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Lavoro di “Gruppo” - II
Fulvio Bisi1 Anna Torre1
1Dipartimento di Matematica - Università di Pavia
Stage Orientamento 2016 - 15 giugno
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 1 / 28
Outline
1 Permutazioni di ordine n
2 GruppiGruppi abelianiTabella moltiplicativaSottogruppiGruppo delle permutazioni
3 Gruppi puntualiSimmetrie del triangolo equilatero
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Permutazioni di ordine n
FUNZIONI BIUNIVOCHE DA UN INSIEME FINITO IN
SÈ
Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni biunivoche di {0, 1, 2, . . . , n} insé.
Quante sono?
C’è una ragionevole legge di composizione?
Di quali proprietà gode?
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Permutazioni di ordine n
FUNZIONI BIUNIVOCHE DA UN INSIEME FINITO IN
SÈ
Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni biunivoche di {0, 1, 2, . . . , n} insé.
Quante sono?
C’è una ragionevole legge di composizione?
Di quali proprietà gode?
Trovare due elementi che non commutano
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Permutazioni di ordine n
A = {1, 2, 3}
f : A → A | {1, 2, 3} → {2, 3, 1}
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Permutazioni di ordine n
1 Dato un insieme finito A di n elementi ({1, 2, 3, . . . , n}), le applicazionibiunivoche f : A → A sono n! = 1 · 2 · · · · · n: la dimostrazione si conducemediante il principio di induzione.
2 La normale composizione di funzione dà un’operazione interna: f ◦ g è ilrisultato dell’azione di f sulle immagini secondo g, ossia(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
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Permutazioni di ordine n
La f è invertibile: A = {1, 2, 3}
f−1 : A → A | {2, 3, 1} → {1, 2, 3}
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Permutazioni di ordine n
f−1 ◦ f = id = E (identità)
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Permutazioni di ordine n
A = {1, 2, 3}
g : A → A | {1, 2, 3} → {2, 1, 3}
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Permutazioni di ordine n
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
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Permutazioni di ordine n
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
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Gruppi
DEFINIZIONE DI GRUPPO
Sia G un insieme con una legge di composizione ⋆ che soddisfi le seguentiproprietà:
1 La legge di composizione è Interna
2 Gode della proprietà Associativa
3 C’è un elemento unitario u con la seguente proprietà g ⋆ u = u ⋆ g = g perogni g ∈ G
4 Ogni elemento g ∈ G ha l’elemento inverso cioè un elemento chechiameremo g−1 tale che g ⋆ g−1 = g−1 ⋆ g = u
Se un gruppo contiene un numero finito di elementi questo numero si chiamaordine del gruppo.
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Gruppi
DEFINIZIONE DI GRUPPO
Sia G un insieme con una legge di composizione ⋆ che soddisfi le seguentiproprietà:
1 La legge di composizione è Interna
2 Gode della proprietà Associativa
3 C’è un elemento unitario u con la seguente proprietà g ⋆ u = u ⋆ g = g perogni g ∈ G
4 Ogni elemento g ∈ G ha l’elemento inverso cioè un elemento chechiameremo g−1 tale che g ⋆ g−1 = g−1 ⋆ g = u
Se un gruppo contiene un numero finito di elementi questo numero si chiamaordine del gruppo.
Quali insiemi numerici sono gruppo rispetto a +?
Quali rispetto a ·?
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Gruppi
CLASSI DI RESTO E ROTAZIONI
Due situazioni diverse riconducibili allo stesso modello:
Gruppo Z/nZ delle classi di resto modulo n, con l’addizione.
Gruppo Cn delle rotazioni nel piano intorno all’origine degli assi di angolimultipli di 2π
n, con la composizione.
Provare cosa succede con n = 1, 2, 3, . . . .
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Gruppi
GRUPPI O NON GRUPPI?
Le classi di resto rispetto alla somma sono gruppi?
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Gruppi
GRUPPI O NON GRUPPI?
Le classi di resto rispetto alla somma sono gruppi?
Le classi di resto rispetto al prodotto sono gruppi?
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Gruppi
GRUPPI O NON GRUPPI?
Le classi di resto rispetto alla somma sono gruppi?
Le classi di resto rispetto al prodotto sono gruppi?
Le funzioni (tutte) da un insieme finito in sè sono un gruppo?
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Gruppi Gruppi abeliani
LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Abbiamo visto che non tutti i gruppi sono commutativi.
Un gruppo commutativo si dice ABELIANO
Fare esempi di gruppi abeliani e non abeliani.
Come si riconosce un gruppo abeliano finito dalla tabella?
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Gruppi Tabella moltiplicativa
TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE
Consideriamo l’insieme delle rotazioni di angolo multiplo di π
4intorno
all’origine e le indichiamo come: {id, π2, 2π
2, 3π
2} rispettivamente. Costruiamo la
tabella di composizione nel modo seguente:
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Gruppi Tabella moltiplicativa
TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE
Consideriamo l’insieme delle rotazioni di angolo multiplo di π
4intorno
all’origine e le indichiamo come: {id, π2, 2π
2, 3π
2} rispettivamente. Costruiamo la
tabella di composizione nel modo seguente:
⋆ id π
2
2π
2
3π
2
id id π
2
2π
2
3π
2
π
2
π
2
2π
2
3π
2id
2π
2
2π
2
3π
2id π
2
3π
2
3π
2id π
2
2π
2
La tabella è simmetrica rispetto alla diagonale. Cosa significa?
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Gruppi Tabella moltiplicativa
TROVARE TUTTI I GRUPPI DI ORDINE 2 E 3
⋆ id a
id id a
a a id
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Gruppi Tabella moltiplicativa
TROVARE TUTTI I GRUPPI DI ORDINE 2 E 3
⋆ id a
id id a
a a id
⋆ id a b
id id a b
a a b id
b b id a
Ce ne sono altri?
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Gruppi Tabella moltiplicativa
DUE GRUPPI DI ORDINE 4
⋆ id a b c
id id a b c
a a b c id
b b c id a
c c id a b
⋆ id π
2
2π
2
3π
2
id id π
2
2π
2
3π
2
π
2
π
2
2π
2
3π
2id
2π
2
2π
2
3π
2id π
2
3π
2
3π
2id π
2
2π
2
C’è una relazione tra queste due tabelle?
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Gruppi Tabella moltiplicativa
UNA PROPRIETÀ DEI GRUPPI FINITI
Si osservi che, se un gruppo è finito, la definizione di gruppo impone che inogni riga compaiano tutti gli elementi del gruppo.
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Gruppi Tabella moltiplicativa
UNA PROPRIETÀ DEI GRUPPI FINITI
Si osservi che, se un gruppo è finito, la definizione di gruppo impone che inogni riga compaiano tutti gli elementi del gruppo.Infatti, se nella riga di un elemento x non comparissero tutti gli elementi delgruppo ci sarebbe un elemento k ripetuto e quindi avremmo x ⋆ y = x ⋆ y′ = k.Moltiplicando a sinistra per x−1 l’uguaglianza scritta sopra darebbey = x−1 ⋆ k = y′.Analogo ragionamento per le colonne.
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 18 / 28
Gruppi Tabella moltiplicativa
UN ALTRO GRUPPO DI ORDINE 4
⋆ id a b c
id id a b c
a a id c b
b b c id a
c c b a id
È davvero diverso dal gruppo di ordine 4 che avevamo già trovato?Questo gruppo si chiama Gruppo di Klein.
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Gruppi Tabella moltiplicativa
NON CE NE SONO ALTRI?
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Gruppi Tabella moltiplicativa
NON CE NE SONO ALTRI?
I casi possibili sono:
a ⋆ a = id,
a ⋆ a = a,
a ⋆ a = b,
a ⋆ a = c.
a ⋆ a non può essere a perchè in tal caso
(a ⋆ a) ⋆ a−1 = (a) ⋆ a−1 = id, ma anche a ⋆ (a ⋆ a−1) = a ⋆ (id) = a ,
e quindi a = id.Se a ⋆ a = id abbiamo il gruppo di Klein, negli altri due casi abbiamo l’altrogruppo di ordine 4 salvo uno eventuale scambio di b con c (provarlo!)
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Gruppi Sottogruppi
SOTTOGRUPPI
Definizione di sottogruppo:Sia H ⊆ G si dice che H è un sottogruppo di G quando H è gruppo rispettoalla operazione ⋆ di G ristretta a H.Trovare eventuali sottogruppi di tutti i gruppi di cui abbiamo scritto le tabelle.
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 21 / 28
Gruppi Gruppo delle permutazioni
Costruiamo la tabella di composizione per il gruppo delle permutazioni diordine 3:
E :
1 → 1
2 → 2
3 → 3
π+ :
1 → 2
2 → 3
3 → 1
π− :
1 → 3
2 → 1
3 → 2
s2,3 :
1 → 1
2 → 3
3 → 2
s1,3 :
1 → 3
2 → 2
3 → 1
s1,2 :
1 → 2
2 → 1
3 → 3
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Gruppi Gruppo delle permutazioni
Tabella di composizione delle permutazioni
◦ E π+ π− s2,3 s1,3 s1,2
E E π+ π− s2,3 s1,3 s1,2
π+ π+ π− E s1,3 s1,2 s2,3
π− π− E π+ s1,2 s2,3 s1,3
s2,3 s2,3 s1,2 s1,3 E π− π+
s1,3 s1,3 s2,3 s1,2 π+ E π−
s1,2 s1,2 s1,3 s2,3 π− π+ E
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 23 / 28
Gruppi puntuali
Quali sono le trasformazioni rigide che lasciano inalterata una figurageometrica?
Quale struttura hanno queste trasformazioni con l’operazione dicomposizione?
Esempi:
1 Le traslazioni in un piano formano un gruppo con la composizione.
2 Il gruppo Cn delle rotazioni di ordine n (cioè di angoli multipli interi di2π/n).
Nel secondo caso un punto del piano rimane fisso: un gruppo ditrasformazioni con questa proprietà viene detto gruppo puntuale.
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 24 / 28
Gruppi puntuali Simmetrie del triangolo equilatero
GRUPPO DELLE ISOMETRIE DEL TRIANGOLO
EQUILATERO
Prendiamo in considerazione una semplice figura piana: un triangolo
equilatero.
Anzitutto, abbiamo l’identità E, ovviamente. . .
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Gruppi puntuali Simmetrie del triangolo equilatero
GRUPPO DELLE ISOMETRIE DEL TRIANGOLO
EQUILATERO
. . . la rotazione di un angolo 2π
3; e poi?
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 26 / 28
Gruppi puntuali Simmetrie del triangolo equilatero
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 27 / 28
Gruppi puntuali Simmetrie del triangolo equilatero
Le 6 trasformazioni rigide formano un gruppo con l’operazione dicomposizione (TABELLA!)?
C’è un’analogia con il gruppo delle funzioni biunivoche da {1, 2, 3} in sé(isomorfismo)?
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” II Stage 15 giu 2016 28 / 28