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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
AVM FACULDADE INTEGRADA
A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
NO COTIDIANO BRASILEIRO
Por: Amanda Falcão
Orientador
Prof. Ana Claudia Morrissy
Rio de Janeiro
2015
DOCUM
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2
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
AVM FACULDADE INTEGRADA
A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
NO COTIDIANO BRASILEIRO
Apresentação de monografia à AVM Faculdade
Integrada como requisito parcial para obtenção do
grau de especialista em Finanças e Gestão
Coorporativa
Por: Amanda Falcão
3
AGRADECIMENTOS
....aos meus pais e irmãos pelo amor,
incentivo е apoio incondicional e a
todos qυе direta оυ indiretamente
fizeram parte dа minha formação.
4
DEDICATÓRIA
..... Аоs meus pais, irmãos, amigos е a
toda minha família que, cоm muito
carinho е apoio, se empenharam e me
ajudaram a chegar аté esta etapa dе
minha vida.
5
RESUMO
O trabalho a seguir pretende mostrar informações básicas sobre
matemática financeira e falar como o calculo de juros (simples e compostos) e
descontos ajudam no cotidiano do cidadão brasileiro.
O principal objetivo deste trabalho é mostrar de maneira fácil e simples a
utilização dos cálculos financeiros, demonstrar os métodos que são
empregados para calcular os mesmos e como o estudo desses cálculos
facilitam nas contas diárias dos cidadãos brasileiros.
6
METODOLOGIA
Este trabalho está baseado em uma pesquisa bibliográfica através da analise
de livros e sites, sobre matemática financeira, que utilizam exemplos simples e
práticos de cálculos financeiros no cotidiano dos brasileiros.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 08
CAPÍTULO I - Matemática Financeira – Conceito Básico 09
CAPÍTULO II - Juros Simples 16
CAPÍTULO III - Descontos 27
CONCLUSÃO 39
BIBLIOGRAFIA 40
8
INTRODUÇÃO
A Matemática Financeira esta cada vez mais presente no dia a dia dos
brasileiros. A Matemática Financeira possui muitas aplicações no nosso atual
sistema econômico. Nos dias atuais é de extrema importância saber como
calcular as taxas de juros e descontos, pois estes cálculos auxiliam em
diferentes aplicações, como financiamentos de bens, realização de
empréstimos, crediários, compra com cartões de crédito, aplicações
financeiras, investimentos, etc.
Sendo assim, o ensino da matemática financeira se faz necessário
para que as pessoas possam fazer escolhas que lhes ajudem financeiramente
no seu cotidiano, aumentando a probabilidade dos ganhos e também
auxiliando na diminuição de prejuízos.
9
CAPÍTULO I
Matemática Financeira – Conceito Básico
A área da matemática que tem como conceito fundamental o estudo da
mudança do valor do dinheiro no decorrer de tempo chama-se Matemática
Financeira. Sua origem da está profundamente ligada a dos regimes
econômicos, o aparecimento do crédito e do sistema financeiro.
Segundo Rubens Souza, (2011, p.17)
“Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado a
utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrario de sua simples
propriedade, que por si só não apresenta rendimento. Portanto, estuda o
melhor emprego do dinheiro, utilizando a matemática para auxiliar na escolha
da melhor opção de investimentos para os recursos financeiros.”
O objetivo básico da Matemática Financeira é analisar e comparar
diversos fluxos de caixa (entrada e saída de dinheiro) examinados em
momentos distintos.
A Matemática financeira utiliza fórmulas matemáticas para auxiliar e
facilitar operações monetárias. Juros, capital, montante, taxas, prazo são
termos frequentemente utilizados nessa área.
1.1. Noções Básicas
• Capital ou Valor Presente (C ou VP): é todo valor expresso em
moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em
determinado tempo; capital ou é valor de uma quantia no inicio de
uma aplicação;
• Juros (J): é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela
utilização de um valor em dinheiro durante período; é o
10
rendimento em espécie, proporcionado pelo uso de uma quantia
monetária, por um determinado período de tempo;
• Taxa de Juros (i): é um coeficiente que satisfaz à razão entre os
juros pagos ou recebidos no fim de certo período de tempo e o
capital inicialmente empatado. A taxa de juros está referida a uma
unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na
forma percentual ou unitária;
• Montante ou Valor Futuro (M ou VF): Montante ou Valor futuro
de uma aplicação financeira é a soma do Capital inicialmente
emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos);
• Prazo (n ou t): é o número de períodos que o capital ficou
aplicado. .
1.2. Porcentagem
A percentagem ou porcentagem é uma medida de razão com base 100
(cem). É uma maneira de expressar uma proporção partindo de uma fração
cujo denominador é 100 (cem), assim sendo, porcentagem é dividir um número
por 100 (cem).
A porcentagem é um instrumento de muito utilizado no mercado
financeiro, pois é empregada na hora de obter um desconto, calcular o lucro na
venda de um produto ou medir as taxas de juros.
Quando expressos de maneira formal, os números percentuais, devem
aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser
representados na forma de número decimal.
A seguir, observamos os números e as três formas possíveis deles
serem apresentados:
11
PORCENTAGEM RAZÃO CENTESIMAL NUMERO DECIMAL
1% 1/100 0,01
32% 32/100 0,32
7,2% 7,2/100 0,072
115% 115/100 1,15
O cálculo de porcentagem é bem simples. Normalmente utiliza-se a
regra de três simples e direta. Para aprendermos melhor os conteúdos sobre
porcentagem iremos utilizar exemplos que envolvem situações cotidianas.
Exemplo 1: Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três
prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja
adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo.
Qual o preço da mercadoria na compra à vista?
12% = 12/100 = 0,12
Utilizando razão centesimal
12/100 x 900 = 12x900/100 = 10800/100 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
Utilizando número decimal
0,12 x 900 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
Resposta: O desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, logo o
preço da mercadoria na compra à vista é de R$ 792,00.
Exemplo 2: O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um
direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado
por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8%
12
do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo
funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do
depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto
de R$ 1.200,00.
8% = 8/100 = 0,08
Utilizando razão centesimal
8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais
Utilizando número decimal
0,08 x 1200 = 96 reais
Resposta: O depósito efetuado será de R$ 96,00.
Exemplo 3: Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas
como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que
utilizam bicicleta.
Alunos → 13 ---------- 52
Porcentagem → x ----------- 100%
52*x = 13*100
52x = 1300
x= 1300/52
x = 25%
Resposta: Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas.
13
1.3. Juros
Juro é o valor cobrado pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como
uma percentagem sobre o valor emprestado, assim sendo, podemos entender
o juro como um tipo de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria um
ressarcimento pago pelo tomador do empréstimo para poder utilizar o dinheiro
até a data do pagamento. Já o credor recebe um ressarcimento por não poder
utilizar esse valor até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o
dinheiro novamente.
Existem dois tipos de juros:
• Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital
inicial no final da aplicação;
• Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao
capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um
novo capital.
Para calcularmos os Juros Simples utilizamos fórmula:
J = C x i x n
Exemplo1: Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia
de R$ 4.000,00, a juros simples, pelo prazo de 5 meses, à taxa de 3% ao mês.
Quanto deverá ser pago de juros?
Capital Aplicado (C) = R$ 4.000,00
Tempo de Aplicação (n) = R$ 5 meses
Taxa (i) = 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)
14
Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
J = 4.000 x 5 x 0,03
J = R$ 600,00
Resposta: Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.
1.4. Taxa de Juros
A taxa de juros é o coeficiente que indica qual o valor será pago ao
dinheiro emprestado, para um certo período. Normalmente a taxa é expressa
na forma percentual, e sempre se referem a um determinado período de
tempo: ano, mês, semestre, dia.
Podemos expressar a taxa de juros de duas maneiras: Taxa
Percentual e Taxa Unitária. Para efeito de cálculos, a taxa percentual é trocada
pela taxa unitária, que resulta da divisão por 100, sendo assim transformada
em número decimal equivalente. Por exemplo, a taxa de juros de 12%
corresponde à taxa unitária de 0,12, quociente da divisão 12/100.
1.4.1. Taxa exata e comercial
A taxa de Juros que considera os dias de acordo com o calendário
anual (365 ou 366 dias no ano / 28, 29, 30 ou 31 dias no mês), chamamos de
taxa exta.
A taxa de Juros convencionalmente usada no mercado financeiro, que
considera meses de 30 dias, e anos de 360, chamamos de taxa comercial.
15
1.4.2. Taxa efetiva e nominal
Taxa efetiva é aquela que faz referencia ao período de capitalização.
A taxa nominal é aquela informada em desconformidade com o
período de capitalização.
Para conversão, normalmente usamos a convenção comercial. Sendo
assim, deve-se dividir a taxa anual capitalizada mensalmente pelo número de
meses do ano para conseguir a taxa efetiva.
1.5. Montante
Chamamos de Montante (M) o valor acumulado produzido na aplicação
uma taxa periódica de juros sobre um determinado valor investido (capital) por
determinado tempo.
Logo, montante é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi
concordado no ato da operação financeira e que é devido ao final da mesma, e
é representado pela seguinte fórmula:
M = C + J
Logo:
M = C(1 + i x n)
Dessa fórmula podemos extrair outras:
• Fórmula para a obtenção do valor do capital: C = M / 1 + i x n
• Fórmula para a obtenção do valor da taxa: i = [(M / C - 1) / n ]
• Fórmula para a obtenção do valor do tempo: n = [(M / C - 1) / i ]
16
CAPÍTULO II
Juros
O conceito de Juros é muito antigo, tendo sido largamente publicado e
usado durante a História. Os juros existem desde a época dos primeiros
registros de civilizações existentes na Terra. Segundo citações antigas, os
juros eram pagos utilizando sementes, prata ou outros bens.
Este conceito surgiu no momento em que o Homem entendeu que
havia uma ligação entre o dinheiro e o tempo. Técnicas de acúmulo de capital
e a desvalorização da moeda induziriam normalmente a ideia de juros, pois se
obtinham basicamente devido ao valor do dinheiro no tempo. Mesmo sendo
muito antiga, a ideia de juros pouco mudou ao longo da História.
2.1. Regimes de Capitalização
Regime de Capitalização é o processo de reinvestimento, ou não, dos
juros de uma aplicação financeira, ou seja, é o processo onde os juros são
somados ao capital inicial para a formação do montante.
Existem dois regimes de capitalização, a contínua e a descontínua,
que se diferem basicamente em função do momento em que os juros se
adicionam ao capital.
Na capitalização contínua, os juros são adicionados ao capital quase
que instantaneamente e não ao final de períodos determinados previamente.
Nesse tipo de capitalização o juro é considerado diretamente proporcional ao
capital e ao espaço de tempo em que o capital foi usado, podendo se apurar
uma taxa instantânea de juros.
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São exemplos de capitalização continua: faturamento de um
supermercado, a formação de depreciação de um equipamento, etc.
No regime de capitalização descontínua, também conhecida como
capitalização periódica, os juros são adicionados ao capital apenas ao final de
cada período de tempo a que se refere à taxa de juros. Esse intervalo de
tempo em cujo final ocorre essa adição é conhecido como período de
capitalização. Deste modo, se a taxa é mensal, os juros somente se
adicionarão efetivamente ao capital ao final do período de um mês. Este é, o
regime mais conhecido e mais utilizado no mercado financeiro, tendo como
exemplo a caderneta de poupança que paga juros apenas ao final do período
referente à sua taxa de juros.
No regime de capitalização periódica há duas possibilidades de cálculo
para cobrança de juros (juros simples e composto). A principal diferença entre
eles é se o cálculo dos juros do momento consequente é considerado ou não
os juros calculados para o período anterior.
2.2. Aplicações Práticas dos Juros
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) “A
compreensão da Matemática é essencial para o cidadão agir como consumidor
prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional”. (PCN, p.250,
1999).
Juros pode ser definido como a rentabilidade de uma aplicação
financeira, valor que se refere ao atraso no pagamento de uma cota ou a
quantia paga pelo empréstimo de um capital. Nos dias atuais, o sistema
financeiro normalmente utiliza o regime de juros compostos, por ser mais
lucrativo.
Os juros simples normalmente apresentam operações de curto prazo e
não costumam apurar a rentabilidade, hoje por conta de suas restrições
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técnicas praticamente não utilizamos a capitalização baseada no regime
simples.
Os juros compostos são a base do atual sistema financeiro, dirigindo
praticamente todos os tipos de transações financeiras. As aplicações
financeiras, como por exemplo, a poupança, são bastante utilizadas pela
população em geral, que pretendem guardar suas economias em segurança e
aproveitam para ganhar algum rendimento.
2.3. Juros Simples
Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde somente o valor
inicial rende juro, isto é, o juro que se forma no fim de cada período referente a
taxa não é adicionado ao capital inicial para que este possa render juro no
período seguinte. Neste caso dizemos que os juros não são capitalizados.
Sendo assim, Juro Simples é o valor acrescentado a um capital inicial ao
término do período.
Definimos Juro Simples, por possuir juros constantes por períodos
iguais.
2.3.1. Cálculo de Juros Simples
Se um capital C, aplicado a uma taxa i ao período, no sistema de juros
simples, rende juros J ao fim de um período n, então podemos dizer que:
J = C x i x n
Onde:
J = Juros (valor expresso em unidade monetária)
C = Capital (valor em unidade monetária, em um certo momento)
i = taxa de juros dada na forma unitária.
n = prazo
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A partir desta fórmula podemos extrair outras:
• Fórmula para a obtenção do valor do capital: C = J / i x n
• Fórmula para a obtenção da taxa de juros: i = J / C x n
• Fórmula para a obtenção do tempo da aplicação: n = J / C x i
Exemplo 1: Considerando que uma pessoa empresta a outra a
quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3%
ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?
C = R$ 2.000,00
n = 3 meses
i = 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)
J = ?
Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
J = 2.000 x 3 x 0,03
J = R$ 180,00
Resposta: Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de
juros.
Exemplo 2: No empréstimo de R$ 780,00 por um período de 7 meses,
Roberta pagou R$ 351,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros simples
cobrada nesse empréstimo?
J = R$ 351,00
C = R$ 780,00
i = ?
n = 7 meses
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Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
351 = 780 x i x 7
351 = 5460i
i = 351/5460
i = 0,06428...(dízima não periódica)
i = 0,06428... x 100 = 6,43% (arredondamento)
Resposta: A taxa mensal de juros cobrada neste empréstimo será de
6,43%.
Exemplo 3: Um cliente recebeu R$ 240,00 de juros, calculado no
regime de juros simples após ter aplicado uma quantia por 12 meses, a taxa de
2% a.m. Qual o valor aplicado?
C = ?
n = 12 meses
i = 2% a.m
J = R$ 240,00
Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
240 = C x 0,02 x 12
240 = 0,24C
C = 240/0,24
C = 1000
Resposta: O valor aplicado foi de R$ 1000,00.
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Exemplo 4: Uma pessoa aplicou R$ 300,00 a juros simples, tendo
recebido de juros R$ 72,00, à taxa de 3% a.m. Calcule o tempo de aplicação:
C = R$ 300,00
n = ?
i = 3% a.m
J = R$ 72,00
Fazendo o calculo temos:
J = C x i x
72 = 300 x 0,03 x n
72 = 9n
n = 72/9
n = 8 meses.
Resposta: O tempo de aplicação foi de 8 meses.
2.3.2. Juros Simples com Ajuste Temporal
Um dado importante a considerar nos cálculos financeiros é que as
taxas de juro sempre devem estar de acordo com o período de capitalização.
Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais,
anuais.
Por exemplo, se a taxa de juros for mensal o tempo deverá estar
representado em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma
unidade de tempo.
Sempre que a taxa e o prazo estiverem em unidades de tempo
diferentes deveremos fazer um ajuste temporal para facilitar o cálculo.
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Exemplo 1: Uma pessoa aplica R$ 5.000,00 em regime de juros
simples durante 3 meses a uma taxa de 12% a.a. Quanto renderá de juros ao
final desta aplicação?
J = ?
C = R$ 5.000,00
i = 12% a.a
n = 3 meses
Transformando a taxa anual em taxa mensal temos:
12/12 = 1% a.m
Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
J = 5.000 x 0,01 x 3
J = R$ 150,00
Resposta: Renderá R$ 150,00 de juros.
Exemplo 2: Calcular os Juros Simples de uma aplicação financeira no
valor de R$100.000,00, sabendo-se que a mesma foi resgatada após 90 dias
com uma taxa de juros de 5% ao mês.
C = 100.000,00
i = 5% ao mês
n = 90 dias
J = ?
Transformando o período do prazo:
90 dias = 3 meses
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Fazendo o calculo temos:
J = C x i x n
J = 100.000 x 0,05 x 3
J = R$ 15.000,00
Resposta: Renderá R$ 15.000,00 de juros
2.4. Juros Compostos
O sistema de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro,
sendo assim o mais útil para cálculos de problemas do cotidiano.
Devido aos juros o capital inicial (principal) pode crescer. De acordo
com o juros simples somente o principal rende juros ao longo do tempo. Já nos
juros compostos, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez,
a render juros após cada período. Os Juros Compostos também são
conhecidos como "juros sobre juros".
Para demonstrar diferença entre os crescimentos de um capital através
juros simples e juros compostos, utilizaremos o exemplo abaixo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a.
Teremos:
Principal = 100 Juros Simples Juros Compostos
Nº de anos Montante Simples Montante Composto
1 100 + 0,1(100) = 110,00 100 + 0,1(100) = 110,00
2 110 + 0,1(100) = 120,00 110 + 0,1(110) = 121,00
3 120 + 0,1(100) = 130,00 121 + 0,1(121) = 133,10
4 130 + 0,1(100) = 140,00 133,1 + 0,1(133,1) = 146,41
5 140 + 0,1(100) = 150,00 146,41 + 0,1(146,41) = 161,05
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Observando a tabela acima verificamos que o crescimento do principal
segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros
compostos é EXPONENCIAL, logo tem um crescimento muito mais "rápido".
2.4.1. Cálculo de Juros Compostos
Como já vimos anteriormente sistema mais usado em aplicações
financeiras são os Juros Compostos, onde os juros são calculados sempre
sobre cada novo montante.
Assim sendo, para um capital C aplicado a uma taxa i por período
durante um tempo t de períodos, temos:
• Ao final do 1º período:
M1 = C + C x i = C(1 + i)
• Ao final do 2º período:
M2 = M1+ M1 x i = M1(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)2
• Ao final do 3º período:
M3 = M2 + M2 x i = M2 (1 + i) = C(1 + i)2(1 + i) = C(1 + i)3
Observando os montantes acima, podemos concluir que eles formam
uma progressão geométrica, onde no final do enésimo período teremos:
M = C(1 + i)n
Exemplo 1: Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00
aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
C = R$ 7.000,00
i = 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
n = 1 ano = 12 meses
25
Fazendo o calculo temos:
M = C(1 + i)n
M = 7000(1 + 0,015)12
M = 7000(1,015)12
M = 7000 . 1,195618
M = 8369,33
Resposta: O montante será de R$ 8.369,33.
Exemplo 2: Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2%
ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?
M = R$ 15.237,43
n = 10 meses
i = 2% a.m. = 2/100 = 0,02
Fazendo o calculo temos:
M = C(1 + i)n
15237,43 = C(1 + 0,02)10
15237,43 = C(1,02)10
15237,43 = C x 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
Resposta: O capital é de R$ 12.500,00.
Exemplo 3: Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$
8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?
C = R$ 8.000,00
M = R$ 10.145,93
n = 12
i = ?
26
Fazendo o calculo temos:
M = C(1 + i)n
10145,93= 8000(1 + i)12
1,268241 = (1 + i)12
12√1,268241 = 12√(1 + i)¹²
1 + i = 1,02
i = 1,02 – 1
i = 0,02
Resposta: A taxa de juros da aplicação foi de 2%.
OBSERVAÇÂO: Em Juros Compostos devemos ressaltar que o
Capital não faz referencia, necessariamente a um valor expresso no momento
zero. O Capital Inicial pode ser determinado em qualquer data focal anterior à
do montante final.
Sendo assim podemos dizer que as expressões de calculo do Capital e
do montante permitem capitalizações e atualizações envolvendo vários valores
e não apenas um único C ou M.
27
CAPÍTULO III
Descontos
Quando dois agentes econômicos, no mercado financeiro, fecham um
acordo através de um título de crédito se faz necessário que esse documento
tenha todas as informações que correspondem a essa operação financeira.
São esses títulos que serão aplicados dentro das operações que envolvem o
Desconto.
Portanto, todo título de crédito deverá apresentar um valor e uma data
de vencimento correspondente. Se o devedor pagar ou resgatar esse título,
antes da data de vencimento, terá um abatimento do valor a ser pago.
Chamamos de Desconto esse abatimento. O Desconto é uma indenização
recebida pelo devedor, pelo pagamento adiantado da dívida. Podemos citar
como exemplo a duplicata, as notas promissórias e a letra de câmbio. O
desconto é obtido através da diferença entre o valor nominal da parcela (N) e o
valor líquido (V) pago ao possuidor do título. A fórmula usada para o cálculo do
desconto é:
D = N - V
Em Desconto são utilizados os seguintes conceitos:
• Valor Nominal, Valor Futuro ou Valor de Resgate: valor a ser
pago até o vencimento.
• Valor Descontado ou Valor Atual: É o pagamento feito antes do
vencimento.
• Tempo: prazo entre o dia da negociação do título e o dia do
vencimento.
Existem dois tipos de Descontos que podem ser usados para a
efetivação dos cálculos financeiros:
28
• Desconto Simples: Racional Simples (Desconto por Dentro) e
Comercial Simples (Desconto por Fora).
• Desconto Composto: Racional Composto (Desconto por Dentro) e
Comercial Composto (Desconto por Fora).
Os dois tipos podem ser aplicados em operações de juros simples
(desconto simples) e de juros compostos (desconto composto). Fica a critério
do credor ou do devedor escolher qual a melhor forma de desconto que se
adaptará as suas necessidades.
3.1. Desconto Simples
Como visto anteriormente existem dois tipos de Desconto Simples:
Racional (por dentro) e Comercial (por fora).
3.1.1. Desconto Racional Simples
O Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro é calculado
reduzindo o valor nominal do valor atual de um título, em determinado período.
No Desconto Simples engloba-se os conceitos e relações básicas de juros
simples.
Assim temos:
• Dr = valor do desconto racional
• C = capital (ou valor atual)
• i = taxa periódica de juros
• n = prazo do desconto (número de períodos que o título é
negociado antes de seu vencimento)
29
Desta forma obtemos a conhecida fórmula de juros simples:
Dr = C x i x n
Pela definição de desconto e substituindo conceito de valor de capital
pelo conceito de valor presente no cálculo do desconto, temos:
Dr = VN - VP
Onde:
• VN = valor nominal (ou valor de resgate, ou valor futuro).
• VP = valor presente racional (ou valor atual) na data da operação.
Sabendo-se que:
VP = C = VN / 1 + i x n
Logo:
Dr = VN – VN / 1 + i x n
Dr = VN(1 + i x n) - VN / 1 + i x n
Dr = VN + VN x i x n – VN / 1 + i x n
Dr = VN x i x n / 1 + i x n
Utilizando esta fórmula podemos calcular o valor presente, pela
seguinte expressão de cálculo:
VP = VN – Dr
VP = VN – VN x i x n / 1 + i x n
VP = VN(1 + i x n) – VN x i x n / 1 + i x n
VP = VN + VN x i x n – VN x i x n / 1 + i x n
VP = VN / 1 + i x n
Exemplo 1: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00.
Calcule o desconto racional simples a ser concedido para um resgate do título
3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
30
n = 3
i = 5% = 5/100 = 0,05 a.m
VN = 10.000,00
Dr = ?
Fazendo o calculo temos:
Dr = VN x i x n / 1 + i x n
Dr = (10000 x 0,05 x 3) / (1 + 0,05 x 3)
Dr = 1500 / 1,15
Dr = R$1304,35
Resposta: O valor do desconto será de R$ 1.304,35.
Exemplo 2: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível
em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento.
Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto racional simples, pede-se calcular o
valor presente dessa operação.
n = 3
i = 42% a.a = 3,5% a.m = 0,035
VN = 4.000,00
VP = ?
Fazendo o calculo temos:
VP = VN / 1 + i x n
VP = 4000 / (1 + 0,035 x 3)
VP = 4000 / 1,105
VP = R$ 3.619,90
Resposta: O valor presente racional a ser recebido pelo título será de
R$ R$ 3.619,90.
31
3.1.2. Desconto Comercial Simples
O Desconto Comercial Simples, também conhecido por “desconto por
fora” é o mais utilizado pelo mercado, especialmente em operações de crédito
bancário e comercial em curto prazo.
Esse tipo de desconto ocorre sobre o valor nominal do título,
proporcionando um volume maior de encargos financeiros ativos nas
operações. Ao contrário do desconto racional, que calculam os encargos sobre
o valor presente, o desconto comercial calcula os juros sobre o valor futuro,
indicando custos adicionais ao tomador de empréstimo.
Determinamos o valor do desconto comercial (Dc), no regime de juros
simples, pelo produto do valor nominal do título (VN), da taxa de desconto
recorrente “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação
para o desconto (n).
Assim temos:
Dc = VN x d x n
Utilizando esta fórmula podemos calcular o valor presente, pela
seguinte expressão de cálculo:
VP = VN – Dc
VP = VN – VN x d x n
VP = VN(1 – d x n)
Exemplo 1: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00.
Calcule o desconto comercial simples a ser concedido para um resgate do
título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5%
a.m.
32
n = 3
d = 5% = 5/100 = 0,05 a.m
VN = 10.000,00
Dc = ?
Fazendo o calculo temos:
Dc = VN x d x n
Dc = 10000 x 0,05 x 3
Dc = R$ 1.500,00
Resposta: O valor do desconto será de R$ 1.500,00
Exemplo 2: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível
em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento.
Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto comercial simples adotada, pede-se
calcular o valor presente dessa operação.
n = 3
d = 42% a.a = 3,5% a.m = 0,035
VN = 4.000,00
VP = ?
Fazendo o calculo temos:
VP = VN(1 – d x n)
VP = 4000(1 – 0 ,035 x 3)
VP = 4000 x 0,895
VP = R$ 3.580,00
Resposta: O valor presente comercial a ser recebido pelo título será
de R$ R$ 3.580,00.
33
Utilizando os mesmos exemplos no calculo do Desconto Racional e do
Desconto Comercial podemos melhor avaliar as diferenças dos tipos de
descontos.
Observamos que o maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se
ao fato, conforme ressaltado anteriormente, de o desconto comercial ser
aplicado diretamente sobre o valor nominal e não sobre o valor atual como é
característico das operações de desconto racional. Em verdade, o valor do
desconto comercial equivale, num mesmo período do tempo, ao montante do
desconto racional, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa.
Em toda operação de desconto comercial existe uma taxa efetiva de
juros superior a taxa declarada, ou seja, o valor nominal do título ao ser
apurado aceita de maneira implícita uma taxa de juros superior a taxa
declarada a operação.
Fica evidente que o devedor desse título, descontado pelo desconto
comercial assume encargos maiores do que aqueles declarados para a
operação, por este motivo, é essencial, no desconto comercial, separar a taxa
de desconto (d) e a taxa efetiva de juros da operação (i) da operação.
Para a obtenção da taxa efetiva de juros, basta conhecermos a taxa de
desconto comercial e o prazo do desconto. Assim sendo, temos:
i = d x n / 1 – d x n
3.2. Desconto Composto
O desconto composto é normalmente utilizado em operações de longo
prazo, e assim como o desconto simples possui dois tipos: o Desconto
Racional (“por dentro”) e o Desconto Comercial (“por fora”).
34
3.2.1. Desconto Racional Composto
Chamamos de desconto racional composto (ou desconto por dentro) o
desconto adquirido pela diferença entre o valor nominal (VN) e o valor atual
(VP) de um acordo que seja pago “n” períodos antes do seu vencimento. Para
melhor entendermos, podemos dizer que o desconto racional composto
engloba as mesmas relações do conceito de juro composto. Desta forma, o
valor presente racional é equivalente ao valor presente de juros compostos:
VP = VN / (1 + i)ⁿ
Já sabemos que o desconto é dado pela diferença entre o valor
nominal e o valor presente, logo, obtemos à seguinte fórmula de cálculo de
desconto racional composto:
Dr = VN – VP
Dr = VN – VN / (1 + i)ⁿ
Dr = VN(1 – 1 / (1 + i )ⁿ)
Exemplo 1: Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$
8.000,00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor
presente, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.
VN = 8000
i = 3% = 3/100 = 0,03
n = 2
VP = ?
Fazendo o calculo temos:
VP = VN / (1 + i)ⁿ
VP = 8000 / (1 + 0 ,003)³
VP = 8000 / 1,0609
VP = R$ 7.540,80
35
Resposta: O valor presente do título será de R$ 7 540,80.
Exemplo 2: Calcular o valor do desconto racional composto de um
título de valor nominal de R$ 12.000,00 descontado 4 meses antes de seu
vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
Dr = ?
VN = R$ 12.000,00
n = 4 meses
i = 2,5% a.m
Fazendo o calculo temos:
Dr = VN(1 – 1 / (1 + i )ⁿ)
Dr = 12000 (1 – 1 / (1 + 0,025)4)
Dr = 12000(1 – 1 / 1,10381289)
Dr = 12000(1- 0,90595065)
Dr = 12000 x 0,09404935
Dr = R$ 1.128,59
Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 1.128,59.
3.2.2. Desconto Comercial Composto
O desconto comercial composto é caracterizado pela incidência
consecutiva da taxa de desconto sobre o valor presente do título, o qual é
abatido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.
Utilizando este conceito, o desconto comercial composto exibe as
seguintes implicações numa sucessão de períodos:
36
• 1º Período: Dc = VN x d
Assim:
VP1 = VN – D
VP1 = VN – VN x d
VP1 = VN(1 – d)
Onde, VN(1 – d) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de
desconto no período seguinte.
• 2º Período: Dc2 = VN(1 –d) x d
Assim:
VP2 = VP1 – Dc2
VP2 = VN(1 – d) – VN(1 – d) x d
VP2 = VN –VNd – (VN + VNd) x d
VP2 = VN – VNd – VNd + VNd2
VP2 = VN – 2VNd – VNd2
Colocando VN em evidência, temos:
VP2 = VN(1 – 2d + d2)
VP2 = VN(1 – d)2
• 3º Período: Dc3 = VN(1 –d)2 x d
Assim:
VP3 = VP2 – Dc3
VP3 = VN(1 – d)2 – VN(1 – d)2 x d
VP3 = VN(1 – 2d + d2) – VN(1 – 2d + d2) x d
VP3 = VN – 2dVN + VNd2 – VNd + 2d2VN – VNd3
VP3 = VN(1 – 2d + d2 – d + 2d2 – d3)
VP3 = VN(1 – 3d + 3d2 – d3)
VP3 = VN(1 – d)3
E assim continuamente até o enésimo período, chegando assim a
fórmula generalizada do desconto comercial composto:
VP = VN(1 – d)n
37
Como: Dc = VN – VP, tem-se:
Dc = VN – VN(1 – d)n
Dc = VN[1 – (1 – d)n]
Exemplo 1: Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado
através de uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de
seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se
determinar o valor presente e o desconto da operação.
VN = R$ 35.000,00
n = 3 meses
d = 5% a.m.
Dc = ?
VP = ?
Fazendo o calculo do desconto temos:
Dc = VN[1 – (1 – d)n]
Dc = 35000[1 – (1 – 0,05)3]
Dc = 35000(1 – 0,857375)
Dc = 35000 x 0,142625
Dc = R$ 4.991,88
Fazendo o calculo do valor presente temos:
VP = VN(1 – d)n
VP = 35000(1 – 0,05)3
VP = 35000 x 0,857375
VP = 30.008,12
Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 4.991,88 e o valor
presente será de R$ 30.008,12.
38
Exemplo 2: Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00, é resgatada 2
meses antes do vencimento, obedecendo o critério do desconto comercial
composto. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto é de 10%
ao mês, determine o valor presente e o valor de desconto.
Fazendo o calculo do desconto temos:
Dc = VN[1 – (1 – d)n]
Dc = 2000[1 – (1 – 0,1)2]
Dc = 2000(1 – 0,81)
Dc = 2000 x 0,19
Dc = R$ 380,00
Fazendo o calculo do valor presente temos:
VP = 2000(1 – 0,1)2
VP = 2000(1 – 0,1)2
VP = 2000 x 0,81
VP = R$ 1.620,00
Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 380,00 e o valor
presente será de R$ 1.620,00.
39
CONCLUSÃO
O objetivo deste trabalho foi mostrar através de cálculos e conceitos
matemáticos, de maneira simples e objetiva a importância da Matemática
Financeira no cotidiano brasileiro como de suas aplicações.
Como aqui exemplificado, todo e qualquer cidadão pode fazer uso dos
cálculos financeiros, assim se preparando para realizar aplicações, como
financiamentos de bens, realização de empréstimos, crediários, compra com
cartões de crédito, aplicações financeiras, investimentos, contribuindo com o
aumento de ganho e a diminuição dos prejuízos.
A matemática financeira se faz importante no cotidiano de qualquer
cidadão e a sua utilização correta, minimiza despesas e maximiza os
resultados.
40
BIBLIOGRAFIA
MARIANO, Fabricio. Matemática Financeira para Concursos – Teoria e
Questões, 3ª edição – Editora Elsevier – Rio de Janeiro, 2013.
SOUZA, Rubens. Administração Financeira: Para Concursos Públicos e
Provas, 1ª edição – Editora Áudio – São Paulo, 2011.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 12ª
edição – Editora Atlas – São Paulo, 2012.
Site: Brasil Escola - www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm
Site: Wikilivros - http://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_financeira
Site: Alunos Online - http://www.alunosonline.com.br/matematica/juros.html
41
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO 2
AGRADECIMENTO 3
DEDICATÓRIA 4
RESUMO 5
METODOLOGIA 6
SUMÁRIO 7
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I
Matemática Financeira – Conceito Básico 9
1.1 - Noções Básicas 9
1.2 - Porcentagem 10
1.3 - Juros 13
1.4 - Taxa de Juros 14
1.4.1 - Taxa exata e comercial 14
1.4.2 - Taxa efetiva e nominal 15
1.5 - Montante 15
CAPÍTULO II
Juros 16
2.1 - Regimes de Capitalização 16
2.2 - Aplicações Práticas dos Juros 17
2.3 - Juros Simples 18
2.3.1 - Cálculo de Juros Simples 18
2.3.2 - Juros Simples com Ajuste Temporal 21
2.4 - Juros Compostos 23
2.4.1 - Cálculo de Juros Compostos 24
42
CAPÍTULO III
Descontos 27
3.1 - Desconto Simples 28
3.1.1 - Desconto Racional Simples 28
2.3.2 - Desconto Comercial Simples 31
3.2 - Desconto Composto 33
3.2.1 - Desconto Racional Composto 34
3.2.2 - Desconto Comercial Composto 36
CONCLUSÃO 39
BIBLIOGRAFIA 40
ÍNDICE 41