lavoro ed energia...o di un sistema di compiere lavoro. l’energia cinetica è una forma...
TRANSCRIPT
Lavoro ed energia
Lavoro di una forza Teorema dell’energia cinetica
Forze conservative Conservazione dell’energia
Consideriamo una forza F applicata ad un punto
materiale P che si sposti di una quantità s lungo una
traiettoria rettilinea.
Lavoro di una forza
Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il
suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto
scalare:
L = F·s=F s cos θ = Fs s
θ
F
s P
Casi particolari
• L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s • L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0
• L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s
È la componente della forza lungo lo spostamento l’unica a compiere lavoro!
Lavoro per un percorso generico
Si scompone il lavoro in lavori infinitesimali lungo il percorso, e il lavoro totale è dato dalla somma
di questi contributi
L = L1+L2+L3 + … = Σi Li
Unità di misura del lavoro
Nel SI il lavoro si misura in Joule:
L = F · Δs
1 J = 1 N · m
Esempio
Il lavoro può essere positivo (la componente della forza lungo lo spostamento ha lo stesso verso del primo) o negativo ( la componente della forza lungo lo spostamento ha verso opposto al primo)
Non è semplice definire il concetto di energia, ma in generale si intende la capacità di un corpo
o di un sistema di compiere lavoro.
L’energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l’energia che un corpo
possiede per il fatto che si muove.
Trattandosi di una grandezza omogenea al lavoro, si misura in J nel SI.
Concetto di energia
Data una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare:
K = ½ mv2
Secondo il teorema dell’energia cinetica o delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove di moto
accelerato è uguale alla variazione di energia cinetica:
L = ΔK = Kf - Ki = ½ mvf2 - ½ mvi
2
Teorema dell’energia cinetica
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo δt, in cui il punto materiale percorre uno spazio anch’esso
infinitesimo δs. In questo intervallo il moto sarà uniformemente
accelerato, per cui la velocità media sarà data dalla media aritmetica delle velocità iniziale e finale.
L = FΔs = mavmΔt = m(vf-vi/Δt)(vf+vi/2)Δt =
= ½ m(vf-vi)(vf+vi) = = ½ mvf
2 - ½ mvi2 = Kf – Ki = ΔK
Diretta conseguenza della 2a legge della dinamica:
F=ma
Teorema dell’energia cinetica derivazione
1) v=v0+a(t-t0) t-t0 = v-v0/a
2) s=s0+v0(t-t0)+½a(t-t0)2
s=s0 + v0 (v - v0) /a + ½ (v - v0)2 / a
s=s0 + (2 v0 v – 2 v0 2 + v2 – 2 v0 v + v0
2)/2 a
s – s0 = (v2 – v02)/2a a(s – s0)=1/2(v2 – v0
2)
Seconda derivazione. Moto uniformemente accelerato
Lavoro di una forza variabile
Teorema dell’energia cinetica derivato e valido per accelerazione costante.
F=ma
Anche la forza è costante.
Come si calcola il lavoro fatto da una forza variabile?
Vale il teorema dell’energia cinetica?
Lavoro di una forza variabile
Il teorema dell’energia cinetica è valido anche nel caso di forze variabili
Una forza variabile nel piano F-x descrive
un’area che può essere approssimata
come somma di “rettangoli di forza
costante”.
La sommatoria Σ di questi triangoli,
quando la base Δx tende a zero, si
chiama integrale e si indica con ∫
Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L
dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B.
Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita
(si conserva la differenza di energia, e quindi il lavoro)
Forze conservative
Forze conservative: forza peso
Calcolare il lavoro fatto dallo scalatore contro la forza gravitazionale per spostare un peso di massa m=15 Kg ad una altezza h di 10 m. La pendenza della salita è γ= π/2 - θ = 30°
Esempio/problema
m=15 Kg h=10 m θ1=π/3 d1=20 m L1=? θ2=π/6 d2=11.55 m L2= ?
Quando si trasporta qualcosa ad un’altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello!
θ2=π/6 θ1=π/3
Esempio/problema
Energia potenziale
Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione, l’energia potenziale U, tale che:
L = Ui - Uf = -ΔU (teorema dell’energia potenziale)
L’energia potenziale o posizionale di un corpo
rappresenta l’energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l’azione di una forza
di tipo conservativo.
Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).
Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative.
Per il teorema dell’energia cinetica: L = ΔK
Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU
Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0
Se indichiamo con E l’energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0
Principio di conservazione dell’energia (meccanica):
L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma l’energia totale di un sistema si conserva
Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l’energia non viene conservata
Generalizzabile a tutte le forme di energia!
Conservazione dell’energia meccanica
La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a U = m g h E’ l’energia che il corpo possiede per il fatto che si trova ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv2 + m g h = costante
Energia potenziale gravitazionale
Energia potenziale gravitazionale
h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s vfinale=? L=?
Esercizio
Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s2*70 m=686 J
h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s vfinale=? L=? s(t)=1/2 a t2
s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m
sssght finale 78.3
8.91402
===
v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s
K=1/2 m v2=0.5 * 1 Kg * 37.042 m2/s2= 686 J
Esercizio
h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra
Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande
o piccola?
Esercizio
h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra U=mgh=70Kg*9.8m/s2*6m=4116J Applicando il principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v2
=> v = 4116×2
70m / s =10.8m / s = 39km / h
Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande
o piccola?
La stessa!
ghm
mghv 22=
×=
Esercizio
Energia potenziale elastica
Per una forza di natura elastica
esiste una proporzionalità
diretta fra deformazione e
forza deformante:
F = -k x (legge di Hooke).
La forza elastica è una forza
conservativa a cui è associata
l’energia potenziale
U = ½ k x2.
La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E’ definita come il rapporto fra il lavoro
compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:
P = ΔL/Δt
Potenza istantanea P = dL/dt = dK/dt = mv dv/dt = = ma v = F�v
Nel SI si misura in Watt (simbolo W):
1 W = 1 J /s.
Il chilowattora (kWh) è un’unità di misura di energia: 1 kWh = 103 W 3.6 103 s = 3.6 106 J
Potenza
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s
Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato?
Esercizio
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s
Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato?
L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J
W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per
1 metro in 1 secondo 1 cavallo-‐vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W
In Inghilterra 746 W!
Esercizio