laurent nottale - École normale supérieure de lyon · équations d’échelle d’euler lagrange...
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Laurent NottaleCNRS
LUTH, Observatoire de Paris-Meudon
Références et pdf’s : http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale
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RELATIVITÉ
COVARIANCE EQUIVALENCE
faible / forte
Action Géodésique
CONSERVATIONNoether
PRINCIPES PREMIERS
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Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de
l’espace-temps
Dépendance explicite descoordonnées en fonction des variables d’échelle
+ divergence
Généraliser la relativité du mouvement ?
Transformations de coordonnées non-différentiables ?
Théorème
ESPACE-TEMPS FRACTAL
Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle
Continuité +RELATIVITÉ D’ÉCHELLE
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Origine
Orientation
Mouvement
VitesseAccélération
Echelle
Résolution
Etat d’un système decoordonnées:
x
t
δ x
δ t
Angles
Position
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Surface fractale: dépendance d’échelle
k=0
k=2
k=1
k=3
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Métrique et courbure d’une surface fractale
Surface (espacefractal de dimension
topologique 2 )
Métrique (divergente)
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Lois de transformationd’échelle
De l’invariance à la covariance d’échelle
http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/
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Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy:
Equation diffEquation difféérentielle du premier ordre :rentielle du premier ordre :
Développement limité:
Solution: loi fractale de dimension constante + transition:
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Une transition fractal/non-fractalUne transition fractal/non-fractal
Solution de l’équation différentielle d’échelle:
dL/d ln r = a +b L
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Deux transitionsDeux transitions
Solution de l’équation différentielle d’échelle:
dL/d ln r = a +b L +c L2
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Nouvelle transformation entre échelles de longueuret échelles de masse en relativité d’échelle restreinte
Leng
th S
cale
(in
Z sc
ale
unit)
91 10 10 10 10107 10 10 10
10
10
10
10
11 15 19 23 27 31 35
4
8
12
16
1λ
λ
Λ
Z
Zm m P
P
Mass Scale (GeV)
stand
ard re
lation new relation
12
ln L
ln ε
trans
itionfractal
ln ε
trans
itionfractal
delta
special scale-relativity
Plan
ck s
cale scale
independentscaleindependent
Plan
ck s
cale
variation of the scale dimensionvariation of the length
(Cas simplifié : )
DDéépendance dpendance d’é’échelle de la longueur et de lachelle de la longueur et de ladimension ddimension d’é’échelle effective en relativitchelle effective en relativitéé d d’é’échellechelle
restreinterestreinte ( (lois de dilatation loglois de dilatation log--lorentziennes)lorentziennes)
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Dynamique d’échelle: équationsLois d’échelle solutions d’équations aux dérivées partielles du
deuxième ordre dans l’espace des échelles
Principe de moindre action dans l’espace des échelles ––>équations d’échelle d’Euler Lagrange en fonction du « djinn »:
Resolution identifiée comme une « vitesse d’échelle »:
« djinn » (dimension d’échelle variable) identifié comme un « temps d’échelle»
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ln L
ln ε
trans
itionfractal
ln ε
trans
ition
fractal
delta
constant "scale-force"
variation of the scale dimension
scaleindependent
scaleindependent
variation of the length
(asymptotique)
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’ constante:
Dynamique dDynamique d’é’échelle: force dchelle: force d’é’échelle constantechelle constante
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ln L
ln ε
trans
itionfractal
ln ε
fractal
delta
harmonic oscillator scale-force
trans
ition
variation of the scale dimension
scaleindependent
scaleindependent
variation of the length
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur
harmonique (dans l’espace des échelles)
Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique
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ln L
ln ε
trans
ition
fractal
scaleindependent
ln ε
trans
ition
fractal
delta
variation of the scale dimension
"log-periodic"
scaleindependent
variation of the length
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’un comportement log-
périodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe)avec transition fractal / nonfractal.
Loi log-périodique(Petitesfluctuations)
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Equations du mouvement Géodésiques / Mécanique
Quantique
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Fractalité Irréversibilité
Infinité degéodésiques
Fluctuationsfractales
Dédoublement (+,-)
Descriptionfluide
Termes de 2è ordredans eqs. différentielles
Nombres complexes
Dérivée covariante complexe
NON-DIFFERENTIABILITE
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Voie vers Schrödinger : ‘partie classique’(différentiable) et ‘partie fractale’
Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale):
Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle):
Cas de la dimension fractale critique DF = 2:
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Voie vers Schrödinger :non-différentiabilité ––> complexes
Définition ordinaire de la dérivée:
N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition:
Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autrepar la réflexion dt <––> -dt
f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution »)
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Opérateur de dérivation covariantePartie Classique(différentiable)
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Amélioration de la covariance « quantique »
On introduit l’opérateur de vitesse complexe:
En terme de cet opérateur, la dérivée covariante-quantique s’écrit:
Elle satisfait alors à la règle de Leibniz du premier ordre pour lesdérivées partielles et la composition de fonction.
Hamiltonien:
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Opérateur de dérivation covariante
Equation fondamentale de la dynamique
Changement de variables (S = action complexe) et intégration
Equation de Schrödinger généralisée
RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE
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Newton
Schrödinger
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Trois représentationsGéodésique (U,V) Schrödinger généralisé (P,θ)
Euler + continuité ( P, V)
Nouvelle énergie “potentielle”:
Born:P = |ψ|2
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Simulation de gSimulation de gééododéésiquessiquesfractalefractale
27
Expérience de fentes d’Young
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Expérience de fentes d’Young: 2 fentes
Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à laprédiction quantique
Nom
bre
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Exemples d’applications
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Astrophysique :Astrophysique :planplanéétologietologie
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SystSystèème solaire :me solaire :systsystèèmes interne etmes interne et
externeexterne
SI
J
S
U
N
P
m V T M Hun C H Hil
1
4
9
16
25
36
rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9
√a (obs.) a (AU
)7 49
1
2
3
4
5
6
SE
N
Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)
Predictions(1992)
55 UA
0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol
70 UA
--> Exoplanètes
-->Kuiper belt
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Outer Solar System:Kuiper belt (SKBOs)
2003 UB 313 (« Eris »)
Validation of predicted probability peaks (55, 70, 90, 110 AU, …)
Pluton + KBOs 2009 data
Probabilité: 2 x 10-4
Repliement sur période attendue
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Sedna + distant SKBOs
2001
FP
185
Sedn
a 20
03 V
B 12
ndss=( a / 57 UA )1/2
SKBO
s
nex=7
915 509 227 57Observé
20521425 912 513 228 (57)Prédit,UA
Nom
bre Confirmation:
2 nouveauxobjets en n=2,1 nouvel objeten n=3
2002 GB 32: a=2192000 CR 105: a=2222001 FP 185: a=2282003 VB 12: a=4952000 OO 67: a=5172006 SQ372: a=915
2006
SQ
372
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Exoplanets (data 2005)
(P / M*)1/3
Proba: 10-4
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Exoplanètes (données 2008, N=301)
Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol
Mer
cure
Ven
us
Terre
Mar
s
Cere
s
Hyg
eia
1 3 5 7 9
Nom
bre
(P/M*)1/3
Proba = 10-7
Spectre de puissance
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Exoplanètes: données 2010Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10.
Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s
Proba 2 x 10-6
(tenant compte de l’ajustement)
Repliage:
Spectre de puissance:331 exoplanètesentre 0.6 et 8.6 ->pic prévu en k=8.Observé avecpuissance p=12Proba: e-p = 6 x 10-6
- 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4Deviation from expected peak
20
40
60
80
100
120
rebmuN
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Planètes autour du pulsar PSR1257+12A B C
Base: planète C : aC= 68, nC=8
Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002
(nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020
Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C:
(aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001
(nB)pred =7 <--> (nB)obs =6.9985 ± 0.00001
δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996)
δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2
1 2 3 4 5 6 7 8
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CosmologieCosmologie
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Comparaison prédiction (1993) / observations (2009,WMAP 5 ans) Λ = 1.36284(27) 10-56 cm-2
ΩΛ h2 = 0.38874(12)
LN93:Constante cosmologique
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Particle PhysicsParticle Physicsandand
High Energy PhysicsHigh Energy Physics
41
Comparison to experimental data + extrapolation byrenormalization group
Inve
rse
Cou
plin
gs
10 1 10-3 3 106 109 1012 1018 1027
Energy (GeV)
10
20
30
40
50
4π 2
eWZt GUT
e
0 10 20 30 40 50
l
α1
α0
α2
α3
αg
∞-1
-1
-1
-1
-1
λln ( / r )
C ( )λ
QCDp
r0
« Bare » (infinite energy) effective electromagnetic inverse coupling
Grand unification chromodynamics and gravitational inverse couplings
Mass-coupling relations(from scale-relativisticgauge theory)
New:E = 3.2 1020 eV
Electroweakunificationscale
Predicted strongcoupling at Z scale0.1173(4)
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Constante de couplage forte αs(mZ)
Prediction date
prediction
Data: PDG 1992-2010
0.1177± 0.0004(from expected
critical value 4 π2 ofinverse coupling atPlanck energy scaleand running fromPlanck to Z scales
using renormalizationgroup equations with
special scale-relativisticcorrection)
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Constante de couplage électromagnétique« nue » (à énergie infinie)
4 π2
Prédictionthéorique:
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GGééosciencesosciences
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Banquise Arctique 1953-2009Banquise Arctique 1953-2009*Loi exponentielle : tStudent= 14.6, var= 0.198; t0 = 2018, S = 7.92 - 0.34 exp(0.075 t)*Loi critique : tStudent= 14.7, var= 0.195 ; t0 = 2014, S = 8.61 - 59.8 (2020.5 - t)-1.03
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SéismesSichuan 2008: distribution du taux de répliques.
ln (t - tc)
Nbr
tc = 12.265 (12 mai 2008)Proba d’accord pic / creux : 0.0001
Analyse par spectre de puissance:power = 15.01 (proba 6 x 10-6)
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ExpExpéérimentationrimentationAstrophysique de laboratoire
FLEX : Fluides Expérimentaux
REFLEX : Fluides Expérimentaux en Relativité d’Echelle
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Simulation d’un potentiel quantique macroscopique
Transition1->2 vertex
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BiologieBiologie
50
MODELE de DUPLICATION (saut d’énergie)Solution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger macroscopique
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
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MODELE de DUPLICATIONSolution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger généralisée
Potentiel: oscillateur harmonique 3D isotropePassage de n = 0 (E = 3mDω) à n =1 (E = 5mDω)
Représentation : 2D, niveaux de densité
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Croissance, arborescence, bifurcationSolutions de Schrödinger (oscillateur 2D) avec sauts d’énergie
n=0 à n=1
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Morphogénèse. Formes florales. Solution de l’équation de Schrödinger généralisée pour un processus
de croissance à partir d’un centre (diffusion, onde sphérique sortante)
Croissance le long des angles de probabilité maximale (force constante)
54Formes florales solutions de l’équation de Schrödinger
55
FLEURS de Schrödinger … Platycodon (campanulacée)!
56
57
58
Solutions fractales (nondifférentiables) del’équation de Schrödinger dans une boite