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Landeshauptstadt

Hannover

Schulbiologiezentrum

19.84

Mars, Jupiter und Saturn Mit Auge, Zirkel, Geodreieck und Taschenrechner

durch das Sonnensystem

Februar 2016

Schulbiologiezentrum Hannover, Arbeitshilfe 19.84 " Mars, Jupiter, Saturn Sonnensystem " 2

Herausgeber: Landeshauptstadt Hannover Schulbiologiezentrum Hannover Titel: Mars, Jupiter und Saturn Mit Auge, Zirkel, Geodreieck und Taschenrechner durch das

Sonnensystem

Titelbild: Ingo Mennerich

Arbeitshilfe 19.84

Verfasser: Ingo Mennerich Herausgeber: Landeshauptstadt Hannover

Fachbereich Bibliothek und Schule Schulbiologiezentrum Vinnhorster Weg 2 30419 Hannover Tel: 0511/168-47665 Fax: 0511/168-47352 E-Mail: [email protected] Internet: www.schulbiologiezentrum.info


"99% des Universums sind dunkel", sagt Karsten Danzmann, Astrophysiker und Direktor des Albert-Einstein-Instituts

für Gravitationsphysik der Leibniz-Universität in Hannover im SPIEGEL.

Warum sollte die Schule nicht versuchen, der nächsten Generation wenigstens einen kleinen Teil des sichtbaren

Himmels zugänglich zu machen?

Inhalt

Vorwort 4

Magische" Zahlen: Die Titius-Bode-Reihe 6

"Planetenspiel" 7

Praxistext: "Titius-Bode" und das dritte Keplersche Gesetz 8

Mars, Jupiter und Saturn im "Rückwärtsgang": Die Oppositionsschleifen der äußeren Planeten 9

Jupiter und Saturn, wer läuft innen, wer läuft außen? 12

Mars

Wie weit ist unser "Nachbar" Mars von der Sonne bzw. von uns entfernt? Von der Beobachtung des Planeten zur geometrischen Lösung

15

Wie schnell ist der Mars? 18

Messung des Winkelabstands mit Hilfe der Uhr 18

Für Fortgeschrittene oder zum Überlesen: Rechnen mit Rektaszensions- und Deklinationswerten

19

Wie groß ist der Mars? 20

Jupiter

Geometrische Entfernungsbestimmung des Jupiters 21

Rechnen mit Rektaszensionswerten 22

Wie schnell ist Jupiter? 23

Wie groß ist Jupiter wirklich? 23

Scheinbare Größe des Mondes, des Jupiters und Saturns 25

Wie "schwer" ist Jupiter? 26

Wie "dicht" ist Jupiter? 29

Saturn

Entfernungsbestimmung Sonne - Saturn 30

Wie schnell ist Saturn? 33

Wie groß ist Saturn wirklich? 34

Welche Masse hat Saturn? 34

Welche Dichte hat Saturn? 35

Könnte man auf den Saturnringen laufen? 35

Von den am Himmel sichtbaren Planeten zur Größe des Sonnensystems 36

Der Weg ist das Ziel 37


Vorwort

Eisinga-Planetarium (Foto: Ingo Mennerich)

Das älteste noch funktionierende Planetarium der Welt ist

eine gute Tagesreise von Hannover entfernt. Es steht im

westfriesischen Franeker, wenige Kilometer von

Leeuwaarden (Niederlande).

Dort ist es in einem fast unscheinbar wirkenden alten Haus

untergebracht. Das Haus an der Gracht würde zwischen den

ähnlich alten und ähnlich ehrwürdigen Nachbarn gar nicht

weiter auffallen, wenn da nicht das Schild „Planetarium“

über dem Eingang hinge.

Wer Planetarien wie im Hamburger Wasserturm oder in Wolfsburg kennt wird zunächst zweifeln: Passt ein

Planetarium in so ein kleines Haus? Aber es soll ja das älteste sein.

Und um genau zu sein: Das "Planetarium" in Franeker ist im strengen Sinn gar kein Planetarium, sondern

eine "Planetenmaschine" (Orrery). Das älteste eigentliche Planetarium steht in Jena und wird seit 1926

betrieben, ist aber gut 150 Jahre jünger.

Aber das "Planetarium" in Franeker ist von ganz besonderer und überraschender Art:

Von der Decke eines frühbürgerlichen Wohnzimmers hängen Kugeln, die Sonne und die Planeten Merkur,

Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn. Und nichts bewegt sich. Mancher in der Besuchergruppe ist etwas

enttäuscht: Solche Kugeln hätte man wohl auch im eigenen Wohnzimmer aufhängen können. Und das für

fast 5 Euro Eintritt?

Und sie bewegen sich doch! Nur halt sehr, sehr langsam. Und in einem Rhythmus, der sich mit den

tatsächlichen Planetenbewegungen in perfekter Übereinstimmung befindet. Und das seit dem 18.

Jahrhundert!

Uranus, Neptun und Pluto waren im 18. Jahrhundert, als der Wollkämmer Eise Eisinga dieses faszinierende,

aus hölzernen, mit 10000 handgeschmiedeten Nägeln bewehrten Scheiben, 9 Gewichten und einer, den

Takt des ganzen Systems steuernde Pendeluhr ersann und baute, noch unbekannt. Ihre Bahnen hätten bei

dem von Eisinga gewählten Maßstab auch keinen Platz unter der Decke gehabt.

Das "Uhrwerk" hinter den Planetenbewegungen Foto: Ingo Mennerich

Eise Eisinga war ein Mann ohne Schulbildung und

von Beruf überhaupt kein Astronom. Er war ein von

einer Idee "besessener" Autodidakt der

verschiedene Handwerkskünste und die Astronomie

miteinander verband, einzig um zu zeigen, dass die

Welt nicht in Gefahr war.

Am 8. Mai 1774 standen, so erzählte man uns, alle

damals bekannten Planeten von der Erde aus

gesehen in einer Reihe. Viele Menschen fürchteten,

dass die Planeten, und damit auch die Erde,

miteinander kollidieren, dadurch in die Sonne

stürzen und verbrennen würden.


Der Weltuntergang schien danach unmittelbar bevorzustehen….

Eisinga war überzeugt, dass diese Konstellation zwar eine seltene, aber mathematisch berechenbare Folge

der Kreisbahnen der Planeten um die Sonne war. Ein Zusammenspiel, selten aber möglich wie ein

Lottogewinn. Mit dem Unterschied, dass das Ereignis der "Planetenreihe" berechenbar war und gleiche

zukünftige "Weltuntergänge" durch vorhersagbar waren.

Eine Analogie aus der Gegenwart: Wir fahren Auto, stehen (wieder einmal!) vor jeder (!) roten Ampel und

schimpfen über die Verwaltung, die den privaten Verkehr offenbar ausbremsen will. Und Überraschung:

Am nächsten Tag haben wir nur "grüne Welle". Meistens treffen wir auf einen bunten, scheinbar

chaotischen Mix aus "rot" und "grün"…

Jede Ampel hat ihren eigenen Takt und "weiß" nichts von den anderen. Manchmal passen die Phasen

scheinbar zufällig so zueinander, dass manchmal die Ökologen, manchmal die Autofahrer jubeln.

Jeder der Planeten hat seinen eigenen "Takt". Und so wie wenn in einer Gruppe jeder in seinem eigenen,

aber gleichen Rhythmus klatscht, wird es geschehen, das alle (!) gemeinsam klatschen.

Das kann man berechnen, dafür gibt es Formeln oder man kann sich die Formel durch eigenes Nachdenken

selbst herleiten.

Foto: Ingo Mennerich

Eisinga machte aus den durch Beobachtungen früherer

Astronomen gewonnenen Gesetzmäßigkeiten ein

großes, heute noch funktionierendes und in seiner

Funktionsweise durchschaubares Uhrwerk. Es gehört

heute zum Weltkulturerbe der UNESCO.

Kein Planetarium das bei jedem der Besucher sofort ein

"Wow" auslöst. Keine roten Sonnenuntergänge, keine

Sternschnuppen, keine Milchstraße und keine

schwarzen Löcher.

Auf die Frage allerdings, wer schon einmal den oder

jenen Planeten gesehen hat, müssen die meisten

Besucher passen…

Aber einige gehen hinaus und denken, dass der Himmel

wie ein großes, rätselhaftes Räderwerk ist. Und dass

man es enträtseln konnte (und kann).

Und dass ein einziger Nagel mehr oder weniger dazu

geführt hätte, das ganze System schon nach kurzer Zeit

aus dem Takt geraten wäre…

Wieder zu Hause wurde die auf der Webseite des Planetariums und bei Wikipedia genannte

"Planetenreihe" mit dem Programm "Redshift" überprüft:


Nach Eingabe des Datums "08.05.1774" rekonstruiert "Redshift" den damaligen Morgenhimmel. Vier

Planeten, Jupiter, Mars, Merkur und Venus befinden sich in einem Raum innerhalb eines halben rechten

Winkels westlich der aufgehenden Sonne. Dazu gesellt sich die schmale Sichel des abnehmenden Mondes.

Für viele ein Zeichen. Für einige eine logische Konsequenz des heliozentrischen Weltbildes.

Keiner der heute Lebenden hat das gesehen. Aber mein Computer errechnet in Sekundenschnelle diesen

Zustand und macht ein Bild daraus.

Faszinierend: Die Bewegung der Planeten ist kein Spiel der Zufälligkeiten sondern folgt Gesetzen, die man

in mathematische Beziehungen fassen kann. Nur welchen? Und wie ist man ihnen auf die Spur gekommen?

Magische" Zahlen: Die Titius-Bode-Reihe

Die mittlere, aus den maximalen Elongationen bestimmbare Distanz Sonne-Merkur liegt bei etwa 0,4

Astronomischen Einheiten (AE). Venus ist im Mittel etwa 0,7 AE von der Sonne entfernt, die Erde

definitionsgemäß 1 AE.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen der 0,4, der 0,7 und der 1,0?


Dem Astronomen Johann Daniel Tietz (1729 - 1776) fiel auf, dass die drei Zahlen 4, 7 und 10 eine Reihe bilden:

4 = 4 + 3 x 0 7 = 4 + 3 x 1

10 = 4 + 3 x 2

In der moderneren Form schreibt man

0,4 = 0,4 + 0,3 x 0 0,7 = 0,4 + 0,3 x 1 1,0 = 0,4 + 0,3 x 2

Es war damals besonders unter Astronomen vornehmer den Namen zu latinisieren. Aus "Tietz" wurde daher "Titius".

Für den Fall dass dies ein "Gesetz" wäre könnte man die Sonnendistanz des Mars bestimmen. Der Mars

zeigt, anders als Venus und Merkur nicht die typischen "Morgen-" und "Abendstern-Merkmale. Venus und

Merkur entfernen sich, von der Erde aus gesehen, um einen bestimmten Winkel von der Sonne um sich ihr

dann wieder scheinbar zu nähern. Mars ist anders: Er kann in (perspektivischer) Sonnennähe "Morgen-"

und "Abendstern" sein, entfernt sich dann aber auch so weit, dass er mitten in der Nacht zu sehen ist.

Die Lösung:

Merkur und Venus bewegen sich in Bezug auf die Erde auf "Innenbahnen", Mars gehört zu den äußeren

Planeten.

"Planetenspiel"

Solveig steht in der Mitte und spielt die Sonne Marc ist "Merkur" läuft auf der innersten Bahn um Mary-Sol herum

Vanessa ist "Venus" umkreist Solveig und Marc Erdal spielt "Erde" und umkreist Solveig, Marc und Vanessa

Marten übernimmt die Rolle des Mars uns läuft um alle anderen herum

Jeder dreht sich um seine eigene Achse (Langsam bitte, sonst droht ein "Drehwurm"!)

Egal wo Erdal gerade ist, wenn es "Tag" für ihn ist und er seinen Blick auf Solveig richtet wird er auch Marc

und Vanessa sehen. Sie befinden sich mal links, mal vor, mal rechts und mal hinter Solveig. Solange er sich

zur "Sonne" dreht hat er die beiden aber nie hinter sich.

Mit Marten, der auf der äußersten Bahn läuft ist das anders. Ihn kann Erdal manchmal auch sehen, wenn er

Solveig hinter sich hat und es "Nacht" für ihn ist.

Die Entfernung Sonne - Mars lässt sich in Ermangelung eines maximalen Elongationswinkels nicht so einfach

bestimmen.


Praxistext: "Titius-Bode" und das dritte Keplersche Gesetz

Johann Elert Bode (1747 - 1626) machte die von Titius entworfene Zahlenreihe bekannt, daher "Titius-

Bode-Gesetz". Wenn wir die Titius - Bode -Reihe fortschreiben könnte man vermuten, dass Mars

0,4 + 0,3 x 3 = 1,6 AE

von der Sonne entfernt ist.

Machen wir den Test:

Nach jeweils 780 Tagen steht der Mars der Sonne gegenüber ("Vollmars"). Um Mitternacht steht er dann

im Süden. Die siderische Periode, also der vollständige Umlauf vor dem Hintergrund der Sterne ist dann:

1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡

=1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝐸𝑟𝑑𝑒

−1

𝑇𝑠𝑦𝑛𝐸𝑟𝑑𝑒,𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡

1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝑀𝑎𝑟𝑠

=1

365𝑑−

1

780𝑑= 686 𝑇𝑎𝑔𝑒 = 1,88 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒

Unter Anwendung des dritten Keplerschen Gesetzes beträgt die mittlere Sonnendistanz dann

𝑎𝑀𝑎𝑟𝑠 = √𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒

3 ∗ 𝑇𝑀𝑎𝑟𝑠2

𝑇𝐸𝑟𝑑𝑒2

3

𝑎𝑀𝑎𝑟𝑠 = √149,6 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚3 ∗ 1,88𝑎2

1𝑎2

3

= 227,8 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚

Tatsächliche Werte (Wikipedia)

Mars (mittlerer Bahnradius) 227,99 Millionen km

Das sind 1,52 AE

Die Entdeckung des Planeten Uranus kurz nach der Einweihung des Planetariums in Franeker schien die

Gültigkeit dieses Gesetzes geradezu zu beweisen.

Wäre er ein paar Jahre vorher entdeckt worden, hätte es dieses kleine Wunderwerk wohl nie gegeben:

Das so vergrößerte Sonnensystem hätte in dem kleinen Grachtenhaus wohl von vornherein keinen Platz

gehabt…

Die Titius-Bode-Reihe

𝑎 = 0,4 + 0,3 ∗ 2𝑛

n = −∞, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6


Planet Geringster/ größter Abstand zur Sonne

Merkur 0,31 – 0,47 AE 0,4 + 0,3 ∗ 2−∞ = 0,4 + 0,3 ∗ 0 = 0,4

Venus 0,72 – 0,73 AE 0,4 + 0,3 ∗ 20 = 0,4 + 0,3 ∗ 1 = 0,7 Erde 0,98 – 1,02 AE 0,4 + 0,3 ∗ 21 = 0,4 + 0,3 ∗ 2 = 1,0 Mars 1,38 – 1,67 AE 0,4 + 0,3 ∗ 22 = 0,4 + 0,3 ∗ 4 = 1,6 (Ceres) 2,56 – 2,98 AE 0,4 + 0,3 ∗ 23 = 0,4 + 0,3 ∗ 8 = 2,8 Jupiter 4,95 – 5,46 AE 0,4 + 0,3 ∗ 24 = 0,4 + 0,3 ∗ 16 = 5,2 Saturn 9,04 – 10,12 AE 0,4 + 0,3 ∗ 25 = 0,4 + 0,3 ∗ 32 = 10 Uranus 18,32 – 20,08 AE 0,4 + 0,3 ∗ 26 = 0,4 + 0,3 ∗ 64 = 19,6 Neptun 29,71 – 30,39 AE

0,4 + 0,3 ∗ 27 = 0,4 + 0,3 ∗ 128 = 38,8 Pluto 29,66 – 49,31 AE

Mars, Jupiter und Saturn im "Rückwärtsgang":

Die Oppositionsschleifen der äußeren Planeten

Früher war sicher nicht alles besser. Aber der Himmel war dunkler, und die Menschen ihm naher als heute

und in der noch fernsehlosen Zeit schaute man in langen Nächten erwartungsvoll auf die "Sternzeichen".

Einige "Sterne" wurden "umherirrende" Planeten genannt.

Normalerweise "wandert" Jupiter im Laufe von etwa 11 Jahren von Westen nach Osten durch alle 12

"Sternzeichen". Aber jedes Mal, einige Monate bevor er der Sonne gegenübersteht, scheint er

abzubremsen, wird "rückläufig", nimmt wieder Fahrt auf, bremst wieder ab um dann wieder zurück in den

"Vorwärtsgang" zu wechseln.

Mars, Jupiter, Saturn zeigen solche Schleifen und diese wurden von Astronomen der frühen Neuzeit (und

vielleicht schon viel früher) wahrgenommen.

Grafik: Ingo Mennerich (nach Daten von "Redshift")

Oppositionsschleife des Jupiters im Winter 2016 Jupiter zieht zwischen April 2015 und Dezember 2016 unterhalb des Sternbildes Löwe entlang der Ekliptik ostwärts. Angegeben sind die Positionen zum jeweiligen Monatsersten,

2015 (blau)

2016 (rot)

Im März 2016 steht Jupiter in Opposition zur Sonne. Im Januar vollzieht er eine Wende in westliche

Richtung um im Mai wieder zu seiner "normalen" Bewegungsrichtung zurückzufinden.


Warum vollziehen Mars, Jupiter und Saturn solche Schleifen?

Warum treten sie nur dann auf, wenn der Planet der Sonne gegenüber steht?

Warum ist das bei Venus und Merkur nicht zu beobachten?

Da man damals davon ausging, dass die Erde im Mittelpunkt der Welt stünde und von allen anderen

Himmelskörpern umkreist würde, ließen sich diese Schleifen nur dadurch erklären, dass die Planeten um

einen auf einer Kreisbahn wandernden Punkt kreisten. Der Kreis auf dem Kreis wurde "Epizykel" genannt.

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=317917

Fahrgeschäft "Breakdancer" Auf einer rotierenden Scheibe drehen sich jeweils vier um eine gemeinsame Achse kreisende Gondeln.

Epizykel mit dem Zirkel

Zeichne mit dem Zirkel einen etwas Kreis mit dem Radius 9 cm

Teile den Umfang schrittweise in Sektoren von 90°, dann 30° und 10°

Schlage um jeden der 35 Punkte einen Kreis ("Epizykel") mit dem Radius 3 cm

Teile den jeden der "aufgesetzten" Kreise in Sektoren von 30°

Markiere beim obersten Kreis den Punkt °0°°

Markiere beim links folgenden "Epizykel" die Position °-30°°

Rücke die Markierung bei weiteren der folgenden Epizykel um 30° weiter

Computergrafik mit "Freehand": Der Kreisumfang wurde in 36 Abschnitte von je 10° geteilt. Jedem der Punkte wurde ein "Epizykel" aufgesetzt dessen Achse (blau) sich mit jedem Schritt um 30° dreht. Aus der Perspektive der im Zentrum stehenden Erde (blau) vollzieht der umlaufende Planet (rot) im Laufe eines Umlaufs zwei Schleifen (links und rechts). Dabei wird er langsamer, kommt zum Stillstand, kehrt seine Bewegungsrichtung um, kommt wieder zum Stillstand, nimmt seine ursprüngliche Bewegungsrichtung wieder auf und beschleunigt. Während der Rückläufigkeit ist der Abstand Erde - Planet am geringsten.


Oppositionsschleife äußerer Planeten Der vorübergehende Stillstand und die anschließende Rückläufigkeit der äußeren Planeten (z.B. des Jupiter) sind nicht den "Epizykeln" geschuldet, obwohl diese auf den ersten Blick viele Phänomene erklären:

die periodisch immer wieder auftretende Rückläufigkeit

die in bestimmten Zeitabständen beobachtete Annäherung und Entfernung der (äußeren) Planeten

Die Oppositionsschleifen sind in Wirklichkeit aber eine Erscheinung, die auch auftritt, wenn zwei U-Bahnen nebeneinander auf parallelen Gleisen fahren. Aus der Perspektive der schnelleren Bahn scheint die langsamere rückwärts zu fahren. Die Erde bewegt sich schneller um die Sonne als der Jupiter. Sie "überholt" ihn daher regelmäßig auf der Innenbahn. Dann beschreibt der äußere Planet vor dem Hintergrund der Fixsterne eine Schleife. Zunächst beendet der Planet seine rechtläufige, von Westen nach Osten gerichtete Phase (1), kommt zum Stillstand (2), wird rückläufig (3,4), kommt erneut zum Stillstand (5) und wird wieder rechtläufig (6 - 12). Diese Schleifenbewegung tritt nur im Zeitraum vor bis nach der Opposition auf. Diese Interpretation der Schleifenbewegung war erst möglich als sich die Überzeugung durch- setzte, dass die Erde der Mittelpunkt der Welt sei sondern gemeinsam mit den anderen Planeten die Sonne umkreist.


Jupiter und Saturn, wer läuft innen, wer läuft außen?

Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unsere neun Planeten….

Klar, Jupiter ist weniger weit von der Sonne entfernt als Saturn. Das gehört heute zum Allgemeinwissen der

16000-Euro-Kategorie in einer bekannten Quizshow. Im Planetenpfad des Schulbiologiezentrums kann man

sich dieses "Wissen" mit den Füßen aneignen: Wenn man von der "Sonne" zum "Jupiter" gelaufen ist, muss

man noch einmal die gleiche Strecke bis zum "Saturn" zurücklegen.

Aber woher weiß man das eigentlich?

Wenn hoch am Himmel zwei Flugzeuge aufeinander zufliegen, wie kann ich am Boden voraussagen,

welches der beiden höher, welches tiefer fliegt? Hier kann ich überprüfen, ob meine Vermutung stimmt:

Der eine Kondensstreifen wird nachher über dem anderen liegen. Aber wie steht es mit der Entfernung von

Planeten? Der eine mag größer oder heller sein, aber Ich habe doch zunächst erst einmal keinen

Anhaltspunkt, wie groß sie wirklich sind. Vielleicht ist der scheinbar "kleinere" in Wirklichkeit viel größer?

"Größe" Helligkeit (Magnitude)

Jupiter in Opposition (08.03.2016) 48´´ -2.34

Saturn in Opposition (03.06.2016) 20´´ 0.10

Daten nach "Redshift"

Beide Planeten erscheinen (selbst im Fernrohr) winzig:

1´´ (1 Bogensekunde) ist der 60ste Teil einer Bogenminute (´)

1´ (1 Bogenminute) ist der 60ste Teil eines Grades (°)

Der Mond erscheint auf der Erde etwa 0,5° "groß"

Die auf der Erde wahrnehmbare (visuelle) scheinbare Helligkeit wird in einer logarithmischen, der

Wahrnehmung entsprechenden Skala als "Magnitude" ausgedrückt. Je kleiner die Zahl, desto heller das

Objekt. Heller Objekte als mag 0 mag erhalten ein negatives Vorzeichen: Venus −4,4 mag oder die Sonne

−26 mag. Jupiter ist also heller als Saturn.

Die wenigsten von uns haben Jupiter und Saturn schon einmal selbst am Himmel gesehen, geschweige

denn ihre langsame Eigenbewegung vor dem Sternenhintergrund verfolgt.

Beide Planeten sind auffällig genug um sie mit bloßem Auge erkennen zu können. Wenn sie, aus der

Erdperspektive gesehen, der Sonne gegenüber, also in Opposition stehen sind sie sogar besonders hell.

Jupiter: Auf der Erde maximal 48´´ "groß" Saturn: Auf der Erde maximal 20´´ "groß"


Die Sonne, der Mond, die Planeten und alle von der Erde aus sichtbaren Sterne haben etwas gemeinsam:

Sie stehen irgendwann im Laufe des Tages einmal genau im Süden.

Wenn einer der äußeren Planeten in Opposition, also von der Erde aus betrachtet der Sonne genau

gegenüber steht, ist er um Mitternacht genau im Süden zu sehen. Die Sonne liegt dann im Norden unter

dem Horizont und strahlt seine ganze, uns zugewandte Seite an. Darum, und weil sie uns dann besonders

nah kommen, sind Mars, Jupiter und Saturn in Opposition besonders hell.

Wer beobachtet hat, wann Jupiter in Opposition zur Sonne steht, muss etwa 400 Tage lang warten bis

wieder "Volljupiter" ist. Dann allerdings kann man seine Umlaufzeit um die Sonne berechnen. Sie wird auch

"siderische Umlaufzeit" bezeichnet, weil sie sich vor dem Hintergrund der Sterne vollzieht.

Die siderische Umlaufzeit kann man, wenn man sich das Rechnen sparen will, durch eigene Beobachtung

ermitteln:

Steht Jupiter im Frühjahr 2016 neben einem bestimmten Stern, z.B. dem Regulus im Löwen, wird er sich

von Tag zu Tag ein Stück in östliche Richtung auf andere Sterne bewegen. Das wird man nur bemerken,

wenn man immer mal wieder zu ihm hinaufsieht oder, was heute ja mit Smartphones ganz leicht ist, Fotos

von dieser "Wanderung" machen. Planeten heißen ja auch "Wandelsterne", im Gegensatz zu den scheinbar

stillstehenden "Fixsternen".

So wird Jupiter aus unserer Erdperspektive im Laufe der Zeit alle Sternbilder der Ekliptik durchschreiten:

Löwe (2016), Jungfrau (2017), Waage (2018), Skorpion (2019), Schütze (2020), Steinbock (2021),

Wassermann (2022), Fische (2023), Widder (2024), Stier (2025), Zwillinge (2026), Krebs (2026), Löwe

(2027)…

Nach 11 Jahren und 315 Tagen steht der Jupiter vor demselben Sternenhintergrund. Das ist die siderische,

d.h. auf den Sternenhintergrund bezogene Umlaufzeit

Die Zeit zwischen zwei Oppositionen wird als synodische Umlaufzeit bezeichnet. Sie beträgt bei Jupiter

398,88 Tage (1,092 Jahre = 1 Jahr 33,6 Tage)

Die Umlaufzeit T öffnet weitere Türen für weitere Berechnungen:

Entfernung Sonne - Jupiter

Radien der Erd- und Jupiterbahn

Größe des Jupiters (Winkelgröße des Jupiters, Entfernung)

Nur wenige von uns werden die Zeit, Muße und Geduld haben, die Umlaufzeit der Planeten aus eigener

Beobachtung abzuleiten. Die siderische Periode lässt sich aber auch aus der synodischen berechnen.

1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡

=1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝐸𝑟𝑑𝑒

−1

𝑇𝑠𝑦𝑛𝐸𝑟𝑑𝑒,𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡

Dann gilt für Jupiter (synodische Periode 399 Tage)

1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟

=1

365𝑑−

1

399𝑑= 4283 𝑇𝑎𝑔𝑒 = 11,7 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒

Und für Saturn (synodische Periode 378 Tage)


1

𝑇𝑠𝑖𝑑𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛

=1

365𝑑−

1

378𝑑= 10613 𝑇𝑎𝑔𝑒 = 29,1 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒

Die gegenüber dem Jupiter fast dreimal so lange Umlaufperiode des Saturns lässt den Schluss zu, dass der

"Ringplanet" die äußere Bahn einnimmt.

Mit dem dritten Keplerschen Gesetz lassen sich aus den Umlaufzeiten die Radien der Umlaufbahnen

berechnen:

(𝑇𝐸𝑟𝑑𝑒

𝑇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡)

2

= (𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒

𝑎𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡)

3


𝑇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡2 =

𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒3

𝑎𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡3

𝑎𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡3 =

𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒3 ∗ 𝑇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡

2


𝑎𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡 = √𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒

3 ∗ 𝑇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡2


3

Für Jupiter (siderische Umlaufzeit 11,7 Jahre) gilt

𝑎𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟 = √𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒

3 ∗ 𝑇𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟2


3

𝑎𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟 = √149,6 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚3 ∗ 11,7𝑎2

1𝑎2

3

= 771,0 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚

Tatsächliche Werte (Wikipedia) Siderische Umlaufzeit Mittler Bahnradius

Jupiter 11,86 Jahre 778,1 Mill. km

Für Saturn (siderische Umlaufzeit 29,46 Jahre) gilt

𝑎𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛 = √𝑎𝐸𝑟𝑑𝑒

3 ∗ 𝑇𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛2


3

𝑎𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛 = √149,6 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚3 ∗ 29,46𝑎2

1𝑎2

3

= 1426,9 𝑀𝑖𝑙𝑙. 𝑘𝑚


Wie weit ist unser "Nachbar" Mars von der Sonne bzw. von uns entfernt?

Von der Beobachtung der Planeten zur geometrischen Lösung

Mars steht am 22.05.2016 in Opposition zur Sonne. Damit steht gegenüber und wird, weil er sich in relativ

geringem Abstand zur Erde befindet zum hellen Objekt der Nacht.

Ein Viertel Erdenjahr später - die Erde hat ein Viertel ihres jährlichen Weges um die Sonne, also 90°

zurückgelegt - wird sich seine Position relativ zum Sternenhintergrund um einen bestimmten messbaren

Winkel verändert haben.

Kann man aus diesen Winkeln die Entfernung des Mars errechnen oder mit Zirkel und Geodreieck

ermitteln?

Lässt sich diese Methode auch auf andere äußere Planeten (Jupiter, Saturn) übertragen?

Stimmen die so gefundenen Entfernungen mit den mit Hilfe des 3. Keplerschen Gesetzes

errechneten Ergebnissen überein?

Wie weit weichen sie von den in der Literatur veröffentlichten Daten ab?

Mars 22.05.2016 (Opposition) Mars steht im Sternbild Skorpion RA: 15h 57m 39s = 57459s

Mars 22.08.2016 (1/4 Jahr nach der Opposition) Mars steht im Sternbild Skorpion Die Position am Himmel ist RA*: 16h 27m 19s Umgerechnet in Sekunden: 59239s *)Rektaszension oder Stundenwinkel

Mars wandert zwischen dem 22.05. und 22.08.2016 vor dem Sternenhintergrund nach Osten:


Zwischen dem 22.05. und dem 22.08. "wandert" der Mars von Westen nach Osten durch das Sternbild Skorpion.

Mars bei Oppostion (22.05.16)

Mars ¼ Jahr nach Oppostion (22.08.16)

Den Winkel (also die scheinbare "Wegstrecke") kann man bestimmen, in dem man an den beiden Tagen ein

Foto macht und sich einen an den Sternen orientierten Maßstab schafft.

Winkelabstand "Antares" - "Dschubba" ≈ 7,5°

Winkelabstand Mars (22.05.) und Mars (22.08.) ≈ 7,5°

Der Winkelabstand zweier sehr heller Sterne im Skorpion, dem Antares (alpha Scorpiones) und Dschubba (delta scorpionis) beträgt etwa 7,5°. Das ist nahezu die gleiche "Wegstrecke" die Mars zwischen den beiden Daten zurücklegt.

Entfernungsbestimmung Sonne - Mars Am 22. Mai 2016 steht Mars in Oppostionsstellung zur Sonne. Seine siderische Umlaufzeit beträgt etwa 678 Tage. Dann steht er aus unserer Perspektive wieder vor demselben Sternenhintergrund. Ein viertel Jahr später, am 22.08. hat sich die Erde um 90° zur Sonne weiterbewegt.

365 Tage

4≈ 91 Tage

Der Winkel den der Mars in der gleichen Zeit überstreicht ist

91 𝑇𝑎𝑔𝑒

687 𝑇𝑎𝑔𝑒∗ 360° ≈ 48°


Sonne. Erde und Mars bilden ein viertel Jahr nach der Marsopposition ein Dreieck dessen Seiten

zeichnerisch mit Lineal und Geodreieck bestimmt oder mit Hilfe Sinussatzes errechnet werden können.

Die eine Seite des Dreiecks entspricht der mittleren Entfernung Sonne - Erde (1 Astronomische

Einheit).

Der Winkel zwischen Mars, Sonne und Erde ist 90° - 48° = 42°

Der Winkel zwischen Mars, Erde und Sonne ist 90° + 7,5° = 97,5°

Da die Winkelsumme im Dreieck stets 180° ist muss der Winkel zwischen Sonne, Mars und Erde

180° - 97,5° - 42° = 40,5° sein

Nach dem Sinussatz

𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾

ist

d𝑆𝑜𝑛𝑛𝑒−𝑀𝑎𝑟𝑠

sin97,5°=

1 AE

sin40,5°= 1,52 AE

Die geringste Entfernung zwischen Erde und Mars ist folglich 0,52 AE

Ein viertel Jahr nach der Opposition beträgt ihr Abstand

d𝐸𝑟𝑑𝑒−𝑀𝑎𝑟𝑠

sin42°=

1 AE

sin40,5°= 1,03 AE

Mit 1 AE = 149,6 Millionen km wäre die durchschnittliche Distanz Sonne - Mars

149,6 ∗ 106𝑘𝑚 ∗ 1,52𝐴𝐸 = 227,4 ∗ 106𝑘𝑚

Die minimale und maximale Entfernung zur Erde (bei Opposition bzw. Konjunktion) wären dann

227,4 ∗ 106𝑘𝑚 − 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 77,8 ∗ 106𝑘𝑚

und

227,4 ∗ 106𝑘𝑚 + 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 377,0 ∗ 106𝑘𝑚


Mars (Bahnradius) 1,524AE = 227,99 Millionen km Mars (geringste Erdentfernung) 78,39 Millionen km

Mars (größte Erdentfernung) 377,59 Millionen km

Wenn die Erde zwischen Sonne und Mars steht (Opposition) ist der rote Planet uns fast fünfmal näher als in

Konjunktion. Das würde einen Teil der auffälligen Helligkeitsunterschiede zwischen der Opposition

erklären. Mars ist, anders als Jupiter und Saturn, eigentlich nur während der alle 25 bis 26 Monate

auftretenden Erdnähe ein auffälliger Planet.


Sternbeobachtern früherer Zeiten wird das sicherlich auch schon aufgefallen sein. Mit dem damaligen

heliozentrischen Weltbild ließ sich das nur schwer in Einklang bringen. Man hätte daraus folgern können,

dass der Mars eine sehr exzentrische elliptische "Umlaufbahn" beschreibt. Das allerdings passte nicht in die

Vorstellung einfacher und damit vollkommener geometrischer Figuren.

Wie schnell ist der Mars? Die Erde "reist" in 365,25 Tagen (= 31557600s)einmal um die durchschnittlich 149,6 Millionen Kilometer

entfernte Sonne.

Die Wegstrecke ist folglich

𝑈 = 2𝜋𝑟

𝑈 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 940 ∗ 106𝑘𝑚

und ihre durchschnittliche Bahngeschwindigkeit

𝑣 = 940 ∗ 106km

31557600s= 29,79 km/s

Die siderische Umlaufzeit des Mars beträgt 686,980 Tage (=59355072s) und sein durchschnittlicher

Abstand zur Sonne 228 Millionen Kilometer

𝑈 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 228 ∗ 106𝑘𝑚 = 1432,5 ∗ 106𝑘𝑚

𝑣 = 1432,5 ∗ 106km

59355072s= 24,13 km/s

Obwohl Mars mit mehr als 72facher Schallgeschwindigkeit (333m/s) unterwegs ist scheint er auch im

Fernrohr still am Himmel zu stehen. Er muss also sehr, sehr weit entfernt sein!

Messung des Winkelabstands mit Hilfe der Uhr

In 24 Stunden rotiert die Erde einmal um 360°. Das ist zwar etwas vereinfacht dargestellt, reicht aber für

die im Folgenden dargestellte Methode völlig aus:

24ℎ

360°=

𝑥ℎ

𝑡

Wenn ein Stern mit der Rektaszension 1 zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort (z.B. genau im

Süden) steht wird Stern mit der östlicheren Rektaszension 2 um einer bestimmte Zeit später durch diese

Linie ziehen. Aus dem Zeitunterschied lässt sich also der Positionswinkel zwischen den beiden Sternen

bestimmen.

Beispiel:


24ℎ

360°=

𝑥ℎ

7,5°

24h

360°∗ 7,5° = 0,5h

Im Konkreten Fall heißt das, dass der Ort an dem Mars am 22.05.2016 steht eine halbe Stunde früher im

Süden steht als der Mars am 22.08.

Hier ist eine gute Zeichnung oder besser ein Foto der Lageverhältnisse zwischen Sternen und Planet zur

Opposition am 22.05. sehr hilfreich. So kann ein viertel Jahr später leichter sagen, wo der Planet gestanden

hat.

Als Referenz dienen zwei als Visierlinie hintereinander gesteckten Nadeln. Vielleicht genügt auch ein

entfernter Kirchturm, Sendemast oder einfach eine Hausecke. Man muss sich nur eine Senkrechte darüber

denken oder einen hellen Faden, an dem ein kleines Gewicht hängt zu Hilfe nehmen.

Sobald die Position 1 von Osten nach Westen durch die "Ziellinie" geht läuft die Zeit. Wenn die Zeitdifferenz

tatsächlich 30 Minuten beträgt ergibt das den hier schon mit anderen ermittelten Winkel zwischen den

beiden Orten.

Für Fortgeschrittene oder zum Überlesen: Rechnen mit Rektaszensions- und Deklinationswerten Der Winkelabstand zwischen zwei Sternorten lässt sich auch rechnerisch bestimmen. Voraussetzung ist allerdings, dass man die Positionen irgendwo nachschlagen kann.

Jeder Stern hat eine Adresse am irdischen Himmel. Sie setzt sich zusammen aus der Deklination und der Rektaszension RA ("Right Ascension"). Planeten wandern und verändern ihre "Adressen". Die aktuellen Werte kann man Sternkalendern oder astronomischen Programmen (z.B. Redshift) entnehmen. Die Rektaszension wird in Stunden, Minuten und Sekunden und vom Frühlingspunkt der Sonne (Schnittpunkt der Ekliptik und des Himmelsäquators) rechtläufig (von West nach Ost) als Stundenwinkel gezählt. Der Frühlingspunkt ist der Ort wo die Sonne zum astronomischen Frühlingsbeginn steht und hat die Rektaszension (RA) 0h 00min 00s. Wenn der Frühlingspunkt durch den Merian geht (also genau im Süden steht) ist die Sternzeit 0 Uhr. Nach Umwandlung von Stunden, Minuten und Sekunden in Sekunden (24 h = 86400s) lässt sich die Rektaszension leicht in einen Winkel umwandeln:

𝜏 = 360°

86400𝑠∗ 𝑅𝐴(𝑠)

Die Positionen des Mars am 22.05. und am 22.08. sind RA: 15h 57m 39s (= 57459s) RA: 16h 27m 19s (= 59239s) Daraus folgt

𝜏 = 360°

86400𝑠∗ 57459𝑠 = 239,4°


𝜏 = 360°

86400𝑠∗ 59239𝑠 = 246,8°

Die errechnete Differenz von etwa 7,4° bestätigt also das Ergebnis der Beobachtung. Da sich nicht nur die Rektaszensionen sondern auch die Deklinationen verändern muss für eine genauere Berechnung die sphärische Trigonometrie zu Hilfe genommen werden:

Der Winkelabstand zwischen zwei Orten am Sternhimmel ist

cosγ = 𝑠𝑖𝑛𝛿1 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛿2 + 𝑐𝑜𝑠𝛿1 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛿2 ∗ cos Δ𝛼 Aus den bei "Redshift" angegebenen Werten und der Umwandlung in Winkel folgt

Mars 22.05.

RA1 15h57min55s

57475s = 239,479°

-21°39´22´´

= -21,6561°

Mars 22.08.

RA2 16h26min21s

59181s 246,5586° 7,1085°

-24°31´42´´

= -24.5283°

cosγ = 𝑠𝑖𝑛 − 21,6561 ∗ 𝑠𝑖𝑛 − 24.5283° + 𝑐𝑜𝑠 − 21,6561° + 𝑐𝑜𝑠 − 24.5283° ∗ cos 7,1085 °

cosγ = 0,446079922

γ = 7,14°

Wie groß ist der Mars?

Mars ist auch in leistungsstärkeren Hobbyfernrohren ein winziges Pünktchen dem man seinen

Scheibencharakter kaum ansieht. Nur in den Wochen größter Erdnähe, also in Opposition zur Sonne,

wächst seine scheinbare Größe soweit an, dass sich die Beobachtung lohnt.

Am 22.05. wird er 18 Bogensekunden (´´) und damit 1°

3600∗ 18´´ = 0,005° erscheinen

Mit = 18´´ (=0,0069°) und der berechneten Distanz Erde - Mars bei Opposition 77,8 Millionen Kilometer

erhalten wir den Radius des Mars

x = d ∗ tanα

2


x = 77,8 ∗ 106km ∗ tan0,005

2= 3395km

Daraus ergäbe sich ein Durchmesser von 6789 km


Mars (Äquatordurchmesser) 6792,4 km Mars (Poldurchmesser) 6752,4 km

Geometrische Entfernungsbestimmung des Jupiters

Zwischen dem 08.03. und dem 08.06.2016 "wandert" der Jupiter (Rückläufig!) von Osten nach Westen

durch das Sternbild Löwe.

Jupiter bei Oppostion (08.03.16)

Jupiter ¼ Jahr nach Oppostion (08.06.16)

Zwischen dem 08.03. und dem

08.06. "wandert" der Jupiter um

3,5° nach Westen und erscheint

dadurch in Bezug auf den

Sternenhintergrund etwas nach

rechts verschoben.

3,5° entsprechen, wenn man den

Mond als Maßstab benutzt, etwa 7

Vollmondscheiben.

Die Rückläufigkeit entsteht

dadurch, dass er in der

Oppositionsphase von der

schnelleren Erde überholt wird.


Rechnen mit Rektaszensionswerten:

Opposition

08.03.16

RA 11h 19m 02s

40742s

𝜏 = 360°

86400𝑠∗ 40742𝑠 = 169,8°

1/4 Jahr nach Opposition

08.06.16

RA: 11h 05 11s

39911s

𝜏 = 360°

86400𝑠∗ 39911𝑠 = 166,3°

Die Winkeldistanz beträgt also etwa 3,5°

Winkel Jupiter-Sonne-Erde = 90° - 7,6° = 82,4°

Winkel Jupiter-Erde-Sonne = 90° - 3,5° = 86,5°

Winkel Erde-Jupiter-Sonne = 180° - 82,4° - 86,5° = 11,1°

Entfernungsbestimmung Sonne - Jupiter Am 08. März 2016 steht Jupiter in Opposition zur Sonne. Seine siderische Umlaufzeit beträgt etwa 11,86 Jahre. Dann steht er aus unserer Perspektive wieder vor demselben Sternenhintergrund. Ein viertel Jahr nach der Opposition, am 08.06. hat sich die Erde um 90° zur Sonne weiterbewegt. In einem Vierteljahr überstreicht Jupiter auf seiner Umlaufbahn

0,25𝑎

11,86𝑎∗ 360° ≈ 7,6°

Zwischen 08.03. und 08.06. "wandert" er aus der Erdperspektive gesehen rückläufig um 3,5° nach Westen. Nach dem Sinussatz

𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾

Ist

d𝑆𝑜𝑛𝑛𝑒−𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟

sin 82,4 °=

1 AE

sin 11,1 °≈ 5,2 AE

Mit 1 AE = 149,6 Millionen km wäre die durchschnittliche Distanz Sonne - Jupiter

149,6 ∗ 106𝑘𝑚 ∗ 5,2𝐴𝐸 = 777,9 ∗ 106𝑘𝑚



777,9 ∗ 106𝑘𝑚 − 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 628,3 ∗ 106𝑘𝑚

und

777,9 ∗ 106𝑘𝑚 + 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 927,5 ∗ 106𝑘𝑚

Der Jupiter ist im Gegensatz zum Mars, der große periodische Helligkeitsschwankungen zeigt ein

durchgängig lichtstarker Planet.

Das legt, ohne die Distanzen zu vermessen und zu berechnen, bereits die Vermutung nahe, dass seine Bahn

im Verhältnis zur Erdbahn soweit außen liegen müsste, dass sich die Entfernungsunterschiede zur Erde nur

wenig auswirken.

Wenn Jupiter aber viel weiter entfernt ist als der Mars und gleichzeitig viel heller könnte das doch nur

bedeuten, dass er

viel größer sein müsste als Mars

oder dass seine Oberfläche viel "weißer" ist (also mehr Licht reflektiert).

Wie schnell ist Jupiter? Jupiter umläuft die Sonne in 11 Jahren und 315 Tagen (= 374349600s)einmal um die durchschnittlich

778,36 Millionen Kilometer entfernte Sonne.


𝑈 = 2𝜋𝑟

𝑈 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 778,36 ∗ 106𝑘𝑚 = 4890,6 ∗ 106𝑘𝑚

und ihre durchschnittliche Bahngeschwindigkeit

𝑣 = 4890,6 ∗ 106km

374349600s= 13,06 km/s

Wie groß ist Jupiter wirklich?

Der helle Jupiter ist im Vergleich zum Mond winzig klein. Aber schon mit etwas stärkeren Ferngläsern sieht

man ihn als Scheibe. Wenn es uns gelingt, seine scheinbare Größe zum Zeitpunkt der größten Erdnähe zu

messen könnten wir in Kenntnis der Distanz auch seine Größe bestimmen.

Welche einfachen Möglichkeiten stehen uns dazu zur Verfügung?

Man könnte ein Okularmikrometer benutzen und den Winkel ausmessen. Ein Okularmikrometer ist

aber teuer und verlangt in der Anwendung sehr viel Präzision.


Man könnte auch - viel einfacher - ein Fernglas auf ein Stativ stellen und, z.B. mit einem

Smartphone zwei Fotos schießen, eins vom Mond und eins vom Jupiter. Dabei sollte man entweder

keinen Zoom oder die gleiche Zoomeinstellung verwenden. Legen wir die beiden Bilder

übereinander können wir das Größenverhältnis Mond / Planet ausmessen.

Die folgende Montage zeigt den Mond in durchschnittlicher Erdentfernung und die beiden Planeten Jupiter

und Saturn in größter Erdnähe (Opposition)

Jupiter erreicht mit einer maximalen Winkelgröße von 48´´ gerade einmal 2,5% des scheinbaren

Monddurchmessers, Saturn mit 20´´ etwa 1%.

Damit sind Jupiter und Saturn so "groß" wie ein 7 cm großer und 300 bzw. 722 m entfernter Tennisball.

Um die scheinbare Größe des Mondes dazustellen muss man den Ball aus 7,5 m Distanz betrachten.

Der Radius eines Tennisballs ist 3,5 cm

Bei halben Sehwinkeln von 24´´ (Jupiter) und 10´´ (Saturn) gilt

1°

3600∗ 24´´ = 0,00667

1°

3600∗ 10´´ = 0,00278

𝑥 =0,035m

tan0,00667= 300m

𝑥 =0,035m

tan0,00278= 721m

Mit = 48´´ (=0,01333°) und der Oppositionsentfernung Erde - Jupiter von 628,3 Millionen Kilometer

erhalten wir den Radius des Jupiter

𝑥 = 𝑑 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝛼

2

𝑥 = 628,3 ∗ 106𝑘𝑚 ∗ 𝑡𝑎𝑛0,0133

2= 73106 𝑘𝑚



Jupiter (Äquatordurchmesser) 142984 km Jupiter (Poldurchmesser) 133708 km


Scheinbare Größe des Mondes, des Jupiters und Saturns.

Idealisierte Fotomontage (Bildquelle: Wikipedia)


Wie "schwer" ist Jupiter?

Jupiter hat 67 bisher bekannte Monde. Die 4 hellen sogenannten galiläischen Monde Io, Europa, Ganymed

und Kallisto sind bereits mit dem Fernglas zu sehen.

Galileo Galilei (Portrait von Justus Sustermans , 1636) https://commons.wikimedia.org/

Am 7. Januar 1610 entdeckte der Mathematik-Gelehrte Galileo Galilei in Padua mit einem selbst gebauten, nach heutigen Standards primitiven Fernrohr die Monde des Jupiters. In der nachfolgenden Zeit leitete er aus ihren Bewegungsmustern ab, dass sich Jupiter und seine Monde so verhalten wie die Sonne und die um sie kreisenden Planeten. Bis dahin lautete die auf Aristoteles und Ptolemäus zurückgehende und von der Kirche favorisierte geozentrische Doktrin, dass sich alles um die Erde drehte. Die vier den Jupiter umkreisenden Monde liefen diesem Grundsatz entgegen. Die Entdeckung stützte die fast ein Jahrhundert vorher von Kopernikus aufgestellte Behauptung, dass sich die Planeten um die Sonne drehten (heliozentrisches System).

Wer sich die Mühe macht, die Bewegung der Jupiter Monde von Tag zu Tag zu verfolgen wird auf ein

"Uhrwerk" stoßen. Die "Choreographie" der vier den Jupiter umtanzenden Lichtpunkte wird man erst

man erst nach einiger Zeit erkennen.

Am Abend des 19.03.2016 stehen die vier Monde in einer Reihe…

Jupitermonde Io, Europa, Ganymed und Kallisto (von links nach rechts)

Idealisierte Foto-Montage bei maximalem Winkelabstand

Am nächsten und an den darauf folgenden Tagen sieht das Bild schon völlig anders aus.

Wer sich die Mühe macht, die Bewegung der Monde von Tag zu Tag zu verfolgen wird feststellen:

Der Mond mit dem geringsten Bahnradius (Io) hat die kürzeste Umlaufzeit. Sie beträgt weniger als

zwei Tage (1,769d)

Der Mond mit dem größten Bahnradius (Kallisto) hat die längste Umlaufzeit. Sie liegt bei etwas

mehr als 16 Tagen (16,69d)

Die Umlaufzeiten der beiden anderen Monde, Europa und Ganymed, liegen mit etwa dreieinhalb bzw.

sieben Tagen zwischen diesen Werten.


Auffällig auch ist, dass die inneren drei Monde immer wieder in einer Reihe stehen und dass ihre

Umlaufzeiten offenbar in einem ganzzahligen Verhältnis stehen: Wenn Ganymed den Jupiter einmal

umrundet, hat Europa zwei und Io vier Umläufe hinter sich.

Eine erste Vermutung mag lauten, dass sich die Längen der Umlaufbahn von Io und Kallisto möglicherweise

so wie die Umlaufzeiten, also wie 1 : 8 verhalten. Misst man die Abstände der Monde mit dem Lineal aus so

zeigt sich aber, dass Kallisto nur etwa 4,5mal soweit vom Jupiter entfernt ist wie Io.

Da U = 2r ist verhalten sich die auch Längen der Umlaufbahnen wie 1 : 4,5.

Damit ist die Umlaufgeschwindigkeit des inneren Mondes um etwa das doppelte höher als das des

äußeren.

Das dritte Kepler´sche Gesetz besagt, dass sich die Quadrate der Umlaufzeiten sich verhalten wie die Kuben

der Bahnradien

𝑇𝐼𝑜2

𝑇𝐾𝑎𝑙𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜2 =

𝑟𝐼𝑜3

𝑟𝐾𝑎𝑙𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜3

Daraus folgt

1,769𝑑2

16,692=

13

4,53= 0,011

Aus der bereits ermittelten Entfernung Erde-Jupiter und des beobachteten scheinbaren Größe des Jupiters

zum Zeitpunkt der größten Erdnähe (Opposition) lassen sich die Bahnradien der Monde ableiten.

Bei einem Durchmesser des Jupiters von etwa 143000 km beträgt die Entfernung Jupiter-Ganymed etwa

1 Million km. Seine Umlaufzeit liegt bei etwa 7 Tagen.

Mittlerer Bahnradius (km)

Umlaufbahn (km)

U = 2r

Umlaufzeit (Tage) Umlaufgeschwindigkeit km/s

Io 421600 2648991 1,769 17,33

Europa 670900 4215389 3,551 13,74

Ganymed 1070600 6726778 7,155 10,88

Kallisto 1883000 11831238 16,69 8,20


Die Masse des Jupiters

Wer schon einmal aus der Umlaufzeit und Flughöhe der Internationalen Raumstation (ISS) die Masse der

Erde errechnet hat, wird keine Probleme damit haben herauszufinden, wie "schwer" der Jupiter ist. Die

Geschwindigkeit und damit die Umlaufzeit eines Körpers, der eine zentrale Masse umkreist ist abhängig

anhängig von seinem Bahnradius und der beiden Massen.

Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Jupiter_Vixen80L_Capture_2_25_2014_7_04_27_PM_deutsch.png (Maßstab

eingefügt)

Mit der Newton´schen Fassung des Dritten Kepler-Gesetzes:

𝑇2 =4𝜋2

𝐺(𝑀1 ∗ 𝑀2)∗ 𝑟3

lässt sich in Kenntnis der Umlaufperiode und des Bahnabstandes zweier Himmelskörper das Produkt ihrer

Massen bestimmen.

T = Umlaufperiode in Sekunden

r = Bahnradius in Metern

G = Gravitationskonstante (6,67*10-11)

M1 = Masse (Jupiter) in kg

M2 = Masse (Jupitermond) in kg

Umgestellt nach Masse:

𝑀1 ∗ 𝑀2 =4𝜋2

𝐺 ∗ 𝑇2∗ 𝑟3

Im folgenden Fall wird angenommen, dass die Massenschwerpunkte im Zentrum von Jupiter und

Jupitermond liegen und r die Distanz zwischen diesen Massenpunkten ist.

Im Falle von Jupiter und Ganymed gilt

T = 7 Tage = 604800s = 6,048*105s

r = 1000000 km = 1000000000 m = 1*109 m

G = 6,674*10-11

𝑀1 ∗ 𝑀2 =4𝜋2

6,674 ∗ 10−11 ∗ (6,048 ∗ 105𝑠)2∗ (1 ∗ 109𝑚)3


Jupiter und Jupitermond Ganymed hätten danach zusammen eine Masse von etwa 1,617*1027 kg


Jupiter 1,899 · 1027 kg

Ganymed 1,482 · 1023 kg

Jupiter + Ganymed 1,899· 1027 kg

Ungenauigkeit durch:

Zu geringe Umlaufzeit T (7 Tage statt 7,155 Tage)

Zu kleiner Bahnradius (1000000 km statt 1070400 km)

Wie "dicht" ist der Jupiter?

Mit Hilfe des keplerschen Umlaufzeiten-Abstände Gesetzes haben wir den Bahnradius des Jupiters

berechnet. Das ermöglichte seinen geringsten und größten Abstand zur Erde zu ermitteln. Die bei der

Opposition im Fernrohr vermessene scheinbare Größe (in Grad) der winzigen Planetenscheibe führte zur

tatsächlichen Größe des Jupiters.

Die Bahnen der Monde, die den Jupiter wie Uhrwerke umkreisen lassen sich in Kenntnis seiner Größe

ermitteln. Bahnradien und Umlaufzeiten liefern uns die Daten, um die Masse des Jupiters zu bestimmen.

Aus der Masse und dem Volumen des Planeten errechnen wir die Dichte (, rho):

𝑉 = 4

3𝜋𝑟3

𝑉 = 4

3𝜋 ∗ 71500000m3 = 1,531 ∗ 1024𝑚3

𝜌 = 𝑚

𝑉

𝜌 = 1,899 ∗ 1027𝑘𝑔

1,531 ∗ 1024𝑚3= 1240,4 kg/m3

𝜌 = 1,24 g/cm3

Tatsächlicher Wert (Wikipedia)

Jupiter 𝜌 = 1,326 g/cm3


Saturn

Entfernungsbestimmung Sonne - Saturn

Da die geometrische Entfernungsbestimmung bereits am Beispiel des Mars und Jupiters durchgeführt

haben halten wir uns hier kurz:

Saturn Opposition 03.06.16 RA: 16h47min32s D: -20°34´28´´

Saturn 03.09.16 RA: 16h35min01s D: -20°27´08´´

Der Winkelabstand ist

cosγ = 𝑠𝑖𝑛𝛿1 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛿2 + 𝑐𝑜𝑠𝛿1 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛿2 ∗ cos Δ𝛼

= 2,93°

Beobachtbar wären etwa ein Winkel von 3° (6 Vollmondscheiben)

Der Winkel kann mit obiger Formel leicht mit dem

Taschenrechner bestimmt werden.

Zusätzlich bieten wir Ihnen ein Excel-Programm an bei dem

Sie nur die Rektaszensionen und Deklinationen eingeben

müssen.

www.schulbiologiezentrum.info

"Unsere Sternenseite"


Am 03. Juni 2016 steht Saturn in Opposition zur Sonne.

Seine siderische Umlaufzeit beträgt etwa 29,46 Jahre. Dann steht er aus unserer Perspektive wieder vor

demselben Sternenhintergrund.

Ein viertel Jahr nach der Opposition, am 03.09. hat sich die Erde um 90° zur Sonne weiterbewegt.

In einem Vierteljahr überstreicht Saturn auf seiner Umlaufbahn

0,25𝑎

29,46𝑎∗ 360° ≈ 3,1°

Zwischen 03.06. und 03.09. "wandert" er aus der Erdperspektive gesehen um 2,9° nach Westen.

Nach dem Sinussatz

𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾

ist

d𝑆𝑜𝑛𝑛𝑒−𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛

sin 86,9 °=

1 AE

sin 6,0 °≈ 9,6 AE

Winkel Saturn-Sonne-Erde

= 90° - 3,1° = 86,9°

Winkel Saturn-Erde-Sonne

= 90° - 2,9° = 87,1°

Winkel Erde-Saturn-Sonne

= 180° - 86,9° - 87,1° = 6,0°


Mit 1 AE = 149,6 Millionen km wäre die durchschnittliche Distanz Sonne - Saturn

149,6 ∗ 106𝑘𝑚 ∗ 9,6𝐴𝐸 = 1436,2 ∗ 106𝑘𝑚


1436,2 ∗ 106𝑘𝑚 − 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 1286,6 ∗ 106𝑘𝑚

und

777,9 ∗ 106𝑘𝑚 + 149,6 ∗ 106𝑘𝑚 = 1585,8 ∗ 106𝑘𝑚

– 11,086 AE


Saturn (mittlerer Bahnradius) 9,5826AE = 1433,5 Millionen Kilometer

Saturn (kleinster Erdabstand) 7,991AE = 1195 Millionen km Saturn (größter Erdabstand) 11,086AE = 1658 Millionen km

Saturn (Exzentrizität Umlaufbahn) 0,05648

Das starke Auseinanderfallen der Werte für den geringsten und größten Erdabstand deutet auf eine stark

exzentrische Saturnbahn hin.

Die Entfernung Sonne-Saturn schwankt zwischen 9,0412AE und 10,1238 AE.

Damit beträgt die Exzentrizität

𝑒 = 𝑟𝑚𝑎𝑥 − 𝑟𝑚𝑖𝑛

𝑟𝑚𝑎𝑥 + 𝑟𝑚𝑖𝑛

𝑒 = 10,1238𝐴𝐸 − 9,0412𝐴𝐸

10,1238𝐴𝐸 + 9,0412𝐴𝐸 = 0,05649

Unser Rechenbeispiel gründet sich auf die vereinfachende Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn.

Wie schnell ist Saturn? Jupiter umläuft die Sonne in 29,457 Jahren (= 929592223s)einmal um die durchschnittlich 1433,5 Millionen

Kilometer entfernte Sonne.


𝑈 = 2𝜋𝑟

𝑈 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 1433,5 ∗ 106𝑘𝑚 = 9007 ∗ 106𝑘𝑚

und die durchschnittliche Bahngeschwindigkeit

𝑣 = 9007 ∗ 106km

929592223s= 9,69 km/s


Wie groß ist Saturn wirklich?

Scheinbare Größe des Saturn zur Opposition: 20´´

Mit = 20´´ (=0,00556°) und der Oppositionsentfernung Erde - Saturn von 1286,6 Millionen Kilometer

erhalten wir den Radius des Saturn

𝑥 = 𝑑 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝛼

2

𝑥 = 1286,6 ∗ 106𝑘𝑚 ∗ 𝑡𝑎𝑛0,00556

2= 62376 𝑘𝑚



Saturn (Äquatordurchmesser) 120536 km Saturn (Poldurchmesser) 108728 km

Welche Masse hat Saturn?

Saturn und sein Mond Titan. Idealisierte Foto-Montage bei maximalem Winkelabstand Quelle: https://pds.jpl.nasa.gov/planets/captions/saturn/saturn.htm (Verändert)

Die mit dem Lineal bestimmbare Distanz Saturn-Titan beträgt etwas mehr als das 10fache des

Saturndurchmessers.

Mittlerer Bahnradius (km)

Umlaufbahn (km)

U = 2r

Umlaufzeit (Tage)

Umlaufgeschwindigkeit km/s

Titan 1221830 7676984 15,945 5,57


Im Falle von Saturn und Titan gilt

T = 16 Tage = 1382400s = 1,3824*106s

r = 1200000 km = 1200000000m = 1,2*109 m

G = 6,674*10-11

𝑀1 ∗ 𝑀2 =4𝜋2

6,674 ∗ 10−11 ∗ (1,3824 ∗ 106𝑠)2∗ (1,2 ∗ 109𝑚)3

Saturn und Saturnmond Titan hätten danach zusammen eine Masse von etwa 5,349*1026 kg


Saturn 5,685 · 1026 kg

Titan 1,345 · 1023 kg

Saturn + Titan 5,686· 1026 kg

Welche Dichte hat Saturn?

𝑉 = 4

3𝜋𝑟3

𝑉 = 4

3𝜋 ∗ (62376000m)3 = 1,017 ∗ 1024𝑚3

𝜌 = 𝑚

𝑉

𝜌 = 5,349 ∗ 1026𝑘𝑔

1,017 ∗ 1024𝑚3= 526 kg/m3

𝜌 = 0,526 g/cm3

Tatsächlicher Wert (Wikipedia)

Saturn 𝜌 = 0,687 g/cm3

Könnte man auf den Saturnringen laufen? Schon im kleinen Fernrohr (oder etwas vergrößerungsstarken Fernglas) fasziniert der Saturn durch seinen

"Ring" der bei näherer Auflösung aus einer Vielzahl ausgesprochen flacher Ringe mit dunklen

Zwischenräumen besteht.

Könnte man auf ihnen laufen oder gar von Ring zu Ring springen?

Bestehen die Ringe aus starren Scheiben oder aus einzelnen Partikeln?

Drehen sie sich um den Planeten und wenn ja, wie schnell?


Was bestimmt ihre Geschwindigkeit?

Rotieren die Ringe gleich schnell?

Kollidieren die Partikel miteinander?

Beeinflussen sie sich gegenseitig?

Was bestimmt die Geschwindigkeit der Partikel?

Überholen sie sich gegenseitig?

Die Saturnringe bestehen aus unzähligen Partikeln von Feinstaub- bis Metergröße, vorwiegend aus Eis mit

einer kleinem Anteil felsigen Materials. Man kann sie also betrachten wie eine Unzahl von "Minimonden"

die nach den Gesetzen der Gravitation um den Saturn rotieren.

A 2007 artist impression of the aggregates of icy particles that form the 'solid' portions of Saturn's rings. These elongated clumps are continually forming and dispersing. The largest particles are a few metres across.

Quelle:

NASA/JPL/University of Colorado http://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/multimedia/pia10081.html

Von den am Himmel sichtbaren Planeten zur Größe des Sonnensystems

Die Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn sind mit bloßem Auge zu erkennen. Ihre

Bewegungen lassen sich mit etwas Geduld verfolgen, wobei ein Fernglas hilfreich sein kann.

Im Zeitalter von Smart- oder iPhones ist es leicht geworden, den Himmel zu fotografieren. Durch Vergleich

oder besser Übereinanderlegen von zu unterschiedlichen Zeitpunkten geschossenen Bildern kann die

scheinbare "Wegstrecke" der Planeten abgeschätzt werden. Dabei muss stets die gleiche Zoomeinstellung

verwendet werden. Oder legt die Bilder auf dem Rechner so übereinander dass sich die Positionen

mehrerer Referenzsterne decken.

https://de.wikipedia.org/wiki/Clyde_Tombaugh#/ media/File:Lowell_blink_comparator.jpg

Auf diese Weise hat Clyde Tombaugh als 24jähriger

Astronom im Jahre 1930 den Planeten Pluto

entdeckt.

Tombaugh, der als "junior astronomer" im Lowell-

Observatorium in Flagstaff (Arizona) arbeitete war

Autodidakt, baute selbst Teleskope und hat sich

das Grundwissen in Trigonometrie selbst

beigebracht.

Der "Komparator", mit dem er zwei Fotoplatten

miteinander verglich und den Pluto zwischen dem

Sternengewimmel fand steht heute im Museum.

Welche Möglichkeiten bieten heutige

Handykameras!


Auch um die scheinbaren Größen der Planeten vermessen zu können sollte man Fotos machen und den

Mond zu Hilfe nehmen dessen Winkelgröße mit dem Sextanten zu etwa 0,5° bestimmt werden kann.

Die äußeren Planeten Uranus, Neptun und Pluto sind nur im Fernrohr und nur durch ihre langsame

Bewegung vor dem Fixsternhintergrund zu erkennen.

Ihre Umlaufzeiten und Bahnradien kann man auf der Grundlage astronomischer Jahrbücher (z.B. das

"Kosmos-Himmelsjahr") mit dem Dritten Keplerschen Gesetz errechnen. Das gilt natürlich auch für ihre

Massen und Dichten.

Der Weg ist das Ziel:

Alle diese relativ "kruden" Bestimmungsmethoden zeigen, wie stark sich Fehler potenzieren können und

dass es darauf ankommt, sich auf möglichst exakte Messwerte stützen zu können.

Das dafür notwendige Messinstrumentarium und das "Know-how" stehen uns in der Schule natürlich nicht

zur Verfügung. Wer hätte auch die Zeit dazu?

Aber wir wollen ja auch keine Sonden auf ferne Planeten schicken.

Trotzdem dürfen wir mit den gewonnenen Ergebnissen zufrieden sein. Sie liegen größenordnungsmäßig im

"grünen Bereich". Die Diskrepanzen zu den "offiziellen" Werten werden vielleicht geringer, wenn man sich

bemüht, Mess- und Rundungsfehler möglichst gering zu halten.

Verstehen Sie diese Unterrichtshilfe bitte nur als Anregung und entnehmen Sie ihr nur so viel wie sie

brauchen. Wenn sie dazu führt, dass der eine oder andere einmal sagen kann, er habe einen Planeten

gesehen und einen Teil seiner "Wanderung" verfolgt, hat sie ihr wichtigstes Ziel erreicht.

Ingo Mennerich

Schulbiologiezentrum Hannover

Februar 2016

landeshauptstadt hannover - schulbiologiezentrum.info 19.84 mars jupiter saturn... ·...

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