گزارش کار ارائه سمینار درس تئوری الیه مرزی

جریان روی یک دیسک دوار و بررسی و تائید صحت وموضوع : و مزیت های اینHAMبه دست آوردن معادالت حاکم توسط روش

روش

94743075فربد صالح زاده دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک گرایش تبدیل انرژی

استاد : دکتر مقیمی94زمستان

به نام خداوند بخشنده مهربانمقدمه:

حت ود ص موضوع انتخابی راجب جریان روی یک دیسک دوار ، بررسی و تائیای این روش میHAMبه دست آوردن معادالت حاکم توسط روش و مزیت ه

باشد.فحات ر بین صا 150اگان160 تته هرمرزی نوشه مول الیاب اص کت

وعا موض شلیختینگ یا کتاب سیاالت وایت جست و جوی کوچکی انجام شود بان رویوان جریا عن و سرفصلی جالب و تا حدی کاربردی مواجه می شویم بت و اینوع اس یک دیسک دوار که نزدیکترین و مرتبط ترین سرفصل به موضابجکت ازمن این سود. در ضوط می شل مربه این سرفص سمینار بیشتر بدهام شتوکس انجاویر اسادالت نرای معه ب زیرمجموعه حل های دقیقی کلادالت حدودی از معرای مع است و همانگونه که می دانید ناویر استوکس ب

دقیقی را ارائه می دهد.اکم وادالت حرفی معا ، معوع ، کاربردهرفی : موضا معمینار ب این سا از روشادالت آنهاب و معادالت از کتایل و مع استخراج آنها و بررسی مس

الی از روش ریع و اجمرفی س وHAMهای مرسوم شروع و بعد از آن به مع مزایا و کاربردها و برتریهای نسبی اش به دیگر روش ها می پردازیم ، در انتهاان هم با بررسی سه مقاله مطرح شده در این زمینه ها به این گذارش کار پای

می دهیم.کاربرد ها و دلیل پرداختن به موضوع:

ادالت ول معرا حه چوع ک اول از همه بگذارید نگاهی بیاندازیم به این موضذاب والب ، جوع جد موضک دوار میتوانک دیسرزی روی یه مان الی جریال اینه اص مطرحی برای مسائل علمی و مهندسی باشد ، و مهمتر از آن اینک

موضوع چه کاربرد هایی دارد:

تجهیزات دوار به عنوان یکی از اجزای اصلی صنایع مختلف نقش ایفا می کنند.اراوانی دارند و نقش مهمی ایفه در صنعت کاربرد ف از جمله اجزا دواری کزء دوارزون این جاربرد روز اف می کنند می توان به دیسک دوار اشاره نمود.کایی ،نایع دری در صنایع گوناگون ازجمله صنایع هوافضا، صنایع خودروسازی، ص

ز(،ز از مرکانتریفوژ )گری روتور توربین بخار و گاز، فالیویل، کمپرسور های سیعیتاب وس موتورهای احتراق داخلی، پروانه های کشتی و چرخ دنده ها با ش

لقابل مشاهده است. کاربرد دیسک ها با ضخامت غیر یکنواخت عمدتا به دلیال در نظر گرفتن مالحظات اقتصادی و به منظور بهبود عملکرد مکانیکی در ح

افزایش است.ند. درنعتی می باشین آالت صیاری از ماشک های دوار بخش مهم بس دیساراد کرعت دورانی و دمای زیرایط سک ها درشوارد این دیسیاری از م بس

نعتمی کنندا در صایان آنهد شه کاربه با توجای دوار ب در مبحث دیسک ه آن فاکتور ها می توان به که از عموما چند فاکتور مورد مطالعه قرار می گیرد

یغ وقت و ...جریان روی سطح دیسک و خزش، تنش ه علت ضه ب نام برد کتنها به مبحث جریان به روی دیسک دوار اشاره می کنیم.

: ملموسچند کاربردرزی از این توضیحات گذشته به عنوان کاربرد برای استفاده از معادالت الیه متیدنا هس برای دیسک دوار شاید ملموس ترین کاربردی که تا حدودی با آن آشیلهادالت مربوط به دیسک دوار برای وستفاده از معوان نام برد اس را بتال دوران میک در حک دیسیلندر و یک سکل ازیه متش ویسکومتر است کهد. البت باشد که با آن ویسکوزیته طیف وسیعی از سیاالت را محاسبه می کنن

اخیرا به روش های اولتراسونیک توجه بیشتری شده است.معادالت که شکل و

وطرو در مربراهده می زی مشفرمایید:

V = Tangential Velocityμ = Viscosity

Closed systemDensity is not relevantShear stress is consistent throughout

Velocity is linear

hv

v

ای ک هارد دیسه هال دیگه مثوان یاید به عن rotaryشرایار میکنن به در خال که یکی از دالیلی کند ، ک کامپوتر موضوع جالبی باش

پرهیز از ایجاد الیه مرزی است ، که شکل آن را نیز مشاهده می فرمایید:

تاریخچه حل معادالت روی دیسک دوار :ادالتد و مع اولین کسانی که به حل معادالت جریان روی دیسک دوار پرداختن

خاص آن را به دست آوردند:von karmanیک مجای االصل در دانشگاه آخن

ه راه حلیود کی بع اولین کسان در واق آلم برای مساله فوق مطرح کرد ، او برای این کار

از یک روش و رویکرد انتگرالی که در آن زمانیاررزی بسه مات الیبه جریانرای محاس ب

محبوب بود استفاده کرد و در آخر یک راه حل تقریبی ارائه کرد.ارمنCochraneبعد از وی کوچران)ک ک ( هنگام تصحیح بعضی از جریانات کوچ

یک راه حل ترکیبی نادر از تکنیک های عددی و تحلیلی به دست آورد که شاملک و2 سری می شدند :یک سری توانی شامل 2بسط ه دیس پارامتر نزدیک ب

پارامتر برای فواصل دورتر، کوچران هر دو سری را3دیگر یک سری نمایی با ه رقما سارو تدار پارامترها هم رویارو و مقدار ب در یک فاصله محدود کران

اعشار محاسبه کرد.

وز درددی هن قابل توجه این که پیشنهاد کوچران در در زمانی که روش های عدهد عهولیت بودن دوران طفئلهل این مس دار مسئولیت ح

بودند.رادالت رو در زی بخشی از مع

میبینید :

گامانهار پیشروع کا شان ب همزماهشا کزایش یه روی افل ب پرانتدیه منرزی،عالقطح م جرم در سکرزی ، خنه مترل الیه کن های زیادی در بازه ی وسیعی از کاربردها از جملا و کاری بلید های توربین ، خنک کاری پوسته هواپیماهای سرعت باال این کاره

محاسبات شکل گرفتند.ک استوارت خیلی بعد یک راه حل کامل عددی برای جریان مربوط به یک دیس دوار ارائه داد که در آن تخلخل صفحه را نیز به حساب آورده بود ، روش و راه

ذاریک و جایگله از دیس حل او از انتگرال گیری از معادله دیفرانسیل با فاصکردن مقادیر شرایط مرزی جانبی در بینهایت به دست آمد.

Akroydط دادن روش احتماال دقیق ترین روش را ، و بسیار حیرت انگیز با بس کوچران برای فاصله طوالنی از دیسک تا سطح دیسک و اعمال شرایط مرزی

روی سطح دیسک ارائه کرد.طواخت توسل مکش و دمش یکنه ای مثعه یافتای توسالت هنین ح همچ اسپارو و گرگ مورد بررسی قرار گرفتند که اتفاقا از مباحث مطرح شده در

مقاالت مورد نظر نیز هست.حالت دمش تا حد زیادی توسط کویکن نیز بررسی شد.

همچنین بررسی برای معادالت انرژی با دمش زیاد توسط گرشن و گوسارت.ارخش بال چت در حیال در دور دسه در آن ساله کر این مسوع کلی ت ن

ه ای رعت زاویه این دوسده کی شرز و النس بررسط راج توسا وس برخش در جهت معکال چد در حرده انذارش کلs<-0.2محقق گ ح

معتبر فیزیکی فقط برای حالت مکش یکنواخت وجود دارد.هد بف می چرخنات مختل برای حالت کلی تر جریان بین دو دیسک که در جه

مقاالت بچلور ، استوارتسون ، ملور و همکاران مراجعه کنید.این مساله به زیبایی توسط زنبرگن و دیکسترا مرور شده.

جریان الیه مرزی برای دیسک دوار:مبحث الیه مرزی

لیختینگاب شادالت از کتت آوردن معه دس این قسمت را با مقدمه و آغاز بآغاز میکنیم

له حک برزی روی دیسه م همانگونه که اطالع دارید برای بررسی معاله الیمعادالت ناویر استوکس و همچنین معادالت حرکت نیاز داریم.

حول محور خودش ، بدون زاویه فرض بر اینکه دیسکی با سرعت زاویه ای با محور افقی در حال دوران در یک سیال ساکن باشد.

با شرایط فرض ما : عدم لغزش ، وجود لزجت ، الیه سیال روی دیسک همراهده با دیسک گردش می کند و توسط نیروی گریز از مرکز به سمت بیرون ران

بعدی که مثل یک پمپ عمل می کند.3می شود ،یک جریان

نشانu v w جهت وجود دارند که با 3طبق شکل ،مولفه های سرعت در هر (و و داده شده اند)همراه با مختصات استوانه ای )

دد بای ضخامت الیه مرزی که تحت تاثیر دیسک در حال حرکت به دست می آی و امگا باشد.vبه صورت تابعی از

که می گوید :طبق تئوری تحلیل ابعادی )تحلیل ابعادی به کمک نوعی فشرده کردن، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداددهر پدیود. اگ متغیرهای تجربی موثر روی یک پدیده معین فیزیکی منجر میش

ا را بهn ای بهداد متغیرهادی تعل ابعد، تحلیته باش متغیر با بعد بستگی داشk.تگی داردئله بس متغیر بی بعد کاهش میدهد، که این کاهش به پیچیدگی مس

اهی به طور کلیه گت کئله اسر در مس برابر تعداد ابعاد مختلف حاض معموالً چهار بعد مکانیک سیاالت ابعاد پایه، اولیه یا اساسی نامیده میشوند. در

:اصلی، عبارتند از((Ө)درجه حرارت( T)زمان( L)طول( M)جرم

خواهیم داشت :

کاهش و با کاهش امگا افزایش می یابد.v ( با کاهش پس ضخامت الیه)

نیم و را به کمیت zبرای حل ناویر استوکس فاصله از دیوار مرتبط میکبرای حل خواهیم داشت :

با استفاده از حل های آزمایشی خواهیم داشت :

ر راولی زییل معم حال به کمک معادالت پیوستگی میتوانیم معادالت دیفرانسبه دست بیاریم

با شرایط مرزی زیر:

د ا پرداختنه آنهوچران بدها کارمن و بعه کباتهمان معادالتی که محاس ککارمن در جدول روبرو مشاهده می فرمایید.

که بیانگر توزیع سرعت روی یک دیسک دوار برای یک سیال ساکن است

مشابه جریان نقطه سکون ابتدا میدان سرعت از معادله پیوستگی و بعد از آنبهد محاس معادالت حرکت در نزدیکی دیسک به دست می آیند و در مرحله بعاهده میرای آن مشه بت کواهیم داشک را خر دیسود بار عمع فش توزی

فرمایید:

سرعت دیسک میرسد.1 به %دیده می شود که سرعت محیطی در پس:

که بیانگر توزیع سرعت روی یک دیسک دوار برای یک سیال ساکن است.شیب خطوط جریان در روی دیوار در جهت محیطی برابر است با:

ایتا بینهه تکی ک اگه کمی دقت کنیم این موضوع که این معادالت برای دیسعاع Rادامه دارد قابل استفاده هستند نه برای دیسکی با شعاع ر شا اگ r ، ام

در مقایسه با ضخامت دلتا بزرگ باشد، این فرض از لحاظ منطقی امکان پذیراست ، چون اثرات لبه محدود به یک ناحیه حلقوی کوچک خواهد بود.

البته امکان پذیر خواهد بود که ممان چنین دیسکی را محاسبه کنیم برای حلقهعاع drای به ضخامت ت: r در شواهیم داشا خ و در اینج

مولفه محیطی تنش برشی دیوار است.با توجه به معادله :

از معادالت قبل خواهیم داشت که :

هت بد داشرار خواهرف آن قک طط در یک فقک دیس و در نتیجه ممان یصورت زیر خواهد بود :

رف آنه در دو ط مرسوم است ضریب بدون بعد زیر را برای ممان جریانی کقرار دارد تعریف می کنند:

و رینولدز به صورت زیر تعریف میشود

با توجه به مقادیر جدول خواهیم داشت:

نی ام منحا نرو بکل روبده1این فرمول ضریب ممان در شان داده ش نشکیور ریابوچینسمیت و همینطیر کمپ اش است و با نتایج تئودورسن و و رجددا عد ت مقایسه شده که همانگونه که از نمودار تطبیقی مشاهده می فرمائی

رای3رینولدر د. ولی بان می دهن تطابق بسیار خوبی را با مقادیر تئوریک نشهدگان عزیز مایل به خواننه اگد کاش رخ میدهدز باالتر اغتش اعداد رینول

ه بخش د بتند میتواننه20مطالعه در این زمینه هسلیختینگ مراجعاب ش کت که به علت ضیغ وقت باز هم به اختصار اشاره شده است.3-1کنند قسمت

عاع ه شک برف دیسهrمعادله دبی حجمی که در یک طوری بور محه ط بهز ب سمت صفحه مکیده میشود و به طور شعاعی توسط نیروی گریز از مرک

سمت خارج می رود برابر است با :

ه به چه میزان تاکل مشخص است ک همانطور که مالحظه می کنید در ش میان مقادیر تئوریک و مقادیر به دست آمده تطابق برقرار است.3رینولدز

نیشایان توجه است که اختالف فشار روی دیسک متناسب است با یعهته با وابسار تنهت ، فشدک اسیار انک بسای کوچ مقدار آن در لزجت ه

است.rدیواره و در نتیجه مستقل از همانگونه که پیش از این ذکر شد دیسک دوار مثل پمپ عمل می کند و در اینانیکی ازرژی مکار انزایش فشد افزایش می یابیال اف مابین فشار کل س

معادله روبرو به دست می آید.

که در آن :

داریم:و برای حالت

% خواهد بود.29در رینولدزهای باال بازده این پمپ

راجب راه حل مسآله و تاریخچه آن : ظهور پدیده های غیر خطی در مسائل و علوم مهندسی به خصوص کاربردهایرایاز به سه زمین تکنولوژیک و صنعتی مثل مکانیک سیاالت یک نیروی محرک

تحقیقات اخیر است. pdeبسیاری از مسائل علمی و پدیده ها توسط معادالت غیر خطی معمولی یا

ها مدل میشوند.ود دارد، کهای دوار دو روش وجائل دیسل مسرای حای تحلیلی وب روش ه

عددی.ق وته دقیه دو دسیز بود نای تحلیلی خل هه حت ک البته شایان توجه هس

تقریبی دسته بندی میشندر حالیکه حل های عددی نه کامال دقیق ولی دقت خوبی را دارا میباشند.

هددی به روش عوال بای واقعی معمائل در دنییاری از مسل بس راه حکامپوترها داده شده اند.

ادرت می ورزیمل مسائل به روش تحلیلی مب اما این که چرا هنوز ما به حباقی مانده است

و دلیل اینکه:ک-1ل فیزیه داخذی را بد نافند دیق هم نباشر خیلی دقیتی اگ چون ح

ویو در توی پیچ و خم و تدن ته گم ش مساله ارائه میدن و به هیچ وجاعداد کامپیتر بدون اطالع دقیق از آنها آسان نیست.

از-2ددی نیای ع به یک روش تحلیلی برای بررسی صحت جواب روش هداریم

به همین جهت محققان هنوز هم در جست و جوی یک حل تحلیلی برای مسائلشناخته شده و ناشناخته ها هستند.

اگر ریز شویم نسبت به موضوع الیه مرزی میبینیم که :تفاده جین یک فرمولبندی جالب بر مبنای مجموعه ای از روش های پیشین اسدی میشد. ایده اش برته بنای باقیمانده وزنی دس کرد که از دسته روش هد. ودردا کنن مبنای انتخاب مجموعه ای از نقاط بود به طوریکه خطاها بهبود پی

ده تفاده از قاعل اسminواقع مث maxاات بب اطالعازی مناسرای جاس باستفاده از چند جمله ای چبیشو بود.

هک بان از روی دیسور جریرای عببی بک روش تقری به این صورت ،جین یدست آورد.

پاسخ مناسب و قابل قبولیscale factorاز طرف دیگه آریل با استفاده از یک با به کارگیری تنها یک پارامتر به دست آورد.

ده روش ه شای ارائرین روش ههHAM وHPMیکی از امیدبخش تت ک هس معرفی گسترش وتصحیح شد.Liao و دومی توسط heاولی توسط

ای HPM(homotopyروش ه perturbation method) و HAM(homotopy analyses method)ایل هزء حت جا هویداسه آنهه از نامگذاری همانگونه ک

تحلیلی دسته بندی میشوند: ADM(adomin که به آنها میپردازیم دیگر روش هایی نظیر HPM و HAMغیر از

decomposition method) و artificial small parameter و delta –expansionبرای ده اند که معموال به علت کاربردی تر بودن و حل های تحقیقی پیشنهاد ش

از آنها کمتر استفاده می شود.HAMجامعتر بودن HAM و HPMروش

HPMری آنتم و برابای سیس : این روش شامل یک تشکیل تناوب از جواب هنی وپی یعای هوموتارامتر ها پادیری از pبه مقتش کا 0 هس رو می1 ت

هp=0گیره .برای د کدا می کنه پیزول درجاله خطی ن مجموعه به یک مس مجموعه سیستم یک مساله مقدارp=1جواب آن تقریبا جزئی است. برای

مرزی بازتولید میکنه که راه حل در قسمت اول قرار میگیرد.بری اثبات شده که این روش برای حل بازه ی وسیعی از مسائل و معادالت ج

ولی و ل اعم از معمادالت دیفرانسیارpdeو معرالی بسادالت انتگا و مع هکارآمد می باشد.

برای یک کالس ویژه از مسائل دینامیک سیاالت این روش بسیار مناسب استبه خصوص آن دسته مسائلی که جریان از مرزهای سیستم عبور میکند.

Arielوروری عبارن محزج متقان لرای جری یک راه حل با تنها یک پارامتر بتفاده از ا اسفحه بک صده از روی یازگاریHPMکننه ست آورد که دس ب

مناسبی با حل دقیق مساله داشت.Arielرد و طیه کترده رو مطالع همچنین تاثیر لغزش جزئی روی صفحه گس

ه ان داد کف نشای مختلده از روش ه HPMیک مقایسه از نتایج به دست آمبسیار عملی و کاربردیست.

الیان عود و چن که البته جوابهای آنها مربوط به پرتوربیشن های مرتبه اول به باالترای مرتبن هت آوردن پرتوربیشه دسه بازی ب بود که حس نمیشد نی

باشد.HPMوانی میای تری هورت سه ص به صورتیست که بعضی پارامترها را ب

توان افزایش داد .هزایش مرتبا اف برای جریان های متقارن محوری نشان داده شده است که ب

پرتوربیشن به حل دقیق همگرا می شوند.ل میه از حر مرحله در ه در واقع مزیت استفاده از پرتوربیشن این است ک

تواند بعد از دستیابی به حل مورد نظر از بین برود .

HAM:

Liao اله92 در سوژی بوپی در توپولتفاده از هوموتدایی اسده ی ابت ، اییر منظور پیشنهاد یک روش عمومی تحلیلی برای مسائل غیر خطی و بسیار غ

ه روش ه برفت کار گه کHخطی را ب A Mایر مبنه بد، کذاری ش نامگهوموتوپی توپولوژی است.

تعریف ریز شده هوموتوپی:Homotopy متشکل از دو واژه homo به معنی یکسان و همسان و topyه که ب

ده وکیل ش اختصار برای کلمه توپولوژی به معنی مکان شناسی می باشد تشدر کل احتماال به معنی : هم مکان شناسی است

وی معادله دیفرانسیل غیر خطی را به صورت زیر در نظر گرفت :

N u (s )0

ت و Nدر این رابطه د متغیرs یک عملگر غیرخطی اس شامل یک یا چن یک مقدار معلوم است ، برای سادگی تمامu(s) است و t و xمستقل مانند

وان شرایط مرزی و اولیه را صفر در نظر میگیریم و از روش هوموتوپی می تبه معادله زیر رسید :

که معادله درجه صفر یافته تبدیل می شود. هم مقداریH نامیده می شود EMBEDDING PARAMETER و q [0,1]و

می گویند. همچنینauxiliary parameterغیر صفر را می گیرد که به آن می گویند.Auxiliary function تابع کمکی یا

Lاست. حدس اولیه ای از عملگر خطی کمکی و باشد نتایج زیر حاصل می شوند:q=1 و q=0تابعی مجهول است و وقتی

(s ;0) u (s )(s ;1) u (s )

می رود ، جواب از حدس اولیه به سمت1 از صفر به سمت qبنابرین هرچه جواب نهایی می رود.

حول اگر روبرو qرا ی رابطه به دهیم بسط تیلور بسط کمک بهمیرسیم :

شود :که می تعریف زیر صورت به

و پارامتر کمکی و تابع کمکی و حدس اولیهLاگر مقادیر عملگر کمکی خطی به جواب همگرا می شود وq=1مناسب و درست انتخاب شوند سری باال در

خواهیم داشت :

کنیم اگر بردار تعریف زیر معادله صورت به را

حل ادامه به mبرای نسبت اول معادله از و qبار میگیریم می q=0مشتق قراربر را حاصل نهایت در و می دهیم دست به که ای معادله ، میکنیم تقسیم

درجه معادله . mآید است زیر صورت به که شود می نامیده یافته تبدیل ام

*که در این رابطه:

:است و مقدار شود می محاسبه روبرو رابطه از

اگر طرفین رابطه * را در معکوس عملگر خطی کمکی ضرب شوند آنگاهجواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:

HAM هستند ارائه می دهد. یک مجموعه راه حل را با جمالتی که دارایLiao با موفقیت روش HAMه ازرد کار به ک را برای حل مسائل غیر خطی ب

ه ک2مثال های آن می توان به عنوان حل معادلوس روی یزج بالزیدی ل بعبریزیکی معتوایح ف صفحه تقریبا بی نهایت استفاده کرد که تقریبا در تمامی ن

است.چرا هوموتوپی:

لاد حرای ایجرده بدا ک اخیرا ،توجه زیادی معطوف روش جدیدا گسترش پیای آن های تقریبی تحلیلی معادالت غیر خطی بدون توجه به نقصان و کمبود ه

شده است .این روش که بر مبنای هوموتوپی است چند مزیت دارد :

اول اینکه : اعتبار آن به اینکه معادله غیر خطی شامل پارامتر های ریز یا-1 درشت میشود یا نمی شود بستگی ندارد و این روش میتواند معادالت به

شدت غیر خطی را نسبت به تکنیک های اختاللی حل کند.دس-2ای معین خطی و حور هاب اپرات دوم اینکه : دست ما را برای انتخ

از مییار بان بسبر یکسای معت شرایط اولیه به دست آوردن تقریب هگذارد.

ک-3رای یانواده را برای هم خای همگریب هدادی از تق سوم اینکه : تعمحدوده بزرگتر پاسخ می دهد.

لرای حوند و بل میشددی حای ع بعضی معادالت و مسائل توسط روش ه استفاده می شود.perturbationبعضی دیگر از روش های تحلیلی

در روش های عددی راجب پایداری و همگرایی برای جلوگیری از نتایج ناهمگرارار می گیرند .در روش ه قب مورد توجای نامناسواب ه perturbationیا ج

های تحلیلی یک پارامتر کوچک وارد معادله می شود بنابراین پیدا کردن پارامتر

ای روش ه نقص و ایراده perturbationکوچک و وارد کردن آن در داخل معادلاست.

وردHAMصحت ه مزی در معادل مستقل از وجود این است که آیا پارامتر ریبحث وجود دارد یا نه

ابراین روش گفتهHAMبنای پیشای روش هدودیت هر محد ب می توانperturbation.نائل آید

نیازی به تفکیک کردن ندارد و همچنین یه راه حل عددی کارآمد باHAMروش ه دقت باال با حداقل محاسبات و پرهیز از فرضیات فیزیکی غیر واقعی را ارائ

می دهد.ای HAMعالوه بر آن یرتر از روش هHPM عمومی و فراگ ، adm(adomain

decomposition method)عد و در واق و همچنین روش دلتا اکسپنشن می باشایج دHPMهمه ی آنها را شامل می شود به گونه ای که برای مثال: نت میتوانن

تلقی شوند با فرض HAMبه عنوان نتایج خاصی از یرHAMدر سال های اخیر روش ائل غیاری از مسل بسرای حوفقیت ب با م

خطی مثل مسائل مرتبط با انتقال گرما هستند به کار رفته است.ایت هوژن ، واکنش کاتالیسیر خطی دیفیای غدل هه : م ازجملیر همگناله غرج،مسرج و مر هامیکی پای دینتم هل،سیس متخلخ

mhdبالزیوس،جریان عمومی ل ،3 بعدی به روی یک صفحه گسترده متخلختفاده از ا اسیال mhdآنالیز سیم پوشیده با سoldroyd ب ارن8 ان متق ،جری

ه یال درجک سرای یرارت بال حوری ، انتقفحه2محده از رووی ص گذرنودیmhdگسترده، جریان ان عم یک سیال درجه دو در یک کانال متخلخل،جری

couteزجتاله لایت، مسا بی نهد تفحه ممتار بین دو صان تحت فش ،جریه گالئورت، برگر و معادله موج بلند منظم ، جریان لزج لمینار در یک کانال نیمرزیه مات الیان(،جریانی همگن)یکسدان مغناطیسور میل در حض متخلخ

اربردی2نانو،جریان بعدی لغزنده ثابت)استدی(در یک میکروکانال، ومسائل کدیگر

ذیری روشاف پذاری و انعط که تمامی این کاربردهای موفق صحت و تاثیرگHAM.را تائیید می کنند

مقاله اول:

P Donald arielاولین مقاله ای که به آن پرداخته می شود : حاصل تحقیق آقای با موضوع:2009از دانشگاه ترینتی غربی ،النگلی کانادا است که در سال

ک دوار HPMروش ک دیسده روی یان گذرناله جریر و حل تحلیلی مس نششده است :

ارHPMدر این مقاله ، اول از تک پارامتری برای محاسبه جریان استدی و لمینودخص شا مش تراکم ناپذیر لزج گذرنده روی یک دیسک دوار استفاده شده ت

که آیا حل دقیق و مناسبی را به دست می دهد یا نه؟ت از دهHPMولی از آنجا که به پاسخ های مناسبی نرسیده اسط داده ش بس

نامیده شده.extended HPMاستفاده کرده که وط حیحHPMو در انتها نشان داده شده که راه حل مبسل صک راه حه ی ب

جمله نیاز دارد8هست که برای ایجاد یک حل کامال تحلیلی نهایتا به که معادالت حل و روش های به دست آوردن آنها را مشاهده می فرمایید:

با شرایط مرزی:

و شرایط اولیه:

تک پارامتری:HPMحل

P ت ووپی اسارامتر هوموتارامترb که در اینجا وارد معادله شده پک پ هم یکمکی:

فرم و اوله صادالت از مرتبه معت آوردن مجموعه دساهد با ش در اینجهستیم:

0:

1:

درست است و داریم:1راه حل مرتبه

رار دادن و و با جایگذاری رض قا فا بیری از آنه و مشتق گراه حل مرتبه اول به مقدار زیر میرسد:

به جواب مرتبه اول می رسیم:b=1که با قرار دادن

مقایسه شده:akroydو در انتها نتایج را با حل عددی داده شده توسط

که همانطور مشاهده می شود اختالف با مقدار تحلیلی اکروید با فاصله گرفتن از ابتدا زیاد

بسط داده شدهHPMمیشود ،و از آنجا که به نتایج خوبی نرسیده ایم از روش استفاده شده.

HPM: بسط داده شده ام )HPMدر اینجا میبینیم که برای باال رفتن دقت ه نscale یه ضریب ب factor)

ضرب شدهدر پارامتر مستقل

پارامتر های جدید سرعت عبارتند از:

معادالت قبل به شکل روبرو در می آیند:

به صورت:HPMو معادالت گسترش یافته

تحت پارامتر h و g وfو مقادیر جدید

با جایگذاری برای پارامترها خواهیم داشت:

سیستم مرتبه صفر:

سیستم های مرتبه باالتر:

با مقدار جدید معادالت به صورت زیر در می آیند:

برای معادالت مرتبه باالتر به ترتیب خواهیم داشت :

ط و و که در آن ان فق متغیر های کمکی هستند که مقدارش وابسته استnبه

و در نهایت داریم:

کط یان توسد جریل می بینید و در مقابرح داده ش همونطور که پیشتر ش عضو میدان سرعت تشریح شده3 تایی با 3مجموعه از معادالت دیفرانسیل

است.د در قسمت زیر هم مجددا مقایسه نتایج به دست آمده با مقدار تحلیلی آکروی

وبیHPMمشاهده می شود که نشان می دهند چطور ه خده بط داده ش بسسازگار و به حل دقیق همگرا می شود.

ه نیم که تا مرحلتی از ضرایب را مشاهده می ک 16در جداول زیر هم لیسمحاسبه شده اند:

:در بخش نتیجه گیری این مقاله داریم کهرایط ازا شان ب در انتها مشخص شد که یک روش کامال تحلیلی برای یک جری

دا با حل تک پارامتری کهHPMپیش گفته به کمک روش به دست آمد ، ابتهده کط داده شد و پس از آن روش بساعث نمیشی را بخ رضایتبخش پاسومت آورد. و معله دس طبق جداول و نمودارها جواب بسیار رضایتبخشی را ب

رایی راه8شد که فقط مین دقت و همگرای تض ترم از راه حل پرتوربیشن ب که روش تحلیلی تقریبا دیقیق است کافی است . akroydحل به روش

مقاله دوم:

گاه موضوع مقاله دوم از آقایان محمد مهدی رشیدی و سعید دیناروند از دانشال گاه در سک این دانشان مکانیران از دپارتمدان ای 2008بوعلی سینا هممنتشر شده و کمی متفاوت تر با موضوع قبلی به مساله پرداخته است :

دگی و3حل کامال آنالیزی تقریبی برای مساله ع شرای جمتدی ، بدی اس بعHAMچگالش یک الیه نازک)فیلم( روی یک دیسک دوار مایل به روش

مسائل مهندسی در ک شده اشباع بسیار مهم استار خن حذف یک مایع چگالش یافته از یک بخ

sparrow and Greggز رویز از مرک حذف مایع را با استفاده از نیروهای گری یک صفحه دیسک دوار بار اول مورد توجه قرار دادند. همینطور مسئله مربوطیال رویازک از سیار نه بس به ته نشین شدن بخار شیمیایی وقتی که یک الی

یک دیسک خنک کاری شده ته نشین می شود.هه مجموعتوکس را ب با پیروی از وون کارمن اسپارو و گرگ معادله ناویر اسرال گیریدیل کردند و بعد از آن با انتگ ای از معادالت معمولی غیرخطی تب

ای ل هی از حfilmعددی از آنها برای حل های مشابه برای بعض thicknessو becketسپس کار آنها توسط all طه دادهchary و samara و سپس توس ادام

شد.

الهرای مسامال تحلیلی ب هدف اصلی مطالعه و تحقیق حاضر پیدا کردن راه ک چگالش یا اسپری شدن روی یک دیسک دوار کج است.این مشکل ابتدا توسط

ال گ در سط روش 2006وانا توسد و در اینجی شط وHAM بررس بسگسترش داده می شود .

در این بخش آنالیز جریان و فرمول های ریاضی را مشاهده می فرمائید :

دوران می کند و یک فیلم از سیال روی آن اسپری شدهدیسک با سرعت اثیروان از ت شعاع دیسک نسبت به الیه پاشیده شده بسیار بزرگ است که میت

پایانی که در شلیختینگ به آن پرداختیم صرف نظر کرد .

و دمای روی سطح فیلم دمای سطح به سمت پایین وارد می شود.gنیروی

هHAMدر این قسمت از کاربرد اکم بادالت ح استفاده شده و حل تقریبی معدست آمده

با شرایط اولیه :

برای مساله مطرح شده خواهیم داشت :

از معادله پیوستگی نیز خواهیم داشت :

که : و خواهیم داشت :

در اینجا ثابت ضخامت نرمال شده است که برابر است با :و

بعد از پیدا شدن میدان سرعت ، فشار از رابطه زیر محاسبه می شود:

:HAMحل به روش مقادیر زیر را با توجه به معادالت باال انتخاب می کنیم:

به عنوان تقریب های اولیه برای پارامتر ها و که شرایط مرزی را ارضاء کنند ،به عالوه انتخاب یک اپراتور خطی خواهیم داشت :

با جایگذاری:

ثوابط اختیاری بر اساس معادالت قبل هستند. تا که برای حل به تعریف اپراتور های غیر خطی زیر خواهیم داشت:

p.نیز پارامتری هست که مقادیر حقیقی بین صفر و یک را میگیرد

هم یک پارامتر کمکی غیر صفر است .و

هliaoهمانگونه که ته بدت وابس اشاره کرده بود میزان همگرایی سری به ش است، متغیر انتخابی

خواهیم داشت :mو در نهایت برای معادالت تغییر شکل مرتبه

با شرایط مرزی زیر:

خواهیم داشت:mathmaticaبا حل دستگاه توسط برنامه

در این قسمت نتایج و همگرایی سری حل به بحث گذاشته شده اند: ای هHAMهمانگونه که پیداست : همگرایی این سری ها و تقریبهدت به ش ب

ه مقدارانطور کت ،و همهliao وابسته اسرایی برای همگرد باره ک اشنیازمندیم:انتخاب مقدار صحیحی برای

هبرای پیدا کردن د کاهده می کنیر رو مشای زینی هدار منح مناسب مقرسم شده اند:و برای

ناحیه های صحت مساله در جدول زیر لیست شده اند :

همانطور که مشاهده می فرمایید :

توسط98 است. که در سال HPM مانند HAMاست حل سری وقتی he. مطرح شد

ای نی هکل منحه از در این شه 8 کدادHAMامین مرتبرای اعتند ب هس است.پرانتل متفاوت به نمایش گذاشته شده اند وقتی که

تگی این شکل نشان میدهد که سایز منطقه صحت به شدت به عدد پرانتل بسهل بدد پرانتزایش ع دارد ، در واقع فاصله برای مقادیر قابل قبول الندا با اف

صفر میل می کند.

اpr<55فقط برای رایی به همگوان نتیج صدق می کند بنابرین نمیت داشت.100 برای بعضی از روغن ها با پرانتل باالی HPMاستفاده از

نتایج :

لده و پروفیه شعاعی نرمالرعت شل سرتیب پروفیه تر بای زی شکل هانگ کوتا نشل رانه با حدن را در مقایسک شال خشرعت مایع در ح س

میدهند. و روش های کامال عددی را میبینیم :HAMو سازگاری بسیار مناسب میان

رکل زیه ش کمیت مهم دیگر نیروی شبکه بر واحد سطح روی دیسک است کاین کمیت ها را به نمایش گذاشته :

لدد پرانتف ع در این نمودار پروفیل نرماله شده برای دما برای مقادیر مختلهور کده و همونطته شایش گذاشه نمد باهده میفرماییه مش در شکلی ک

ا7 برای فلزات مذاب و 0.01میبینید بازه ی آن از تر از آن ترای آب و بیش ب برای بعضی از روغن ها است.100

ریب ه از تقک کا روی دیسان دمیز گرادیودار نرایHAMام 8این نم بو اعداد پرانتل متفاوت را به نمایش گذاشته شده است :

عدد ناسلت برای مقادیر مختلف عدد پرانتل در نمودار زیر نمایش داده شده ،دازایش پیخامت افزایش ضا افلت بدد ناس و این شکل نشان میدهد که ع

نزدیک میشود.1میکنه و با گرایش ضخامت به صفر به

نتیجه گیری:

ادالتHAM از وعی از معرای مجمامال تحلیلی بل کک حردن ی برای پیدا کتدی اله اسیال3غیرخطی که از مشابهت تبدیل مست سه نشسدی از ت بع

روی دیسک دوار شیب دار استفاده شد ، صحت نتایج توسط روش های عددییدیم ، وبی رسایج خ HPMتائید شد و با بررسی همگرایی پاسخ سری ها به نت

کرای ید و باال نمی دهخامت با ضالت فیلم برای حتی ب جواب های با دق برای پرانتل های باال تائید نمی شود.HPMضخامت خاص

ویری روش ده تصه شای ارائایش هاس نمر اسرعکس HAMبهHPM ب بدت پارامترهای کوچک وابسته و حساس نیست و برای هر دو نوع مساله به ش

غیر خطی و غیر خطی کاربرد دارد.هHAMبه عالوه روش های تحلیلی ترل منطقبیق و کنرای تط روش آسانی ب

فراهم می کنند. همگرایی حل سری ها به کمک پارامتر کمکی دارد.HAM نقش بسیار مهمی در چهارچوب

ائلرای مسور به درد بخد و بار آمی ک اثبات می شود که این روش ، روشعلمی و مهندسی است.

مقاله سوم :رجیح دادهودن آن تامفهوم باد و نیار زی مقاله سوم که به علت پیچیدگی بس

شده که بیشتر راجب معرفی و نتایج آن صحبت شود.االت دمش یک دوار در حرزی دیسه مان الیرای جریبی ب حل آنالیزی تقری

مکش یکنواخت.که نوشته آقای تورکیمازوگلو از دانشگاه آنکارا ترکیه هست.

اردار و لمین ایشان به مطالعه در زمینه استخراج معادالت تحلیلی برای حل پایور غیر قابل تراکم جریان لزج از جریان الیه مرزی به روی دیسک دوار در حض

رژیم دمش یا مکش یکنواخت پرداخته اند.چرا؟چون

جریان سیال روی یک دیسک دوار کاربردهای فراوانی دارد از جمله:ترل الیه مرزی وه :کنت کده اسناخته ش این به صورت کامال ملموس و شطترل توسل کنتند قابیال هس جدایش که از مکانیزم های پایداری جریان س

مکش یا دمش کنترل شده هستند.ک مکش در سیاالت در حال حرکت در ارتباط با بسیاری از ارتباطات تکنولوژی

می باشد.ترل برای مثال : ماشین های دوار،کشتی ها و زیر دریایی ها به منظور مهم کنداختناخیر انه تور به منظا بای هواپیم لمینار و توربوالن ، و همچنین باله ه

جدایش های مذکور هستند.pdfکه مثال ها قابل مشاهده در

در این مقاله از جریان الیه مرزی وون کارمن و راه حل کامال آنالیزی به روشHAM. که در آن تاثیرات دمش و مکش به حساب آمده استفاده شده است

وی ک قادالت از تکنیده وHAMدر حل و به دست آوردن این معتفاده ش اسایرم هت آوردن ته دس نشان داده شده که این روش بسیار مناسب جهت ب

کامال نمایی و توابع نزولی است.نکات مهمی که در این مقاله راجب هوموتوپی بیان می شود :

ریرایی سیزان همگه :م نظریه همگرایی بهینه پارامتر کنترلی اجبار میکند کهوموتوپی را افزایش ببخشیم

توکساویر اسه ن وقتی معادله وون کارمن در مختصات سیلندریکال در معادلقرار بگیرد ، معادله ای به شکل زیر حادث می شود :

با شرایط مرزی زیر :

پارامتر مکش یا دمش هستشsکه s<0 و برای بلووینگ s>0برای ساکشن

یکادالت کالسد و معاهش می یابن که به علت عدم وجود تخلخل عبارت ها کشناخته شده دیسک دوار هستند.

zero-finding پارامتر می باشد که 3در کل مساله ای خواهیم داشت که شامل است و از هر الگوریتم مناسبی برای حل آن میتوان استفاده کرد.

اHAMدر اینجا هدف این است که مشخص کنیم ابهی ب میتواند پاسخ های مش به دست آورد.akroydسری

E و Lپارامترهای غیر صفر هستند برای تطابق دادن نرخ همگرایی

به دست می آید.HAMنیز از و

ا ود بد میشرایی در آن تاییه همگه ای کود وhمنطقایش داده می ش نم آن را نشان داد.hمیتوان با نمایش منحنی

و در واقع معادالت اصلی به صورت زیر حادث میشوند :

در زیر تعدادی از نمودارهای مقایسه ای را مشاهده می کنید:ه strainingمقایس factor(لا25 ( از lighthill الیتحیوپی به هوموت امین مرتب

مقدار دقیق

رده که مراجعود مقال برای اثبات همگرایی سری های هوموتوپی میشه به خرایه ای آن بای میلده و نمودارهرح داده شل ش که اثباتش به صورت کام

تعداد جمالت مختلف را مشاهده می فرمایید: :H وG وFبه ترتیب برای

هددی بل عری دوم و حادالت سده از معت آمه دس مقایسه حل تحلیلی ب G وF و Hصورت نمودار زیر آمده است: برای

نتایج و مباحثه:از-ارامتر مکش نی در پارامتر تزریق به تعداد تکرار های زیادی نسبت به پ

است و پارامتر مکش بهتر همگرا می شود.ه همینs=.56با -د بزایش می یابیار اف تعدادتکرار ها برای همگرایی بس

ه ای جهت برای حل سری ها در قسمت تزریق بهتره از رویکرد های دیگ استفاده شود.chebyshevمثال

ایج2 و 1از نفوذ مرتبه مقایسه پارامتر کشش -ا تریب ب تق به نمایش گذاشته شده است.1عددی در شکل

-=s و s=1 هوموتوپی برای حالت 25مقدار مطلوب معلوم شده از مرتبه -ده1ای باقیمان و تاثیر آنها در مراتب تقریب های مختلف نسبت به خطاه

رایی2در جدول د همگ به نمایش گذاشته شده است . که معلوم می کنهق بدینگونرای تزریه بالی ک سریع برای ساکشن اتفاق می افتد در ح

هم مشخص است.3نیست که در شکل رزی و-ه مخامت الید ضیزیکی ماننای ف با انتگرال گیری دیگر کمیت ه

ضخامت مومنتم به راحتی می توان استخراج شود.نتیجه گیری:

ا الهHAMدر این مقاله یک روش جدید در پیوستگی و ترکیب بل مسرای ح بvonغیرخطی الیه مرزی Neumannل درک دوار متخلخ جریان روی یک دیس

مکانیک سیاالت استفاده شد.بر عکس دیگر روش ها :

ولinjection و suctionراه حل هوموتوپی برای تمامی مقادیر -ل قب قاب طوالنی برای آنها نداریم.perturbationاست و نیازی به حل

وبی-یار خ حل تحلیلی و حل نمایی قابل اطمینان وون کارمن سازش بس را نشان می دهد.akroydبا جواب های حل عددی از روش

روش حل هوموتوپی نیازی به یکakroydعالوه بر آن در مقایسه با -روش تکرار ندارد.

ان-ه نشده ک برای حصول اطمینان بیشتر یک تئوری همگرایی فراهم شمی دهد سری های هوموتوپی به راستی همگرا هستند.

وب- حل های تحلیلی که در اینجا به دست آمد همچنین یک مبنای علمی خ برای تصدیق مقادیری که با محاسبات عددی که از روش های مختلف در

متن به دست آمده اند را فراهم می کند.

پایان