
-
,{
;'^
p>0,0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
66/225
4
-/
t
"
't
/
ricosreartl
+:/'(
l
"a'\(
[1
"'^ro'\-
5u'
\f
,-
o,
)
\J, /
.1
\ro
./
\ro I
:
tr
fir,].
[.n
o].'
+
*
[ir'],
l.-
*-'l
i
:
lu
1ts
.
14
:itl
,:li
;:
Esercizio
1.
o) Consideriamo
l'integrale
tnraz
d,n d'u
d,z,
dove
n-
{1r,a,eR3
:
o
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
67/225
ri
l
,
Figura
3.27:
L'insieme O.
r1 lr+2
-,
l"lirf,r
r
d.rds
-
I,lo
*z)2
-
+(22
ru')l
a"ay.
dove
a-
{t".v)
ew",
z@+y'.,+z}.
Osserviarno che
t .t2
,Vfr,+a,
0,
0
0).
o2:
{(z,y)
e
R2:
a2
+422
:
L
Figura
3.39:
L'insieme
D: DrU
Dz.
Quindi
si
ha che
I
zrarardr:
[
(t-a'-4''t\d.sd,z:
Jo
'
Jo\
"
/
:
Ir,(
-
s'
-
4"')
au az
+
l*(t
-
r'
*
+.,2)
au a''
Cacoliamo
separatamente
i
due
integrai-
Essendo
Dt
3r-semplice'
si ha che
1,,(,
-
r'
-
4"')
*
*
:
Ilrllo'"*'
(,
-,'
-
a"') oo) o
:
[" l(r-422\u
I ol2z+1 Jo /
32
'
^
'
2\
'
/-+
f\
,-
5s"lo
o":
J-+\-
g'"
-
z-
|
i)dz-
:
l-u
-
i"
*;{*
:
Essendo
D2
la
parte
del
1
quadrante
compresa
nell'ellisse
di equazione
y2
+
{
:
l,
passiamo
in
coordinate
ellittiche
nel
piano
zg.
Poniamo
quindi
,,
{"::t::t
p>0,0
l-.-2n,
loet.ra(p,o)l:r1p.
(
y: psmD,
Quindi
si
ha
che
D2
:
O(Di)'
dove
oL:{O,olR2:
o
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
73/225
Si
ha che
{0.0.1
I o
:-
{@,a,
e
lR3:
(r,y)
K, z:
g(",}
,
alora
l,
che
il
grafico
della
funzione z
:
g(r,y)
ristretta
a
If,
si
pu
scrivere
come E:o(K), doveo:If lR3 definita
rlao(n,g):
(r,E,g?,,y)).
ln
7. Alcuni
chiami
teorici
sostegno
di
a.
Si chiama
flasso
del cunr'po
ueltoriale F athuuerso
o
(o
att;ruuet'so
E) ll
numero reale
181
(1.12)
1",
":
l*rlo1","Y
.
NQt,u)
dudu,
dove
N(u,o)
il
vettore
normale a
l)
nel
punto
o(u,tr)
definito
da
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
90/225
-
particolare
X
il
sostegno
della
calotta
regolare
a e in
tal
caso
il
vettore normale
N(r,9)
a
X nel
punto
o(r,y)
. 0o o | 00. 00. \N@,s):
*(r,u)n
*b,u):
(
a-(",r1,
*@,u),t);
iz)
se I
la superficie
defrnita
da
r-{@,a,e
IR3:
(c,z)
K,y:s@,')},
allora
X, che
il
grafico
dela funzione
y:
g(r,z) rislretta
a K,
si
pu
scrivere
comex
=o(.K),
tloveo:
K*
lR3definita
dao(r,z):(r,g(r,z),2). In
particolare
E
il
sostegno
della
calotta regolare
o
e iu
tal
caso
il
vettore
normale
N{r,z) a X
nel
punto
o(n,z)
fro
0o. /0a.
0o.
.\
N(x,z):
frtr,,1
r."{(r,z):
(.ait",
,
,,
a:@,,));
iii) se I
la superficie
definita da
::
:
{(",
u,
z)
e
lRS
:
(s,
z) e
r
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
91/225
:i
ir
AIIora
I
p
ap:
[
(*a,rr-*(',
\a,au.
Jaa
Ja\dr"'
oA
/
Tborema
di
Stokes
(1.1.6)
Definizione
Siano
If
q
R'? un compatto
la
cui
frontiera
il
sostegno
di
una
curvaparametriCachiusa,sernpliceeregolareatrattieo:K+lR3unacalottaregolare.
Si
chiama
bordo
di' a,
denotato
con o,
la restrizione
di
o a 0K'
Denotiamo
con
X:
o(K)
il
sostegno
di
o
e con ll('u,'u)
il
vettore normae a
X
in
o(u'u)
definito da
r{(u,o)
:
g1u,a
n*@,u).
du
ou
Diciamo
che
0o
ori.entato
positit:atne.nte
sela
crtrva
o
(0
K)
percorsa
in
senso a.ntiorario
rispetto
ad un osservatore
posto
come
il
v-ettore /r'-
In altri
ternrini, 0a
orientato
positivamente se
percorrendo
idealmente
a(K)
appoggiato
a.lla faccia
di
I da cui esce
-^tr,
si
vedono
in
punti
di
X alla
propria
sinistra.
Tavolta,
anche
se
impropriamente,
si
parla
di
bordo
d,i
E anzich
di
bordo
di
o.
(1.L7)
Teorema
(di
Stokes
(o
del
rotore)) Siano
0
c
R3 aperto nonuuoto,
F:
O
*
R3
un catnry
aettoriale
i
classe
CL,
F
=
(h,fz,f, K
q
R2 un comlxttto
la
cui,
ft'onti,ero
iI
sostegno
d:i
una
curva
pammetrictt
chna,
semplit:e e regolare a tmtti'
e
o
:
K
-R3
uno,
calotta
regolare.
Su,pponi,nmo
che
0o
sia
orientome.nto
posititn'mente'
AIlom
I
p'aP
: I
rotF
n,
Jao
Jo
d,oue
rotF
iI
rotore
d'el
campo F,
de'finito
forrnalmente
d'a
II
9- |
6zl
fs@,a,r)l
/ rji
ii':
I
ll'
J
a
w
z(r,
y
,
")
di colotte
regolari,
orientate
secondo
il
verso
uscente da
,D
e
aventi
a
due
a
due
in
comune
al
pi
archi
di curve.
(1.l9)
Teorema
(di
Gauss
(o della divergenza))
Siano
I c
IR3
un
aperto,
F
:
^l
-
IR3
un catnpo
uettori.ale
di classe
Cl,
F
:
(h,
h,
f,
D
C
Q
un aperto
con
bord,o
tale
ch.e AD
g
O.
Allora iI
flu,sso
uscente
d,el campo
F
d,al
bordo di D
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
92/225
1.,",
41:
(t,f),
e
[o,o],
o
>
o
q
I,rlt7,
'y()-
(sint,cost), r
e
[o,ur]
T2T
r'l
tat
f 3 3l
l5E-2'
I
l--3- |
t
e
l0,2nl
l,l.
^.c
l
[
fit
+
+n')'
-
r]]
[# l(1+4,);
-
1]]
ill
:
t',:
IriF'
'Y(t):
(cost'sin)' t
t
[o';]
Ir',
r()
:
(t,
"')
,
r
[0,
tog 2]
)
n
[
i
'i'
jr
:
e)l
r.l
h\l
J1
rl/
'
J.l
l
O
I,rF*r',
ilt):
(2(cosr-sinr),2(sint
-lcosf)),
,
1(t):
(t,log),
[1,2]
]1r
+ugz;f
+
1r
+ffi
+
f
roc
(r
+ros2
+
-i,/r-|log(1+r/?)
(r
+
z),
rrtl
:
(t,
*o,'"),
'
[o,
r]
,/r,
7(r):(cost,sint,P),
te
[o,n]
("'
+
u'
+
,),
flt)
:
(2axt,2sin
, )
,
t
e
l0,hrl
[;
(sovt-
t)]
l+
[t'*n"'r*
-
']]
lz{s"(++
")l
fssl
LTJ
n+rr-rrrt,,y(t)
=
(t',ts
-t',f),
[1,2].
b)
f(r,g,z):x2*y2,'yunapararnetrizzazionedelsegnrentodiestremi
A(L,-1,2)
e
B(0,0,0)
Ia'6]
c)
i@,a)
:
rg,
''t
una
parametrizzazione
del
quarbo
di
ellisse del I
quadrante
di
equazione
Zl
*#:1,
con
a,b >
0
I
ab(a2
4-a6+b2)1
t--GTlr-l
d)
f
(r,u):
"2lal,7
una
parametrizzazione
della circonferenza
di
centro
O(0,0)
e
raggio
2,
percorsa
una sola volta in
senso ora,rio, a
partire
da
,4(-f,0)-
tsl
e)
@,
:
\tr
+W,'y
una
paramelizzazione
dell'arco di
parabola
di equazione
y
-
x2,
percorco
da
A(-1,1) a B(1,
t).
I
r.r'l
tTJ
come l'asse
z.
f(x,y,"\:
t2az,
'y
una
parametrizzazione
della circonferenza
ottenuta
dall'in-
tersezione della
superficie
sferica
di equazione
2
+U2
+
22:
4 con
il
piano
z
:
g,
percorsa
una
sola volta
in
senso
antiorario
rispetto
ad un osservatore ideale
posto
come
l'asse z
,
12
+2u2
) @,'y,")
7
una
parametrizzazione
del bordo dell'insieme
t':
{@,u,4elR3',
:
12't'az, 12
r
u2
0
[*"o']
r87
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
93/225
O(0,0),
A(1,0), B(1,
1) che induce
un verso di
percorrenza
antiorario'
f)
F@,A)
:
(ry,ry2),7
una
parametrizzazione
del
bordo dell'insieme
e:
{@,1R2,
z2
+u2
o}
che induce su
di esso
un
orientamento
antiora.rio.
["
z]
[5
5J
L"ul
b)
F(x,y):
(y',*'),7
una
parametrizzazione del
semiellisse
del I e
II
quadrante
di
equazione
# *#:1,
con
a> b>0,
perco$oinsensoorario. l*"a"1
.l
c)
F(r,U):
(0,n),
1
una
pa'rame:trizzat'ione
del
bordo del
triangolo
di
vertici
O(0,0),
,4(2,0),
B(1,3)
che induce un
verso
di
percorrenza
antioralio.
d)
F(r,y)
:
(2x2
+
y2.ary),
7(r)
:
(cosf,sin),,
[0,2r'],
a
e
IR.
e) F(r,y7
=
@2g,n' 13),
1
una
parametrizzazione dei bordo
de triangok:
di
vertici
t3l
t0l
I
r
t-5j
ii
ii
F'(",y):
(-#r',
{n"t),
,
una
parametrizzazione dell'ellisse
di
equazione
#
+
#
:1,
con
o,
b
>
0,
percorso
in
senso
antiorario'
h)
F(u,y):
(
,**,*,,
una
parametrizzazione
del bordo dell'insieme
a
:
{@,elR2
:
c2'-2r *2o},
orientato
positivamente
rispetto aI
versore
normale
uscente dall
a
sfera 12
+gF
+
z2
:
[logasl
fl
L2J
il*i
188
,*___
Capitolo
4
Integrdi
curvilinei
e di supecie
2.3
Esercizi
sugli
integrali
di
superficie
di una
funzione
reale
Esercizio
1' Ca,lcolare
i
seguenti
integrali
superficiali
sulle superfici
specificate:
o\
[)ao,
z:{@,y,,)c]R3,
,:-+,1
s"
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
94/225
/
-
,- ,-\l
l5|z'tz-
,ttz11
^r[
|
,^
")
lx
=V-"'
I
:
{t',u,2)
eR3
: z
:t**o',
o
o
[4"R'l
Q
E-
{@,v,2)
elRs
: r:
o("'
*s'),
rt
+a'
sa},
a,b>o
[*'l,t
+a"za;i
-
r]]
QE:{@,u,2)
e
R3:
,t+y'-22:1,
1
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
95/225
a)
F(x,y,z):(r,0,"'),
n:\(r,a,,)e
R3'
*1 (z{
*""-a'}
t5l
b)
F(r,y,z):(r,a,z),
n={(r,u,z)lR3:
c
+v+z0,
z>0}
I+l
c) F(r,y,z):
(r',r',r),
D:
{{",a,
e
IRs
'
c2
+v'
v2+"2'
,>0,
f)
F(r,y,z):
("t
-2rz,y2
+3rz,z2
-\12),
n:{@,a,e
R3,
"2
+a'
o}
che
induce
su
di
esso un
orientamento
antiorario
ln z1
L6
-
.3J
|
F
-d.P,
dove
F(r.
-
(-#rt,#")
"
1
una
parameE\zzazione
clell'ellisse
"'
J.
^2
,'2
di
equaaione
Z;
+
k
:
l, con a,b )
0,
percorso
in senso orario.
[8"4
h)
[
F'
dP,
dove
F@,y)
:
(-**,,+f)
"'v
unaparametrizzazione
del
bordo
'Ja
dell'insieme
,1,
:
{@,e
IRP
: 12
*
2x
r2
L2vq\.
La
curva
1:[1,2]
*
ll3 definita da
7(l)
: (tt,t'-
12,2).
Posto
(r,y,z)
*
7(t),
si
ha che
'y(t)
edom(/)
0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
100/225
/(r(r)):
0-t,-r+t,2-2t):2(t
r)',
llr'(t)ll
:r'0.
Quindi
r rl
-
r
^
-Il.
..lr 2
-
J,,
:
J,
/("v(t))ll1'(t)llaL
:
2J6
Jo
G
-
D2
dt
:
2/6
l-?(t
-
r)rlo
:
;\/6'
La
funzione
@,y)
:
cg
continua su
lRz.
Una
parametrizzazione del
qualto
di
ellisse
del
I
quadrante
di
equazione
#
*#
:1,
con
a,b >
0
l:
[0,]l
*
lR'?
definita
da
7(t):
(acos,sin).
La
curva'y
regolare. Infatti,
derivabiie
con derivata
continua
1/()
-
(-asin,bcost)
I
(0,0)
or.
(0,;)
.
Inoltre
per ogni
t
e
[0,
$]
si ha
/(r(t))
:
f(ocos,bsint):
obcostsint,
ll/(t)ll
=
Quindi
a2
sin2 t
+
b2 cos2 t.
Lt
:
I
t
f
(t
Q))llt' Q) ll
dt
:
ou
l
'
"*
t'i"
t[o"i' t
+
a"o* t ar
:
-
n@:6:
-1G-tsO--
d)
La
funzione
@,g):
r2lgl
continua su
IR2. Una
parametrizza,zione
della cir-
conferenza di centro O(0,0) e
raggio
2,
percorsa
una
sola
volta
in
senso orario a
partire
da
A(-2,0)
1
:
[0,2n]
-
IR2 definita da
7(t)
=
(-2
cos ,
2
sin
l)
La curva.y
regolare.
Infatti, derivabile
con derivata continua
1'(t)
:
(zaint,2cosf)
I
(0,0)
Yt e
(0,2r).
Inoltre
per
ogni t
[0,22r]
si ha
/(r(r)):
/(-2cos,2sin)
:
scos2flsintl,
llr'(4ll
:
Z.
Quind
,,
:
lo'"
f
(1ft))ll1'
Q)ll
dt
-
rc
lo'"
*"'l
sin
f
I
dt
:
32
Io"
"iot"*x'
t
dt
:
:u[-].*'t[:T
tt)
t:
:lll;.j
Il:r
:ii
,ii
rr:rl
:t
ii
e) La
funzione
f
(r,g)
:
\/TTW
econtinua
su
lRz'
Una
parametrizzaajone dell'arco
di
parabola
di equazione
I
:
c2
percorso
da,4(-1,
1) a
B(1,
1)
7
:
[-1,
1]
+
IRz
definita
da
{t):
lt,t2)
.
curvilinei
e di
Svolgmento
degli
aercizi
sagli
integrali curvilinei
di I
specie
203
La curva'y regolare. Infatti,
derivabile
con derivata
continua
1'(t)
:
(-sint,cost,0)
I
(0,0,0)
Vt
e
(0,22r).
Inoltre
per
ogni
t
[0,22r]
si ha
:1+sin2t,
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
101/225
La curva
7
regola^re'
Infatti,
derivabile
con
derivata
continua
1'(t)
:
(1,2t)
I
(0,0)
vf
(-1,1)
Inoltre
per
ogni
f
l-f,11
si ha
/(r(t))
:r(t,t')
:
\/Tf@.
llr'(t)ll
:
\/1+@
Quindi
r rr
Jt
r ,r | 4"ll
14
J.r
=
l_,/(r(t))llr'(t)ll
d,=
J_,\1
I
4t')
dL
-
Lt
+
rt"l
,
:
T
/)
La
funzione
.f
(x,
v,
z)
:
t:t
continua
su
dom
(/)
:
{tr,
u,
")
e
IR3 :
z
I
0}
Una
parametrizzazione del bordo
dell'insieme
>:
{@,u,
1R,3:
z
:12
+a2,
*'+a'.=r}
percorso una soa
volta
in senso
antiorario
rispetto
ad un osserlatore
ideae
posto
come
l'asse z
1
:
{0,2n1-
lRs definita
da
1()
:
(cos
f, sin f,
1).
s)
/(r(r)):/(cos,sin,
1)
llr'(t)ll
:
i.
Quindi
I
r:
l'"
/(r(r))llr'(r)ll
or:
['"
(r+
sn,r)
at=lt
r]1r-,i,,r.ost)l'":u,.
J1' Jo
Jo
\ ./
L
2'
'Jo
La
funzione
@,y,r)
:
r2yz
continua
"u
lR3.
Una
parametrizzazione
della
circonferenza
ottenuta
dall'intersezione
della
superficie
sferica
di
equaaione
12
+
A2
+
z2
-
4 con i1
piano
z
--
g,
percorsa
una sola
volta in
senso
antiorario
rispetto
ad un osservatore ideale
posto
come
l'asse
z
1
:
l0,2nl
*
lR.3
definita da
.y(t)
:
(2cost,
rtsint,r/5si't)
La curva,y regolare.
Infatti,
derivabile con
derivata
continua
7'(t):
(-zsint,t/2cost,rtr"o"t) I
(0,0,0) v
e
(0,2r).
lnoltre
per
ogni
t
e
[0,22r]
si
ha
f
0(t))
:
/(2
cos
r, J2
srnt,
t/i
sin
t)
:
4 c(2 t
sirl2 t,
ll1' Q)ll
:
2.
12
+y2
+
z2
:4
f$
lli1
rl
iit
ril
',1
,ti
Quindi
1.1:
lo'"
t{'r(t))llr'(t)ll
or-ru
Io'"
cos2rsin,tdt
='lo'"
"'n'(2t)dt:
=
a
fitzr
-
sin(2r)cos(24)];
:8
Svolgimento degfi wercizi sugli integrali
ggglr"g
dj If
tpgSg__
20i
3-2 Svolgimento
degli
esercizi
sugli
integrali curvilinei di II
specie
(o
integrali
di
linea)
Esercizio 1.
o) Ilcampovettoriale
F(",y):(2-u, continuo"ulR?.
Lacur.,a7:
[0,22r]
*lR2
definita
da
.y(t)
=
(t
-
sin l,
1
-
cos
t)
regolare.
Infatti,
derivabile
con derivata
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
102/225
continua
1t(t)
:
(L-cosf,sin)
I
(0,0)
V
e
(0,22r).
Inoltre
per r:gni
[0,2n]
si ha
Quindi
F('IUD
'
t'(t)
:
F(t
--
sin ,
1
-
cos )
-
(1
-
cos
/, sin
t)
:
=
(1
+
cost,
-
sinf).(1
-
cos,sin)
=
:
(r
+
cost)(1
-
cos )
*
(t
-
sint) sint
:
sint.
r r2r
r2n
J.,,
or:
Jo
F(r(t))'
'r'(t)dt:
Jo
tsind:
integrando
per
parti
:
f
-t
"o.
tl
t"
+
[2"
crut
dt
:
-2o.
lo
Jo
Il campo
vettoriale
F(x,y):
(a',r')
continuo
su IR2. Una
parametrizzazioue
del semiellisse del
I
e,I-f
quadrante
di
equazione
#*#
:1,
con
a,
>
0,
percorso
in senso orario,
1
:
[O,n]
-
R.2 definita
da
.y()
:
(-a
cos
, bsin).
,e(-a,o)
t
206
_--
Capitctlo
4
Integrali
curvilinei e di suPerfrcie
La
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
103/225
:
(b2
sin2 f,
a2 cos2
t)
'
(a
sin
i, b
cos
t)
:
o,b2 sin3
t
+
azb
cos3 t.
Quindi
I
r. ae:
/".("(t))
't'(t)dt
-
oa
/"
(a.ir,tt+
acos3t) dt.
Jt
Jo
Jo
Osserviamo
che
["
"n"ttdt:o-
o
InfaIti,
.ll
ii
,,
fo"
.ouu
t dt
:
loi
"ort
at
+
f"
"*t
t
at
:
posto
nei
secondo
integrale
r
:
-
t, da
cui
d'r
:
'd't'
si ottiene
:
/
"or'
td,t
-
fo
co"3
(n
-
r)d'r
:
lo'
"*"
Ldt
log
cos3rdr
=
0-
Jo
Jt
In
modo de
tutto
analogo
si prova
che
lo"
',,',.t
at
=
z
for
sins
t at.
Quindi
Ir'.
ae:,b
[^
(a,in't-ro.*3t)
d:zab2
fr;
=in'Lat:
J1
JO
^ri
/
^\
al
1
"l;
4."
:2abz
Jo"
sin
t
(1
-
crx't)
dt
:Zab'
L-
cost
+
-
cos"
f.|'
:
7ab".
Il campo vettoriale
F(r,y)
=
(0,2)
continuo
su lR2. La
curva
7
che
parametrizza
il bordo
del
triangolo di
vertici
O(0,0),
,4(2,0),
A(1,3)
regolare a tratti.
11 [0,
2
:
[0,1]
t
R2
^r2(t)
:
(2
-
i,3t),
.y3
:
[0,1]
- 1ft,2
rs(t)
:
(1
-
t,3
-
3t).
Le tre
curve
1r,
''/2,1s
sono
regolari.
Infatti,
sono derivabili con derivata
continua
-ti?)
:
@,0),
/r(f)
:
(""-1,
3),
16()
:
(-1,
-3).
Inolrre
per
osni t
e
[0,
1] si ha
F(r'
(t))
.
Tl(t)
:
F(2t,0)
'
(2,
0)
:
(0, 2t)
.
(2,
0)
:
0,
F(tz(t))
.
1i(
:
F(2
-
t,t).
(
1,3)
=
(0, 2
-
)
.
(-1,
3)
:
3(z
*
r),
r(zs(*))
-^ti(t)
:r'(1
-,3-3)'
(-1,-3)
=
(0,1
r).
(-1,-3)
=
-3(1 -).
Quindi
Ir
ar--
[
r.dP+
[
F.aP+
[
r ae:
J^t
J'fi
r12 r13
71 7l fI
: Jo
,?,,@)
-tl(t)
dt
*
Jo
o(^,r(t))
--.tL(t)
dt
+
.lo
,0'(t))
-.tLQ)
dt
:
yt
tL i I
11 r I
_11
-t
Joe.
L)dt
-
B/
(r
-t)dt:3l-i(2
-
t)'Jo 3
[-;(1-
r)']o:
Osservaaione
Si
pu procedere
anche applicando
il
Teorema di
Green
(o
formula di
Gauss-Green)
al carnpo
F
e aJ triangolo
OAB
(vedi
pag.
267).
d) Il campo
vettoriale
f'@,g)
:
(zxz
+y2,axy)
continuo su
lR2. La
curva
?
:
[0,2n]
-
IR2
defi.rita
da
7(t)
=
(cos,sin)
regolare.
Infatti,
derivabile con
cierivata
continua
7r()
:
(,sin,cosO
I (0,0)
Yt
e
(0,2n).
Inoltre
per
ogni
e
[0,2n]
si
ha
r(r(t))
.
.r'
G)
=
f'(cos ,
sin
)
'
(-
sin f
,
cos )
:
:
(t
+
.*2 t, a
cosf
sinf)
.
(* sin
, cos
)
:
-
sin t
+
(a
-
l)
cos2
t sin t.
':'$
x
$
Quindi
1,,
-
o*
=
lo^
rrrrrrr'
1'
U)
dt
=
Ir""
(-sin
*
(a
--
1)cos2
tsint)
dt
=
t2t
:
l_*'-
i("
-
r)costlo
-
0'
Qsreryearanc
ali curvilinei
e di
Svolgimento
degli
esercizi
sugli
iiegali
curviknei
di
II specie
209
Letrecurvel|,.'|2,lssonoregolari.Int'atti'sonoderivabiconderivatacontnua
'y()
:
(1,0),
lzft)
:
(0,1),
d(t)
:
(-1,
-1)
Inoltre
per
ogni
f
[0'
1l
si
ha
r(rr(t))
.
1I(t) =f'(,0)'
(1,0)
:
(0,0).
(2,0)
:
0,
.F(rz(t))
'4(t)
:
r'(1,
)
' (0,
1)
:
(,
3)
'
(0,
1)
:
3'
F(rs(r))
.%(4
=
F(\
L,r-t)
(-i,-r):
((t-0',(1-4')
{-r,-tl:
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
104/225
,ri
i
si
pu
procedere auche
applicando
il Teorema
di
Green
(o formula
di Gauss-Green)
aJ
campo
F
e
al triangoo
OAB
(vedi
pag' 268)'
si
osservi
inoltre
che
il campo
vettoriale
F
conservativo
se e
solo
se a
:
2. Infatti,
posto
F
:
Ut,z)'
si
ha che
9'
Af^
fi(x,u):zu,
ffi@,u):
au.
Quindi
#(r,?
I
:
*V,Ase
e
solo
se
a
:2'
Inoltre,
essendo
dom(F')
:
1ft2
semplicemente
connesso,
risulta
che
per
a
:
2
il carnpo
vettoriale
f]
conservativ-o.
e)
Il
campo
vettoriale
F(",
:
(r'y,ryt)
continuo
su
IR2'
La
curva
'y
che
parametrizza
il bordo del triangolo
di
vertici
O(0,0),
,4(1'0)'
B(1,1)
inducendo
un
verso
di
percorrenza,
antiorario
regolare
a
tratti.
Dette'yr,
^lz,13le
curve
che
parametrizzano
rispettivamente
i
lati
OA' AB
e
tsO,
nel
verso O.48, si
ha che
'i
il
rilir
Ir
ap:
I
r.dP+
[
F.d.P+
|
r'ae.
J1
Jrt
Jt"
J^ts
'y1
:
[0,
1]
*
1R.2,
ft()
:
(t,0),
.y2
:
[0,1]
*
lR2,
n$)
:
(L,t),
'y3
:
[0,1]
+
lR2,
ra(4
:
(r
-
L1
-
t)-
B(1,1)
Si
ha
che:
:-.(1-r)3-(1-r)4
Quindi
rl
=l
O
1.,''o'
:
1.,,''
ar
+
l,,F
'd'P
4'
1.,,''0"
:
F(^/r
(t))
.
-t'r{t)
dt
+
lot
r
1121t11'
1'rQ)
at*
/'
o(r.(t))'
t]i,)
at
=
-
fo'
tu
at,
l',t
-
t)'
at
-
fo'
{r
-
t)4
dt
:
-
ti-],
-
l-i,'
-,,-].
-
[-],'-,,'],
:
-*
Osserlazione
si
pu
proceclere anche
applicantlo
il
Teorema
di
Green
(o
formula
di
Gauss-Green)
al campo
F
e
al
triangolo
OAB
(vedi
pag'
269)
/j
IcampovettorialeF(2,y)
:
(ry,ap2)continuosulRz'
Lacurva7r:teparametriz-
za
il
bordo
dell'insieme
d:{(",u)lR2:
s2
+u2o\
inducendo
un
verso
di
percorrenza
antiora'rio
regola're
a
tratti'
Ilw
,'fl
l
Capitolo
4 Integrdi
curvjfinei e di superfcie
Dette
71
e
J2
le curve che
paramebrizzano
risptbivamente
la semicirconferenza
di
centro O(0,
0) e raggio 1 da
d a
B
e
il segmento
BC, con B(0' i)
e
C(0,
-f),
si ha
che
fr
I
F-dP:
I
F.dP+
I
F'dP.
J'l J1L
r"l2
Si
ha
che:
ii
L
Svolgimento degli
esercizi
sugli integrali curvilinei
di II
specie
217
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
105/225
x,l-8,]
-
lR.',
11()
:
(cost,sin),
12 :
[-1,1j
+
lR2,
"yr(t)
*-
(0,
-t).
Le curve
'yr e
72
sono
regolari.
Infatti,
sono derivabili
con
derivata continua
7l
(t)
:
(-sin,cos)
I
(0,0)
per
ogni
t
a
?q,il
"
t5(t):
(0,-l).
Inoltre
per
ogni
t
I-i,
fl
si ha
r(rr
(t)) '
lt(t)
:
F(cos
, sin
t) "
(-
sin
f
,
cos t)
:
=
(cossinf,cossin2
)'
(-
sin,cos)
*
*
cossin2
f
l-
cos2 sin2,
e
per
ogni
t
e
[0,
l] si ha
F(rz(t))
'lr(t)
=
F(0,
*t) .
(0,
-1)
:
(0,0)
.
(0,
-1)
:0.
Quindi
I
r ae-
[
r-dP
|
[
F-dP:
J'f
J"ll
r^lt
-
l_t"
rrr,U,
-
t\(t)
at
*
lo'
r(rr(rr)''(t) dt
:
=
/'"
(-
*r r rir2
+
cos2 t sin'?
t) at
:
:
l*i
"*',
+
fi
tzt
*
sin
(2t)
cos
trtlf]
_;
:
Osserva,zione
Si
pu procedere
anche
applicando
il
Teorema
di Green
(o formula
di Gauss-Green)
al campo
,F e
all'insieme A
(vedi pag.
269).
Il
campo
vettoriale
F(r,,g)
:
(-#r",#"t)
u
continuo su
lR2. La curra
7
che
parametrizza
I'ellisse
di equazio
"u
$
+$
=
1, con a,b
>
0, inducendo
su di
essa
un
versodipercorrenzaantiorario1:
[0,?n]
*lR2
definitadal(t):
(ocos,bsin).
r2
8*5
s)
:,4,:,
t.t
.
r1i:
i
,ii
,,1
ri
:::
,
ii.
,Li
''
,ir
tt
l
lr;i
,
:rilirl:'
ri;i
La curva
7
regolare;
infaiti
derivabile
con
derivata
continua
1/(t)
:
(*asin,cos)
I
(0,0)
Yr
e
(O,2r).
lnoltre
per
ogni
I
e
[0,2r]
si ha
F(r(t))
.
l'(t)
:
F(o cos t,
b
sin
f
)'
(-a
sint,
cos
tl
:
f,tU(sina
t
+
"o.o
t)
.
Quindi
Fssendo
r2n
3
J,
sin"
t
d.t
:
41
,
1.,,
o"
:
lo'"
,rrt
r,
.
1'|(t)
d,t
:
I'u
u'"
(sina
t
+
*"n
t)
at.
lo'"
.*n t dt
:
lo'"
"o""
t(r
-
,ir,'
r) at
:
:
Io'*
(*"'
,-
"or2
r
uio2
t)
dt
:
lo'"
"o"'
t at
-
L^
lo'^
"in2
zt at
:
:
[]n.
sint"o.o]2"
-
*flot+
sin2t
cos 2t)]'0"
:
1o
e similmente
si ottiene
che
1.,,
o,
:
Ir,
o"
(sina
r
+
"orn
t) at
:
Lrub'
Osservazione
Si
pu
procedere
anche
applicando
il Teorema
di
Green (o formula
di Gauss-Green)
al campo
P e all'ellisse
#
*
#
:1
(vedi
pag. 270)'
212
ffi
ffi
H
:$
ffi
iil
Capitolo
4
lntegrdi
curvlinei e di
superficie
) Il campo
vettoriale
F(a,y):
(-r+*,n*r"")
u
continuo
su
dom(F)
:
R'\
t(0,0).
La
curva'y
che
parametrizza
il
bordo
dell'irrsieme
e
:
{@,1R2,
c2
-2n-r2::{@,u,")lR3: :,:2
+a2+"2:1,
z)0,
zlo}
,
dato
da E
:
lr
l-J
12, dove
Y={@,u,2)1R,3:
;u2 *y2-1,
e>0,
z:o},
12:{@,y,2)e
lR3:
gr2
+22:r,
zao,
z:o}'
lur'
o'-
1,,''
aP
+
1.,,F'dP
+
lr"'
o':
rE ri
(r))
r()
dt+
Jo'
F(]2(t))
-'tL(t)dt
+/
"
f'(?3())'r6(t)ai
=
:
ru
l"t
cos2
tdt:
lo
llti
+
si"tcosl)];
:
9o'
h)
osservatore ideale
posto
come l'asse c. Si ha che
I
r.ar:
I
r.dp+
[
F.dp.
JAz Jtt
Jtz
La
curva
fr
;
[*i,]
*
mt
definita
da.y1(t)
:
(cos,sin,O)
ed
regolare.
Infatti.
derivabile con derivata
continua
Inoltre
per
ogni t
[-$,
$]
si ha
P(rr
(t))
'ti@
:
F(cos , sin
,
0)
'
(-
sin
, cos
t, 0)
:
=
(cos
,
0, sin )
.
(-
sin ,
cos
,
0)
:
-
sin t
cos
.
La curva
n:
l-|,i]
-
lR3
definita da
7r(f)
:
(O,cos,sin)
ed
regolare.
Infatti,
derivabile con dervata continua
Inoitre
per
ogni
t e
[-i,
f]
si ha
,y{(t):
(-sint,cosl,0)
I
(0,0,0) ,r.
(-;,;)
.,Q)
:
@,-
sin
, cos )
I
(0,0,
0)
,,
,
(-;,;)
Quindi
Osservazione
Si
pu procede,re
anche
applicando
il
Teorema
di Stokes
(o
del
rotore)
a1
campo
f'
e
alla superficie
I
(vedi
pag. 28:t).
r-(tz(t))
'
1i(t)
:
"F(0,
cos
f, sin
f)
'
(0,
*
sin
,
cos )
:
:
(0,0,
cos
t)
.
(0,
-
sin ,
cos
)
*
"o"2
.
'
I
F.dP+[
p.ap:
Juro
on
=
,r,
rt,
:
Ilr
o'"'u"
".,i.,)
dt
*
It-'
('"QD'
1;$)
at
:
12,
:
|
0,
(*u
r-
sin
/ cos r) t,
:
llu*
sin
i cos
i)
-
i
"*',1'
"
:
;
)
-
Capitolo
4 Integrali
curvt'r'nei
e
di
superfcie
3.3
Svolginrento degli
esercizi
sugti
integrali
di superficie di
una fun-
zione
reale
Eserr:izio
1.
a)
Consideriamo
l'integrale
l")^
a", a*"
x,
:
:
z
:
|
0,0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
111/225
{t,,a,aRs
#,
La superficie
i grafico della
fi.rnzione
g:
K
-.IR
definita
da
g(r,y):
*fF,
dove
x
-
{t",al
R'?'
i
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
112/225
lt.
:i
i
::
ijii
ii
i
i
l
Figura
4.3:
L'insieme
E.
Figrlra
4'4:
L'insieme
K'
dove
N(o,
e)
:
*(",y)
n
ffi(x,-
Si
ha che
N(x,s)
:ff{",
nffa,nl
=
(-ffia,ol,-ffa'rl,t)
:
(t'-Ja't)
'
lln(',y)ll
:rttft+u2
Quindi
1,ffi
o"
--
f_ffiitN(",c)ll
dr
dy
=
A
|
-ffi
*
o"
Osserviamo
che
K:
Kr
UKr, dove
(.
Kr
:
{(c,v)
e
R2
,
(
xr:
l@,u)
e
R'?,
f
o(r(f,
r
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
113/225
l
r"
a
o
:
1,,
x2
u2
ll
N
(r,
y)
ll
dr dy
:
|
"'
a'
r[-t
*t
+
y;
a,
as
.
Passiamo
in
coordinate
polari
nel
piano.
Poniamo
quindi
I
r:
pcosr9
'{
p>0.01
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
114/225
iii
rl
i
:::
'
{
p>0.0
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
115/225
t'
:
:
Figura
4.12:
L'insieme X.
Figura
4.13:
L'insieme
K
Si
ha
che
n:
o(K),
dove o
:
K
-
R3
definita
da
o(x,s)
:
(*,8,s@,)
:
(",y,"'
+
u')
.
Quindi
si ha
che
t
r
I
I
,,.,,
J,
n'
+
t
d'
:
J.
rnal
*zllN
(''u)ll
dx d'u'
dove
N(c,
s)
:
K@,
n
ffi{",
Si tra che
0o. 6o
/ iJo n
\
N(c.u)
:
fi(x.u)
n"fik,
-
(-frt",v1,
-"-u @.u).r)
:
(-zr,^2a,r).
llrr(",c)ll
:
6
+
4",
;
;y;
Quindi
|
1 ,
I
,_r",
J,
rm
*
-
J
n
Tl@+ryllN
(t,
v)ll
dx
dv
:
Ix@
dc
aa'
Passiamo in coordinate
polari
nel
piano.
Poniamo
quindi
(
o:
pcos9
,{ p>0,05
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
116/225
Esercizio 2.
(
^
1r^
a)
Consideriamolasuperficie :
{(",v,2)
e
IRo , ,:;\x'+2g"),
La
superficie
X
i
grafrco
della funzione
g
:
K
-
lR
definta
l(x2
+zyz),
dove
x
=
{{,,
tR2' z2
+4a2
o.
La
suporficie X
la
sfera di
centro
O(0,0,0)
e raggio .R.
Si
ha
che X
:
o(K),
dove
o:K-lR3definitada
o(t9,
@
:
(R
sin 19
cos
g,
ft sin
19
sin
rp,
-R
cos t9),
dove
K
:
{to,,rl
e
R2
:
o
1 1
r,
o
o)
.
Si ha che
x
:
o(K), dove
o :
K
-.
lR3
clefinita da
o(n,
z)
:
(r.
s(2,
z),
z)
:
(t,
tz, z).
Qu.indi
si ha
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
120/225
1vr(c,E)
:ffr",rl
nafr@,a):
(-*o,tr,-ftt",,r)
:
t-2,,
-2y,r),
Quindi
r I r----
A\
:
J
Klllvr
(c, y)
ll
d:r
dy
:
Jo
l
t
*
4(x2
+
yz)
dr
dy
:
passando
in cooldinate
polari
nel
piano
ry
si ottiene
rl rt ,
-.9t1
=
r"
Jo'
n,f
t
+
q,
ap
:
r.
li(r
+
an,)tlo
:
f
(u"a-
I
Si ha
che
E2- o2(K),
dove
o2
:
l(
-,
lR3
definita
da
oz{*,y)
:
@,a,sz(r,y)):
(",u,2-
rF;' *")
Quindi
si
ha che 'area
di Dz
'q""
:
|
*ll
N2(a,
y)ll
da
dy,
dove N2(r,s)
:
*(r,s)
nAff@,.si
ha
che
Nz@,a)
=
?ffa,o
nft@,r):
(-*o,r,-ffio,ut,r)
:
:(_
,
_
g
.,\
-
1r./--.\r_
\/t
\-Jr=ffi'-J=F4't )
-
ttt\2\r'a)t
:
E=-ft
Quindi
.qr,
:
I*llvz(",y)ll
d.r dy
:
I.#=
d,r dy
:
passando
in
coordinate
polari
nel
piano
ry
si ottiene
llN,(",y)ll:,/t
+
4(x2
+s2).
_1L
:2J2n
|
-ftd,p:
Jo
\/2-
p'
con
a,
> 0.
La
superficie
X
il
grafico
della
funzione
g :
K +
IR.
definita
da
g(r,Y):o',,'F+f,douu
r={@,1R2,
z2+v'?sa}.
quindilapartedelsemiconoz
*
aGW compresafrai
piani
z:
0e
z:
alb.
Figura 4.28:
L'insieme
X.
Figura
4.29;
L'insieme
K
Si ha che E:
o(K), dove
o
:
ff
-
lR3
definita
da
o
(u,s)
:
(r, y,
s @,s))
:
(", r,
t
r-*
n)
Quindi
si ha
che
I'area
di X
o,
=
IollN(n,y)lldadp,
dove
N(r,e)
:
ffi@,
^osav@,.si
ha che
N(o,s)
=
ff{,,a)
r,afi{*,u):
(-ffia,ol,-ufia,rl,t)
:
lt$
,il
I
Quindi
)
Conside,riamo
a
superficie
/^^\
:
l--#,--#:,r I
=.+
ilr(",s)ll
-
J,,\r
\
Vx'+Y"
\/r'+g'
/
t
Ax,
:
I
llNQ,y)lldnds
:
I
Jot
1
td,x,dy
-
rbla2
4-L.
JK
-
JK
Svolgimento
degli
esercizi sugE
integali di
superfrcie
di
una
finzione reaJe
243
dove
N(re,
e)
:
#(0,,p)
n
%(0,d.
Si ha che
ha
Bo
1v(,t,p)
-
*(0,v)
n
p:(u,
r)
:
i
j
kl
cosht9costp
coshr9sinqa
coshd
|
=
-
sinh
rl sin
9
sinh
r cos
rp
0
|
:
(-
sinh2 r9 cos
rp,
-
sinh2
d
sin
9,
sinh rg cosh
rg)
,
lllr(u,
e))ll
:
rirrt ot/2"*t"o
-
t.
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
121/225
ti
a:l
r :
t::
>:--{@,u,4IR3:
z2
-12
-'a2:1,0
o}.
Allora
si ha
che
X3
:
os(Ks),
dove
o3
:
f{s
*
R3
definita
da
oe@,
:
(a,y,
st(r,y))
:
(',
y,0).
F(oafu,z)).Na(y,r)
=
F(0,y,2)
-(*1,0,0)
:0
{.-?r',
r1, )
Questo
vettore normale
entrante in
D.
Quindi
un
vettore
uscente
tf3(c,g)
:
-N(r,:
(0,0,-1).
Ne segue che
F(os(x,aD'
Ns(r,
g)
:
F(r,a,0)'
(0,
0,
-1)
:
0-
Pertanlo
I
f'n:0.
J
lls
Calcoliamo
I
p
.".Si
ha che
a
il
grafico
della funzione
pa:
Ka
-
]R definita
L4
da
ga(Y,
z)
-
0,
dove
xn:{@,e
lR2:
r:o,
o0,s>o}
e
che
-4
U
A
q
O.
Quilidi,
per
le
propriet
dei
campi
conservativi'
risulta
f
immediatamente
che
;f
-F
'dP
:0'
s
osservi
infine
che
che
il
campo
vettoriale
F non
conservativo
su dom(F)'
Infatti,
se
Tl:
[0,2T]-'
R2
la curva
pa'ra'rnetrica
definita
da
a(t)
:
(cosf'sinf)'
si
ha che
4
chiusa,
semplice,
regolare
con
im
(4)
e
dom
(F)
^u
I
f
'd'P
:2tr
#
o'
Jn
Esercizio
2.
o)
Il campo
vettoriaJe
F(x,y,
z)
-
(""
+
a,
z,g)
di clas-se
Cr
su
lR3
ma non
conser-
.va,tivo,
perch
se
lo
fosse
sarebbe
anche
irrotazionale.
[nfatti,
posto
-F-
:
{h'
fz'
s)
con
r@,g,2):
z2
*a,
J2(n,Y,z)
:
z,
fs\t,v,"):
a,
si ha
che
jk
aa
&6;
za
:
2zj
-k:
(0,22,
-1)
I
(0'
0,0)'
Ne segue
che
F non
irrotazionale
e
quindi
neppure
conservativo'
Figura 4.39:
L'insieme
X.
Figura
4'40:
L'insieme
K'
Si
ha
che
I
=
a(K),
dove
o
:
K
-
R3 definita
da
6(r,
--
(*,u,s@'s))
=
(",r'L
-
*t
-
at)
'
Per
definizione
di
irrtegrale
di
flusso
si
ha
che
/
rotF.
n
:
I
rofi(o(r,Y))'
N(r,s)d'tdY,
Jr.
JK
dove
N(rl,9)
i
vettore
normale
uscente
dal
paraboloide
nel
punto
o(r'y)'
Si
ha
che
il
veitore
Nr(,D,s,)
:
ffi(r,t'ffi(",
normale
alla superficie
t
:
o(X)'
Si
ha
che
0o Bo.
(
Es,
,
0g
\
Nr(",s)
:ffit",ut x"fi@,: (-frrr'vt'
-
*{,,,r)
-
(zr,za,r)
QuestovettorenormaleuscentedaX^QuindiunvettoreuscenteN(:r'y)=
Nr(",
y)
:
(2n,2y,l).
Ne
segue
che
rotr(o(r,y)).N
(n,:
(o,z
(r
-
*'
-
v'),-t)'Qa,za,r)
:
+s
(r
-
'"
-
r')-1
f
'
1
lur,
o,
-
frrctr
.
n
-
lorotl(o(,a))
.
N@,4)
dn try
-
:
I.l*
(t
-
*'
-
r')
*
r) d.rd.v:
]
'i]
:
f"
(
[,'L*(t-12)sinu
-
loao)d,=
-n.
o
\Jo
L't
'/
-)''
/
)
Il
campo
vettoriale
F(r.g,z)
:
(g
--
x,2y
1-
z,-z)
dt
classf
Cr
su
lR3
ma
non
perch
se lo
fosse
sarebbe
anche irrotazionale'
posto
F
=
passando
in
co
-
7/21/2019 Lancelotti - Analisi II Esercizi
136/225
;r:t,
ff
ilnfatti,
h@,y,
z)
:
a
*
:x,
fz(",y,
")
:2s
t
z,
ft(a,ii,
z)
:
z,
si ha
che
Si ha
che
Z:
o(.K),
dove a :
K
*
lR3
definita da
Per
delnizione
di integrale
di flusso
si
ha
che
,j_"
il
-_i_k:(_1.0,_1).
i
Ne
segue
che
-P
non
irrobazionale
e
quindi
neppure
cc
.l
Inservartro.
Calcoliamo
I'integrale
I
l'
.ap.
per
il
Teorema
di
St,
Jaz."
dP.
Ye il'I'eorema
di
Stokes
si
ha che
l
luro
o"
=
lrrotl.n,
dove
n
il
versore
normale
uscente
dal
semicono ,:
JPffi
La
superficie
il
grafico
della
funzione
s
;
K
*
lR,
g(r,
y)
:
G7,
doru
i
I
i
j
k
lli
rorF(r.y,z)-l
A +
^o=
l:l
g
I
f{x,8,")
fr(a,y,z)
fe(r,a,4l
ly
*
rl
l
r
=
{(",v)
lR2,
c2
+
y,
ll}'
posto
.lr
:
(h,
z),
si
ha che
Af. Af"
48xu
*
@,
--
:fi
(r,
u\
:
\"-s17=fi
Essendo
or semplicemente
connesso,
risulta
che
F
ristretto a
O1 conservativo.
Determiniamo
ora
un
potenziale
/
di
F
su
Or'
Si ha
che
af
,
L2n
Ar\r,a)
:
Jt\r,a)
:
-
qxrl
.oz
_gy,
r)
af
,
12v
Au\r,u):
J2\r's):
-
@i
_fF
f@,:r2y+rg2+c,
cIR
Y
f
(x,a)
:
p(t,y)
Quindi
fl
conserrativo su
dom
(F).
m)
Consideriamo
il campo
vettoriale F(r,g):
(Zry+y2,x2
+zzy).
Si
ha
che
F
di
classe
C* su
dom (f.
)
:
R'
che
semplicemente
connesso.
Posto
F
:
(h,
h)
c()n
h@,y)
:
2aa
*
a2,
fz(r,
:
x2
+
2"u,
si ha che
9 ]r,.at
:
*
@,ul
:
2(r
+
a).
wor
Ne segue
che .F
consetvativo.
Determiniamo ora
un
potenziale
/
di F. Si
ha,
che
fi{,,
:
h(",v)
:2ra
)
u2,
0f .
*@,a)
-
Iz@,Y)
=
t:"
*2t: '
Integrando
(3.31)
rispetto
a r si ottiene
(3.33)
@,a)
:
|
(z"u
+
a')
du
:
xza
+
xa'
+
"(s),
dove c
una
funzione della
sola
variabile
gr-
Sosfituendo
in
(3.32)
si ottiene
i @, :2rv
t
a2
+
c
(
:
a2 4-
2tv :
c
(s)
:
o
r'
''
=+
c(g/):ceR.
Sostituendo
in
(3.33)
si ottiene
che
un
potenziale
/
di
F
(3.31)
(3.32)
n)
Captolo
5
Campi
vettoriIi conservativi
Consideriamo
il
campo
rettoriale F(x,y)
-
(
"+F,*?r)
Si ha che F
d
classe
c@ su
dom(F)
=
R'\
{(0,0)}
c;he
connesso
ma
non semplicemente
connesso.
Posto F
:
(fr,
f
con
,@,a)
=
-
.:
-,
fz@,
:
---
r't
I
A2'
,2
|
A2'
si
ha
che
0h,
lz,
,
,2-Y'
6o\x'a):
A\r'a)
:
C|+FY
Poich dom
(F)
non
semplicemente connesso, per
stabilire