latihan 6.docx

Sitti Sabriati 081104080 C

Latihan 6

1. Tunjukkan bahwa grup ¿isomorpis dengan grup(G' ,×5 )=( {1,2 ,3 ,4 },×5)(+¿4 ¿ ,dan ×5 berturut-turut menyatakan penjumlahan modulo empat dan perkalian

modulo lima).

Jawab:¿

Pengaitan f :G→G' yang didefinisikan dengan f (a )×5=3a ,∀a∈G

merupakan fungsi (terdefinisi dengan baik).Untuk membuktikan dia isomorpis maka harus memenuhi sifat – sifat berikut :

∀a ,b∈G sebarang dengan f (a )=f (b)3a=3b atau a=b∀a ,b∈G dengan f (a )=f (b) maka a=b dengan kata lain f 1−1

∀ y∈G' sebarang maka y=3x ,∀ x∈Gf onto,a ,b∈Zmaka f ( x )=3x= y∀a ,b∈G berlaku f (a+b )=3a+b

¿3a .3b

¿ f (a )+f (b)Maka ketiga sifat terpenuhi,berarti ¿

2. Misalkan Z={…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 , .. } dan

Z'= {…,2−3 ,2−2 ,2−1 ,20 ,21 ,22 ,23 ,…} Tunjukkan :

a) ¿ dan (Z ' ,×) membentuk grup

b) ¿

Jawab :

a) ¿ dan (Z ' ,×) (2 ,−1) Jelas bahw apenjumlahan bilangan bulat (Z) adalah tertutup a ,b , c∈Z

berlaku a+ (b+c )= (a+b )+c maka memenuhi sifat asosiatif.

Karena ∃ e=0∈Z ,∋∀a∈Z berlaku a+0=0+a=a maka memiliki unsure identitas yaitu e=0 ,e∈Z.

Karena ∀a∈Z,∃a−1∈a+a−1= (−a )+a=0 maka Z memiliki unsur

invers .Jadi ¿ adalah grup.

Untuk (Z ' ,×) Jelas bahwa (Z ' ,×) tertutup karena ∀a ,b∈Z : a×b∈Z

Isomorpisma Grup


∀a ,b , c∈Z berlalu a× (b×c )=(a×b)×c maka memenuhio

sifat asosiatif.

Misalkan 2a∈Z ' , untuk setiap ∀a∈Z dan 20=1∈Z ' maka:

24×20=20×24=2a

Karena ∃ e=20∈Z∋∀20∈Z' maka berlaku

24×20=20×24=2a

Maka terdapat unsur identitas yaitu e=20=1 Karena ∀a∈Z ',∃a−1∋a .a−1=a−1 . a=1=20 maka 2 memiliki

invers

Jadi (Z ' ,×) adalah grup

b) ¿Buat pengaitan f :Z→Z' yang didefinisikan dengan baik.Untuk membuktikan

apakah f isomorpisma maka harus dipenuhi sifat berikut:

f 1−1

Ambil a ,b∈Z sebarang dengan f (a )=f (b)Maka 24×2bataua=bJadi ∀a ,b∈Z dengan f (a )=f (b) maka a=b dengan kata lain f 1−1.

Onto

Ambil y∈Z ' sebarang maka y=2x ,∀ x∈ZPilih x∈Z maka f ( x )=2x= y ,jadi onto.

∀a ,b∈Z berlaku f (a+b )=2a+ b

¿2a2b

¿ f (a )×f (b)c) Karena ketiga sifat tersbut tersebut terpenuhi maka terbukti ¿

3. Misalkan R = himpunan bilangan Real danR+ = himpunan bilangan real positif .

Tunjukkan ¿ dan ¿¿ adalah grup.

Jika ada pengaitan f a:R→R+¿¿ yang didefinisikan

f a (x )=ax∀ x∈R

Buktikan f a isomorpisma ( ∈R sebarang tetapi tetap ,a>0).

Jawab : ¿ dan ¿¿ adalah grup.¿

Bahwa ¿ tertutup karena ∀a ,b∈R maka a+b∈R ;a , c∈R berlaku

a+ (b+c )= (a+b )+c maka memenuhi sifat asosiatif.

∀a∋ e=0∈R ,∋∀a∈R berlaku a+0=0+a=a maka R memiliki unsur

identitas yaitu e=0 , e∈ R.

∀a∈R ,∃a−1∋a+ (−a )= (−a )+a=0 maka R memiliki pengaitan.

Isomorpisma Grup


¿

Bahwa ¿ tertutup karena ∀a ,b∈R+¿¿ maka ¿b∈ R+¿ ¿,a , c∈R+¿ ¿

berlaku a∗(b∗c )= (a∗b )∗c maka memenuhi asosiatif.

∃ e=1∈R+¿∋∀ a∈R+¿¿ ¿ berlaku a×1=1×a=a maka R+¿ ¿ memiliki unsur yaitu

e=1 , e∈R+¿¿

Karena ∀a∈R+¿ ,∃ a−1∋a .( 1

a )=(1a ).a=1¿ maka R memiliki invers.

¿¿ adalah grup.

¿

Pengaitan f a:R→R+¿¿ yang didefinisikan

f a (x )=ax∀ x∈Rf a merupakan fungsi (terdefinisi dengan baik).

Untuk membuktikan apakah f a isomorpisma maka harus memenuhi sifat

berikut:

Untuk x , y∈R sebarang dengan f ( x )=f ( y )ax=ay atau x= y

∀ x , y∈Rdengan f a (x )=f a( y) maka x= y dengan kata lain f 1−1

∀ y∈ R+¿¿ sebarang maka y=ax ,∀ x∈Rx∈ R maka f (x)=ax= yf ontoy∈R berlaku

f a ( y )=ax+ y=ax . a y=f a ( x )=f a ( y )Ketiga sifat terpenuhi maka terbukti bahwa ¿

4. Buktikan teorema 6.2

Jawab :Teorema 6.2

(G ,o )Isomorpis dengan ¿ dengan f fungsi ,maka peta dari unsur identitas di G

oleh f merupakan identitas di G’.

Grup (G ,o ) dan ¿ dengan (G ,o )≅ ¿f :G→G' ,f fungsi isomorpisnya.

e∈G dengan e unsur identitas di G.

f (e) yaitu peta dari e oleh f di G’.

Sebarang a '∈G' ,karena f satu-satu dan onto maka ada tunggal sehingga

f (a )=a' .e unsur identitas di G maka berlaku:a∘ e=e∘a=ae=0maka f (a∘ e )=f (a ) (f satu-satu)

Atauf (a )∗f (e )=f (a ) (f isomorpisma)

Isomorpisma Grup


a '∗f (e )=a' (f (a )=a' ¿a=amaka f (e ∘a )=f (a ) (f satu-satu)

f ( e )∗f (a )=f (a ) (f isomorpisma)

f ( e )∗a'=a' (f (a )=a' ¿Demikian diperoleh bahwa ∀a∈G ' berlaku f ( e )∗a'=a'∗f (e)=a' merupakan

unsur identitas di G’.


Jawab :

(G ,∘) grup dan G ' himpunan dengan opersi *. Jika ada yang memenuhi sifat

isomorpisma maka ¿ adalah grup.¿ asosiatif.

a ,b , c∈G sebarang maka ,

f (a∘ c )=f (a∘b )∗f (c ) (f isomorpis)

¿ f (a )∗f (b )∗f (c)¿

¿ f (a )∗f (b )∗f (c)Jika G grup maka:

(a∘b )∘c=a∘(b∘c ) sehingga

(a∘b )∘c=f (a∘ (b∘c ) )f (a )∗f (b )∗f (c )=f (a )∗f (b )∗f (c )¿¿ asosiatif.

Jika ¿ punya identitas

Karena G grup maka ∃ e∈G∋ f (e )=e ' dan identitas di G.

∃a'∈G 'Setiap elemen di G ' punya invers di G 'Ambil a∈G sebarang

f (a∘a−1 )=f (a−1∘a )=f (e )

f (a−1 )=f (a−1 )∗f (a )=f (e )f (a)∈G ' punya invers yaitu f (a−1 )f (a¿¿¿−1 )=f (a−1) ¿ membentuk grup.

6. Misalkan (G ,∘) dan ¿ masing-masing grup, dan juga misalkan f :G→G' isomorpipsma.

Buktikan bahwa t (a )=t (f (a ) )∀a∈G.

(t (a) adalah tingkat dari a di G).

Jawab :

Isomorpisma Grup


t (a )=t (f (a ) )∀a∈G

t (a )=mm adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga e=a∘a∘a ∙∙ ∙∘a=ef (a∘a∘a ∙∙ ∙∘a )=f (e )f (a )∗f (a )∗f (a ) ∙ ∙∙∗f (a )=f (e )

( f (a )m )=f ( e )dimana f (e) identitas di G.

t ( f (a ) )≤mf (a )<myaitu t ¿maka

f (a )k= f (e )f (a )∗f (a )∗f (a )=f ( e )a∘a∘a ∙ ∙ ∙∘a=f (e )f (a )k=f (e )ak=eMembuat kontradiksi dengan definisi awal bahwa ini adalah bilangan bulat

terkecil sedemikian sehingga am=ef (a ) .msehingga

f (a )=m

f (a )=t (a )¿ t ( f (a ) ) , ∀a∈G

7. Lengkapi bukti teorema 6.8

Jawab :Bukti teorema 6.8Jika grup siklik berorde sama ,maka grup tersebut isomorpisma.

G= (a )danG'=(b )dan0 (G )=0 (G' )=0

G= {a ,a2 , a3 ,…,an }G'={b1 , b2 , b3 ,…,bn }Fungsi f :G→G'

Dengan f (a¿)=b¿ , ∀a¿∈Gisomorpisma

fungsi

a i , a j∈Gsebarang denganai=a j , i= j

f (ai )=f (a j )¿bi

¿b j

¿ f (a j )Fungsi

Isomorpisma Grup


Merupakan f satu-satu:

a i , a j∈Gsdemikian sehinggaf (ai )=f (a j ) a i=a j

f (ai )=f (a j )b i=b j

i= j

a i=a j

F merupakn fungsi satu-satu.F onto:

∀ y∈G' maka

y=br untuk suatu br∈G'

ar∈G maka,

f (ar )=br

¿ y fungsi onto

a i=a j ∈G berlaku

(a¿¿ i∗a j)=f ¿¿ a i+ j ¿¿ f ¿ b i+ j ¿¿ f ¿ a i¿ . f (a j) merupakan isomorpisma.


Jawab :Teorema 6.10

G→G' homomorpisma

φ (e )=e' , edane ' masing-masing identitas di Gdan G'

f=G' sebarang maka ∃ x∈G∋φ ( x )=a'

a '=φ (e ) . φ ( x ) ¿φ (e . x ) ¿φ ( x ) φ (e ) . a'=a ' φ (e )a'

¿φ ( x ) ¿φ ( xe ) ¿φ ( x ) . φ (e ) ¿a 'φ (e )

φ (e )a'=a' (e ) ¿a 'aφ (e )=e '

Adib:

φ ( x−1 )=φ ¿

Isomorpisma Grup


x∈G sebarang, maka

x .e=x danx . x−1=e

x . x−1=e

Untuk x . x−1=φ (e )(x . x−1 ) . φ (x−1 )=φ (e ) karena G' grup dan φ ( x )∈G' maka

(x . x−1 ) . φ (x−1 )=φ (e ) , φ (e ) (det di G ').Diperoleh

p ( x )φ (x−1 )=φ ( x )φ (x−1 ) φ (x−1 )=φ(x )−1 pencoretan kiri

sehingga φ (x−1 )φ ( x )−1∀ x∈Gadib φ (G )<G'

adit φ (G )≠∅pilih e∈G maka φ (e )=e' dan e '∈φ (G ) maka φ (G )≠∅adit φ (G )∈G'

ambil ¿∈φ (G ) sebarang maka ∃a∈G∋φ (a )=x

jadi φ (a )∈G'

x∈G' maka φ (G)≤G' Jika φ ( x ) , φ ( y )∈φ (G ) x , y∈GMaka :

φ ( x )φ ( y )−1=φ (x )φ ( y−1) ¿φ (xy−1)

x∈G dan y∈GKarena Ggrup dan y∈Gmaka y−1∈Gx∈G , y−1∈G

Jadi xy−1∈G

φ (xy−1)∈φ (G ) Sehingga φ ( x )φ ( y )−1<φ (G )Karena s<G maka e∈ sdan e∈G(e det diG)

e∈ s→φ (e )∈φ (s ) Jadi φ ( s )≠∅φ ( s )≤φ (G ) x∈φ ( s ) sebarang maka ∃a∈ s∋φ (a )∈Gs<G∈→a∈G

φ (a )∈φ (G ) x∈φ(G) φ ( s )≤φ (G ) x , y∈φ (s ) xy−1∈φ ( s )

Isomorpisma Grup


Maka ∃a ,b∈ s∋φ (a )=x ,φ (b )= y

b∈ s , S adalah grup maka b−1∈ s dan ab−1∈ s

f (b−1 )= y−1 maka

xy−1=φ (a )φ ((b )−1 ) ¿φ (a )φ (b−1 ) ¿φ (ab−1 ) ,karena ab−1∈ s φ (ab−1 )∈φ ( s)

x y−1∈φ (s ) φ ( s )<φ (G ) atau φ ( s ) subgrup dari φ (G)

Jika T ∆G maka φ (T )∆φ (G )Buktikan jika T ∆Gmaka

Juga subgroup dari φ (e )(n )φ (T )φ (g )−1∈φ (T ) (T )φ (g )−1=φ (g )φ (T )φ (g )−1

¿φ ( (g )−1 (g )−1) T ∆G maka

∈T ∀ g∈G

T φ (g )−1∈φ (T ) sehingga:

φ (g )−1∈φ (T ) ∀φ (a )∈φ (a ) (T )φ (a )−1∆φ(G)


Jawab :

G→G' suatu homomorpisma dan

G→G' : {g∈G;φ (a )=e ' , e 'unsur identitasdiG'} v (φ ) merupakan subgroup normal dari G

G dan G' masing-masing grup dan

φ :G→G ' suatu homomorpisma

n∈ e unsur identitas di G dan e ' unsur identitas di G'sesuai definisi

Ker (φ )={g∈G ,φ (a )=e ' } dan φ suatu homomorpisma.

Menurut teorema 6.10 φ (e )=e'. Ini brerarti e∈ ker (φ ).Ker (φ )≠∅ dan jelas ker (φ )⊆G

Ambil sebarang a ,b∈ ker (φ )φ (a )=e ' dan (φ )b=e'

φ (ab−1 )=φ (a )φ (b−1 )¿φ (a ) [φ (b ) ]−1

(teorema 6.10)

¿e ' (e' )−1

Isomorpisma Grup


¿e '

Menunjukkan bahwa ab−1∈ ker (φ )a∈ ker (φ ) , b∈ ker (φ )makaab−1∈ ker (φ )ker (φ )<G…………………(1)

Akibatnya ,jika diambil sebbarang g∈Gdan k∈ ker (φ ) maka

φ (gk g−1 )=φ (g )φ (k )φ (g−1)¿φ (g ) e ' [φ (g ) ]−1

¿e '

Menunujukkan bahwa ∀ g∈G ,gk g−1∈ker (φ )atau dengan

ker (φ )∆G ………………(2)

ker (φ )∆G


Jawab :

G dan G' masing-masing grup dan φ :G→G ' suatu epimorpis.

maka:

ker (φ )∆GGK≅G'

di mana k=ker (φ )

ker (φ )∆GAdit ker (φ )≠∅Ambil e∈G ,eidentitas di Gmaka

ker (φ )≠∅ karena φ (e )=e ' dan e∈ ker (φ )Adit ker (φ )⊆G

Ambil: x∈ ker (φ ) maka

φ ( x )=e' ,∀ x∈Gker (φ )⊆G

∀a ,b ,∈ker (φ )berlakuab−1∈ ker (φ ) ∀a ,b ,∈ ker (φ ) φ (a )=e ' danφ (b )=e'

φ (ab−1 )=φ (a )φ (b−1 )¿e ' (e )−1

¿e '

ab−1∈ ker (φ )ker (φ )<GAmbil g∈Gsebarang dank∈ ker (φ ),maka:

φ (gk g−1 )=φ (g )φ (k )φ (g−1)

Isomorpisma Grup


¿φ (g ) e ' [φ (g ) ]−1

¿e '

∀ gk g−1∈ ker (φ ) ∀≫∈G maka ker (φ )∆GGK≈G'

di mana k=ker (φ )

Fungsi f :GK→G'

dengan

φ (a ) ,∀a∈G

Ambil f fungsi

Bila ka ,kb∈GKdenganka=kb

f ( ka )=f (kb ) Karena k<G danka=kb→ab−1∈ k

φ (ab−1 )=e '

φ (a )φ (b−1)=e '

φ (a )φ (b−1)φ (b )=e ' φ (b )φ (a ) e'=φ (b )φ (a )=φ (b )f ( ka )=f (kb )f merupakan fungsiadib : f fungsi satu-satu

ambil kb∈GK,a ,b∈G f (ka )=f (kb )

adib : fungsi satu-satu pandang:

f ( ka )=f (kb )φ (a )=φ (b )(a)φ(b¿¿−1)=φ (b)φ(b¿¿−1)¿¿φ (a)φ(b¿¿−1)=e ' ¿

φ (ab−1 )=e'

jadi ab−1∈kk<G danab−1∈ k maka ka=kbFungsi satu-satu f onto

g∈G' jadi y=φ (a ) untuk satu a∈G

f ( ka )∈GK,a∈G maka

φ (a )=φ (b )¿ y

Isomorpisma Grup


Adalah fungsi yang onto

Jadi ka ,kb∈GK

berlakuf ( ka ) f (kb )=f ( ka ) . f (kb )

Di mana :

f ( kb )=f (k (ak (b ) ) )¿ f (k (ka (b ) ) )¿ f (kk (b ) ) ¿ f ( kab )¿φ (ab)

φ epimorpisma maka φ (ab )=φ (a )φ (b )¿φ (a )φ (b )¿ f ( ka ) f (kb )

k adalah isomorpisma dariG' maka G /K ≅G

11. Buktikan bahwa invers dari isomorpisma adalah isomorpisma

Jawab :G’ adalah grup dariG’ adalah isomorpismaFungsi

∀a ,b∈G' dengana'=b'

f−1 (a' )=f−1 (b' ) f−1 (a' )∈G'maka∃ x∈G∋ f (x )=a'→f−1 (a' )=x

f−1 (b' )∈G'maka∃ y∈G∋ f ( y )=b '→f −1 (b ' )= y

f ( y ) : f fungsi yang satu-satu maka ∀ x , y∈Gf ( x )=f ( y )maka x= y

f−1 (b' ) merupakan fungsi

f−1 satu-satu

a ' , b'∈G' dengan f −1 (a ' )∘ f −1 (b' )a '=b'

a '∈G'maka∃ x∈G∋ f ( x )=a'→f−1 (a' )=x

b '∈G'maka∃ y∈G∋ f ( y )=b'→f −1 (b' )= y

f−1 (a' )=f−1 (b' )x= y

F fungsi maka ∀ x , y∈Gdengan x= y maka

f ( x )=f ( y )a '=b'

f−1 fungsisatu-satu

Isomorpisma Grup


f−1 fungsi onto

x∈G sebarang maka ∃a'∈G'∋ f−1 (a' )=x

a '∈G'maka

f−1 (a' )=x

∀a' , b'∈G'berlaku f−1 (a'b ' )=f−1 (a' ) . f−1 (b' )a '∈G' ∃ x∈G∋ f ( x )=a'→f −1 (a ' )=x

b '∈G' ∃ y∈G∋ f ( y )=b' f−1

(b' )= yF isomorpisma maka

( xy )=f ( x ) f ( y )( x )=a'b '

f−1 (a' b' )=xy

f−1 (a' b' )=f−1 (a' ) f −1 (b ' )f−1 merupakan fungsi yang isomorpisma .

13. G,G’ grup dan ρ: G → G’ homorpisma.

Buktikan ρ monomorpisma jika dan hanya jika Ker(ρ)={e } (dimana e unsure

identitas di G).

Jawab :

Monomorpisma → Kerp(ρ) ={e } G’ ∈ ker(ρ) sebarang maka

e’ dimana e’ adalah identitas di G’

ρ(e) karena ρ{e }=e’

p monomorpisma maka p fungsi satu-satu dan ∀a,b ∈ Gp(a) =p(b) → a = b

= p(e)= e

Setiap elemen di ker(ρ) sama dengan identitas

Ker(ρ)={e }Bukti dari kanan ke kiri

Ker(ρ) = {e } ❑⇒ p monorpisma

a,b ϵ G dengan f(a)=f(b) maka a=bf(a) =f(b)

f(a)f (b)−1 = f(b)f (b)−1

f(a)f (b)−1 = f(e)

f (ab¿¿−1)¿ = f(e)

f(ab¿¿−1)¿ = e’

b−1 ϵ ker(ρ) dank arena ker (ρ) ={e } , maka :

ab−1 = e

Isomorpisma Grup


ab−1b = eb

ae = ba = b

fungsi satu-satu , dengan demikian pernyataan diatas terbukti.

14. Buktikan akibat 6.15.

Jawab :Subgrup normal dari grup G dan G/H grup Faktor,maka ada epimorpisma φ : G → G/H (G≅ G/H).

Sehingga : G→ G/H dengan φ(a) = Ha ∀ a ϵ Gφ fungsi

a,b ϵ G sebarang dengan a = bφ(a) = φ(b)

φ(a) = Ha= Hb (a=b)

φ(a) = φ(b)

φ merupakan fungsi

φ onto

Ha ϵ G/H maka ∀ a,b ϵ G jadi φ = (a)(b)a ϵ G dan b ϵ G maka a,b ϵ G jadiφ(ab) = HabMaka H ¿ G maka HH = Hφ(ab) = (HH)ab

= H(Ha)b asosiatif= H(aH) H ∆ G, a ϵ G= (Ha)(Hb) asosiatif

φ(ab) = φ(a)φ(b)Karena ketiga sifat diatas terpenuhi , maka epimorpisma G = G/H

15. Misalkan C himpunan bilangan kompleks C0 = C \ {0 } dan R+¿ ¿ himpunan

bilangan real positif dengan operasi perkalian .

a) Tunjukkan f : C0 →R+¿¿, dengan f(z) = |z|, ∀ z ϵ C0 adalah

epimorpisma.b) Tentukan Ker(f)

(|z| = modulus z , yaitu jika z = x + yi, maka |z| = √ x2+ y2 )

Jawab :

a) Hanya perlu ditunjukkan bahwa (C0 ,x) membentuk grup

∀ x,y ϵ R (sebarang)

x = a + bi, untuk suatu a,b ϵ Ry = c + di, untuk suatu c,d ϵ R

Isomorpisma Grup


xy = (a + bi)∙(c + di)= ac + adi + bci – bd= (ac – bd) + (ad + bc)i

Karena ac – bd dan ad + bc elemen R maka x.y ϵ (C0)

(C0) tertutup

Ambil x , y , z ϵ Z0 sebarang

C0 = (x.y)z = x(y.z)

misal x = a + bi , untuk suatu a,b ϵRy = c + di, untuk suatu c,d ϵ Rz = e + fi, untuk suatu e,f ϵ R

(x.y)z = {(a+bi )(c+di)} e + fi

= {ac+adi+bci+bd }(e + fi)

= (ac)e + (ac)(fi)+(adi)e+(adi)e(fi)+(bci)e+(bci)(fi)+(bd)e+(bd)(fi)

= a(ce) +a(cfi) + a(di)(fi) + (ad)(ce) + (efi) +(bi)(dei) + (bi)(di)(fi)

= (a + bi){( ce+cfi )+(di ) (fi )+ce+cfi+dei+(di )( fi)}= (a +bi){( c+di)(e+ fi)}

(x.y)z = x(y.z)

(C0 , x) bersifat asosiatif

∀ x ∈ R , 0 ϵ R ∋ 0 + bi = 1 + oi = 1

Dengan c,d ∈ R ∋ (c +di)1 = 1(c +di) = (c + di)

Di C0 terdapat identitas yaitu

Terdapat invers di G yaitu ( a

a2+b2 ) - ( b

a2+b2 ) ∈ G

Karena ∀ a,b ∈ R ∋ a + bi maka :

(a+bi) [( aa2+b2 )−( b

a2+b2 )1]a2

a2+b2 + ab2

a2+b2 - abi

a2+b2 + b2

a2+b2

Maka :

[ a2

a2+b2 −( ba2+b2 ) i] (a + bi)

a2

a2+b2 + ab2

a2+b2 - abi

a2+b2 + b2

a2+b2

(a + bi) punya invers di C0

(C0, x) membentuk grup

Isomorpisma Grup


Telah ditunjukkan bahwa (R+¿ ¿,x) membentuk grup, maka f : C0 →R+¿¿

epimorpisma.b) Telah ditunjukkan bahwa (R+¿ ¿,x) membentuk grup, maka :

(z) =|z|, , ∀ z ϵ C0

akan dibuktikan f fungsi :ambil (z1) = f(z2)

ambil z ,z2 ϵ C0 sebarang dengan z1 = z2

akan dibuktikan: f(z1) =f(z2)Maka:

f(z1) = |z 1|=|z 2|

f(z1) = f(z2)Jadi f fungsiUntuk f fungsi ontoAmbil a ∈ R+¿ ¿ sebarang, maka :

X ∈ C0 yaitu :

Z = a

√2 +

a

√2 i

Jadi ,

Z = |x|

= √( a

√2 )2

+( a

√2 )2

= aFungsi onto

Akan dibuktikan : ∀ z1, z2, ∈ C0 berlaku f (z1,z2) = f(z1)f(z2)

(z1 , z2) = |z 1, z 2|= |z 1||z2|= f(z1)(z2)

Jadi, karena sifat diatas terpenuhi ,maka epimorpisma.=¿ identitas di R+¿ ¿

= {( z∈C0 , f ( z )=1 ) }= {z∈C0 ,|z|=1}

16. Misalkan K dan L subgroup normal dari grup G dan misalkan H suatu subgrup dari G, yang memenuhi H∩ K = H ∩ L .Tunjukkan bahwa (HK)/K ≅ (HL)/L.

Jawab :Misal H ¿ GMenurut hukum III homomorpisma :(HK)/K ≅ H/( H∩ K)Untuk H < G

Isomorpisma Grup


Menurut hukum III homomorpisma, maka (HL)/L ≅ H/(H ∩ L)≅ H/( H∩ K)≅ H/(H ∩ L)

H∩ K = H ∩ LIsomorpisma memenuhi sifat simetri, maka :

(HL)/L ≅H/(H ∩ K) ❑⇒ H/( H ∩ L)≅ (HL)/L

Isomorpisma memenuhi sifat transitif dan(HL)/L ≅H/(H ∩ K dan H/( H ∩ L)≅ (HL)/L

17. Buktikan bahwa Int(G) merupakan subgroup normal dari Aut (G).

Jawab :Ambil k ∈ Int(G) dan g ∈ Aut(G), maka :

(gkg−1) = φ (g )φ (k )φ(g−1)=φ (g ) e 'φ (g−1)=φ (g )φ (g−1)=g−1 ¿ karena automorpisma

=g−1 g=e’

(G) ∇ Aut(G)

19. Lengkapilah bukti teorema 6.24

Jawab :Jika n grup , maka himpunan semua automorpismadari c

G =: {φlφ :G→Gautomorpisma } membentuk bilangan operasi komposisi fungsi.

Aut(G) = {φ :G→Gauotomorpisma }Aut(G,0) dimana a adalah operasi komposisi fungsi Aut((G),0) grup Tertutup

Misalkan f dan g ∈ A(G) sebarang ∀ a, b ∈ G( g∙ f ) (ab) = g (f (ab))

= g [f(a) f(b)]= g (f(a) g(f(b))= (g ∙ f ) (a) (g ∙ f ((b)

∀ f ∈ ∇ (G), g ∈ A(G)→( g ∙ f ) ∈ A (G)Berlaku sifat tertutup.

Berlaku sifat asosiatif karena merupakan komposit automorpisma pada G didefenisikan:

I = G→G , I(x) = x, ∀ x ∈ GSehingga I ∈ (G)( f ∙ g ) (a) = f(I(a)) = f(a) ∀ a ∈ G

Isomorpisma Grup


( f ∙ g ) (a) = I (f(a)) = f(a) ∀ a ∈ Gsehingga :f ∙ I = I ∙ f = f , ∀ A(G)Terdapat unsur identitas di p(0)Misalkan f elemen A(G) sebarang

Terdapat f−1 sebarang

Misalkan a’,b’ elemen sebarang dari G dan f onto dan f satu- satu ∋ a,b ∋ f(a) = a’ dan

f(b) = b’, jadi f−1(a’) = a dan f−1(b’) ❑⇒ a = b

❑⇒

f(a) = f(b)

❑⇒

a’ = b’

Jadi f−1 satu-satu

Jika a ∈ G sebarang dan f(a) ∈ G, Maka korespondensi masing-masing a ∈ G ∋ sebuahElemen f(G) di G

F (a) = a sehingga f−1 onto

Sebarang

f−1 (a’b’) = f−1[f(a) f(b)]

=f−1[f(ab)]

= ab

=f−1(a’) f−1(b’)

(f−1 ∙ f)(a) = f’(f(a)) = a = I (a) ∀ a ∈ G

(f−1 ∙ f)(a) = f((f−1(a)) = a = I(a) ∀ a ∈ G

Sehingga f−1 ∙ f = f ∙ f −1 = I

Disetiap elemen di A(G) memiliki invers di (A(A(G)),o) adalah grup.

Isomorpisma Grup

latihan 6.docx

Documents