laser principles

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LASERS E APLICAÇÕES Carlos Avelino De Jesus Gouveia INESC Porto, R. Campo Alegre s/n, 4369-007, Porto, Portugal; Centro de Competências de Ciências Exactas e de Engenharia, Universidade da Madeira, Campus da Penteada, 9000-390 Funchal. [email protected] SUMÁRIO O presente trabalho tem por objectivo expor os conceitos e princípios que sustentam a teoria dos lasers. O texto esta dividido em 8 secções, inicialmente uma introdução onde também é feita uma pequena abordagem histórica, seguidamente são detalhadas as principais características da luz laser. Posteriormente é explicado o principio físico que esta por trás da tecnologia numa secção intitulada interação entre a luz e a matéria onde explicou-se a emissão espontânea e estimulada. As secções 4-7 detalham conceitos teóricos nos quais se baseia a tecnologia, tais como ganho, realimentação, cavidades ópticas, frequência e potencia de saída do laser. Para finalizar são explicados os modos de funcionamento do sistema laser. Palavras chave: Laser, Maser, emissão estimulada, emissão espontânea, absorção, cavidades ressonantes. 1. INTRODUÇÃO A palavra LASER é abreviação inglesa para amplificação de luz por emissão estimulada de radiação. Albert Einstein em 1916 descobriu que para haver equilíbrio termodinâmico entre a matéria e a radiação era um preciso um processo, que até essa altura era desconhecido, a emissão estimulada. Essa descoberta ficou guardada até que em 1954 Charles Townes desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiação estimulada (MASER - Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito de emissão estimulada podia ser estendido a região óptica do espectro electromagnético, se o meio activo estivesse dentro de uma cavidade Fabry-Perot. Em 1960 Theodore Maiman desenvolveu o primeiro laser, baseado rubi e pouco tempo depois Ali Javan presenteou o Laser de He-Ne. Hoje em dia há uma enorme variedade de lasers a funcionar em diversos cumprimentos de ondas para diversas aplicações. A Figura 1 mostra os diversos materiais activos utilizados nos diversos cumprimentos de ondas dos lasers.

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O presente trabalho tem por objectivo expor os conceitos e princípios que sustentam a teoria dos lasers. O texto esta dividido em 8 secções, inicialmente uma introdução onde também é feita uma pequena abordagem histórica, seguidamente são detalhadas as principais características da luz laser. Posteriormente é explicado o principio físico que esta por trás da tecnologia numa secção intitulada interação entre a luz e a matéria onde explicou-se a emissão espontânea e estimulada. As secções 4-7 detalham conceitos teóricos nos quais se baseia a tecnologia, tais como ganho, realimentação, cavidades ópticas, frequência e potencia de saída do laser. Para finalizar são explicados os modos de funcionamento do sistema laser.

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  • LASERS E APLICAES

    Carlos Avelino De Jesus Gouveia

    INESC Porto, R. Campo Alegre s/n, 4369-007, Porto, Portugal;

    Centro de Competncias de Cincias Exactas e de Engenharia, Universidade da Madeira, Campus da

    Penteada, 9000-390 Funchal.

    [email protected]

    SUMRIO

    O presente trabalho tem por objectivo expor os conceitos e princpios que sustentam a teoria dos lasers. O texto esta

    dividido em 8 seces, inicialmente uma introduo onde tambm feita uma pequena abordagem histrica,

    seguidamente so detalhadas as principais caractersticas da luz laser. Posteriormente explicado o principio fsico que

    esta por trs da tecnologia numa seco intitulada interao entre a luz e a matria onde explicou-se a emisso

    espontnea e estimulada. As seces 4-7 detalham conceitos tericos nos quais se baseia a tecnologia, tais como ganho,

    realimentao, cavidades pticas, frequncia e potencia de sada do laser. Para finalizar so explicados os modos de

    funcionamento do sistema laser.

    Palavras chave: Laser, Maser, emisso estimulada, emisso espontnea, absoro, cavidades ressonantes.

    1. INTRODUO A palavra LASER abreviao inglesa para amplificao de luz por emisso estimulada de radiao. Albert Einstein em

    1916 descobriu que para haver equilbrio termodinmico entre a matria e a radiao era um preciso um processo, que

    at essa altura era desconhecido, a emisso estimulada. Essa descoberta ficou guardada at que em 1954 Charles Townes

    desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiao estimulada (MASER - Microwave Amplification by

    Stimulated Emission of Radiation). Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito

    de emisso estimulada podia ser estendido a regio ptica do espectro electromagntico, se o meio activo estivesse

    dentro de uma cavidade Fabry-Perot. Em 1960 Theodore Maiman desenvolveu o primeiro laser, baseado rubi e pouco

    tempo depois Ali Javan presenteou o Laser de He-Ne. Hoje em dia h uma enorme variedade de lasers a funcionar em

    diversos cumprimentos de ondas para diversas aplicaes. A Figura 1 mostra os diversos materiais activos utilizados nos

    diversos cumprimentos de ondas dos lasers.

  • Figura 1 Comprimento de onda da luz em funo do material utilizado no meio activo

    Um sistema laser composto por quatro elementos chaves. A figura 2 ilustra estes elementos. O meio activo, que

    formado por uma coleco de tomos ou de outra matria e serve como amplificador de luz (figura 2.A). O meio activo

    normalmente encontra-se dentro de uma cavidade ptica, desta forma o processo de amplificao repete-se

    continuamente (figura 2.B). A bombagem o elemento encarregado de fornecer energia que permite a amplificao da

    luz (figura 2.C). Por ultimo de modo a extrair uma poro da luz amplificada uma das superfcies reflectoras deixa passar

    parcialmente parte da luz (figura 2.D).

    Figura 2 Elementos chave de um sistema laser Um sistema laser esta sujeito as leis bsicas da fsica. Assim, em cada uma das fases do funcionamento do laser existem

    possibilidades de perdas de energia o que aumenta a entropia do sistema. Um sistema laser bem construdo deve

    equilibrar os ganhos e perdas. Dito de outra forma, o laser s foi possvel depois de os fsicos perceberem como os

    tomos podiam comportar-se como maquinas termodinmicas eficientes.

    O estudo do comportamento dos tomos dentro de uma cavidade ptica, os tomos e a sua interaco com a luz factor

    chave no funcionamento do laser. Um sinal fraco amplificado pelo meio activo de forma continua, devido a

    realimentao, este processo chega a um ponto em que a intensidade do sinal poder alterar a capacidade de amplificao

    MedioActivo(tomos)

    MedioActivo(tomos)

    A

    B 1 2

    34

    MedioActivo(tomos)

    C

    Bombagem

    D

  • do meio activo. Este facto sugere que deve-se estudar o meio activo e o sinal ptico como um conjunto, e no

    separadamente. A luz e os tomos dentro de uma cavidade laser apresentam um comportamento altamente no linear. A

    realimentao tambm implica que uma pequena instabilidade possa ser magnificada. Isto quer dizer que um sistema

    laser pode apresentar um comportamento catico, sendo este estudo alvo de alguns investigadores. Mas para a maioria

    deles os lasers so interessantes quando funcionam de forma estvel com uma intensidade, frequncia e estrutura

    espacial de feixe bem definido.

    2. CARACTERISTICAS DA LUZ LASER 2.1 Monocromaticidade

    Existem diversos tipos de fontes luminosas, sendo que nenhuma perfeitamente monocromtica. existe sempre uma

    largura espectral associada. define-se monocromaticidade de uma fonte a razo entre largura espectral e o

    cumprimento de onda central /. Quanto menor este valor mais monocromtica a nossa fonte. Um laser

    normalmente presenta uma largura espectral no ordem de algumas centsimas de pico metros. A monocromaticidade

    depende de dois factores, a cavidade ptica que actua como filtro ptico e ainda mais importante o processo de emisso

    estimulada.

    2.2 Direccionalidade

    A direccionalidade uma das caractersticas mais notveis de um feixe laser. Ao contrario de uma fonte convencional

    que emite em todas as direces, um feixe laser tem normalmente uma divergncia prxima ao limite da difraco. Esta

    propriedade deve-se em parte a cavidade ptica. Um foto antes de sair da em media 50 voltas a cavidade, para ter sido

    reflectido tantas vezes claro que o foto tem de propagar-se ao longo do eixo da cavidade pelo que o sai com uma

    pequena divergncia. Com tudo a razo mais fundamental tem a ver com a coerncia espacial, conceito que ser

    abordado nos em breve no texto.

    2.3 Brilho espectral

    O brilho espectral () pode ser definido como a intensidade espectral por unidade de ngulo slido (). Sendo que a

    intensidade espectral a potncia (P()) por unidade de rea a dividir pela largura de banda. Assim ficamos com

    Eq 2.1

    2.4 Coerncia

    A coerncia a principal caracterstica da luz laser, e implica uma determinada correlao, isto , possvel determinar

    um evento atravs de conhecimento passado. Se a luz de uma fonte completamente coerente no espao e no tempo, h

    ento uma correlao total entre as oscilaes de o campo elctrico num ponto e em qualquer outro ponto. A coerncia

    temporal esta associada a preservao da fase dos diversos fotes enquanto que a coerncia espacial tipicamente

    expressada atravs do facto de a sada termos um feixe muito estreito limitado pela difraco. Como j foi referido o

    feixe laser pode ser focalizado em pontos muito pequenos com radincia muito elevada, sendo possvel concentrar a sua

    energia a grandes distancias.

    !" =P(")

    A#"#$

  • 3. INTERACO ENTRE A LUZ E A MATERIA Boa parte das fontes de luz utilizadas hoje em dia, seja de lmpadas incandescentes ou fluorescentes, gerada

    espontaneamente quando tomos ou molculas perdem um excesso de energia emitindo luz. Este tipo de luz gerada por

    mudanas de energia dos nveis atmicos ou moleculares, que ocorrem sem qualquer interveno externa. Entretanto,

    existe um segundo processo em que a emisso de luz que ocorre quando um tomo ou molcula retm o excesso de

    energia at ser estimulado a emiti-lo na forma de luz. Os lasers so capazes de produzir e amplificar esta forma de luz

    estimulada, de forma a produzir feixes intensos e colimados. A natureza especial deste tipo de radiao eletromagntica

    tornou a tecnologia laser uma ferramenta vital em quase todos os aspectos da vida diria, incluindo comunicaes,

    monitorizao, diverso, fabricao, e medicina.

    Em 1917 Albert Einstein deu o passo inicial no desenvolvimento do laser ao demonstrar a existncia destes dois tipos de

    emisso num artigo publicado em 1917. Sendo que por muitos anos, os fsicos pensaram que a emisso espontnea fosse

    o processo mais provvel e dominante, e que emisso estimulada seria sempre muito mais fraca. S algumas dcadas

    mais tarde que estudos demonstraram a possibilidade da predominncia da emisso estimulada e fizesse a emisso de

    um tomo ou molcula estimular muitos outros para produzir o efeito de amplificao da luz.

    A compreenso de alguns princpios fundamentais vital para o entendimento de como a emisso estimulada

    produzida e amplificada. So eles,

    O laser um dispositivo inerentemente quntico, e na descrio quntica, um tomo possui nveis discretos de

    energia.

    A emisso de luz espontnea e estimulada s ocorre se houver transies entre nveis de energia.

    necessria uma inverso de populao entre nveis de energia para que ocorra a amplificao da emisso

    estimulada de energia.

    3.1 Emisses espontnea e estimulada

    No trabalho apresentado, Einstein considerou um conjunto de dois tomos com dois nveis de energia. Um nvel

    fundamental com energia Ef e um nvel excitado com energia Ee. Notar que o nvel fundamental representa estado de

    mais baixa energia do tomo. Transies so possveis entre esses dois nveis atravs da absoro ou emisso de um

    foto de frequncia dada pela relao de Einstein,

    Eq 3.1

    Se um tomo ou molcula estiver no nvel fundamental pode absorver um foto de energia de transio h e

    simultaneamente passar para o estado excitado. Se um tomo ou molcula estiver no nvel de energia excitado, ele pode

    decair espontaneamente para um nvel de energia mais baixo sem qualquer estmulo externo. Como resultado, temos a

    liberao de um excesso de energia, igual diferena de energia dos dois nveis, em forma de um foto. A frequncia do

    foto emitido dada pela Eq 3.1. Os tomos e molculas excitados tm um tempo caracterstico para emitir

    !E = h"

  • espontaneamente, que o tempo mdio que eles permanecem no estado excitado antes de decarem para um nvel de

    energia mais baixo. O tempo de vida do estado excitado um factor importante para que ocorra a emisso estimulada.

    Se um tomo no nvel excitado iluminado por um foto que tem a mesma energia de transio que ocorreria

    espontaneamente, o tomo pode ser estimulado a voltar ao seu estado fundamental e simultaneamente emitir um novo

    foto com a mesma energia da transio e mesma direo do foto incidente. Assim, um nico foto que interage com

    um tomo excitado pode resultar ento em dois fotes. Se usarmos a descrio ondulatria da luz, a emisso estimulada

    ter a frequncia da luz incidente e estar em fase (coerente), resultando em amplificao da intensidade da onda de luz

    original. A Figura 3 ilustra a absoro (a), emisso espontnea (b) e estimulada (c) com as duas ondas coerentes

    resultantes.

    Figura 3 Diversas maneiras em que a luz pode interagir com os tomos. A) Absoro, B) Emisso espontnea e C) Emisso estimulada.

    O problema principal para se conseguir a emisso estimulada que, em condies normais de equilbrio termodinmico,

    a populao, isto , o nmero de tomos ou molculas em cada nvel de energia, no propicio a sua ocorrncia.

    Devido tendncia dos tomos e molculas decarem espontaneamente para os nveis de mais baixas energias, a

    populao em cada nvel diminui com o aumento de energia. Em condies normais, para uma energia de transio

    correspondente a um comprimento de onda ptico (da ordem de 1eV), a razo entre o nmero de tomos ou

    molculas na energia mais alta ao nmero no estado fundamental de cerca de 10-17. Em outras palavras,

    virtualmente todos os tomos ou molculas estaro no estado fundamental para uma transio com energia

    correspondente ao comprimento de onda da luz visvel. Assim, embora a luz emitida espontaneamente pudesse

    facilmente estimular a emisso de outro tomo excitado, to poucos esto disponveis que o foto emitido

    encontrar primeiro um tomo no estado fundamental e ser absorvido (Figura 3(A)). Em resumo, como o nmero

    de tomos no estado excitado muito pequeno com relao ao do estado fundamental, o foto emitido tem uma

    probabilidade muito maior de ser reabsorvido, fazendo que, no equilbrio termodinmico a emisso estimulada seja

    insignificante quando comparada com a emisso espontnea.

    A B C

  • O mecanismo pelo qual a emisso estimulada pode se tornar dominante ter mais tomos no estado excitado que

    no estado fundamental, de forma que os fotes emitidos tm maior probabilidade de estimular a emisso do que

    serem absorvidos. Como esta condio o inverso do que ocorre na situao de equilbrio normal, ela

    denominada de inverso de populao. Havendo mais tomos num estado excitado que no fundamental, a emisso

    estimulada pode dominar, resultando numa cascata de fotes. O primeiro foto emitido estimular a emisso de

    mais fotes, que estimularo a emisso de ainda mais fotes, e assim por diante. A cascata resultante de fotes

    cresce, produzindo a amplificao da luz emitida. Se a inverso de populao termina (a populao do estado

    fundamental domina), a emisso espontnea se tornar novamente o processo favorecido.

    Quando Einstein introduziu o conceito de emisso estimulada, a maioria dos fsicos acreditava que qualquer condio

    diferente da do equilbrio termodinmico seria instvel e no poderia ser sustentada. S muito mais tarde que

    desenvolveram mtodos para produzir as inverses de populao necessrias para sustentar a emisso estimulada.

    tomos e molculas podem ocupar muitos nveis de energia, uma transio pode acontecer entre dois nveis de energia

    quaisquer. A condio necessria para ocorrer a emisso estimulada e amplificao, ou aco laser, que pelo menos um

    nvel de energia mais alto tenha uma populao maior que um nvel mais baixo.

    No equilbrio termodinmico, a energia trmica no suficiente para produzir uma inverso de populao porque o calor

    s aumenta a energia mdia da populao, mas no aumenta o nmero de espcies no estado excitado com relao ao

    estado fundamental. A abordagem mais comum para se produzir uma inverso de populao num meio laser fornecer

    energia ao sistema para excitar tomos ou molculas para os nveis de energia mais altos. Este processo denomina-se

    bombagem.

    Para produzir a inverso de populao necessria para a aco laser, os tomos devem ser excitados a nveis de

    energia especficos. A luz e a corrente eltrica so os mecanismos de bombagem frequentemente utilizados na

    maioria dos lasers. Existem tambm outras abordagens, bastante mais complexas, que produzem lasers de bom

    desempenho. Em geral se excita um tomo ou molcula a um nvel de energia superior quele que participa da

    emisso estimulada, aps o que ele decai para o nvel excitado de interesse. Excitao indireta atravs das colises

    entre dois tipos de gases misturados tambm pode ser aplicada para produzir a inverso de populao. Em outras

    palavras, excita-se um tipo de gs atravs da passagem de corrente eltrica e este transfere, devido a colises, a

    energia aos tomos ou molculas responsveis por produzir a aco de laser.

    Como j exposto, o tempo que um tomo ou molcula permanece no estado excitado crtico para estabelecer se a

    emisso ser estimulada ou espontnea. Em geral, o estado excitado possui um tempo de vida tpico da ordem de

    alguns nanosegundos antes da ocorrncia da emisso espontnea e este perodo no suficientemente longo para

    sofrer a provvel excitao por outro foto. Assim, uma exigncia crtica para a aco laser que o estado excitado

    tenha um tempo de vida longo. Estes estados existem em certos materiais e so chamados de estados metastveis.

    O tempo de vida de um estado metastvel varia tipicamente de microssegundos a milissegundos, que um tempo

    realmente longo na escala atmica. Com vidas to longas, tomos e molculas excitados podem produzir

  • quantidades significantes de emisso estimulada. A aco laser s possvel se a populao do nvel excitado se

    mantiver superior do nvel fundamental. Quanto mais longo for o tempo de decaimento da emisso espontnea,

    mais adequado uma molcula ou tomo ser para a aco laser.

    A aco maser demonstrada por Charles Townes foi importante porque utilizou pela primeira vez a inverso de

    populao, provando assim que, a inverso era possvel de ser produzida. O maser desenvolvido baseava-se na

    molcula de amnia, tendo apenas dois nveis que participam da aco laser. Townes empregou uma aproximao

    moderna para produzir a inverso de populao - uma tcnica de feixe molecular que separava magneticamente as

    molculas excitadas das molculas no estado fundamental. Estas eram descartadas e as molculas excitadas

    restantes possuam a inverso de populao desejada. Outras tcnicas mais eficientes de inverso de populao

    para masers e lasers prticos foram desenvolvidas, requerendo a utilizao de trs, quatro, ou mais nveis de

    energia. A Figura 4 mostra esquematicamente as referidas tcnicas.

    Figura 4 Sistemas laser com diversos nveis de energia. (A) sistema de dois nveis, (B) sistema de tres nveis e (C) sistema de quatro nveis.

    O sistema de dois nveis no permite a oscilao laser continua. A bombagem de tomos no sistema por radiao

    vai induzir a absoro (transio para o estado fundamental, 12) e a emisso estimulada (transio 21) em

    simultneo. De esta forma no possvel obter uma inverso da populao positiva e estvel no tempo. No sistema

    de trs nveis, a bombagem actua entre o nvel (13). O tomo pode decair para o nvel um por causa da

    bombagem mas a causa mais forte o decaimento para o nvel 2 por emisso espontnea ou por coliso com outra

    partcula. O decaimento de 32 muito rpido, o que origina a saturao do nvel dois. Conseguindo assim a

    inverso de populao desejada para aco laser entre os nveis 21.

    O sistema de quatro nveis presenta algumas vantagens face ao de trs, uma vez que o nvel 1 excitado e os

    tomos decaem rapidamente para nvel 0 (estado fundamental), a diminuio de tomos no nvel 1 resulta no

    aumento da inverso de populao na transio laser.

    3.2 Susceptibilidade Atmica

    A suscetibilidade eltrica de um tomo clssico dada pela expresso;

    A B C

    2

    1

    BombagemTransio

    LaserBombagem Transio

    Laser

    Decaimento rpido

    1

    2

    3

    Bombagem

    Decaimento rpido

    Decaimento rpido

    TransioLaser

    3

    2

    1

    0

  • Eq 3.2

    Onde, na ultima passagem considera-se o caso para o qual a frequncia da luz incidente est prxima da ressonncia

    atmica (= 0). Introduzindo o tempo de relaxao T=2/b relacionando potencia emitida pelo electro acelerado

    podemos escrever explicitamente as partes real e imaginaria da susceptibilidade como;

    Eq 3.3

    Eq 3.4

    Que esto relacionadas respectivamente ao ndice de refraco e ao coeficiente de absoro atravs das expresses

    aproximadas n=1+1/2 e =1/2(/c). Sabe-se que o tomo clssico pode assumir qualquer nvel de energia,

    bastando apenas aumentar a amplitude de oscilao do electro. Entretanto j foi relatado no texto que a aco laser

    apenas pode ser descrita considerando o modelo do tomo quntico, no qual este apenas admite nveis discretos de

    energia. O calculo da susceptibilidade do tomo feita utilizando tcnicas da mecnica quntica. Sendo este calculo

    complexo e estando fora dos objectivos da seco de seguida sero apresentadas as equaes que descrevem a

    susceptibilidade.

    No formalismo semi-clssico, onde o tomo considerado uma entidade quntica e o campo eletromagntico como uma

    varivel clssica, as partes real e imaginaria da susceptibilidade atmica so dadas por;

    Eq 3.5

    Eq 3.6

    Onde N0 a diferena de populao entre o estado fundamental e o estado excitado e g(v) a forma de linha

    normalizada, dada pela lorentziana;

    Eq 3.7

    Que possui uma largura v=(T2)-1, por outro lado;

    !! = Ne

    2

    m"0 #0$# 2 $ j#b( )%

    Ne2m"0 2#0 #0 $#( ) $ j#0b&' ()

    !" =Ne2T2m#0$0

    %&'

    ()*

    #0 +#( )T1+ #0 +#( )2 T 2

    !!" =Ne2T2m#0$0

    %&'

    ()*

    11+ #0 +#( )2 T 2

    !" =2#N0T2h$0

    %&'

    ()*

    +0 ,+( )T21+ +0 ,+( )2 T22 + 4-2T2.

    = ,2 +0 ,+( )T2

    2 h$0#Ng(v)

    !!" =2#N0T2h$0

    %&'

    ()*

    11+ +0 ,+( )2 T22 + 4-2T2.

    = ,2

    2 h$0#Ng(v)

    g(v) = 2T21+ 4! 2 (v " v0 )2T22=

    #v2!

    $%&

    '()

    (v " v0 )2 +#v2

    $%&

    '()2

  • Eq 3.8

    a diferena de populao entre os nveis excitado e fundamental na presena de luz. A grandeza =E/2

    denominada frequncia de Rabi e seu quadrado proporcional intensidade. Uma consequncia da presena deste termo

    nas Eq 3.5 e Eq 3.6 que tanto a suscetibilidade como a diferena de populao diminuem conforme se aumenta a

    intensidade de luz. Este fenmeno conhecido como saturao, se torna bastante aparente quando 42T2>1+( )2T2.

    Outra consequncia da saturao o alargamento da linha lorentziana de um valor =(T2)-1 para

    sat=(1+42T)1/2.

    3.3 Coeficientes A e B de Einstein

    Em 1917 Einstein publicou um artigo onde analisou a interao de um conjunto de tomos idnticos com um

    campo de radiao com energia variando suavemente nas vizinhanas da frequncia de transio. O modelo supe

    a existncia de dois processos estimulados, dependentes da densidade de energia de acordo com,

    Eq 3.9 a

    Eq 3.9 b

    onde Wij a taxa de transio (nmero de transies por unidade de tempo) e Bij so constantes a determinar. Como

    mostra a Figura 5, o tomo estar em equilbrio com o campo de radiao (estado estacionrio) quando o nmero de

    transies de 12 foi igual de 21. Assim,

    Figura 5 Modelo do tomo de dois nveis

    Eq 3.10

    sendo A a taxa de transies espontneas e Ni a populao do nvel i. Para determinarmos os coeficientes A e Bij supe-se

    que o campo de radiao tem como origem a emisso de corpo negro, cuja densidade de energia dada pela lei de

    Planck,

    !N = !N01+ " #"0( )2 T22

    1+ " #"0( )2 T22 + 4$2T2%&

    '(

    )

    *+

    W21 =W21!(")

    W12 =W12!(")

    2

    1

    AW12 W21

    N1B12!(") = N2 B21!(") + A( )

  • Eq 3.11

    onde o primeiro termo representa a densidade de modos para a radiao isotrpica de frequncia , e o segundo o

    nmero de ocupao destes modos e o termo h a energia por modo. A considerao deste tipo de radiao especfica no implica em quebra de generalidade uma vez que de se esperar que os coeficientes A e Bij dependam apenas do

    tomo e no da radiao a que est exposto. Substituindo (Eq 3.11) em (Eq 3.10) ficamos com,

    Eq 3.12

    Como os tomos esto em equilbrio trmico, a razo entre as populaes dos nveis 1 e 2 dada pelo factor de

    Boltzmann,

    Eq 3.13

    onde gi a degenerescncia do i-simo nvel. Substituindo esta razo na Eq 3.12 e simplificando ficamos com,

    Eq 3.14

    Que valida para qualquer temperatura se s se,

    Eq 3.15a

    Eq 3.15b

    Como num sistema atmico de dois nveis isolado a taxa de decaimento de A o inverso do tempo de vida espontneo,

    A=1/esp, utilizando =c/ ficamos com,

    Eq 3.16

    !(") = 8#n3" 2

    c3$%&

    '()eh"KT *1$

    %&'()

    *1

    h"

    N1B12h!8"n3! 2c3

    #$%

    &'(eh!KT )1#

    $%&'(

    )1

    = N2 B21h!8"n3! 2c3

    #$%

    &'(eh!KT )1#

    $%&'(

    )1#

    $%

    &

    '( + A

    *

    +,,

    -

    .//

    N2N1

    =g2g1e!

    h"KT

    g1g28!n3h" 3

    c3 B12 # A =8!n3h" 3

    c3 B21 # A$%&

    '()e#

    h"KT

    AB21

    =8!n3h" 3

    c3

    g1g2

    =B21B12

    B21 =g1g2B12 =

    cn

    !"#

    $%&

    '2

    8(n2h)* esp

  • 4. GANHO Os conceitos de ganho, realimentao e limiar so de extrema importncia nos sistemas lasers. Fisicamente poderamos

    definir um laser como uma coleco de tomos o molculas entre dois espelhos, que atravs de um processo de

    bombagem so promovidos para um estado excitado. Os tomos excitados emitem fotes, este processo denomina-se

    emisso espontnea. Os fotes emitidos espontaneamente estimulam a emisso de novos fotes com a mesma direco e

    frequncia. Quanto maior a emisso espontnea maior a taxa de emisso estimulada, uma vez que esta ultima

    proporcional ao fluxo de fotes no campo excitado.

    Os espelhos mantm os fotes dentro cavidade, de modo a estimular a emisso de novos fotes. As superfcies

    especificadas so parcialmente reflectoras, permitindo assim a sada de alguns fotes, que constituem a sada do feixe

    laser. A intensidade do feixe depende da taxa de produo de tomos, directamente associada a bombagem, a

    reflectividade dos espelhos e as propriedades do meio activo.

    4.1 Coeficiente de ganho

    Considere a passagem de uma onda monocromtica de frequncia e radincia I atravs de um conjunto de tomos com

    densidades (tomos/m3) N1 e N2 nos nveis 1 e 2, respectivamente. Desprezando a emisso espontnea, se tivermos um

    nmero de transies 21 maior que 12 haver um aumento na potncia do sinal ptico dado por,

    Eq 4.1

    Considerando Ivg()=(c/n)(), onde Ivg() a radincia efectiva percebida pelo tomo, e usando as equaes Eq 3.9 e

    Eq 3.16 obtemos,

    Eq 4.2

    Esta potencia acrescentada a onda incidente que aumenta de acordo com,

    Eq 4.3

    Comparando as equaes Eq 4.2 e Eq 4.3 retiramos que o coeficiente de ganho dado por,

    Eq 4.4

    aprecivel que o ganho positivo unicamente para,

    Eq 4.5

    PotnciaVolume = N2W21 ! N1W12( )h"

    PotnciaVolume = N2 !

    g2g1N1

    "

    #$

    %

    &'

    (2

    8)n2h*+ espg(*)I*

    dI! (z)dz =

    PotnciaVolume = " (!)I! (z)

    ! (") = N2 #g2g1N1

    $%&

    '()

    *2

    8+n2, espg(")

    N2 >g2g1N1!" (#) > 0

  • Esta expresso permite-nos retirar a condio de inverso de populao, para a qual, existem mais tomos disponveis

    para amplificao do campo, por emisso estimulada do que atenua-lo por absoro. Assim, conclui-se que, num sistema

    laser o nico factor que distingue um meio de amplificao de um meio de absoro o sinal da inverso de populao.

    4.2 Alargamento homogneo e no homogneo

    O termo alargamento utilizado para explicar a largura da linha da resposta em frequncia de um conjunto de tomos

    sujeito a um campo eletromagntico. So consideramos dois casos. No alargamento homogneo, todos os tomos tem a

    mesma frequncia de ressonncia 0=(E2-E1)/, neste caso a forma da linha dada pela Eq 3.7 e a sua largura =(T2)-

    1, e tem por origem um dos seguintes mecanismos;

    i. Colises inelsticas com outros tomos (ou molculas) ou com fones se o tomo estiver localizado numa

    matriz slida;

    ii. Transies radiativas ou no radiativas para a outros nveis;

    iii. Colises elsticas que destroem a fase do dipolo eltrico induzido no tomo;

    iv. Alargamento por potncia devido ao processo de saturao que ocorre na interao do tomo com o campo de

    radiao.

    No caso do alargamento no homogneo, os tomos diferem entre si por possurem frequncias de transio diferentes.

    Os mecanismos que permitem esta situao so o efeito Doppler e as flutuaes de campo cristalino aos que os diversos

    tomos so sujeitos quando alojados numa matriz. Estas flutuaes tm como origem deformaes, ou outros tipos de

    imperfeies cristalinas, que fazem com que os tomos vejam diferentes vizinhanas dependendo do lugar onde eles se

    encontram, levando a diferentes frequncias de transio.

    4.3 Realimentao

    Como j foi visto no texto possvel amplificar a radiao eletromagntica quando ela se propaga atravs de um meio

    onde os nveis excitados possuem uma populao maior do que a do nvel fundamental. Esta inverso de populao pode

    ser conseguida atravs do fornecimento de energia ao meio ativo atravs de algum agente externo (bombagem), que de

    tal forma que ele passa a apresentar ganho

    Assim podemos pensar num laser em forma de uma cavidade cilndrica na qual esto presentes os tomos ou molculas

    no nvel excitado e existem condies para a inverso de populao.

    Figura 6 Laser sem realimentao

  • Alguns fotes vo ser emitidos espontaneamente ao longo do eixo do cilindro, estes por sua vez iro estimular a emisso

    de novos fotes a partir de tomos no estado excitado que por sua vez se propagam na mesma direo e com a mesma

    frequncia. Enquanto o nmero de fotes que se propagam ao longo do eixo aumentam, a taxa de emisso estimulada

    aumenta permitindo a sada de cada uma das extremidades do cilindro um feixe laser. A expresso apresentada na Eq 4.3

    diz-nos que a amplificao proporcional ao comprimento da cavidade, pois dela depende o n de fotes a sada do laser.

    Uma forma de aumentar o comprimento da cavidade e consequentemente aumentar o n de fotes sada colocar dois

    espelhos nas extremidades do cilindro de modo a reflectir os fotes diversas vezes no meio activo de modo a aumentar a

    amplificao.

    Entretanto, este um processo que exibe o fenmeno de saturao, ou seja, ao ser amplificado o campo eletromagntico

    aumenta de intensidade e, consequentemente, devido emisso estimulada, ele produz decremento do numero de tomos

    ou molculas no estado excitado, consequentemente induzindo tambm o decrscimo da inverso de populao. Isto faz

    com que o sistema atinja o estado estacionrio onde a amplificao sofrida pelo feixe suficiente apenas para compensar

    as perdas que ele sofre. Perdas que sero estudadas na seco seguinte.

    4.4 Limiar de ganho

    O ganho do laser, como j foi explicado, no se resume ao incremento de fotes dentro da cavidade devido a emisso

    estimulada, necessrio contar tambm com as perdas induzidas pelo espalhamento e absoro das superfcies

    reflectoras. necessrio portanto garantir que a amplificao estimulada suficiente para se sobrepor as perdas.

    Introduzindo assim um valor mnimo de ganho necessrio para a ocorrncia da aco laser. A Figura 7 mostra um verso

    simplificada de uma cavidade laser onde existem duas superfcies reflectoras separadas por uma distncia L. A

    reflectividade do espelhos dada por r e s o valor associado as perdas. Sendo que pela lei da conservao de energia o

    somatrio deve ser igual a um.

    Figura 8 Propagao de dois feixes opostos numa cavidade laser

    (1) (2)

    z= 0 z= L

    (r1,s) (r2,s)

    I+

    I-

  • Ao dar uma volta completa na cavidade ptica, ser necessrio que o feixe se reproduza com relao amplitude e fase.

    Matematicamente, isto equivale a dizer que aps uma volta completa,

    Eq 4.6

    Analisando o ganho em funo apenas a amplitude do campo eltrico, dada pela Eq 4.6 temos,

    Eq 4.7

    De notar que o ganho apenas compensa as perdas. Tendo em conta a Eq 4.4 e supondo que a frequncia do campo

    eletromagntico esta no centro da linha, obtemos a inverso de populao que satisfaz esta equao como,

    Eq 4.8

    onde retiramos que g(0) 1/. Esta a inverso de populao de limiar. importante salientar que N devera fixar-se

    neste valor, pois se for menor, o ganho gerado pela emisso estimulada no ser suficiente para compensar as perdas e o

    campo dentro da cavidade diminui at extinguir. Por outro lado, se ele for maior, o campo eletromagntico tender a

    aumentar, e como consequncia da emisso estimulada, reduzir a populao do estado excitado, induzindo o decrscimo

    da inverso de populao.

    5. CAVIDADES RESONANTES DE UM LASER Como j foi exposto no texto, necessria a presena de um foto para que ocorra a emisso estimulada e

    consequentemente, a aco laser. Do ponto de vista prtico, como j fora referido na seco 4.2, isto obtido por meio

    de uma cavidade ressonante, que basicamente um etalon de Fabry-Prot. Alm de possibilitar o incremento de

    intensidade da radiao eletromagntica, a cavidade tambm seleciona certas frequncias para as quais a aco laser

    ocorre. Para realizar o clculo de uma cavidade ptica, temos em conta que o campo elctrico do feixe gaussiano dado

    por;

    Eq 5.1

    Onde wo2=2zo/k d-nos o valor da cintura do feixe e (z)=arctg(z/zo) e,

    Eq 5.2

    EfinalEinicial

    = r1r2e j2n(! )kLe " (# )$ s[ ]L

    ! (") = s # 1L ln r1r2( )

    !Nt =8"n2# 2$ esp!#

    c2 s %1L ln r1r2( )

    &'(

    )*+

    E(r, z) = E0w0w(z) e

    !r2

    w2 (z )"

    #$%

    &'e! j kz!((z )+ kr

    2

    2R(z )"

    #$%

    &'

    w2 (z) = 2zok 1+zzo

    !"#

    $%&

    2!

    "#

    $

    %& = w02 1+

    zzo

    !"#

    $%&

    2!

    "#

    $

    %&

  • Eq 5.3

    A propagao de um feixe gaussiano no segue as leis da ptica geomtrica, mas sim da ptica ondulatria. Assim, para

    caracterizar o feixe devemos determinar como w(z) e R(z) variam em funo da onda que se propaga. Isto feito atravs

    da lei ABCD que ser descrita de mais adiante. Antes ser definido um parmetro q(z)=k/Q(z), onde Q(z)=k/(z+qo)

    Eq 5.4

    De esta forma, sabendo que q(z) varia com z, a parte real de 1/q(z) dar 1/R(z), enquanto a parte imaginaria esta

    associada a w(z). Considerando que um sistema ptico pode conter componentes taus como lentes e outros elementos, a

    variao do parmetro q dado pela lei ABCD;

    Eq 5.5

    Onde q1 e q2 referem a dois planos quaisquer perpendiculares ao eixo ptico (z), enquanto que A,B,C e D so elementos

    da matriz que caracteriza a propagao geomtrica de um feixe de luz entre os planos 1 e 2.

    5.1 lgebra das cavidades pticas

    Na seguinte seco apenas sero descritas cavidades com espelhos esfricos, como as mostradas na Figura 9. Notar que

    um espelho plano um caso particular de superfcie esfrica onde o raio infinito. Dada uma cavidade simples

    consistindo de dois espelhos esfricos, queremos encontrar o feixe gaussiano que satisfaa as condies de contorno

    impostas pelos raios de curvatura dos espelhos. Comearemos por plantear o problema de forma inversa, isto , dado um

    feixe gaussiano determina-se a distancia a qual devem estar os espelhos de modo a que os seus raios de curvatura

    coincidam com os da frente de onda. Nesta situao, o feixe volta sobre si mesmo e refaz o caminho anterior sem sofrer

    modificaes em seu perfil transversal, resultando numa cavidade estvel. Supondo que a superfcie R1 est esquerda e

    R2 direita, e usando a Eq 5.3 temos:

    Eq 5.6

    Eq 5.7

    De onde retira-se;

    Eq 5.8

    R(z) = z 1+ zzo!"#

    $%&

    2!

    "#

    $

    %&

    1q(z) =

    Q(z)k =

    1R(z) ! j

    "#nw2 (z)

    q2 =Aq1 + BCq1 + D

    R1 = z1 +z02z1

    R2 = z2 +z02z2

    z1 =R12 +

    12 R1

    2 ! 4z02

  • Eq 5.9

    z1,z2 so as posies onde os espelhos devem ser posicionados. Na prtico, sabem-se os raios de curvatura dos espelhos e

    a distncia entre eles, definida como L = z2-z1. Com estes dados, podemos determinar o valor de z02 atravs de Eq 5.8 e

    Eq 5.9;

    Eq 5.10

    Sendo de esta forma possvel caracterizar o feixe gaussiano.

    Figura 9 Cavidades pticas formadas por dois espelhos esfricos.

    Uma vez conhecido z0 e consequentemente w0=(z0/n)1/2, segue-se determinar o semi dimetro do feixe nas posies

    dos espelhos utilizando a Eq 5.2 . Considerando uma cavidade simtrica, onde R2=-R1=R, e substituindo na Eq 5.10

    ficamos com;

    Eq 5.11

    Portanto;

    Eq 5.12

    Que quando substitudo na Eq 5.2 com z=L (cavidade simtrica) resulta em;

    z2 =R22 +

    12 R2

    2 ! 4z02

    z02 =L L + R1( ) L ! R2( ) R2 ! R1 ! L( )

    R2 ! R1 ! 2L( )2

    z02 =2R ! L( )L

    4

    w0 =!z0"n =

    !"n

    L2

    #$%

    &'(

    14 R ) L2#$%

    &'(

    14

  • Eq 5.13

    Para o caso de R>>L , z0>>L;

    Eq 5.14

    O feixe esta praticamente colimado dentro da cavidade. Por outro lado w1,2 ser mnimo para R=L e para esta situao

    temos uma cavidade simtrica confocal, uma vez que f=R/2=L/2, onde a cintura do feixe e os semidimetros no espelho

    dados por;

    Eq 5.15

    Eq 5.16

    Que quando substitudo na Eq 5.13 resulta em;

    Eq 5.17

    A Figura 10 a representao grfica da Eq 5.17 em funo de L/R.

    Figura 10 Semidimetro nos espelhos de uma cavidade esfrica simtrica

    w1,2 =!L2"n

    2R2

    L R # L2$%&

    '()

    $

    %

    &&&

    '

    (

    )))

    14

    w1,2 ! w0 ="#n

    LR2

    $%&

    '()

    14

    w0( )conf =!L2"n

    w1,2( )conf =!L"n = 2 w0( )conf

    w1,2w1,2( )conf

    =1

    LR

    !"#

    $%& 2 '

    LR

    !"#

    $%&

    !

    "

    ###

    $

    %

    &&&

    14

  • Notar que quando a distancia entre os espelhos se aproxima de 2R ou quando R, o semidimetro no espelho diverge.

    Nesta situao a cavidade instvel uma vez que a energia confinada transborda pelas laterais do espelho.

    A estabilidade da cavidade pode ser estudado de uma forma mais geral usando o mtodo matricial (lei ABCD). Ao dar

    uma volta completa na cavidade, expectvel que tanto o raio de curvatura como o semidimetro do feixe se

    reproduzam. Nestas condies, a lei ABCD descreve-se como;

    Eq 5.18

    Onde A,B,C e D so as matrizes dos elementos que conformam a cavidade ptica. Resolvendo ficamos com;

    Eq 5.19

    Como as matrizes que descrevem os elementos so unitrias, AD-BC=1 e utilizando a Eq 5.4 a Eq 5.19 pode ser reescrita

    como;

    Eq 5.20

    Assim, deve-se considerar apenas um dos sinais da raiz, dependendo do sinal de B, de forma a obtermos;

    Eq 5.21

    Eq 5.22

    Analisando esta equao mostra que s existe soluo real para;

    Eq 5.23

    Esta a condio de confinamento para uma cavidade genrica, que garante a estabilidade da mesma. No caso particular

    em que temos cavidades com espelhos de raios R1 e R2, e usando que fi=Ri/2, consideramos a matriz do sistema como;

    q = Aq + BCq + D

    1q =

    D ! A( ) D ! A( )2 + 4BC2B

    1q =

    D ! A( )2B j

    1! D + A2"#$

    %&'2

    B =1R ! j

    ()w2n

    R = 2BD ! A( )

    w = !"n

    B12

    1# D + A2$%&

    '()2$

    %&'

    ()

    14

    $

    %

    &&&&&&

    '

    (

    ))))))

    D + A2 ! 1

  • Eq 5.24

    De onde retira-se que;

    Eq 5.25

    Manipulando algebricamente a expresso possvel chegar condio de estabilidade para a cavidade esfrica simtrica;

    Eq 5.26

    A representao grfica de esta desigualdade presente na permite-nos concluir que as cavidades plano paralelas e as

    concntricas so instveis, enquanto que a cofocal estvel.

    Figura 11 Diagrama de confinamento para cavidades pticas esfricas

    5.2 Perdas em cavidades pticas

    cavidade ptica um dos elementos mais importantes da aco laser, pois permite o confinamento e aumento da

    radiao eletromagntica possibilitando assim a emisso estimulada. No entanto, existem uma srie de factores que

    M =1! 2L 2R1

    +1R2

    "#$

    %&'+4L2R1R2

    2L 1! LR2"#$

    %&'

    !2 1R1+1R2

    +2LR1R2

    "#$

    %&'

    1! 2LR2"#$

    %&'

    "

    #

    $$$$$

    %

    &

    '''''

    D + A2 = 1! 2L

    1R1

    +1R2

    "#$

    %&'+2L2R1R2

    ( 1

    0 ! 1" LR1#$%

    &'(1" LR2

    #$%

    &'(! 1

    1-(L/R2)

    1-(L/R1)

  • impedem que a energia armazenada aumente indefinidamente. As reflexes imperfeitas, a absoro e espalhamento no

    meio activo assim como a difraco so os mecanismos de perda mais comum em cavidades pticas.

    As reflexes imperfeitas so produto da transmisso finita dos espelhos, que necessria para que se retire da cavidade

    a energia produzida pela aco laser. Alm disso, nenhum espelho ideal e mesmo quando eles so feitos para reflectir a

    maior quantidade de radiao, alguma absoro residual e espalhamento reduzem a refletividade para um valor

    ligeiramente abaixo dos 100%.

    As transies de algum dos nveis atmicos populados durante o processo de bombagem para nveis excitados mais altos

    constituem um mecanismo de perda que ocorre no meio ativo. O espalhamento por impurezas e imperfeies bastante

    grave em meios ativos do tipo estado slido.

    As perdas por difraco ocorrem para modos que se afastam consideravelmente do eixo ptico, pois a dimenso finita

    dos refletores faz com que alguma energia no seja interceptada por eles sendo, portanto, perdida. Para um dado

    conjunto de espelhos, esta perda ser maior para os modos transversais de ordens mais altas porque neste caso a energia

    est mais concentrada fora do eixo ptico. Este facto utilizado para evitar a oscilao de modos de ordens altas.

    Introduzindo-se uma abertura dentro da cavidade ptica, cujo dimetro suficiente para permitir a passagem da maior

    parte do modo fundamental, aumentando assim as perdas dos modos de maior ordem.

    Existem vrias formas de estimar a perda da cavidade ptica. Uma delas atravs do tempo de vida, tc, do decaimento

    da energia de um modo da cavidade, definido atravs da equao;

    Eq 5.27

    Onde representa a energia armazenada num modo. Outra forma atravs das perdas por passagem, I , definida pela

    equao;

    Eq 5.28

    Onde L o comprimento da cavidade cI/nL a fraco de perda por unidade de tempo. Comparando temos;

    Eq 5.29

    Para o caso de uma cavidade com espelhos de reflectividades R1 e R2, e um coeficiente de absoro medio, a perda

    mdia por passagem I= L-ln(R1R2)1/2, tal que:

    Eq 5.30

    d!dt = "

    !tc

    d!dt = "

    cInL !

    tc =nLcI

    tc =nL

    c !L " ln R1R2( )

  • onde na ltima passagem usamos a hiptese que R1 e R2 so aproximadamente 1. O factor de qualidade, Q, de uma

    cavidade ressonante pode ser definido como;

    Eq 5.31

    Comparando as equaes Eq 5.31 e Eq 5.27 chegamos a;

    Eq 5.32

    Uma cavidade de elevado factor Q apresenta poucas perdas enquanto que um baixo factor Q representa elevadas perdas.

    O factor de qualidade tambm quem determina a largura da curva de resposta lorentziana da cavidade como

    1/2=/Q=1/2tc, de forma que, de acordo com a Eq 5.30;

    Eq 5.33

    6. FREQUENCIA 6.1 Frequncia de ressonncia

    Como descreveu-se na seo anterior, para que exista confinamento, e consequentemente estabilidade, necessrio que o

    feixe se reproduza geometricamente (raio de curvatura e semi dimetro) ao dar uma volta completa na cavidade. Por

    outro lado, para que a cavidade seja ressonante, a fase do campo eletromagntico deve presentar uma diferena de fase

    mltipla de 2 de modo a haver interferncia construtiva para uma a volta completa na cavidade. Para calcularmos as

    frequncias ressonantes decorrentes deste incremento de fase, vamos considerar o feixe gaussiano numa ordem qualquer.

    Assim, podemos escrever o campo magntico como;

    Eq 6.1

    Onde Hm,n so os polinmios de Hermite de ordem m,n respectivamente. Se o feixe adquire uma diferena de fase

    mltipla de 2 ao dar uma volta completa a cavidade, a diferena de fase ser mltipla de se ele realiza apenas meia

    volta, isto , m,n(z2)m,n(z1)=q, onde q um inteiro qualquer e m,n(z)=kz-(m+n+1)tg-1(z1/z0). Como consideramos

    estamos apenas uma volta completa ao dividir por 2, os raios de curvatura no aparecem. Considerando L=z2-z1 ficamos

    com;

    Eq 6.2

    Q = ! "#d#dt

    $%&

    '()

    Q =!tc

    !"1/2 =c #L $ ln R1R2( )

    2%nL

    Em,n (x, y, z) = E0w0w(z)Hm 2

    yw(z)

    !"#

    $%&Hn 2

    yw(z)

    !"#

    $%&e

    'x2 + y2w2 (z )

    !

    "#$

    %&e' j kz'(m+n+1)((z )+

    k x2 + y2( )2R(z )

    !

    "##

    $

    %&&

    kqL ! m + n +1( ) arctgz2z0

    "#$

    %&'! arctg z1z0

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'= q(

  • Logo, a separao entre modos adjacentes dada por kq+1-kq=/L, usando k=2n0/c, onde n0 o ndice de refrao do

    meio, =q+1-q= c/2n0L. Esta diferena de frequncias corresponde ao inverso do tempo em que o feixe completa uma

    volta na cavidade e o modo q definido como modo longitudinal. Os modos transversais tambm so separados em

    frequncia e isto pode ser visto tomando-se dois conjuntos de valores para m e n de forma que;

    Eq 6.3

    Eq 6.4

    Subtraindo;

    Eq 6.5

    Substituindo (k1-k2)L=(1- 2)no/c=2noc,

    Eq 6.6

    6.2 Frequncia de oscilao

    Tal e como foi feito na seco anterior, considerar-se- fase de um feixe gaussiano que da meia volta na cavidade de

    modo a estimar as frequncias de oscilao. Considerando apenas o modo TEM00 e supondo que as reflexes nos

    espelhos introduzem fases m1 e m2 podemos reescrever a equao Eq 6.2 como;

    Eq 6.7

    onde o factor 12 introduzido considerando apenas meia volta como j fora feito na seco anterior. Entretanto, a

    analise difere, dado a que neste caso considera-se meio ativo no interior da cavidade e por tanto o seu ndice de refraco

    alterando assim o vector de propagao, Neste caso ficamos;

    Eq 6.8

    Se considerarmos a cavidade vazia =0 obtemos;

    k1L ! m + n +1( )1 arctgz2z0

    "#$

    %&'! arctg z1z0

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'= q(

    k2L ! m + n +1( )2 arctgz2z0

    "#$

    %&'! arctg z1z0

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'= q(

    k1 ! k2( )L = m + n +1( )1 ! m + n +1( )2( ) arctg z2z0"#$

    %&'! arctg z1z0

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'

    !" t =c

    2#n0L!(m + n) arctg z2z0

    $%&

    '()* arctg z1z0

    $%&

    '()

    $

    %&'

    ()

    kqL ! arctgz2z0

    "#$

    %&'! arctg z1z0

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'+

    (m1 +(m22

    "#$

    %&'= q)

    !qnLc 1+

    " '(#)2n2

    $%&

    '()* arctg z2z0

    $%&

    '()* arctg z1z0

    $%&

    '()

    $

    %&'

    ()+

    +m1 ++m22

    $%&

    '()= q,

  • Eq 6.9

    Ao substituir na Eq 6.8 fica;

    Eq 6.10

    Conclui-se que a frequncia modificada pela presena da ressonncia atmica. Esta equao muito importante, para a

    resolver recorremos as equaes Eq 3.5 e Eq 3.6, assim ficamos com;

    Eq 6.11

    Onde no ultimo passo considerou-se ()=k()/n2. Substituindo na Eq 6.10 e considerando que o ganho se estabiliza

    no valor de limiar ficamos com;

    Eq 6.12

    Considerando muito prximo de q e utilizando a Eq 4.7;

    Eq 6.13

    Se a frequncia atmica 0 no coincidir com alguma frequncia de ressonncia da cavidade passiva, a frequncia com

    que a aco laser ocorrera ser afastada de q na direco de 0. Este efeito denominado de frequency pulling.

    7. POTENCIA Esta seco pretende calcular a potencia de sada de um sistema laser em funo de uma determinada bombagem

    externa. Como j foi explicado no texto, na seco 3.1 necessrio que o sistema possua mais do que dois nveis

    discretos de energia. Desta forma vamos considerar o modelo mais comum que consiste num sistema de quatro nveis,

    como mostra a Figura 12(B). Dado a que o decaimento do nvel 3 para o nvel 2 muito rpido, podemos considerar o

    modelo simplificado mostrado na Figura 12 (A).

    A transio laser ocorre entre os nveis 2 e 1, sendo as taxas de bombagem para eles dadas por B1 e B2. O tempo de vida

    do nvel 2, t2, determinado pela emisso espontnea, esp, por transies no radiativas entre 2 e 1, e transies no

    radiativas para outros nveis que produzem sua depopulao, enquanto que a populao do nvel 1 decai principalmente

    por transies no radiativas. A densidade de tomos nos nveis 1 e 2 so respectivamente N1 e N2, e sua degenerescncia

    dada por g1 e g2.

    vq =qc2nL +

    c2!nL arctg

    z2z0

    "#$

    %&'( arctg z1z0

    "#$

    %&'(

    )m1 +)m22

    "#$

    %&'

    "

    #$%

    &'

    vq = v 1+! '(")2n2

    #$%

    &'(

    !" #( ) = 2 #0 $#( )%#

    !!" #( ) = 2n2 #0 $#( )k%# & #( )

    vq = 1+!0 "!( )# 1 !( )

    k$!%&'

    ()*v

    v ! vq " vq " v0( ) c2#n$v s "1L ln r1r2( )

    %&'

    ()*

  • Figura 12 Sistema de 3 (A) e 4 (B) niveis.

    Considerando que as transies induzidas pelo campo eletromagntico no caso de alargamento homogneo so dadas

    por;

    Eq 7.1

    Eq 7.2

    possvel escrever as equaes das taxas que descrevem as populaes dos nveis 1 e 2 como;

    Eq 7.3

    Eq 7.4

    No regime estacionrio podemos considerar as populaes como sendo constantes, assim das Eq 7.3 e Eq 7.4 chegamos

    a;

    Eq 7.5

    Eq 7.6

    Onde;

    Eq 7.7

    Subtraindo Eq 7.6 e Eq 7.5, e possvel determinar a diferena de populao dos nveis 1 e 2 como;

    A B

    Bombagem TransioLaser

    Decaimento rpido

    1

    2

    3

    Bombagem

    Decaimento rpido

    Decaimento rpido

    TransioLaser

    3

    2

    1

    0

    W21 =Wi v( ) =!2g v( )

    8"n2hv# esp

    W12 =g2g1Wi v( )

    dN2dt = B2 !

    N2t2

    ! N2 !g2g1N1

    "#$

    %&'Wi v( )

    dN1dt = B1 !

    N1t1

    ! N2 !g2g1N1

    "#$

    %&'Wi v( ) +

    N2t22

    N2 = t2 B2 ! "NWi v( )( )

    g2g1N1 =

    g2g1t1 B1 + !NWi v( ) 1"

    t2t21

    #$%

    &'(+ B2

    t2t21

    )

    *+

    ,

    -.

    !N = N2 "g2g1N1

    #$%

    &'(

  • Eq 7.8

    Onde = t2/t21 . Na ausncia de campo (Wi=0) a inverso de populao no saturada dada por;

    Eq 7.9

    Que depende de parmetros externos ao sistema atmico. A inverso de populao pode ser descrita como;

    Eq 7.10

    Onde =[1+(1)(t1g2/t2g1)] depende apenas de parmetros do sistema atmico. Na prtica, os lasers apresentam

    t1g2

  • Conhecida a taxa de transies induzidas, possvel encontrar a potencia gerada dentro da cavidade utilizando a mesma

    analise da seco 4.3. para deduzir a potencia gerada dentro da cavidade. Partindo da Eq 4.1 escrevemos;

    Eq 7.16

    Onde Vm o volume medio na cavidade. Supondo que a frequncia do campo eletromagntico esta no centro da linha

    homognea e substituindo Eq 7.11 e Eq 7.15 ficamos com;

    Eq 7.17

    Definindo o factor de perdas no interior da cavidade como sendo Li=sL, o ganho no saturado por passagem como

    g0=0L, a brea media do modo como sendo A=Vm/L, e supondo que os espelhos tem reflectividades prximas de 1, tal

    que ln(r1r2)=1-(R1R2)1/2=1-R=T, chegamos a;

    Eq 7.18

    Assim obtemos a potencia que gerada no interior da cavidade. Mas o objectivo conhecer a potencia til que pode

    emitir o laser. Tendo em conta as perdas derivadas da absoro por passagem, sabida que a outra parte sai pelo espelho,

    assim chegamos a potencia til dada pela fraco Ptil=Pcav[T/(T+Li)], obtemos a expresso;

    Eq 7.19

    Um factor que permite alterar a potencia til de emisso do laser a transmisso do espelho de sada. Como mostra a

    Figura 13 onde observvel a existncia de uma transmisso ptima que permite maximizar a energia retirada do laser.

    Para encontrar esse valor deriva-se Ptil e igualamos a 0, o que nos leva a;

    Eq 7.20

    Substituindo Eq 7.20 em Eq 7.19 ficamos com;

    Eq 7.21

    Onde Is a intensidade de saturao da linha homognea.

    PCAV = !NWi v( )hvVm

    PCAV =8!n2hc " espt2

    #$%

    &'(

    ) 3g v0( )VmL

    #$%

    &'(sL * ln r1r2( )( ) + 0LsL * ln r1r2( ) *1

    #

    $%&

    '(

    PCAV =8!n2hc tespt2

    "#$

    %&'

    ( 3g v0( )A Li + T( ) g0Li + T( )

    )1"#$

    %

    &'

    Ptil =8!n2hc tespt2

    "#$

    %&'

    ( 3g v0( )A g0Li + T( )

    )1"#$

    %

    &'T

    Topt = !Li + g0Li

    Popt =8!n2hc tespt2

    "#$

    %&'

    ( 3g v0( )A g0 ) Li( )2 = 2IsA g0 ) Li( )2

  • Figura 13 Potencia til em funo da transmisso para diferentes ganhos no saturados

    8. MODOS DE FUNCIONAMENTO LASER Foi estudado na seco 5 que uma cavidade ptica passiva, portanto sem o meio ativo, possui frequncias de ressonncia

    dadas pela Eq 6.2 ou Eq 6.9. Tambm explicou-se na seco 4, que um meio activo possui um coeficiente de ganho cuja

    distribuio espectral depende do tipo de alargamento, homogneo ou no homogneo. No primeiro caso, teremos uma

    linha com perfil lorentziano, enquanto que no segundo, a linha possuir um perfil gaussiano. Finalmente, os dois

    conceitos foram unificados nas seces 6 e 7, onde deduziram-se as frequncias de ressonncia e a potncia de sada de

    um laser. Nesta seco pretende-se expor um pouco melhor a distribuio espectral da luz emitida pelo laser e a sua

    influencia no regime temporal.

    8.1 Q-Switching

    O Q-Switching um meio de obter um laser de radiao pulsada, cujos impulsos so curtos e de elevada potncia. Este

    efeito origina uma mudana abrupta das perdas na cavidade, ou seja, ocorre a mudana de um valor baixo do factor de

    qualidade para um valor elevado originando uma reduo abrupta das perdas na cavidade. Diminuindo as perdas para o

    um valor mnimo que ainda permita a oscilao laser, o ganho de pequenos sinais passa a ser muito maior que o ganho

    limiar da oscilao. Nesta situao acontece um rpido crescimento da intensidade dentro da cavidade. No pico de

    intensidade h uma elevada taxa de emisso estimulada e, portanto, uma rpida extrao de energia para fora da mesma.

    Resulta assim num impulso curto e muito intenso, designado por impulso gigante. Os mecanismos para realizar o Q-

    Switching so;

    i. O mecanismo dos espelhos rotatrios, onde um dos espelhos da cavidade rotatrio originando perdas elevadas

    excepto no perodo de tempo em que os espelhos esto aproximadamente paralelos. O Q-Switching

    relativamente lento mesmo para velocidades na ordem das 10.000 rpm.

    ii. As clulas electro-opticas, so um mtodo activo, baseado na birrefringncia induzida num meio quando sujeito

    a uma tenso. Esta, por sua vez, controla a cavidade Q. Pode ser usado o efeito Kerr, no qual o grau de

    birrefringncia directamente proporcional ao quadrado da tenso aplicada ou o efeito Pockels, no qual a

    birrefringncia linearmente proporcional a tenso. A clula de Kerr previne o feedback fazendo com que a

  • cavidade tenha perdas muito pequenas. Desligando a tenso que passa pela celula, esta deixa de ser

    birrefringente. Assim, a cavidade Q aumenta repentinamente, desenvolvendo um impulso gigante.

    iii. Os absorvedores saturados, so um mtodo passivo e consta de colocar na cavidade laser uma clula de um

    material absorvente cujo coeficiente de saturao pode ser saturado por radiao laser. Assim as perdas da

    cavidade so elevadas devido a clula absorvente, para permitir a oscilao laser. Quando o ganho passa a ser

    superior as perdas, a intensidade na cavidade aumenta rapidamente. Isto permite a saturao rpida da clula

    originando uma diminuio abrupta das perdas na cavidade e consequentemente um impulso gigante.

    8.2 Mode Locking

    Este processo consta em ligar as fases de todos os modos longitudinais na cavidade, do qual se obtm impulsos

    ultracurtos de elevada potencia. Quanto maior for o n de modos phase-locked, maior ser a amplitude e menor a

    durao de cada impulso. Os impulsos esto separados no tempo por 2L/cN, onde N o numero de modos e L o

    comprimento da cavidade). Por outras palavras, o mode-locking pode ser visto como a gerao de um nico impulso

    com durao de 2L/cN que se desloca sem parar entre os espelhos da cavidade. O principio fsico que esta por trs de

    este mtodo a modulao de fase.

    A modulao de fase de uma onda portadora (sinal laser monocromtico continuo, 0) com um sinal sinusoidal (m) tal

    que o campo elctrico;

    Eq 8.1

    Onde sin(mt), a fase a ser modulada, origina um n infinito de componentes laterais. O contedo espectral aumenta

    com o aumento da amplitude de modulao de fase porque surgem novas componentes e, por outro lado, a amplitude da

    onda portadora reduzida. O alargamento espectral condio necessria para a gerao de impulsos a partir de um sinal

    continuo.

    Apesar do alargamento espectral a intensidade do sinal mantem-se invariante no tempo por causa da relao de fase entre

    as diversas componentes, pois existe uma relao de lock entre as mesmas, o que garante a continuidade da intensidade

    no tempo. Os tipos de mode locking so;

    i. AM mode-locking

    Considera-se que o campo eltrico de um modo longitudinal tem uma amplitude modulada periodicamente na

    forma:

    Eq 8.2

    Onde a frequncia de modulao. A modulao de amplitude do campo (m) gera no espectro bandas

    laterais de frequncia (m),

    E t( ) = E0e j !0 t+" sin !mt( )( )

    Em t( ) = E0 1+ E cos !t( )( )

  • Num laser, a amplitude dos modos (Em) determinada pela condio de que ganho perdas. Sendo o ganho (ou

    as perdas) modulado periodicamente (), o campo (Em) dos vrios modos sero modulados em amplitude

    (AM) com a frequncia ()

    No caso em que a frequncia de modulao seja igual distancia espectral (m+1-m) de cada modo, as

    bandas laterais de cada modo coincidem com as frequncias dos modos adjacentes, tendncia para que os

    modos sejam phase-locked. Isto AM mode-locking.

    ii. FM Mode locking

    Neste caso considera-se que a fase do campo modulada periodicamente;

    Eq 8.3

    A modulao de fase origina pares de bandas laterais no espectro das frequncias. A modulao de frequncia

    origina que as bandas laterais de cada modo estejam em ressonncia com as frequncias portadoras dos modos.

    Resulta no forte acoplamento destes modos e a tendncia de se ligarem e produzir trens de impulsos mode-

    locked, isto , FM mode locking.

    Os mtodos de mode-locking so;

    i. Modulao por perdas acsticas

    Este mtodo baseia-se na difraco da luz por ondas acsticas, isto , por espalhamento de Brillouin. Uma onda

    sonora actua como uma rede de difraco da luz. A onda sonora num meio material representada por uma

    variao do ndice de refraco que contem uma modulao peridica espacial sin(kx) e oscilao temporal

    frequncia (s). Este processo permite AM mode locking. As perdas por difraco associadas onda acstica

    no interior da cavidade, oscilam frequncia 2s . Se 2s=c/L, as perdas na cavidade so moduladas pela

    separao espectral entre modos, condio para obter mode locking.

    ii. Modulao electro-ptica de fase.

    Este mtodo baseado no efeito electro-ptico. Supe-se que o meio do tipo clula de Pockels no qual o

    ndice de refraco varia linearmente com o campo eltrico aplicado. Aps uma certa distncia de propagao

    L, o campo dentro da cavidade teria uma fase proporcional a tenso aplicada. O laser pode ser FM mode locked,

    variando sinusoidalmente a tenso aplicada separao espectral entre modos

    iii. Absorvedores saturveis

    Tal como no Q-Switching, este processo permite obter AM mode locking passivo. Um absorvedor saturvel

    dentro de cavidade, resulta na modulao das perdas da cavidade separao espectral entre os modos

    originando mode locking.

    Em z,t( ) = Em sin kmz( )sin !mt + "m + # cos $t( )( )

  • 8.3 Comparativa: Mode locking - Q-Switching

    O mode-locking e o Q-switching so mtodos recorrentemente utilizados para a gerao de trens de impulsos laser. O

    seguinte quadro pretende sumarizar comparativamente as principais caractersticas de cada um destes mecanismos.

    Mode locking Q-Switching

    Impulsos mais estreitos

    Maior taxa de repetio (

  • emisso estimulada; um sistema de bombagem encarregado de fornecer energia ao sistema e finalmente uma forma de

    extraco da luz, que consta normalmente no facto de um dos espelhos da cavidade ser parcialmente reflector deixando

    sair parte da radiao.

    Em 1917 Albert Einstein presentou um trabalho onde demonstrou os conceitos de emisso espontnea e estimulada. que

    significou o primeiro passo no desenvolvimento da tecnologia laser. Na primeira a radiao gerada espontaneamente

    quando tomos ou molculas perdem um excesso de energia emitindo luz. Este tipo de luz gerada por mudanas de

    energia dos nveis atmicos ou moleculares, que ocorrem sem qualquer interveno externa. Na segundo processo a

    emisso de luz que ocorre quando um tomo ou molcula retm o excesso de energia at ser estimulado a emiti-lo na

    forma de luz. Inicialmente considerou-se que o primeiro efeito seria dominante sobre o segundo no sendo possvel o

    sistema laser. At que em 1954 Charles Townes desenvolveu um amplificador de micro-ondas por radiao estimulada

    (MASER) e Posteriormente, em 1958 Arthur Schalow e Charles Townes sugeriram que o efeito de emisso estimulada

    podia ser estendido a regio ptica do espectro electromagntico, se o meio activo estivesse dentro de uma cavidade

    Fabry-Perot.

    Algumas concluses e princpios fundamentais so vitais para o entendimento de como a emisso estimulada produzida

    e amplificada, i.e. para o funcionamento de um laser, so elas:

    i. O ganho tem de ser superior as perdas, o ganho limiar, define o valor mnimo do ganho para o qual acontece

    oscilao laser.

    ii. O laser um dispositivo inerentemente quntico, e na descrio quntica, um tomo possui nveis discretos de

    energia.

    iii. A emisso de luz espontnea e estimulada s ocorre se houver transies entre nveis de energia.

    iv. necessria uma inverso de populao entre nveis de energia para que ocorra a amplificao da emisso

    estimulada de energia.

    v. Em sistemas de dois nveis no possvel garantir a inverso de populao. Os sistemas laser so baseados em

    sistemas de 3 ou 4 niveis.

    vi. Uma vez definida as caractersticas da cavidade com relao ao tipo de meio ativo e ao ngulo de divergncia,

    necessrio ter em conta os espelhos adequados e para isso vemos se satisfazem as condies de estabilidade.

    vii. A cavidade tambm seleciona certas frequncias para as quais a aco laser ocorre.

    viii. Para se ter a maior potncia de sada necessrio escolher o espelho com a transmisso adequada.

    REFERENCIAS

    [1] Lasers, P. W. Milonni, Wiley-Interscience, 978-0471627319

    [2] Optica Moderna Fundamentos e aplicaes, S.C. Zilio, 9788588533424