las distribución binomial

8/2/2019 Las distribucin binomial

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Las distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli:La distribucin de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tienenicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dosvalores: el 1 y el 0La distribucin binomial se aplica cuando se realizan un nmero"n" de veces el experimento deBernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:0: si todos los experimentos han sido fracason: si todos los experimentos han sido xitosEjemplo: se tira una moneda 10 veces: cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variabletoma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variabletoma el valor 10La distribucin de probabilidad de este tipo de distribucin sigue el siguiente modelo:

Alguien entiende esta frmula? Vamos a tratar de explicarla con un ejemplo:Ejemplo 1: Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el nmero de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decamos que lavariable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)" n" es el nmero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10

" p " es la probabilidad de xito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p =0,5La frmula quedara:

Luego,P (x = 6) = 0,205

Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.Ejemplo 2: Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado ochoveces?" k " (nmero de aciertos) toma el valor 4


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" n" toma el valor 8" p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)La frmula queda:

Luego,P (x = 4) = 0,026

Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el nmeros 3 al tirar un dado8 veces.Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial:Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado deveces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo dedistribucin de Poisson:Se tiene que cumplir que:

" p " < 0,10" p * n " < 10

La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo:

Vamos a explicarla:El nmero "e" es 2,71828" " = n * p (es decir, el nmero de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por laprobabilidad " p " de xito en cada ensayo)" k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculandoVeamos un ejemplo:La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entoncesaplicamos el modelo de distribucin de Poisson.


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Luego,

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%Otro ejemplo:La probabilidad de que un nio nazca pelirrojo es de 0,012. Cul es la probabilidad de que entre800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego,P (x = 5) = 4,602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recien nacidos es del 4,6%.

Las distribucin hipergeomtrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), cul es la probabilidad de que al sacar2 bolas las dos sean blancas?Son experimentos donde, al igual que en la distribucin binomial, en cada ensayo hay tan slo dosposibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribucin binomial en quelos distintos ensayos son dependientes entre s:Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en elsegundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (haydependencia entre los distintos ensayos).La distribucin hipergeomtrica sigue el siguiente modelo:

Donde:


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Vamos a tratar de explicarlo:N: es el nmero total de bolas en la urnaN1: es el nmero total de bolas blancasN2: es el nmero total de bolas negrask: es el nmero de bolas blancas cuya probabilidad se est calculandon: es el nmero de ensayos que se realizaVeamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas Cul es laprobabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.Pero este modelo no slo se utiliza con experimentos con bolas, sino que tambin se aplica conexperimentos similares:Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azarCul es la probabilidad de que las 3 sean solteras?


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Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras estan slo del 1,75%.La distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial, con la diferencia de que en lugarde dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber mltiples resultados:Ejemplo de distribucin binomial: a unas elecciones se presentaron 2 partidos polticos: elPOPO obtuvo un 70% de los votos y el JEJE el 30% restante. Cul es la probabilidad de que alelegir 5 ciudadanos al azar, 4 de ellos hallan votado al JEJE?Ejemplo de distribucin multinomial: a esas elecciones se presentaron 4 partidos polticos: el

POPO obtuvo un 40% de los votos, el JEJE el 30%, el MUMU el 20% y el LALA el 10% restante.Cul es la probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 3 hayan votado al POPO, 1 alMUMU y 1 al LALA?La distribucin multinomial sigue el siguiente modelo:

Donde:X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayanvotado 3 personas)n: indica el nmero de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)

Veamos el ejemplo:

Luego:P = 0,0256

Es decir, que la probabilidad de que las 5 personas elegidas hayan votado de esta manera es tanslo del 2,56%


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Nota: 0! es igual a 1, y cualquier nmero elevado a 0 es tambin igual a 1 Veamos otro ejemplo:En una fiesta, el 20% de los asistentes son espaoles, el 30% franceses, el 40% italiano y el 10%portugueses. En un pequeo grupo se han reunido 4 invitados: cual es la probabilidad de que 2

sean espaoles y 2 italianos?Aplicamos el modelo:

LuegoP = 0,0384

Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo est formado por personas de estos pases es tan slodel 3,84%.

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