Landscape Landscape と インフレーと インフレーションション

９月２１日　於　東北大学９月２１日　於　東北大学　　

　　　　　　　　　　　　　　 UC Berkeley UC Berkeley 渡渡利　泰山利　泰山

Landscape of Vacua Landscape of Vacua とは何とは何か？か？

低エネルギー有効理論（素粒子・宇宙標準模型）諸々低エネルギー有効理論（素粒子・宇宙標準模型）諸々の仮定は、基礎理論の解として理解される（かも）。の仮定は、基礎理論の解として理解される（かも）。

我々の解は 我々の解は unique unique ではない（かもしれない）。ではない（かもしれない）。

極小点＝準安定真空解

極小点周りの、曲率の小さい　方向の数　＝　低エネルギー　有効理論に現れる自由度の数

極小点の位置＝パラメターの値

内容内容

Landscape Landscape を考える動機を考える動機 ２００５年版　２００５年版　 String LandscapeString Landscape どうやって確率分布を考えるか？どうやって確率分布を考えるか？ インフレーションが起きる インフレーションが起きる Landscape Landscape

とと　　　　その問題点　　　　その問題点 問題点の解決法と、その観測的帰結問題点の解決法と、その観測的帰結

Vilenkin ’95, Garcia-Bellido Linde ’95Feldstein Hall TW ’05, Garriga Vilenkin ‘05

Feibvogel Kleban Martinez Susskind ’05-05 ,FHW ’05-06, GV ’05-08 他

Landscape Landscape を考える動機を考える動機

なぜ なぜ Landscape Landscape を考えるかを考えるか　Ｉ　Ｉ

パラメターの値の意味を考えたいとき、そのパラメターパラメターの値の意味を考えたいとき、そのパラメターが実は場の期待値であるという状況を考えるのは有効でが実は場の期待値であるという状況を考えるのは有効である。ある。

　　　　　　　　　　　　　　 Strong CP Strong CP 問題の 問題の Peccei-Quinn Peccei-Quinn 解 解 ’’ 7777

Braum ‘83, Hawking ’84, Braum ‘83, Hawking ’84, 宇宙定数 宇宙定数

ひも理論（が目指すところのもの）はひも理論（が目指すところのもの）は　　以外に一切のパラメターがなく、低エネルギー有効理　　以外に一切のパラメターがなく、低エネルギー有効理

論のパラメターは、すべて場の期待値として理解される。論のパラメターは、すべて場の期待値として理解される。

　我々に見えるのは低エネルギー有効理論と　　　　　宇宙の地平線の内側だけなのに、、、。

1c

解（真空）が唯一であるかどうかについては、　　　　　　　　　　　　　上の２つの動機は何も言わない。

なぜ なぜ Landscape Landscape を考えるかを考えるか　ＩＩ　ＩＩ

現時点でのひも理論は、たくさんの真空解をも現時点でのひも理論は、たくさんの真空解をもつ。つ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後述）　　　（後述）

なぜ なぜ Landscape Landscape を考えるかを考えるか　ＩＩＩ　ＩＩＩ

我々が存在することは、実に奇跡的である。我々が存在することは、実に奇跡的である。 安定核の多様性（原子の多様性）は安定核の多様性（原子の多様性）は

( )N pm m

６０‘ｓ～

( )d um m

p n 1/3

pl

1( )N pF

m m G M

4rec

ー (QED correction)

(binding energy) (QCD) ---- (Coulomb repulsion)

( , , , , ,...)C u d em m m の微妙なバランスの上に成立している。

ＢＢＮ　

　　　　　　　　　　でなければ、構造形成はおきない。

4( , , , , , , ,...)C u d e Fm m m G

「何か偉大な存在」が奇跡を起こし、

をしかるべく選んで

我々の存在を可能にした、

というよりは、

ありとあらゆる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の選択が宇宙のあちこちでなされていて、その中で我々の存在が可能な sub 宇宙に我々はいるのだ、

4( , , , , , , ,...)C u d e Fm m m G

という方がより自然ではないか？

対称性、構造

観測者の存在条件、観測量の統計分布宇宙論的時間発展

単一真空理論 多真空理論

決定論 vs 進化論、それとも第三の道？

超対称 SU(5) unification (unified gauge coupling)

クォーク、レプトンの質量の　　　　階層構造

宇宙定数問題　 why small? why now?

( , , , , , ,...)C u d e Fm m m G の値が我々の存在を許す。

湯川行列の値までは決まらない。 なぜ３世代なのか？なぜ Strong CP phase は小さいのか？

真の基礎理論の姿は、どの辺にあるのか？　　　　　両極いずれかではなく、中道に位置するのかもしれない。

20052005 年版 年版 String String LandscapeLandscape

String Landscape のうつりかわり

Potential に山々があると、 sub 宇宙と真空解との対応がはっきりする。

「超対称的」な flux compact 化で、計算可能な離散的真空解の集合を得た。

moduli 問題が真に問題ならば、平坦方向の数が少ない解の存在はすばらしい。

８０年代後半Ｈｅｔ　Ｅ８ｘＥ８ /CY3

Het SO(32)

Type I SO(32)

Type IIB

Type IIA

11D SUGRA

９０年代半ば９０年代後半以降

Ｍ -theory

4(10 )O

100(100 )O

3CY

真空解がどのように分類されるか

compact 内部空間の、 topological 情報

低エネルギーでの、ゲージ群、 matter の種類と数を決める。

低エネルギー理論に超対称性を残すための内部空間の６次元空間　　　　　の分類はある程度知られていて、少なくとも　　　　　　　以上ある。

compact 内部空間の大きさや形状

低エネルギー有効理論のパラメターの値を決める。

flux compact 化　　　　値の決まり方が　　　　　　　程度。

内部空間の大きさを決める内部空間の大きさを決める6

8 ** 2

.M

S M gR F Fg

62 8 *pl * 2 2

( )1( ), .

eff

M volM M vol

g g

2QCDe

fcn( ).V vol

１０次元の Lagrangian

４次元の有効理論で

内部空間の大きさが、４次元時空での重力や電磁力の　　　　　強さを決める。

基本的アイデア note: QCD 相転移のエネルギー密度は、QCD instanton factor 　の関数である。

実際には、 QCD 　以外のゲージ群が関わっているはずだか、本質は同じ。

体積固定、宇宙定数、超対称性体積固定、宇宙定数、超対称性V

vol

体積固定ポテンシャル

0.V

3D

42 1010 GeVSUSYV F

/( ) /( )( / ) ( / ) .

avol bvol

a b a b b aW Ae Be

A aA bB B aA bB

( ).avol bvolW X Ae Be

我々の真空解は、Ｏにいる。

宇宙定数＝０にするため、超対称性の破れの効果が　　なくてはならない。

Dynamical SUSY breaking ’80s or -branes in Type IIB stringKKLT ‘03

低エネルギーで超対称性を要請すれば、ポテンシャルの山は　　　そんなに高くない。

もしくは、fine-tuning

R-symmetry

内部空間のかたちを決める内部空間のかたちを決める

2T

1y

2y

1

2

1 2 1 2, .d m im d n in

12

12

11.

| |g

4 4 2 ( )( )d x d x d y g 1 2( , )

1,2( , )m n1 2 1 2 0m n n m

(3) (2) (2)G dC dB

6次元多様体の形状固定を議論するかわりに、

２次元多様体　　　の形状固定を論ずる。

基本的アイデアは、複素スカラー場に、 topological flux を導入する。

そうすると、 は　　　　　の関数。

1 2( , ) の時、　　　　　　を与えれば、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が決まる。

Type IIB theory では、複素 3-form を用いる。

例

2

4

2ig

ある種類のゲージ理論の（Ｄ３由来）ゲージ結合定数

Denef Douglas th/0404116

6次元多様体の warped 構造の度合い

Giryavets Kachru Tripathy th/0404243

低エネルギー有効理論のパラメターの値の分布関数を、　　　　　　原理的には求めることが可能である。

２００５年版 ２００５年版 string landscape string landscape には、ゲージ群には、ゲージ群やや mattermatter の種類や数を選ぶ原理がない。の種類や数を選ぶ原理がない。

　ありとあらゆる真空解がある。　ありとあらゆる真空解がある。 超対称性との相性は、さほどよく（なってい）な超対称性との相性は、さほどよく（なってい）な

い。い。 このこの Landscape Landscape の統計＋観測者の存在条件、のの統計＋観測者の存在条件、のみで現実を理解できるか？？？？みで現実を理解できるか？？？？

理解できない部分があれば、それは未知の要素理解できない部分があれば、それは未知の要素 （時間発展、構造 （時間発展、構造 etc.) etc.) があることを示唆していがあることを示唆してい

る。る。

対称性、構造

観測者の存在条件、観測量の統計分布宇宙論的時間発展

単一真空理論 多真空理論

確率分布をどう考えるか？確率分布をどう考えるか？

確率分布をどう考えるか？確率分布をどう考えるか？

( ) ( ) ( ( )),dP d I V A

( ) ( ) ( ( )).d

d I V Ad

( ) :I ( ) :V ( ( )):A

( )

Vilenkin ‘95

高エネルギーでの有効理論のパラメター

低エネルギー有効理論の、つまり観測可能なパラメター

Initial Volume Distribution

Volume Factor

Anthropic Factor

Initial Volume Initial Volume DistributionDistribution

Density of Vacuum StatesDensity of Vacuum States その値　　　　　　　　を持つ真空解がどれくらいその値　　　　　　　　を持つ真空解がどれくらい

landscape landscape の中にあるか。原理的には、の中にあるか。原理的には、 string string landscape landscape などから計算可能。などから計算可能。

宇宙空間のうちどれくらいの体積が、そのよう宇宙空間のうちどれくらいの体積が、そのような真空解に割り当てられているか？な真空解に割り当てられているか？ Euclidean continuation Euclidean continuation を用いた、を用いた、 sub-sub- 宇宙の宇宙の 無からの創生：無からの創生： Slow-roll Inflation Slow-roll Inflation 以前の時間発展以前の時間発展

d

( ) :d I

( )vac( ) 0 .Se Vilenkin, Hawking,Linde ’80s

Volume FactorVolume Factor

値　　を見る観測者の数は、値　　をとる値　　を見る観測者の数は、値　　をとる sub-sub- 宇宇宙の中の銀河の数に比例する。宙の中の銀河の数に比例する。 そして、その銀河の数は、その 　　の値をとるそして、その銀河の数は、その 　　の値をとる　　　　 sub-sub- 宇宙の体積に比例する。宇宙の体積に比例する。

Inflation Inflation で宇宙が膨張するなら、その広大な宇宙で宇宙が膨張するなら、その広大な宇宙にはたくさんの観測者が住む。にはたくさんの観測者が住む。

　　　　　　　　　　 Inflation Model Inflation Model のパラメターが のパラメターが sub-sub-宇宙によって異なる値をとれるとき、より多くの宇宙によって異なる値をとれるとき、より多くの観測者は、観測者は、

　 　 e-fold number e-fold number が大きい が大きい sub-sub- 宇宙に住んでい宇宙に住んでいるる。。

( ) :V

Naturalness の考え方は、この枠組みでは通常とは大きく異なる。

Vilenkin ‘95

Anthropic FactorAnthropic Factor とりあえず、低エネルギー有効理論が標準模型になとりあえず、低エネルギー有効理論が標準模型にな

るものだけを考えよう。それ以外の場合にはるものだけを考えよう。それ以外の場合には　　　　　　　　　とすることによって。　　　　　　　　　とすることによって。 低エネルギー有効理論の、とくに 低エネルギー有効理論の、とくに QCD + QED + QCD + QED +

4Fermi 4Fermi と宇宙論のパラメターのみで決まる。と宇宙論のパラメターのみで決まる。　　　　　　　の値にはよらない。　　　　　　　の値にはよらない。

いろいろな物理を取り込んでいくことで、精密化しいろいろな物理を取り込んでいくことで、精密化してて

　　行くことが可能である。　　行くことが可能である。

( ( )) :A

( ( )) 0A

2

2 2

1.L

FW

gG

m v (2)LSUg

civilization factorastronomer factor

SU(5) Unification と両立する。

Anthropic Factor Anthropic Factor の例 の例 II ：　：　　　　　

4( , ) A

23t3

CDM[ ]

1 3

CDM CDM rec

4 3CDM rec

2

2 3 4

CDM rec

4 .( , ) d e

A

4 3CDM rec

Weinberg ’87, Efstathio ’95, Martel, Shapiro, Weinberg ‘97

密度揺らぎ　　　は、 matter-radiation equality の後、　　　　に比例して成長していく。　　　　　　　　　　　　の組み合わせは不変。

密度揺らぎが non-linear になる　　　　　　　時、 matter のエネルギー密度は　　　　　　　　　　　　　　　まで下がっている。その時点まで、宇宙定数の存在が無視できれば、つまり、　　　　　　　　　　　　密度揺らぎは、宇宙の大規模構造として残る。

が　　　　　　　　　　　　（観測値の１００倍ほど）を超えると、　　　　　　　　　　　　　　　　　　指数関数的に減少する。

Anthropic Factor Anthropic Factor の例 ＩＩ：の例 ＩＩ： 4( , ) A

1

2/322 / .N p

vir p vir p eqvir

G MmT m v m M M

R

eqM M

510 9 1310 10

eV keV.halo

vir

M M

T

3vir eq

610

3pl

2p

MM

m

610 410

Tegmark Rees ‘97

密度ゆらぎが成長して　　　　　　重力による bound system ができると、やがてビリアル化する。

for

(COBE normalization) 　の時、

小さすぎる　　　　　　　　は、ビリアル化した系からエネルギーが抜けていかず、　　　　　　から先の重力収縮が進まない。一方、大きすぎる場合にも、程度の質量を持つ恒星の数密度が高すぎる。

1

Inflationary Landscape Inflationary Landscape と その問題点と その問題点

Inflation Inflation と と Volume FactorVolume Factor

(100)( )e OV60eN

1

初期宇宙で Inflation が起きることは “ Probable” である。　　　　　　　　　　その方が Volume Factor は大きくなり、　　　　　　　　　観測者の数は reheat した宇宙の体積に比例。

宇宙の一様性：　 primordial black holes を減らす。宇宙の平坦性：　 curvature dominance では密度ゆらぎが　　　　　　　　　　　　　　　　成長できない。　　　この２つは、ある程度まで、弱い人間原理の要請である。

我々の sub- 宇宙では　　　　　　　　であるから、　　　　 Volume Factor は　少なくとも　　　　　　　　　程度の　　　　パラメター依存性をもたらす。

(100)( )e OV

d P

4 4 610 10 ,

確率分布　　　　は、 Inflation のパラメターに非常に強く依存する。

Density of Vacuum States のみを調べることにはあまり　　意味がない。真っ先に Inflation パラメターについての確率分布を考える　　　べきである。Density of States の詳細によらず、 Inflation についてなら　　　ばモノをいうことができる。

そして、 小さい　　　、 Inflation が起きることは “ Probable”

全体としては実はそれほどうまくいっていない。この success は

例１ : Ensemble of Chaotic-Inflaiton RegionsVilenkin ‘95, Garcia-Bellido ’95,Feldstein Hall TW ’05, Garriga Vilenkin ‘05

2 2( ) .V m

32

3pl pl

.V m

M V M

4*

2 2pl

.e

MN

m M

4*( )V M

2*

2pl

1

( ) ( ) .M

Md d I e

P A

pl

mM

( )dm I m

密度ゆらぎ：

総 e-fold number:

(if )

Landscape of Vacua が Chaotic Inflationを引き起こす領域をたくさん持っていたとする。

初期宇宙においてそのような領域に値をとる宇宙の体積の分布を　　　　　　　　　　　とする。

は小さければ小さいほどよく、密度ゆらぎはCosmic string から来るのではないか？

No ! from Boomerang maxima WMAP

例２： Ensemble of Hybrid-Inflation RegionsFeldstein Hall TW ‘052 2 2 2 2 2 2( , ) ( ) .V M m

( , )dmdM I m M3 52

3 3 2pl pl

.V M

M V M m

4

2 2pl

.e

MN

M m

pl

03 ( , ) .e

MMN m Md dmdM e d e

P

5( 10 ) 1 P 0M

plM

plM

m

密度ゆらぎ：

総 e-fold number:

Exponetially small

M

Inflationary Landscape Inflationary Landscape 一般に、一般に、Slow-Roll Inflation Slow-Roll Inflation が宇宙の密度揺らぎの起源が宇宙の密度揺らぎの起源

をつくっている、とすると次の問題がある。をつくっている、とすると次の問題がある。 密度ゆらぎ　　　にかんして指数関数的な確率分布が従密度ゆらぎ　　　にかんして指数関数的な確率分布が従

う。う。 　　 　　 密度ゆらぎが密度ゆらぎが

window window の真ん中にある確率はきわめて小さい。の真ん中にある確率はきわめて小さい。 しかも、　　　　　　　　　　　　　　である。しかも、　　　　　　　　　　　　　　である。

　　密度揺らぎに関する人間原理 　　密度揺らぎに関する人間原理 window window はは　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で与えられ、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で与えられ、　　　　　　　　 sharp cut-off sharp cut-off をもてない。をもてない。

多くの多くの sub-sub- 宇宙では　　　は　宇宙では　　　は　““ window” window” の外にある。の外にある。

5 6 4( 10 ) (10 10 ). P P

6 4(10 10 ) 1 P

2

2( ) ( )d e

A A

問題点の回避法と、問題点の回避法と、観測へのつながり観測へのつながり

回避する方法回避する方法 I: I: 連続分布近似の破綻連続分布近似の破綻

( )V

( )V

( ) ( ) ( )d d I P= V A

( )I

{ }iC( )e iNe 100e

i4

QCD , ,em

( ( )) 0 A

( )I

が連続分布が指数関数分布

のどちらかを外せばよい。

回避法 I : 　　　　　　　となる状況。( ) ( )i ii

I C 間の差が、　　　　　　　　　　　間の差よりも大きく、宇宙のほぼすべての観測者は、パラメター　　　　の真空状態にいる。

観測者の存在を許さない真空、例えば　　　　　　　（ our values ）では、　　　　　　　　　として、排除する。　

{ }iC

tot

4tot H

3( / )eff totH H H te

effH

どのようにしてそのような hierarchial を得るか？

例：　 Eternal Inflation

不安定真空の崩壊率　　　　と　　　　　　　　　膨張率　Ｈ　が　

をみたすとき、

その不安定真空の体積は永遠にふえ続ける。

Landscape にひとつでもそのような不安定真空があるとき、　　　　　　　　　 Eternal Inflation は起こる。それらの中で最大の　　　　を持つ不安定真空が宇宙の体積をいづれは dominate し、宇宙開闢の初期条件を消し去る。

,( , , , )i i i i e im H N

Eternal Inflation の不安定真空から標準模型の真空へ　　直接遷移する Bubble がつくられると、 Bubble 内には　　　エネルギーが空で、 Open Universe となる。それでは構造形成がうまくいかないから、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　として、無視する。( ( )) 0 A

Eternal Inflation の不安定真空から、いったん Slow-Roll Inflation を経由して標準模型の真空に降りてくる Bubble Nucleation だけが考察の対象である。それらを、 i でラベルする。

( ) ( ),i ii

I 4 .iSi iM e

i

i

4 3[ ]CDM rec

( ) ( ),i ii

I

Initial Volume Distribution は、 Eternal Inflation の　　 Dominant な不安定真空からの遷移（トンネル）確率で　　与えられる。

( )I

　　　の間には、大きな hierarchy がありうる。

iは、有効理論のパラメター　　　　の連続関数として近似できる保証はない。　　　とくに、あらかたの標準模型の真空が、　　　　　　　　　　　　　　　　などの条件で排除されて、　　　 Landscape の中にごくまばらにしか存在しない　　　場合には。

は連続分布近似できない。Analogy: 人口５０万人以上の都市 (acceptable SM vacua) を対象に、横軸を海抜高度 (observable) 、縦軸を十和田湖からの exp(-距離 )( ) で plotせよ。

i

( ) 1P 100( ) .eP 4( , , )eN

4 , 1, 58rec eN

4 3 4 9( (10 eV) ) 10P

( 0.99) 0totP

居住可能宇宙のほぼすべては、ただひとつの真空にある。

仙台 仙台以外

我々の観測する　　　　　　　　の値は　　　　居住可能条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の範囲内　　　　では、その単一の最大の　　　　を持つ真空での値が　　　　何であったか、という偶然による。仙台の人口、標高に　　　　　　理論的必然性はない。

i

基礎理論の Landscape をくまなく知ることなしには、　　　の　　　観測値を求めることはできない。

ただし、 Landscape の Density of Vacuum States ( 大都市の　　　　標高の統計分布）を知っていれば、観測値の確率分布を知る　　　ことができる。

( see Susskind et.al. and Refs.)

回避する方法回避する方法 II II ：　　　　　が：　　　　　が exp exp 分布分布

でないでない　　　　　　　　　　　　　　( )V

4plM 4*( )V M

2

( )V s

p s

eN

どのようにして？

Chaotic inflation で

ではなく。

Curvaton , Modulated reheating

Inflation Model 　のパラメタースキャンのうち、　　　　　をかえるものと、Ｈをかえるものが分離されている。

( )V( )I :( ( )) A

4( , ) A

4 3[ ]CDM rec

6 410 10

そうすると、 Anthropic factor がごく自然に

を window の中から、

を　　　　　　　　　　　以下という制限の中で

選び出す。

Anthropic Factor や Initial Distribution や Volume Factor からくる緩やかな power-law の確率分布に従って、居住可能宇宙の中のいろいろな sub 宇宙では、いろいろな違った値をとっている。

Take-Home MessagesTake-Home Messages

Cosmological Darwinism?Cosmological Darwinism? Landscape Landscape が理論の多様性を保証する。が理論の多様性を保証する。

String Landscape ’05String Landscape ’05 Moduli Moduli 固定、超対称性との関係固定、超対称性との関係

Inflationary LandscapeInflationary Landscape 密度ゆらぎの値は、自由に手で選べない。密度ゆらぎの値は、自由に手で選べない。 指数関数分布　　　　　　　　　　ー問題指数関数分布　　　　　　　　　　ー問題

この問題を回避する方法この問題を回避する方法 Hierarchial transition rate / curvatonHierarchial transition rate / curvaton