las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolución
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2013Antonio Garca MegaLas ecuaciones de segundo gradoAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
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Las ecuaciones de
segundo gradoConceptos y resolucin
Notas y recursos didcticos para las clases de Matemticasde Educacin Primaria y Secundaria
Una propuesta deAntonio Garca Mega
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El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.
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http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:
http://angarmegia.com/menumatematicas.htm
Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.
Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,
Doctor en Filologa Hispnica.
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CONTENIDO
Introduccin: ________________________________________________________________ 9
Resolucin: _________________________________________________________________ 10
Ecuaciones incompletas _____________________________________________________ 10Ecuaciones completas ______________________________________________________ 10
Algunas ecuaciones resueltas ___________________________________________________ 11
Ecuacin 1 _______________________________________________________________ 11Ecuacin 2 _______________________________________________________________ 12
Ecuacin 3 _______________________________________________________________ 12Ecuacin 4 _______________________________________________________________ 13Ecuacin 5 _______________________________________________________________ 13
Algunos problemas razonados y planteados _______________________________________ 13
Problema 1 _______________________________________________________________ 13Problema 2 _______________________________________________________________ 14Problema 3 _______________________________________________________________ 14Problema 4 _______________________________________________________________ 14Problema 5 _______________________________________________________________ 15
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DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
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INTRODUCCIN:Se denominan ecuaciones de segundo grado a aquellas en que la incgnita aparece elevada a lasegunda potencia como mayor exponente.
32 + 4 = 30Las ecuaciones con una incgnita, una vez preparadas, solamente pueden tener tres trminos:termino con la incgnita elevada al cuadrado (ax2), trmino con la incgnita elevada a laprimera potencia (bx), y trmino numrico independiente (c).
2 + + = 0Se dice de la ecuacin completa, cuando constan los tres trminos anteriores, e incompleta sifalta la incgnita en grado 1, el trmino independiente, o ambos. Son incompletas:
2 + = 02 = 0Antes de resolver una ecuacin de segundo grado es preciso prepararla hasta alcanzar la forma:
2 + + = 0El proceso pasa las siguientes fases:
2 2 + 2 3 = 81722
+2 3 = 817
22 + 2 12 = 3268
ELIMINARPARNTESIS
SUPRIMIRDENOMINADORES
TRANSPONERTRMINOS
DESPEJARINCGNITA
REDUCIR TRMINOS SEMEJANTES
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22 + 2 12 3268 = 022 + 2 3280 = 0
En este caso concreto, al ser todos los miembros divisible entre 2, puede simplificarse la ecuacinquedando definitivamente as:
2 + 1640 = 0ES IMPORTANTE ADVERTIR QUE LAS ECUACIONES DE ESTE TIPO, SALVO CASOS EXCEPCIONALES, TIENENDOS SOLUCIONES CORRESPONDIENTES A LOS SIGNOS + Y -.
RESOLUCIN:ECUACIONES INCOMPLETAS
TIPO 1: 2 = 0Despejando la incgnita:
2 = 0 = 0Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros: = 0 = 0
TIPO 2:
2 +
= 0
Pasando c al segundo miembro:2 = Despejando la incgnita:2 =
Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros:
= SOLUCIONES:
Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros:
1 = + 2 =
ECUACIONES COMPLETAS
Las ecuaciones de segundo grado completas se resuelven siempre aplicando la siguientefrmula:
=
2
4
2
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Que produce las dos soluciones:
1 = + 2 42
2 = 2
4
2 JUSTIFICACIN:
+ + = Pasando c al segundo miembro:2 + =
Multiplicando ambos trminos por4a se obtiene la igualdad equivalente:422 + 4 = 4
Sumando b2 a ambos miembros de la igualdad se obtiene la equivalente [1]:422 + 4 + 2 = 2 4
El primer miembro se corresponde con el desarrollo del cuadrado de una suma + 2 = 2 + 2 + 2En este caso:2 + 2 = 422 + 2 + 4
Sustituyendo en [1] queda:2 + 2 = 2 4Hallando la raz cuadrada de ambos miembros:
2 + = 2
4Trasponiendo el coeficiente b:2 = 2 4Despejando la incgnita:
=
ALGUNAS ECUACIONES RESUELTASADVERTENCIA: Alcanzar las soluciones para las ecuaciones de este tipo precisa el dominio de ciertashabilidades bsicas de clculo.
ECUACIN 1 + =
Quitando denominadores:12
2 + 10
2
120 = 10680
5
2
Trasponiendo trminos:122 + 102 + 52 120 10680 = 0
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Reduciendo trminos:272 1800 = 0
SOLUCIONESEcuacin tipo
2
+ = 01 = + = +180027 = +400 = 202 = = 180027 = 400 = 20
ECUACIN 2
+ + = Trasponiendo trminos y reduciendo:22 + 3 + 1 3 = 0
22 + 3 2 = 0SOLUCIONES
Ecuacin completa
1 = + 2 42 =3 + 9 4 2 2
4=3 + 9 + 1 6
4=3 + 5
4=
2
4=
1
2
2 = 2
4
2 =3 9 4 2 2
4 = 3
9 + 1 6
4 = 3
5
4 = 8
4 = 2
ECUACIN 3 + = + Trasponiendo trminos y reduciendo:
62 3 20 + 4 82 = 06
2
23
78 = 0
SOLUCIONESEcuacin completa
1 = + 2 42 =23 + 529 24 78
12=
23 + 529 + 187212
=2 3 + 4 9
12=
72
12= 6
2 = 2 42 =23 529 24 78
12=
23 529 + 187212
=23 49
12= 26
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ECUACIN 4 + = Quitando denominadores
5
2 +
150 = 500
12600
Trasponiendo trminos y reduciendo:52 + 150 500 + 12600 = 0
52 499 + 12450 = 0SOLUCIONES
Ecuacin completa
1 = + 2 42 ==
499 + 249001 451245010
=499 + 24901 24900
10=
499+1
10= 50
2 =
2 42
=
=499 249001 4512450
10=
499 24901 2490010
=499 1
10= 498
ECUACIN 5 = + Quitando parntesis:2 = 120 +
Trasponiendo trminos y reduciendo:2 120 = 02 2 120 = 0SOLUCIONES
Ecuacin completa
1 = + 2 42 =2 + 4 4 120
2=
2 + 4+4802
=2 + 2 2
2=
24
2= 12
2 = 2 42
=2 4 4 120
2=
2 4+4802
=2 22
2=20
2= 10
ALGUNOS PROBLEMAS RAZONADOS Y PLANTEADOS
PROBLEMA 1Se incrementa un nmero en cuatro unidades y se disminuye tambin en cuatro unidades. Si semultiplican entre s estos resultados se obtiene 609. Cul es el nmero original?
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PLANTEAMIENTO
Incgnita principal: Nmero buscado = x
Datos conocidos: = + 4
=
4
Producto de ambos nmeros = + 4 ( 4) = 609Ecuacin final: + =
PROBLEMA 2Se precisa encontrar las dimensiones de un rectngulo de 2520 m2 de superficie sabiendo que
su longitud excede en 18 m a su anchura.
PLANTEAMIENTO
Incgnita principal: Anchura del rectngulo = x
Datos conocidos: = = + 18 = 2520 2Ecuacin final: + =
PROBLEMA 3La diferencia entre dos nmeros es 14. Si la suma de sus cuadrados asciende a 436, de qunmeros se trata?
PLANTEAMIENTO
Incgnita principal: Numero mayor = x
Datos conocidos: = 142 = 22 = ( 14)2
= 436
Ecuacin final: + =
PROBLEMA 4El rea de un rectngulo es de 1000 m
2. Si su permetro mide 140 m, cules son sus
dimensiones?
PLANTEAMIENTO
Incgnita principal: Lado a = x
Datos conocidos: = = 1000 2
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= 140 = 70 = + = 70 Ecuacin final: ( ) =
PROBLEMA 5La altura de un tringulo mide la tercera parte de la longitud de su base. Si el rea deltringulo es de 4225 m
2, cunto mide su base?
PLANTEAMIENTO
Incgnita principal: Base = x
Datos conocidos:
=
3
= 2 = 42252
Ecuacin final: =
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Vdeos relacionados en:http://angarmegia.com/videos.htm
http://www.youtube.com/user/angarmegia
Actividades interactivas en:http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm
Informacin en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en:http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm
http://angarmegia.com/menumatematicas.htm
Ms documentos imprimibles relacionados en:http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas
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