latihan uts
DESCRIPTION
Untuk Latihan UTS 2014TRANSCRIPT
-
5/28/2018 Latihan UTS
1/95
DIKTAT MATA KULIAH DASAR TEKNIK
2010 - 2011
Kalkulus - Aljabar Linier- Fisika Mekanika -
Fisika Panas - Fisika Listrik Magnet - Fisika
Gelombang Optik
Piptek BEM FTUI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
2/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, berkat izin dan ridha-Nya diktat kuliah ini dapat
dipersembahkan kepada rekan-rekan teknik satu perjuangan dan satu cita, menggapai
kesuksesan akademik di bumi Fakultas Teknik Universitas Indonesia.
Diktat Mata Kuliah Dasar Teknik 2010-2011 ini berhasil disusun atas kerja sama dan
partisipasi segenap pihak. Untuk itu, diucapkan terima kasih kepada :
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Sipil, TrianandaPangestu (S 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Mesin, GuniRydhanta Nim (M 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Elektro, KurniawanWidhi Permana (E 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Metalurgi danMaterial, M. Ekaditya Albar (Mt 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Arsitektur, Imaniar Sofia(A 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Kimia, IlliyinBudianta (TK 08) dkk
- Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Industri, StefanDarmansyah (TI 08) dkk
- Pihak dekanat FTUIRekan Piptek BEM FTUI 2010 : Maisarah Rizky (S08),Novika Ginanto (E08), Arif
Noor S (E08), Mirna Fauziah (S08), Winny Laura Hutagalung (L08), Terry
Atmajaya (Mt08), Nur Muchamad Arifin (TK08), Nofaini (E09), Atikah Mutia
(L08),
- dan seluruh pihak yang telah menyukseskan pengadaan diktat ini.
Dari kami, Tri Cahyo Wibowo M07 selaku Kepala Bidang PIPTEK BEM FTUI 2010 dan
Mohammad Gavin Rhenaldi R E08 selaku wakabid, mengharapkan diktat ini dapat
membantu kelancaran rekan-rekan semua dalam menimba ilmu di Fakultas Teknik
Universitas Indonesia.
Hidup Mahasiswa!!
-
5/28/2018 Latihan UTS
3/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
4/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
5/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
6/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
7/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
8/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
9/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
10/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
11/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
12/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
13/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
14/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
15/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
16/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
17/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Kalkulus
Hari / Tanggal : Rabu, 19 Desember 2007
Waktu : 10.0011.50 WIB
Jurusan : Teknik Kimia
Soal
1. Tentukan2. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh , , dan . Hitunglah luasnya!3. a) Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah pada soal 1 diputar terhadap
sumbu x!
b) Berikan perumusan bentuk integral untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk
apabila daerah tersebut diputar terhadap garis x = 2!
4. Tentukanlah nilai limit berikut ini:a)b)
5. a) Fungsi bernilai 0 di (0,0). Apakah fungsi tersebut kontinu di (0,0)?
b) Jika kontinu di seluruh bidang, tentukan fungsi !
c) Tentukan nilai6. Misalkan , , , , tentukanlah
!
7.
Harga bahan untuk pembuatan alas dari kotak persegi panjang adalah 3 kali lipat harga bahanuntuk pembuatan sisi kotak; untuk per m2. Harga bahan untuk atap sama dengan harga bahan
untuk sisi, per m2. Tentukanlah volume maksimum kotak yang terbentuk jika harga bahan untuk
alas adalah $0.6 per m2, dan total biaya yang tersedia adalah $12!
-
5/28/2018 Latihan UTS
18/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Jawaban
5. c) Misal
Karena hasilnya adalah , maka dapat digunakan dalil lHopital menjadi:
6.
-
5/28/2018 Latihan UTS
19/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN TENGAH SEMESTER
Mata Kuliah : Kalkulus
Hari / Tanggal : Kamis, 25 Oktober 2007
Waktu : 90 Menit
Jurusan : Arsitektur, Mesin dan Perkapalan
Soal
1. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36000 m3. Jika panjang kotak harus dua kalilebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang diperlukan untuk membuatnya sesedikit mungkin?
2. Tentukan nilai a dan b supaya fungsi di bawah ini kontinu
3. Carilah hasil dari integral di bawah ini:a.b.
4. Pada selang [0,6], sketsakan grafik suatu fungsi f yang memenuhi kondisi berikut:f(0) = f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0;
f(x) > 0 pada (0,2); f(x) < 0 pada (2,4) (4,6);
f(2) = f(4) = 0; f(x) > 0 pada (0,1) (3,4);
f(x) < 0 pada (1,3) (4,6).
a. Tentukan titik maksimum dan minimum global dari fb. Selidiki apakah f mempunyai titik belok
5. Carilah dari soal berikut:a.b.
-
5/28/2018 Latihan UTS
20/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
21/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Rabu, 31 Mei 2006
Waktu : 120 menit (Ujian : pilih 5 soal)
SOAL :
1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}Jika V adalah ruang vector yang direntang oleh S, maka carilah dimensi basis untuk V
2. Misalkan {v1, v2, v3) adalah basis untuk ruang vector V. Tunjukkan bahwa {u1, u2, u3} jugamerupakan basis untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3
3. Diketahui M22adalah ruang vector. Apakah M22dengan fungsi = Tr (BTA) umtuksetiap pasang matriks A dan B merupakan ruang hasil kali dalam?
4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}
Jika [u]B= (3, 3)
a. Carilah [u]Cb. Carilah matriks transisi dari B ke C
5. A =
a. Cari nilai eigen untuk A.b. Apakah A dapat ddiagonalisasi? Jika bias, carilah matriks P yang mendiagonalisasi
A.
c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika bias, carilah matriks Q yangmendiagonalisasi A secara orthogonal.
6. Diketahui vector eigen untuk masing-masing adalah sebagai berikut := 0 ; = 2 ; = 4
Tentukan A2 !
I
-
5/28/2018 Latihan UTS
22/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
7. Misalkan T : M22 M22adalah suatu transformasi yang didefinisikan sebagaiT (A) = A + AT, dimana A =
a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.b. Misalkan B adalah sembarang anggota dari M22sedemikian sehingga BT= B. carilah
matriks A di M22sedemikian sehingga T (A) = B
c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan B di M22yang memiliki sifatBT= B
d. Tentukan kernel dari T
8. Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan sebagaiT(p(x)) = x p (x3), dimana p(x) = c0+ c1x + c2x
2.
B = {1, x, x} adalah basis untuk P2, = {1, x, x2, x3} adalah basis untuk P3
a. Tentukan [T]B Bb. Jika q(x) = 2 + xx2, maka carilah [T(q(x))]B
-
5/28/2018 Latihan UTS
23/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
JAWABAN :
1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}
Karena vektor-vektor yang ada di Sdisusun kolom, maka basis untuk Vadalah baris kolom.
Baris V = (2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2)
Dimensi : 3
2. S = { 1, 2, 3} baris untuk ruang V
T = { 1, 2, 3} juga merupakan baris untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3
S = { 1, 2, 3} basis untuk ruang V, maka :
i. S bebas linierii. S merentang V
Jika kita mengacu pada S dengan jumlah 3 vector, maka bias diasumsikan . dan 3vektor
pada R3, dimana determinan matriksnya 0
Maka,k1 1 + k2 2 + k3 3 = .. (i)
k1k2k3 = 0
misal :
1 = (a, b, c)
2 = (d, e, f)
dimana salah satu vektornya bukan merupakan
kombinasi vector lainnya
-
5/28/2018 Latihan UTS
24/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
3 = (g, h, i)
A= dimana 0 . (ii)
aei + dhc + gbfcegfhaibd 0
aei + dhc + gbf ceg + fha + ibd
T = { 1, 2, 3} = { 1 , ( 1 +
2 ), ( 1 +
2 + 3 )}
Kita harus buktikan { 1, 2, 3} bebas linier.l1 1+ l2 2+ l3 3=
l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )=
(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3=
Dari pers (i) bisa terlihat :
l1 + l2 + l3= 0 ; l2 + l3= 0 ; l3 = 0
maka,l2= - l3= 0
l1= - l2 - l3= 0
Jadi terbuktil1 = l2 = l3 = 0
Dengam demikian, syarat bebas linier terpenuhi
S merentang Vk1 1 + k2 2 + k3 3 = b ; b = konstanta 0 .. (iii)
ada nilai untuk k1, k2, dan k3
tinjauan untuk{ 1, 2, 3}
l1 1+ l2 2+ l3 3= c ; c = konstanta 0
l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )= c
(l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3= c
Dari pers. (iii) dapat dinyatakan
l1 + l2 + l3= memiliki nilai
l2 + l3 = memiliki nilai
l3= memiliki nilai
Jadi, l1, l2 dan l3memiliki nilai yang dapat merentangkan ruang vector V (sembarang
titik di ruang vector V)
-
5/28/2018 Latihan UTS
25/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
3. M2x2suatu ruang vectorApakah = Tr (BTA) ruang hasil kali dalam?
Jawab : Untuk menentukan masuk ruang hasil dalam / tidak harus terpenuhi syarat2 :
i.( . ) = ( , )ii.( + , ) = ( ) + ( , )
iii.(k , ) = k ( , )iv.( , ) 0
Dimana ( , ) = 0 =
Kita misalkan : A = ; B = ; AT= ; BT ;
BT. A = =
AT. B = =
i. = Tr (BTA)= Tr = +
= Tr (ATB)
= +
Ternyata = , syarat I terpenuhi
ii. = +
A + B = ; misal C = CT=
CT. A = =
CT. B = =
= Tr (C
T
A) =
-
5/28/2018 Latihan UTS
26/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
= Tr (CTB) = + +
=
= Tr (CT(A+B))
CT(A+B) = =
Tr (CT(A+B)) = +
Jadi, = + , syarat II terpenuhi
iii. k A == Tr (BT. k A)
(BT. k A) = =
= +
= k (ae + cg + bf + dh)
= k BT. A = k.
Syarat III terpenuhi
iv. 0= Tr (A
T
. A)AT. A = =
= a2+ b2+ c2+ d2 0
Syarat tambahan = 0 A = 0
Dari = a2+ b2+ c2+ d2, akan = 0 jika A =
Syarat IV terpenuhi
Karena semua syarat terpenuhi, maka M2x2merupakan ruang hasil kali dalam.
4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}
[u]B= (3, 3) = (k, l)
a) Carilah [u]C= (m, n)[ ] = k + l
-
5/28/2018 Latihan UTS
27/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
= 3 + 3
[ ] =
[u]C= (m, n)
[u] = m + n
m + n
-m + 2n = 3 2n = 3+m
-m = 15 n = = = -6
m = -15
[u]C= (m, n) = (-15, -6)
Jadi, [u]C= (-15, -6)
b) Martriks transisi dari B ke CB . [u]B = C [u]C
=
-1 =
P = matriks transisi dari B ke C
P =
=
=
Jadi matriks transisi dari B ke C adalah P =
-
5/28/2018 Latihan UTS
28/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
5. A =a. carilah nilai eigen untuk A
(A - I) x = 0
(A - I) = - =
(1 - )2= (1 - 2 + 2- + 2 2- 3) = - 3+ 3 2- 3 +1
= 0
(1- )(1- )(1- ) + 0 + 0((1- ) + 0 + 0) = 0
- 3+ 3 2- 3 +1 + 4- 4 = 0
3- 3 2 +3 = 0
Metode Horner
1 1 -3 -1 3
1 -2 -3
-1 1 -2 -3 0
-1 3
3 1 -3 0
3
1 0
( - 1) ( + 1) ( - 3) = 0
= 1; = -1; dan = 3
Jadi nilai eigen A adalah = 1; = -1; dan = 3
b. apakah A dapat didiagonalisasi
i. = 1(A - I) x = 0 2 x1= 0 x1= 0
= 0 2 x3 = 0 x3= 0
x2= t (bebas sembarang)
-
5/28/2018 Latihan UTS
29/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
x = = t
P1 2 x1 = -2 x3 (x3= t)
x1= -t
ii. = -1(A - I) x = 0
= 0 2 x2 = 0 x20
x = = t
P2
iii. = 3(A - I) x = 0 -2 x1+2 x3= 0 x1= x3
= 0 x3 = t x1=t
-2x 2= 0 x2= 0
x =
= t
P3
P = matriks yang mendiagonalisasi
P =
P =
Jadi, matriks A dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalkannya, yaitu P =
-
5/28/2018 Latihan UTS
30/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal?
Syarat diagonalisasi secara orthogonal adalah :
- A = n x n- Asimetris, AT= A
Dapat kita lihat disini A = AT= , jadi A simetris, Anxn. Sehingga A dapat
didiagonalisasi secara orthogonal.
6. = 0 ; = 2 ; = 4
Misal : A =
A - I =
(A - I) x = 0
1= 0; = 0 a=0; d=0; g=0 ; b, c, e, f, h, i = sembarang
2= 2; = 0 b=c ; c=f+2 ; h=i-2
3= 4; = 0 b+c=0; 2c=0; c=0;b=0
f= 1; e= 3; h=1; i=3
A = ; A2= =
-
5/28/2018 Latihan UTS
31/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
7. T: M22 M22T(A) = A + AT; A = ; AT =
a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.
Untuk T sebagai transf.linier, harus memenuhi syarat :
- T ( + ) = T ( ) + T (
)
- T (k ) = k T (
)
A = ; AT =
B = ; BT =
i. T(A) = A + AT= + =
T(B) = B + BT = + =
T(A) + T(B) = + =
A + B = ; (A+B)T=
T (A+B) = (A+B) + (A+B)T= + =
Jadi, T(A) + T(B) = T (A+B) ; syarat I terpenuhi
ii. k (A) = k =[k (A)]T=
T (k A) = [k(A)] + [k(A)]T= + =
T(A) = A + AT=
k T(A) =
Jadi, k T(A) = T (k A)
Sehingga T adalah transformasi linier
-
5/28/2018 Latihan UTS
32/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
b. Misal : R sembarang angora M22sedemikian sehingga BT= B
B = BT= B
T(A) = B
A + AT=
@ kondisi I : Jika A juga memiliki sifat AT= A, maka A + AT= 2AT= 2A
2 A =
A =
@ kondisi II : Jika A tidak simetris
T(A) = B A = T-1(B)
= (B + BT)-1
A = (2B)-1
c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan
T(A) = B
A + AT= B
= B BT= ; B=BT
Range/hasil dari T
Jadi, terlihat bahwa range dari T adalah himpunan B di M22bersifat BT= B
-
5/28/2018 Latihan UTS
33/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Rabu, 6 Juni 2007
Waktu : 110 menit (Ujian : Pilih 4 soal)
SOAL :
1. Diketahui
a. Tentukan basis untuk ruang kolom Ab. Tentukan basis untuk ruang kolom ATc. Tentukan basis untuk ruang kosong AT
2. V adalah ruang vektor yang direntang oleh ,, , dan
a. Tentukan basis untuk Vb. Tentukan basis untuk
3. Tentukan dekomposisi QR dari
4. Diketahui
a. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari Ab. Apakah A bisa didiagonalisasi secara ortogonal? Jika bisa, maka tentukan matriks yang
mendiagonalisasi A secara orthogonal.
5. Suatu transformasi T : P2 P2adalah transformasi linier, dimana
, adalah basis dari P2
a. Tentukan matriks transisi dari B ke Cb. Tentukan matriks trnsformasi [T]C nc. Jika , tentukan [T(u)]B
II
-
5/28/2018 Latihan UTS
34/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
6. Misalkan T : P1 R2, dimana T(p(x)) = (p(0),p(1)).a. Hitung T(1-2x)b. Apakah T merupakan transformasi linier? Jelaskan!c. Apakah T satu-satu? Jelaskan!
JAWABAN :
1.
AT=
a. baris ruang vector kolom A = baris ruang baris AT
= (2, -3, 4, 1), (6, 3, 12, 1) dan (-1, 0, -2,0)
b. baris ruang kolom AT= (2, 6, -1, 3), (-3, 3, 0, 6) dan (1, 1, 0, 2)
c. baris ruang kosong
=
x3= t;x4= 0;
x2= - x4= 0; = =
x1-3x2+2x3+x4= 0;
x1= -2x2=-2t
Basisnya = (-2, 0, 1, 0)
-
5/28/2018 Latihan UTS
35/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
2. V = ), (
), ), (
)}
Jika p(x) = a0+a1x+a2x2+.+ anx
n
P(x) = =
Sehingga V = {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2), (1, 2, 2, -1)}
Basis untuk V ? kita susun secara baris
V =
a.basis V = basis dari ruang baris vector V yaitu : {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2)}ataudapat dituliskan secara kuadatik :
6x + 2x2+ x3+, -1+ 6x + 3x3, 1 -4x -2x3
b.Baris V = baris ruang kosong V
=
x1 +2 x2 + 2 x3 -x4= 0
x2 + x3+ x4= 0 maka ; = = t
x3 - x4= 0 basis = (0, - , 1, 1)
x4 = x3 = t = - x + x2+ x3
x2+ (t) + (t) = 0 x2= -1/2 t
x1+2 (-1/2t) + 2 (t)t = 0
x1=0
-
5/28/2018 Latihan UTS
36/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
3. B =
Q =
Gram-Schmidt :q1= (1, 2, 3)
q2= (1, 0, 2)Projq1(1, 0, 2)
= (1, 0, 2) (1,2,3)
= (1, 0, 2) - (1,2,3)
= (1, 0, 2)( , 1, )
= ( )
q3 = (-2,1,0)Projq1(-2,1,0) + Projq2(-2,1,0)
= (-2,1,0) - (1,2,3) +
= (-2,1,0) - ( 0 + )
= (-2,1,0) +
= (-2,1,0) +
=
a1 = (1,2,3) = ( )
a2= ( ) = ( , , )
a3= =
R = =
= =
-
5/28/2018 Latihan UTS
37/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Q R
B =
6. T : P1 R2(T(p(x) = p(0), p(1))p(x) = a0 + a1x + a2x
2+..+ anxn
a.T(1 - 2x) = (1- 2(0), (1 - 2) = (1, -1)
b. Syarat T transformasi linier :
- T ( + ) = T ( ) + T (
)
- T (k ) = k T (
)
i. p(x) = a1+ b1x
q (x) = a2+ b2x
(p+q) (x) = (a1+ a2) + (b1 + b2)x
T(p(x)) = (a1, a1+b1)
T(q(x)) = (a2, a2+b2)
T(p(x)) + T(q(x)) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)
T (p+q) (x) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)
T (p(x)) +(q (x)) = T(p+q) (x)
ii. k p(x) = k a1+ k b1x
T (k p(x)) = (k a1, k a1+k b1)
k(T(p(x))) = (k a1, k (a1+b1))
T k(p(x)) = k (T(p(x)))
Karena T memenuhi kedua syarat, maka T merupaka transformasi linier
c. T (p(x)) = (a1, a1+b1)
T (p(x)) = T . p(x)
-
5/28/2018 Latihan UTS
38/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Jadi, matriks transformasinya :
Jika T satu-satu dapat dibalik (invertibel) Det 0
T-1= =
Karena T invertible (Det 0), maka T satu-satu
-
5/28/2018 Latihan UTS
39/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Selasa,3 Juni 2008
Waktu : 110 menit
SOAL :
1. (20)Matriks bujur sangkar A= [aij] dengan entri baris ke-I dan kolom ke-j ditentukansebagai berikut aij= . Tentukan ruang baris dan baris kosong dari
matriks A yang berukuran 3 x 3!
2. (25) Ruang hasil kali dalam R3didefinisikan oleh = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3Gunakan proses Gram-Selmidt untuk mendapatkan basis yang orthonormal dari {u1= (1, 1,
1), u2= (1, 1, 0), u3= (1, 0, 0)}!
3. (25)Tentukanlah matriks yang mendiagonalisasi A = ! Kemudian tentukanlahA-1000!
4. (30)Didefinisikan transformasi linier T : P2 P2sebagai berikut :T(a0+a1x+a2x
2
) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2
. Tentukanlah
a. A, matriks yang mewakili transformasi tersebut!b. [ T ]B, matriks transformasi linier umum relatif terhadap basis B = {1, x, x2}!c. T-1 (1+x2)
JAWABAN :
1. =
Ruang baris = ,
III
-
5/28/2018 Latihan UTS
40/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
x3= t; x2=0; x1= -t
= t
Ruang kosong = Pengali Parameter =
2. Proses Gram-Schmidt = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3u3= v1= 1, 0, 0
v2= u2= Projv1u2
= (1, 1, 0) (1, 0, 0)
= (1, 1, 0) - (1, 0, 0)
= (0, 1, 0)
v3= u1Projv1u1Projv2u1
= (1, 1, 1) - (1, 0, 0) - (0, 1, 0)
= (1, 1, 1)(1, 0, 0) - (0, 1, 0)
= (0, 0, 1)
Maka baris orthogonal = =
Baris ortonormalnya = =
=
3. =
= 0
k1= 1; k2= k3 = -1
= 0
-
5/28/2018 Latihan UTS
41/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
1:
Vector eigen :
2= 3:
x2= t ; x3= s ; x1= t - 4s
= = t + s
Vector eigen
P =
P I I P-1
P-1A P = D
P-1 A-1000P = D-1000
A-1000 = P D-1000P-1
=
=
4. T(a0+a1x+a2x2) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x
2
-
5/28/2018 Latihan UTS
42/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
a.Maka, matriks yang mewakili T =b.k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1, 0, 0
k1 = 1; k2= 0; k3= 0
k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = -1, 1, 0
k1 = -1; k2= 1; k3= 0
k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1,-2, 1
k1 = 1; k2= -2; k3= 1
[ T ]B =
c.T-1(1+x)
T-1
T-1(1+x2) = =
= 2 + 2x +x2
-
5/28/2018 Latihan UTS
43/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Selasa,5 Juni 2007
Waktu : 120 menit
1. Misalkan R adalah himpunan bilangan riil dengan operasi penjumlahan x+ y = max (x,y)dan perkalian scalar standar pada bilangan riil. Apakah dengan operasi di atas R
merupakan ruang vector? Jelaskan jawaban anda.
2. Diketahui matriks A =
a. tentukan basis dan dimensi ruang baris A
b. tentukan basis dan dimensi ruang kolom dari A
c. tentukan basis dan dimensi ruang null A
3. Diketahui matriks B =a. tentukan nilai eigen dan vector eigen dari B
b. Apakah B dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika iya, tentukan matriks P yang
mendiagonalisasi B secara orthogonal.
4. Misalkan T : P2 P3, didefinisikan sebagai berikut :T (p(x)) = x
3p
(0) + x
2p(0)
a. Apakah T transformasi linier?
b. Apakah T transformasi kinier satu-satu
c. Tentukan basis untuk kernel (T)?
d. Jikap(x) = 1 + x + x2, tentukan T (p(x))secara langsung dan tidak langsung.
IV
-
5/28/2018 Latihan UTS
44/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Selasa,5 Juni 2007
Waktu : 100 menit (Ujian : pilih 5 nomor)
1.Apakah himpunan semua pasangan bilangan riel (x,y) dengan operasi penjumlahan (x,y)+(x,y) = (x+x+1, y+y+1) dan perkalian scalar k (x,y) = (kx, ky) merupakan ruang vector?
Tunjukkan!
2.Diberikan A =a.tentukan basis untuk ruang baris ; ruang kolom; dan ruang null.b. tentukan rank dan nullitas dari A
3. adalah inner product yang dibangkitkan oleh matriks A = .Gunakan inner product tersebut untuk menghitung , ), dan sudut antara
jika
4.Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan A secara orthogonal, kemudian tentukanbila =
5.Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan oleh; yaitu
a. cari bila dan } masing-masing adalah basis-basis
untuk
b. Gunakan prosedur tak langsung untuk menghitung
c.Cek hasil yang diperoleh pada (b) dengan menghitung secara langsung.
6.Misalkan didefinisikan oleh =adalah baris-baris untuk dimana :
, cari :
a. Matriks Transformasi dan
b.Tunjukkan bahwa dan similar
V
-
5/28/2018 Latihan UTS
45/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER
Mata Kuliah : Aljabar Linier
Hari / Tanggal : Selasa,3 Juni 2008
Waktu : 90 menit
1.Misalkan W adalah suatu bidang dengan persamaana. Carilah basis ortonormal dari
b. Hitung dimensi dari
c. Carilah matriks baku untuk proyeksi orthogonal pada
d. Hitung jarak dari titik terhadap bidang !
2.Misalkan = . Hitunglah S!
3.Misalkan dengana. Jika B basis baku dari carilah
b. Carilah rank dan nulitas dari T
c. Apakah T 1-1? Jelaskan!
d. Carilah nilai eigen dan vector eigen dari T
4.Misalkan . Carilah dekomposisi QR dan LU dari matriks A!
VI
-
5/28/2018 Latihan UTS
46/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
47/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008/2009
Mata Kuliah : Fisika Panas
Hari / Tanggal : Selasa, 31 Maret 2009
Waktu : 90 Menit
Jurusan : Teknik Metalurgi B
Soal
1. Seorang teknisi diminta untuk menggunakan sebuah termometer yang tidak diketahui skalanya.Lalu dia melakukan pengukuran pada air yang membeku dan didapat nilai -15 dan ketika
dilakukan pengukuran pada air mendidih didapat nilai +60. Untuk membuat termometer tersebutdapat terbaca, sang engineer membuat persamaan konversi linier. Jika dia ingin mengkonversi ke
dalam skala Celcius, tentukanlah persamaan konversi linier yang dibuat sang engineer.
2. Sebuah kawat baja dan kawat tembaga dengan diameter 2 mm dihubungkan ujungnya. Pada suhuruang 40C keduanya memiliki panjang 2 m pada kondisi tidak teregang. Kedua ujung kawat
yang lain kemudian diikat pada sebuah dinding berjarak 4 m dengan tegang kawat diabaikan.
ketika suhu ruang diturunkan menjadi 20C tentukanlah gaya tegang kawat.
3. Sebuah pizza yang memiliki diameter 70 cm dan tebal 2 cm dipanaskan menjadi 100C sedangmengambang di luar angkasa. Tentukanlah:
a. Laju energi yang hilangb. Laju perubahan temperatur
-
5/28/2018 Latihan UTS
48/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Jawaban
1.
Konversi
2. 2 m 2 m d1= d2= 2 mmT1= 40C = 313 K
T2= 20C = 293 K
F = ?
Baja
Tembaga
S C
60 100
-15 0
x y
baja tembaga
-
5/28/2018 Latihan UTS
49/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
3. Pizzad = 70 cm = 0,7 m
Tebal = 2 cm = 0,02 m
T = 100C = 373 K
a) Laju energi yang hilang?
b) Laju perpindahan temperatur
-
5/28/2018 Latihan UTS
50/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Kisi
Filamen
2cm
5 cmV1
V2
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2007/2008
Mata Kuliah : Fisika Listrik Magnet
Waktu : 100 Menit
Soal :
1. Sebuah bola plastic kecil memiliki massa 2g dan memiliki muatan Q digantung denganseutas tali yang massanya diabaikan memiliki panjang 20 cm. Sistem dapat dilihat seperti
gambar di bawah ini.
150
Jika sistem diberi medan listrik uniform E = 1x103N/C sejajar sumbu X, maka sistem
bola akan membentuk 150dengan bidang vertikal. Tentukan besar muatan bola plastik
(Q), jika gravitasi 9.8 m/s2!
2. Elektron dipancarkan dari filamen F dalam tabung katoda dipercepat oleh kisi yangdiberi beda potensial V1(lihat gambar dibawah ini).
Sebelum melewati ruang antara 2 plat yang diberi beda potensial V2. Jarak antara dua
plat = 2 cm dan panjang plat = 5 cm :
a. Tentukan perbandingan nilai V2dengan V1 agar elektron tepat mengenai ujung atas
kanan plat ketika keluar dari plat?
b. berapa nilai V2jika V1= 500 kV
c. Pada sudut berapa elektron keluar dari plat?
-
5/28/2018 Latihan UTS
51/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
C1
C2 C3
10 F
10 V
100 k
500 k
10K15V
3K5K
13V
AB C
D
3. Tiga buah kapasitor dirangkai seperti gambar dibawah ini. C1 = 3C; C2 = C ; C3 = 5C
a. Berapa besar kapasitas kapasitor pengganti rangkaian tersebut?
b. Berapa besar muatan yang terdapat pada setiap kapasitor ?
c. Jika kapasitas C3diperbesar, apa yang terjadi pada besar muatan pada C1danC2 ?
4. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan :a. Time Constant rangkaian sebelum switch ditutup?
b. Time Constant rangkaian setelah switch ditutup?
c. Jika switch ditutup pada t=0, tentukan fungsi waktu arus yang melewati swirch?
S
5. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan arus listrik yang melalui setiap hambatan dantentukan besar VA,VB,VC,VD?
-
5/28/2018 Latihan UTS
52/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
F = Q . E
T. cos 150
W = m. g
T. cos 150
T
150
Jawaban :
1. Benda stabil (diam) => Ftot= 0
Fx= 0 Fy= 0
T cos 150m g = 0 T sin 150Q . E = 0
T 0,9662 . 10-3. 9,8 = 0 0,0203 . 0,259Q . 103= 0
T = 0,0203 N Q = 5,258 . 10-6C
Jadi, besar muatan bola plastik tersebut adalah 5,258 . 10-6C
2. a) - Kondisi percepatan : me v0
2= Qe. V1
(9,11 .10-31) v02= (1,6 . 10-19) V1
V02= 3,513 . 1011V1
V0= 592705,66
- Kondisi pembelokan : Fx= 0 => a=0
V1x= v0= v0x
= 592705,66
Fy= meay
Qe. E - me. g = me. ay
sx= v1x. t
0,05 = 592705,66 . t
t = 8,436 . 10-8
-
5/28/2018 Latihan UTS
53/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
Qe. - me. g = me. ay
1,6 . 10-19. (9,11 .10-31) . (9,8) = 9,11 .10-31. (ay)
ay= 8,782 . 1012
sy= v0y. t + ay. t2
0,01 = 0+ . 8,782 . 1012. V2. (8,436 . 10-8. )
0,01 = 4,391 . 1012. V2. 7,117 . 10-15( )
= 0,32
Nilai V2: V1= 8: 25
b) = 0,32
= 0,32 . 500 . 103
=160.000 V
c) tan =
=
=
=
= 1,25 . 0,32 = 0,4
= 21,8010
Jadi, e-keluar dar i pelat pada sudut 21,801
0
-
5/28/2018 Latihan UTS
54/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
3. a) Cp1= C2paralel C3= C + 5C = 6C
Jadi, kapasitas kapasitor pengganti rangkaian =
b)
Jadi,
=
c) Jika C3diperbesar Cp1akan
membesar, namun Ctotakan
mengecil.
Akibatnya Q tot= Qc1= Qcp1akan
mengecil
Oleh karena itu Qcp1mengecil
akan mengecil pula.
( =
Akibatnya, akan ikut
mengecil
-
5/28/2018 Latihan UTS
55/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
10 F10 V
100 k
500 k
10 F10 V
100 k
500 k
21
Vc
Vc0-= 10V
4. a) Rangkaiannya :
Rtot = 150000
Ctot= 10-5F
= (R.C)tot= 150000. 10-5= 1,5
b) Rangkaiannya :
(1)... -10 + 50000 i1 = 0
i1 = 0,2 mA
(2)...Vc+ 100000 i2= 0
Vc+ 100000 ic= 0
Vc+ 100000 c = 0
Vc+ 100000. 10-5 = 0
Vc+ = 0
Bentuk Vc= V0. e-t
Vc0-= V0. e
-t( t = 0)
10 = V0. e0
V0= 10
Vc= V0. e-t /
Vc= V0. e-t
= 1
c) i2= ic= C
= 10-5. (10. e-t)
= 10-5 (-10. e-t) = (-0,1 . e-t) mA
iswitch = i1- i2(acuan i1)
= 0,2- (-0,1. e-t )
= (0,2 + 0,1 e-t
) mA
Saat t =
C = open
i = 0
Vc0-= 10V
-
5/28/2018 Latihan UTS
56/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
10K15V
3K5K
13V
D
21
5.A B C
-15 + 5000 . i1. 10.000 . i1-10.000 i2 = 0 ....(1)
15.000 i110.000 i2= 15
3000 i12000 i2 = 3 ....(a)
10.000 i2 - 10.000 i1+ 3.000 i2 + 13 = 0 ....(2)
-10.000 i1 +13.000 i2 = 13 ...(b)
Eliminasi (a) dan (b)
30.000 i1-20.000 i2 = 30
-30.000 i1+ 39.000 i1= -39 +
19.000 i2 = -9
2 = -0,474 mA
1 = 0,684 mA
VAB = VA- VB
i1. 5.000 = VA0
VA= 0,684 . 10-3. 5000 = 3,42 V
VBC = VBVC
-
5/28/2018 Latihan UTS
57/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
i2. 3.000 = 0Vc
Vc= 1,422 V
VDB = VDVB
(i2- i1) . 10.000 = VD - 0
VD= 10.000. (-0,4740,684). 10-3= -11,58 V
Jadi,
VA= 3,42 V
VB= 0
Vc= 1,422 V
VD= -11,58 V
-
5/28/2018 Latihan UTS
58/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 07/08
Mata Kuliah : Fisika Gelombang Optik
Hari / Tanggal : Kamis, 5 Juni 2008
Waktu : 90 Menit
Dosen : Tim Dosen Fisika Gelombang Optik
Soal
1. Pada sebuah ruang gelap terdapat dua buah lilin, lilin pertama diletakkan 1,5 m dari sebuahdinding berwarna putih. Sebuah lensa diletakkan di antara lilin tersebut dan dinding pada satu
posisi sehingga dihasilkan bayangan diperbesar dan terbalik pada dinding. Ketika lensa digeser 90
cm menuju dinding, terbentuk bayangan dari lilin kedua. Tentukanlah
a. Jarak kedua lilinb. Panjang fokus lensac. Sifat bayangan kedua
2.
Seorang professor menggunakan kacamata 2,67 dioptri ingin mengamati benda-benda yang kecildengan menggunakan mikroskop Pob = 45 dioptri dan Pok = 80 dioptri. Apabila diinginkan
pembesaran 252 kali, tentukan
a. Jarak kedua lensa bila professor menggunakan kacamatab. Jarak kedua lensa bila professor tidak menggunakan kacamatac. Gambarkan diagram sinar soal a dan b
3. Dua buah celah sempit terpisah pada jarak 0,850 mm disinari cahaya 600 nm. Pada sebuah layarberjarak 2,80 m dari celah didapati suatu pola terang gelap. Tentukan
a. Jarak pola gelap ke 2 dari terang pusatb. Beda fase antara dua gelombang yang berinterferensi pada layar sejauh 2,50 mm dari terang
pusat
c. Perbandingan intensitas gelombang tersebut terhadap intensitas terang pusat
-
5/28/2018 Latihan UTS
59/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
60/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
61/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
62/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
63/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
64/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
65/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
66/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
67/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
68/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
69/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
70/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
71/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
72/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
73/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
74/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
75/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
76/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
77/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
78/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
79/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
80/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
81/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
82/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
83/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
84/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
85/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
86/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
87/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
88/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
89/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
90/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
91/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
92/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
93/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
94/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010
-
5/28/2018 Latihan UTS
95/95
Diktat 2010
PIptek BEM FT UI 2010