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Le Basi della Computer GraficaOualche giorno fa mi è capitato di scorrere alcuni numeri «storici» di MC (risalenti aparecchi anni fa) e quindi di leggere alcuni vecchi articoli della rubrica di Grafica, nei

quali venivano presentate tecniche di calcolo e di disegno con il computer.In questi articoli venivano teorizzati metodi di calcolo e di disegno e venivano proposti

dei programmi che li mettevano in pratica. Allora, parliamo dei tempi in cui non eraancora nato, o stava appena nascendo, il PC classe 18M, non esistevano ancora i

pacchetti integrati; né tantomeno esistevano applicativi grafici. Occorreva fare tutto dasé, utilizzando direttamente i pochi linguaggi di programmazione, ancora rudimentali;

allora disponibili

di Francesco Petroni

Preso dalla nostalgia ho pensato di ri-proporre, in versione riveduta e corret-ta, qualcuno di quei programmi, riscri-vendoli con uno dei linguaggi oggi piùutilizzati: il Visual Basic della Microsoft.

Questa ripresa è interessante ancheper il fatto che, paradossalmente, il lin-guaggio, il Basic, è sempre lo stesso,anche se ora la situazione ambientale,quella offerta da Windows, è del tutto

diversa e la modalità di lavoro, quella of-ferta dalla programmazione Object Ba-sed, Event Driven, è addirittura rivolu-zionata. L'articolo risulterà interessantea tutti quelli che si occupano, a vario ti-tolo, di Computer Grafica per il fattoche parla delle tecniche di base, le stes-se che poi vengono incorporate in tuttigli applicativi evoluti che siamo oggi abi-tuati ad usare.

I comandi di tracciamento e lapredisposizione del foglio dilavoro

Nella prima figura presentiamo unatabellina che mostra i vari comandi Vi-sual Basic da usare in applicazioni grafi-che. I comandi di traccia mento sulForm, di Punti e di Linee, che via viauseremo, fanno riferimento ad un siste-

Proprietà Imposta rrià li mm.a delForm

Metodo Traccia '" P\.rio nel Form.neIa posizione incicaIa

Metodo Traccia la"lllli1ea Iraca..ePIni DPIIIXela"lllLnea flllO

ad '" P\.rio

Figura l - Tabella conOggetti, Metodi, Pro-prietà e Funzioni Grafi-che di MS Visual Basic.Tracceremo i nostri di-segni nei Form di Vi-sual Basic per i qualiimposteremo Proprietàe sui quali agiremosfruttando Metodi, adesempio Metodi cheeseguono il traccia-mento di linee rette ecurve. Molto interes-santi, le abbiamo trat-tate più volte nei nostriarticoli. sono le duefunzioni con cui si defi-niscono i colori. La piùsofisticata è quella chepermette di definireuno dei 16 milioni dicolori di Windows.

DescrizionePersonaizzazione del sistemali coor<iMte del Form

TipoMetodo

Metodo Traccia U"\/I Qcontelenza.dalo ilcmro ed ilRaggioVari peI Aceti

Proprietà Oelinisce la l'IllIdaaAlibacciamenlo

Proprietà Oefnsce il~ ci linea

Metodo Proprietà Funzione P_--'iS~.Y1HX2.Y2J X1vertice Fa alo a srisba

Y1 vertice Faaao a misbaX2 vertice in baso a destraY2 vertice Fa baso a desba

ScaleMode O~omda us.Ye con SealeW"dh. ecc.l Twips (1440 peI poIce logico)2 PIni (72 peI poIce logico)3 Pixel 4 Caratteri ....

PSetIX.YJ.C X posizione XY posizione YCeolole

linelX1.Y1 HX2.V2).C.BF X1.Y1 posizione prino pc.rioX2. Y2 posizione secondo pc.rio

line -(X2.Y2).C.BF C coIoIeB re«angolo F pieno

CircIeIX. Y).R.C_.. x.Y posizione del cenlroRraggioC coIoIe

Dr••••• ode _ ORicoprel Inverso ....

DrawStJle _ OScidol Tratteggiato2 P\.riinato ...

CcMaandi diTr~o

MocWitàdiTrac:ci.ento

DrawWidth_l.-poatazione R6B(r.g.bJdel Colore

QBCoIor(coI)

red valofe ~ rosso (D-255)geetl valofe comp.nle verde (D-255)bk.Ievalofe comp.nle bU (0-255)ONelo l Blu 2 Velde3 C~ 4 Rosso 5 Magenta6 Glaio BÌ«\C(L

Proprietà Oefnsce spessore della lineaFunzione Oelinisce '" coIoIe ba 16

mioni

Funzione Oefnsce '" coIoIe tra 16

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GRAFICA

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Pnvaee Sub rocw_Cl1elcOc • 100: D • C + 1: S • C / 10Scale (-D, -D)-(D, D): DraVSeyle • Z: Curar L • -< Ta C Step S: Llne (L, -<)-(L, Cl: Next Lfor .t • -< To C Seep 5: Llne (-C, A) -(C, A): Next .A.DraVSryle • O: Llne (O, -<)-(0, Cl: Llne (-<, O) -(C, O)

tnd Sub

11II01 flIra:;

Figura 2 - Predisposizione del foglio di lavoro sul quale disegnare.Quando si disegna. qualsiasi sia lo strumento che si sta utilizzando, occorre, come primacosa, predisporre il foglio di lavoro. Nelle nostre applicazioni Visual Basic il foglio di lavoro èil Form. Useremo una serie di istruzioni, che potete analizzare nella tabella di figura 1, cheservono per definire i limiti del foglio e l'unità di misura che si vuole utilizzare al suo interno.Per le nostre applicazioni grafiche utilizzeremo, come unità di misura. ipixel, che fanno cor-rispondere un punto del Form ad un punto del video, oppure lavoreremo su un foglio perso-nalizzato personallzzandone le dimensioni con il metodo Scale.

Figura 3 - Sperimentazione sulle istruzioni grafiche di MS Visual Basic.Abbiamo utilizzato, come sfondo del nostro Form, la bitmap con le nuvolette di Windows95. Su questo sfondo abbiamo tracciato una serie di elementi grafici mettendo in praticaun po' delle istruzioni di tracciamento proposte nella tabella 1. E, tra le altre cose, interes-sante sperimentare il DrawMode con il quale si definisce il rapporto tra linee tracciate e im-magine di sfondo.

scala in Twips(1440.mi dipollice)il punto è postoquasi sul verticein alto a sinistradel Form

scala in Pixel(es. in caso discheda VGA i pixelsono 640 per 480)il punto è postoben distantedal vertice in altoa sinistra del Form

ScaleMode 1

ScaleMode 3

PSet(1 00,100)

PSet(1 00, 100)

Scale(0,0)-(1 00,100) il Form ha unsistemadi r~ferimentopersonalizzatoindipendente dallasua dimensionee posizione sulvideo

PSet(1 00,100) il puntocorrispondeal vertice inferioredestro del Form

ma di coordinate che va tenuto sottocontrollo.

Il tutto è regolato dalla proprietà Sca-leMode del Form, che serve per stabili-re quale sia l'unità di misura da utilizza-re e che deve essere rispettata dai varicomandi di tracciamento.

Facciamo tre esempi, ipotizzando didisporre di un Form abbastanza grande:

Nelle applicazioni grafiche orientateal Bitmap converrà, in generale, lavora-re con lo ScaleMode 3. Nelle applicazio-ni grafiche in cui si tracciano delle linee,magari calcolate con processi matema-tici, conviene personalizzare, con il Me-todo Scale, le dimensioni logiche delForm. Tali dimensioni rimangono lestesse anche se si variano le dimensio-ni fisiche del Form stesso.

Come primo esercizio, totalmentecontrollabile nella figura 2 (listato edoutput), mostriamo un modo per defini-re le caratteristiche dimensionali di unForm, in pratica un modo per preparareun foglio di disegno. Usiamo due varia-bili: la prima C, che poniano pari a 100,e la seconda D, che poniamo pari a 101.Con il metodo Scale inoltre definiamo

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GRAFICA

come limiti del Form i valori -0,-0 e+0,+0.

Poi tracciamo una quadrettatura trat-teggiata con un passo 10 per 10 e trac-ciamo i due assi principali con una lineacontinua.

La routine di Scaling e di Tracciamen-to della quadrettatura viene eseguita alclick sul Form. Questo consente di in-grandire il Form e, con il click, di risiste-mare la quadrettatura nella nuova di-mensione.

Notare l'uso del OrawStyle per otte-nere il tratteggio e l'uso del Metodo Li-ne per tracciare la quadrettatura.

Figura 4 - Curve trigo-nometriche - Output.Una delle ... cose piùfacili da tracciare sonole Funzioni, in cui i varipunti che individuanole linee generate sonoottenuti con processidi calcolo relativamen-te semplici. Tra le cur-ve le più facili da co-struire e più spettaco-lari da vedere sonoquelle che sfruttano lefunzioni trigonometri-che, tradizionalmentedisponibili sin dai primiBasic.

vuoi dire dimensione, tipo di tratteggioe tipo di effetto sullo sfondo (proprietàOrawModel.

Poi le due Funzioni con le quali si sta-bilisce il colore delle linee tracciate. La«vecchia» QBColor, che accetta i 16 co-lori classici del Basic classico, il Quick-Basic. La «nuova» RGB, che consentedi dosare le tre quantità dei tre colorifondamentali per ottenere uno tra i 16milioni di colori possibili.

Sperimentiamo i due Metodi che ser-vono per tracciare Circonferenze o Ar-chi di Circonferenza, e Linee o Rettan-goli, vuoti o pieni.

Non sperimentiamo, anche perchénon se ne vedrebbe l'effetto, il metodoPSet(X,Y) che traccia un singolo puntonel sistema di riferimento scelto. Co-gliamo l'occasione per citare anche ilMetodo, che è complementare rispettoal PSet, e che serve per leggere il colo-re del Punto: Point(X,Y).

Una buona sperimentazione consistenel provare, con dei cicli For... Next, tuttii possibili parametri delle varie proprietà.

Ad esempio la proprietà OrawMode,che serve per stabilire il comportamen-to del traccia mento di una linea rispettoall'immagine sottostante, ha ben 16 va-rianti. Questa abbondanza non consen-te di prevedere l'effetto che quindi puòessere verificato solo sperimentando.

Per tracciare un segmento tra duepunti si usa il Metodo Line, che presen-ta due varianti:

Linea Oa... ... ALinea ... ANel primo caso servono due coppie

di coordinate. Nel secondo caso servesolo un punto di arrivo, in quanto il pun-to di partenza è l'ultimo punto prece-dentemente tracciato, o con il prece-dente comando Line o con un semplicecomando PSet.

Quindi quando si tracciano una seriedi segmenti occorre decidere se tratta-re una coppia di punti, oppure un solopunto da collegare al precedente.

Figura 5 - Curve trigo-nometriche - Listato.Una funzione di una va-riabile si esprime nellaforma Y= Y(X). /I pro-gramma che la visualiz-za, in pratica, deve faresolo due cose: devecalcolare una serie dicoppie di valori X, Y, adesempio per 100 valoridi X 100 valori di Y, edeve visualizzarle co-me punti P(X, Y), in ge-nere convertendoli nel-l'unità di misura delForm.

I

-

del Form) la BitMap con le nuvolette diWindows 95. Su questo sfondo tracce-remo Cerchi, Linee e Rettangoli speri-mentando varie cosette.

Innanzitutto le tre Proprietà che ser-vono per definire il tipo di linea, il che

___ ~~ .d1,I I

A proposito del Metodo Une

Nella figura 3 vediamo il risultato diun esercizio semplicissimo.

Prendiamo un Form nel quale impo-stiamo come sfondo (proprietà Picture

Figura 6 - Una famiglio-la di curve trigonome-triche - Listato ed Out-put.Se la funzione da trac-ciare contiene ancheun parametro numeri-co fisso, la si può trac-ciare più volte modifi-cando via via proprioquesto parametro. Siottiene in pratica unafamiglia di curve. Nelnostro esempio abbia-mo utilizzato un sem-plice contatore per ge-nerare la famiglia e percambiare il colore diciascuna curva traccia-ta.

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DInoc:..D..S -::Sub P1lEPNUlO

Scale"" s 2c:C • 1" o • c • 1: S • Cf1'Scal. !-D>.• }-(11,D~ _Sl!/Ie • 2CIeF••• ~ - IlG.~" '50 "lFor L -.e To c: Step Se Une ll. .e}-ll. c:~ Next LForA-.e To c: Step Se Une I-C.A}-(l:,"~ NextA~ - ., Une te. .e}-te. c:~Une I-C. I}-(l:, Il

End SubPrivate Sub F__ c:aok()

On Error Res•.••.•••NextPREP_ForX • .c: ToCY1 - SiII(X I 31) • l:: ,s.t (li, Yi}, IlHlU5, 1,1)Y2 -l:os(X I 31)' e;, 'Set (li, Y2},IlG8(1, 2'5, I)n-SiII(X 131) • l:os(X 121) • e;, 'Set (li, n}, _(I, l, 255)Y4 - e:-(X 145) • l:: 'Set (li, Y4}, -lU5, 255, I)Y5 -l:os(X 125) I SiII(X 121) • e;, 'Set (li, Y5},IlN(255, l, 255)YS - l:os(X 131) • e:-(2I) • e;, ,Set (li, YS}, _(I, 255, 255)N.xtX

End Sub

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GRAFICA

·100 ~

Le linee che ritornanoNon è un titolo di un film thrilling ma

un classico problema di tracciamento.Quando, un paio di esercizi fa, abbia-

mo tracciato delle linee riferite a funzio-ni trigonometriche abbiamo creato uncontatore per il valore X, e, per ciascun

(O nessun tasto pigiato, 1 tastoShift, 2 tasto Ctrl, ...).

Intercettando le coordinate relativealla posizione del Mouse e intercettan-do lo status dei tasti del mouse o dellatastiera, è possibile creare semplici pro-grammi di tracciamento diretto, con unminimo di varianti operative. Ne vedia-mo un semplice esempio in figura 7.

DiDl' DSub PUP~O

Sc:aleJlode • 3: C • 100D • C + l: S • c I lOScale (-D, -D)-IO, O)

[nd SubPrivate Sub For. Bousellove(B b Integer. S .1:5 lnt.eoer, I b Singole, T b Sie

LI • 8: L2 • S-

L3 - lnt (X)L" • Int (T)LS - ,Dravllocte • 11It Ll And Not , Then

PSet. (X, Y): r • 1[nd ItIt LI .l.nd , Then

Llne -(X, T)[nd U

lnd SubPrivate Sub rOClD_LoadO

PREP.uu.f • O

End Sub

Di,..'s.~'QP.utAO

Sul ••••••• J: Drawstyl ••• : c. 1•• : D. C. ti:'. 3..•.•1113: S., l': Scale (~D,·Dtoo(D,~: C,.h, A •• T. 2 • , Ste, S

X. C· SI.(.A):Y a C· C"(A)Li ••• (I, 1) .•(><, Y), Q.C.I.r(7)

N.xI Ahr It •• r. C Ste, C I t.

Cirel. (I, I), R, Q.Celer(7)Next lIt

Ealll s.~Private S.~ ",..._CllckO'M'ARA1It1:1:1.'/tiX l: lIt " li.(I): Y • lIt " C•• (I): PSd (X, Y)hr A l: I Ta 1. " , Sh, I

X l: lIt • SI.(.A): Y • lIt " C"'(A)LI••. (X, Y), Q.Calar(t2)lIt allt +1

Next AlItell:S.P/111X. lIt • Il.(.): Y a Jt " Cas(t): PSAt (X, Y)fer A • I Ta a " , Sta, S

X. Jt" Il.(A"I):Y. Jt" C..,(A" l)LIn .(X, Y), Q.Celar(tollll

Next AERlil Su~

Figura 7 - Evento Mou-seMove - Serve per iltracciamento a mano.Uno degli ((eventi" piùinteressanti che riguar-dano il Mouse è il Mou-seMove. Quando sulForm si muove il mou-se, si cliccano i suoipulsanti e/o si pigiano itasti Shift, Ctrl e Alt del-la tastiera, vengonorealizzate delle variabili,legate all'evento Mou-seMove, che specifica-no la posizione delMouse, quale o qualidei suoi tasti sono statipremuti, quale o qualitasti della tastiera sonostati premuti. Si può di-re, in generale, che,combinando tra di lorole variabili che indicanolo ((stato" del mouse edella tastiera, è possibi-le definire svariate situazioni operative in base alle quali pilotare un programma grafico.

Uno degli eventi più interessanti le-gati all'uso del Form e del Mouse è ilMouseMove. Non è un evento singolo,come il Click su un Pulsante, ma unevento continuo, che si verifica per ilsemplice fatto che qualcuno sta muo-vendo il Mouse sul Form. Questo even-to produce quattro parametri:

la posizione X del mouse, nel siste-ma di riferimento del Form

la posizione Y del mouse, nel siste-ma di riferimento del Form

lo stato dei tasti del Mouse(O nessun tasto pigiato, 1 tasto

di sinistra, 2 tasto di destra, 3 tutti edue)

lo stato dei tasti speciali della Tastie-ra: Shift, Ctrl e Alt.

Figura 8 - Uso delleCoordinate Polari - Il ri-torno della curva.Esistono funzioni mate-matiche o trigonometri-che in cui ad ogni valoreX corrispondono più va-lori Y. Ne esistono di al-tre in cui accade il vice-versa, ovvero la lineagenerata passa più vol-te sullo stesso punto X.In genere queste fun-zioni vengono megliorappresentate in un rife-rimento polare, in cui siutilizzano non una X euna Y, ma un angolo Aed un raggio R. Nella fi-gura vediamo una spira-le semplice, che si ot-tiene cercando di trac-ciare una circonferenzache ... non si chiudemai, perché il suo rag-gio aumenta via via che

aumenta l'angolo. Un altro tipo di curve intrecciate è quello generato da punti i cui valori X e Y sono calcola-ti da funzioni trigonometriche, indipendenti tra di loro.

Il modo più semplice per tracciare li-nee è quello con il quale i suoi vari puntisono calcolati da apposite routine di cal-colo che magari elaborano semplici fun-zioni matematiche, il cui compito diven-ta quello di fornire coppie di punti daunire con un segmento.

Il processo è abbastanza elementare.Si crea un ciclo su una variabile, adesempio sulla X, e poi con tale X si cal-Cola direttamente la funzione Y=Y(X).Poi i casi sono due: o la coppia di punticosì determinati è già dimensionata peril Form e allora può essere tracciata di-rettamente, oppure va convertita conun'operazione di scaling e di traslazione.

Nell'esercizio, cui si riferiscono ledue figure 4 (output) e 5 (listato). vedia-mo un fascio di sei curve tracciate consei funzioni matematico-trigonometri-che.

La routine Prepara è quella che si oc-cupa di predisporre il foglio da disegnoe di tracciarne la quadrettatura.

Costituisce una grossa semplificazio-ne il fatto che le routine di calcolo utiliz-zino gli stessi valori delle coordinate. Inaltre parole il Form ha un suo sistema diriferimento impostato da -100,-100 a100,100 e le routine di calcolo eseguo-no proprio i 201 passi. La variabile utiliz-zata per contare viene direttamentesfruttata nelle varie formule trigonome-triche come valore angolare.

Nella figura 6 vediamo come sia faci-le costruire una famiglia di curve, un fa-scio di linee, semplicemente usandoun'ulteriore variabile con la quale co-struire un ulteriore ciclo. Nel nostro ca-so la linea viene tracciata 15 volte. Il pa-rametro D, che conta da 1 a 15, vieneanche usato per stabilire il colore dellalinea e come parametro nella funzionetrigonometrica. Variando il parametro lelinee subiscono anche successive e pic-cole modifiche di forma.

Un po' di linee classicheLe linee trigonometriche

L'evento MouseMoveI programmi visti fino ad ora genera-

no una serie di linee sulla base di pro-cessi di calcolo e sfruttano istruzioni ditracciamento diretto. Il tutto avvienesenza nessuna forma di interazione traprogramma ed utilizzatore.

Altre tipologie di programmi grafici sibasano proprio sulla interazione tra pro-gramma ed utilizzatore che opera sullatastiera oppure interagisce usando ilmouse direttamente con il video.

Visual Basic riconosce tantissimieventi legati all'uso del Mouse, della Ta-stiera e dei vari oggetti presenti sulForm.

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GRAFICA

I problemi della terza dimensioneFacciamo ora una puntatina nella ter-

za dimensione, presentando una seriedi esercizi, rielaborati da altri esercizi«storici}), che mostrano anche in que-sto caso le tecniche fondamentali. Livediamo nelle figure che vanno dalla 9alla 12. La prima cosa da dire è chementre nella grafica bidimensionale glielementi che si tracciano hanno coordi-nate bidimensionali e si tracciano in un,doglio da disegno}) bidimensionale, equindi non esiste un problema di con-versione di coordinate, lo stesso nonaccade nella grafica 3D. Gli elementi dipartenza hanno coordinate tridimensio-nali ma vengono tracciati su un fogliobidimensionale. Il problema più grandeda risolvere diventa proprio quello dellaconversione delle coordinate.

Scendendo più nel tecnico: per ognipunto caratteristico di ciascun elemento(spaziale) da disegnare, identificabilecon le sue tre coordinate (Ps(Xs,Ys,Zs)),riferite al suo sistema di riferimento, vacalcolata la posizione sul foglio da dise-gno (Pf(Xf,Yf)), che ha tuttaltro sistemadi riferimento. Le tecniche di conversio-ne sono materia di studio nelle scuolesuperiori e sono tantissime in funzionedel risultato che si vuoi raggiungere.Parleremo delle tre tecniche fondamen-tali: la Proiezione Ortogonale, l'Assono-metria, la Prospettiva.

due valori differenti per l'angolo nel cal-colo della X e nel calcolo della Y.

Nel nostro caso usiamo un angoloche varia con un passo di un centesimodi P-greco e che moltiplichiamo per 9per calcolare la X e per 8 per calcolarela Y. Per ottenere altre linee della stes-sa famiglia basta cambiare questa cop-pia di valori.

Figura 9 - Primi passinel 3D - Un cubo in as-sonometria.Facciamo una puntatinanella terza dimensione.Molti degli articoli «sto-ricill, che abbiamo usa-to come punto di par-tenza per i nostri eserci-zi, sono infatti dedicatialla grafica tridimensio-nale. In ogni caso occor-re trasformare gli ele-menti, identificati dacoordinate spaziali Ps-(Xs, YS,Zs), in elementisul video, che è «solollbidimensionale e quindiha solo due coordinatePf(Xf, Yf). Vedremo co-me costruire un'Asso-nometria, più semplicema meno realistica, ecome costruire unaProspettiva, più com-plessa ma vicina al mo-do di vedere dell'occhioumano.

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Dia» X 100 Y 100 Z 100 r 100 Cl. CZ. 51, 52PI:lvate: Sub fOD_Load()

11 .0.4: SI .• 5in(Al): Cl· Cos(Al): AZ. 0.3: 52· 31n(A2): C2 • Co~(A2)End SubTunct.1on A(L, Pi, Il)

A •• -L • Cl + PI t C2End F\lnct.1onf'Unction B(L, ", 111

B .• L. Sl+!lt 52+11lnd l\mct.lonSub LEGGI()I ••1: Open "C:\VVVV\DATl.TXT"" fOI: Input b lDo Ulule Not EOr(l)

Input Il, X(I) I T(I), Z(ll, f(l): I • I + lLoopClose:: N • I

End SubPnvat.e Sul! rora_CUek Cl

Scale (-2, -2)-(2, Z): LI:GGIFor I • l To Il - l

Il T(I) .• O ThenPSe:t (.l(X(I), VII), ZIIlI, B(X(I), TU), 2(1

EheLine -(A(X(I), VII), 2(111, B(X(I), VU), 2(1»))

[nd ItHext I

l.nd Sub

Figura IO - Entriamonella terza dimensione- Output.Tracciamo i tre AssiCartesiani X, Y,Z e treCirconferenze postesui tre Piani XY, XZ eYZ, tutte con centronell'Origine degli Assi.I punti «spazialill dellacirconferenza posta sulpiano XY, hanno il valo-re Z sempre uguale aO. Le altre due circon-ferenze si ottengonoazzerando la Y e poi laX. Viene costruita unasemplice assonometriache ha come soggettile tre circonferenze.

valore assunto dalla X, abbiamo calcola-to un valore Y Si trattava di casi sempli-ci in quanto ad ogni valore X corrispon-de un solo valore Y.

Esistono tipi di linea più complicati,ad esempio quando si «passa» più voltesu uno stesso valore X, oltre che piùvolte sullo stesso valore Y. In tal casova sicuramente modificato il processodi calcolo.

Uno dei sistemi di calcolo più diffusiè quello che si basa sulle coordinate po-lari, in cui a variare non sono un valoreX e un valore Y di un riferimento carte-siano, ma un valore di un Raggio e il va-lore di un Angolo.

Un Form Visual Basic lavora semprein coordinate cartesiane per cui se sidebbono eseguire i calcoli in coordinatepolari è necessario eseguire anche laconversione tra i due sistemi, che si ba-

sa su due espressioni semplicissime:dato un punto espressoin coordinate polari' P(R,A)

il suo valore X è R*SIN(A)il suo valore Y è R*COS(A).

Nell'esercizio di figura 8 prepariamo,in un Form Visual Basic, una griglia po-lare, con una serie di Raggi (con passo30 gradi) e una serie di Circonferenzeconcentriche (con passo 10).

In questo sistema tracciamo due li-nee, una Spirale e una Linea Intrecciata.

La Spirale più semplice è quella in cuisi usano le formule di traccia mento diuna circonferenza, solo che via via cheaumenta l'Angolo aumenta pure il Rag-gio e la circonferenza non si «chiude»mai. Anche la linea intrecciata, propostanello stesso esercizio, si basa sulle for-mule di tracciamento di una circonfe-renza. In questo caso basta utilizzare

Le Proiezioni OrtogonaliÈ la tecnica più semplice in quanto la

conversione consiste nel far assumerealle coordinate bidimensionali del foglioda disegno solo una coppia di coordina-te tridimensionali, ignorando completa-mente la terza. Poiché la coordinata«ignorabile}) è una su tre, ci sono tre ti-pi di proiezioni ortogonali:

Se si ignora la coordinata Z:Pf(Xf,Yf)=Ps(Xs,Ys) e si ha una

proiezione dall'altoSe si ignora la coordinata Y:Pf(Xf,Yf)=Ps(Xs,Zs) e si ha una

proiezione di fronteSe si ignora la coordinata X:Pf(Xf,Yf)=Ps(Ys,Zs) e si ha una

proiezione di lato.Volendo riferire questi sistemi di cal-

colo al modo di vedere dell'occhio uma-

286 MCmicrocomputer n. 163 - giugno 1996

GRAFICA

Figura 12 - Una Sferain assonometria - Lista-to ed Output.Abbiamo assemblato ilmotore di calcolo deipunti in assonometriacon una ... carrozzeriasferica. Per calcolare lasfera abbiamo usatodue cicli che calcolanoidue angoli, M e N, va-riabili da O a 2 P-Greco,e che rappresentanoLongitudine e Latitudi-ne del generico punto.Con tre formule abbia-mo convertito i valoriP(R, M, N) in valori Ps-(Xs, YS,Zs). A questopunto abbiamo esegui-to l'aggancio con leroutine viste prima.

Assonometrie su linee calcolateNei successivi due esercizi proponia-

mo assonometrie ottenute con routinedi calcolo.

Il primo, che vediamo in figura 10 e11, è elementare, e mostra i tre assicartesiani e tre circonferenze, che han-no come centro l'orgine del sistema diriferimento e che giacciono ciascuna suogni piano, XV, Xl e Yl.

Rispetto all'esercizio di prima riman-gono inalterate le routine di calcolo del-le coordinate sul foglio di disegno, datele coordinate del singolo punto e dati idue angoli dell'assonometria. Le routinesono state, per comodità, inglobate in

cissimi (0,1,2,-1,-2) per semplificare almassimo il calcolo e il foglio da disegnoè già adeguatamente dimensionato.

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x_t: Y cl: %_1: " •• (ACK. Y.%t.1aCX. y. %I~)( •• 2:: Llllt.o(ACK, Y.:Il. aoc..y. ZII . ASSI Xx_e: y. 2:: Z ae: PS.t (ACK. Y. za. aoc.. Y. %I: Y.·2: Lh" ~ y. ZI.. -eK. Y. %I . ASSE Yx. e: y. e: Z. 2: 'S.t (AO(, Y. ZI. aoc. y. ZII: Z •• 2: Li", -(..IIrO(..Y. za.. ao<,y. 11 . ASS! Z

••• , •• t,,nn.t l.' ,.•.•_~

tcal. (.2. -2Hz., ~: •••••••)(. ~ Y •. CHliIt:: Z al: P •• t (ACJiC.Y. ZJ. acK. Y. Il • CERCHIO SU X,Y,., Q.IT. 2" .'t., .'fI:X.~Y.~Z ••L1"'.o(ACK. Y.:Q.II(K., Y. %I: Nt)(t OX_Siilllllt:Y:I: I: Z .~, •• t (AOC. y. za..-oc. y. 21 . CERCHIO SU X,Ih, Q. IT. 2" .'t., .JtI:X_SiìlllfQlì:Y cl: Z. CMALln -(A()(. Y. ~ -ex.. Y. ZI: N.xi QX.e:Y.~Z.~PSet (ACI(. y.zt",IJO(.,Y.ZI . CERCHIO SU Y,tre, Q. eTe 2' ••• e, ./11:)(.-= Y.~ z. CM;A

I LI •• -(ADe. Y. ~ -ex. Y., %I: Neld Q

••• S••Prlvat. h. r•••J,N411

• _ J. uta: 6:1 _ LI: S1 • ,....,1): C1 _ ~1t: AI. 1..2:: S2 • ~ C2 _ CMiIAJtl •• S •• 11

Pl:1vaee Sub fODl_ChetOSede (-1.2, -1.2) -(J.2, 1.2): c..uX. O: Y • O: Z • -2: Un. (A(X, Y, Z), SOC, T, Z)) 'ASSIX. O: y. O: Z • 2: L1ne -(.(X, T.. Z), B(X,. Y, Il), (BCo1JDt:I15)'oc •• O To Z " r Step p I 15 ' PARAI.LtLI

X • c.s(Jl) " CosiO)T • Cos • smlO)Z • SiaPSet (.IX ... T, l) ...BOC, Y, I))ro!: •• O To Z • , Step , I 15

X • Co3(11) • CoJiI;..,'t • Cu(ll) " s,mOOI • SiJl(BJLlne -(&(X, Y, I), B(X, Y, I))

Ilext .: lfext •ro!: •• O To 2 •• Step r I 15 . 1'1!

X • CesIO) • c.os~Y • Ces(O) « S.iD(If)Z ••. mIO'PSet (AOC, T, l) ... B(X, T, Z))ro!: •• O To 2 • P Step • I 15

X • tu • CGs(ll)Y· ~ • SiaOOZ. SiAL1nt -("(X ... Y, I), .IX...1'... Z))

Next B: Ntxt •End. Sub

da tradurre in disegno provengano dacalcoli, che i dati provengano da un file.

Per tracciare il cubo ipotizziamo que-sta seconda evenienza.

In pratica abbiamo memorizzato i va-lori delle coordinate dei vari vertici delcubo in un file (li vedete in figura 14)che poi viene letto con le classicheistruzioni Basic per la lettura di file se-quenziali (OPEN ... ). Il file, per ciascunvertice del cubo, prevede quattro valori:le tre coordinate X, Y e l ed un flag cheindica se quel punto è collegato al pun-to precedente (il valore è 1) o se costi-tuisce l'inizio di una nuova linea (il valo-re è O).

In questa maniera si simula una pen-na che traccia, punto dopo punto, la li-nea, si solleva se la linea finisce e si ab-bassa se inizia un'altra linea.

I valori delle coordinate sono sempli-

Figura 11 - Entriamonella terza dimensione.Listato.Lo scopo di questiesercizi è introduttivoanche perché vengonoaffrontati solo alcunidei problemi connessicon la produzione di di-segni tridimensionali. Inostri ((soggettill sonomolto semplici, e ven-gono tracciati in moda-lità ((wireframell, equindi si vedono lineee non superfici. Un al-tro dei problemi classi-ci, che non affrontia-mo, è costituito dall'eli-minazione delle lineenascoste, che l'occhioumano non vede per-ché poste dietro rispet-to agli elementi in pri-mo piano. Questo im-plica la necessità di la-vorare per superfici.

Le Coordinate degli elementitridimensionali

Come nel caso dei grafici bidimensio-nali esistono due possibilità: che i dati

L'AssonometriaAnche nella vista Assonometrica si

guarda il soggetto da un punto infinita-mente distante, solo che tale punto nonè posto su uno degli assi, ma è posto inuna posizione qualsiasi nello spazio ca-ratterizzata da due angoli (longitudine elatitudine) che lo localizzano esattamen-te (dato che la distanza è infinita) nel si-stema di riferimento.

In questo caso la conversione si pog-gia su due formule che calcolano le duecoordinate nel foglio Xf e Yf, in funzionedella posizione del punto nello spazioPs(Xs,Ys,ls). È evidente che in tali dueformule entrano i due angoli citati prima.

Altra cosa da dire è che poiché, an-che in questo caso, si tratta di un siste-ma matematico semplificato (nellarealtà non esiste un punto a distanza in-finita), la vista che si ottiene non è reali-stica. In particolare le dimensioni dei va-ri elementi che si vedono non vengonofalsate (come invece avviene nella pro-spettiva). Nel nostro esercizio un latoposteriore del Cubo appare di ugualelunghezza rispetto ad un lato anteriore.

L'aspetto più interessante di tutto ildiscorso consiste indubbiamente nellarealizzazione della formula che, una vol-ta standardizzata, può essere usata pertutti gli esperimenti che si vuole.

Detti A 1 e A2 i due angoli, le formuledi conversione diventano:

Xd=-Xs*COS(A 1)+Ys *COS(A2)Yd= Xs*SIN(A 1)+Ys*SIN(A2)+Zs

Nelle routine di calcolo i valori trigo-nometrici (SIN(A 1). SIN(A2). COS(A 1),COS(A2)) rimangono sempre gli stessiper cui possono essere «parcheggiati»in variabili precalcolate allo scopo di ve-locizzare l'esecuzione.

In figura 9 vediamo una prima appli-cazione di questa formula riferita al trac-ciamento di un Cubo nello spazio «as-sonometrico» .

Dobbiamo però precisare la modalitàcon cui sono stati indicati i valori dellecoordinate che identificano il Cubo.

no è come se si guardasse il soggettoda un punto infinitamente distante, po-sto rispettivamente sull'asse l, sull'as-se Y, sull'asse X. Se si trattasse del di-segno di una casa si direbbe pianta,prospetto frontale, prospetto laterale.

Non presentiamo esercizi in quantopossiamo considerare le Proiezioni Or-togonali come un caso particolare di As-sonometria o di Prospettiva.

MCmicrocomputer n. 163 - giugno 1996 287

GRAFICA

due funzioni. Nel secondo esercizio (fi-gura 12) viene costruita una sfera, conil sistema dei meridiani e dei paralleli.Attenzione che nella figura, nella partecon il listato, non appaiono le funzioni,che però sono le stesse createnell' esercizio precedente.

L'assonometria mostra meglio le di-mensioni reali degli oggetti, ma falsa illoro aspetto che non è realistico comequello mostrato in una prospettiva.

Se si visualizza una sfera, che è pie-na di curve, la differenza tra le due mo-dalità di visualizzazione non è moltoevidente.

x

:::I R_ IldM:hiollmonil

Dia Il X 100 Y 100 Z 100 r 100 c I> S T E G

PI~V:~O~~ :O~_LOad() "P'.§'%"Th'U.nMMìfflj0M'ijijM.!g'x'11 • 0.21: 5 • Sin(All: C • COtl(l1)Al • 0.6: T • S1n(l21: D • Cos(A2)

[nd SubT\mct1ol'l A(L, H, MI

Xl • -L .• C •. D + R .• T - Il .• S ' DYl • -L .• S + li .• CII • -L .• C .• T - Il .• D - )l' .• S .• T + GA. • E .• Xl / II + l

Ind l\1ncUonP'unct1on 8(L, JI, Il

Xl • -L .• C 11 D + JI .• T - R .• S .• DVI • -L .• S + N .• C21 • -L .• C .• T • ! . D - H .• S .• T + GB • -E .• Yl I Zl + l

[nd P'unc:t.1onSub LlGGI()

I • 1Open "C:\VVVV\D.A.TI.TXr' FOI: Input. As lDo While Hoe [or(1)

Input Il. XII), YU), Z(II, F(l): l ••I + lLoop

Clo:!JeW. I

[nd. Sub

no le varie distanze tra osservatore, piano del disegno e soggetto disegnato.

Figura 13 - La Prospetti-va è un 'altra cosa - Unavista.Il calcolo della Prospet-tiva, al contrario di quel-lo dell'Assonometria,tiene conto della posi-zione dell'osservatorerispetto a quella dell'og-getto visto. In altre pa-role l'oggetto apparetanto più piccolo quantopiù è distante dall'os-servatore. Nella figuravediamo le due funzioniA e 8, che vanno sosti-tuite a quelle che pro-ducono l'assonometria.In queste due funzioni,che non dettagliamo dalpunto di vista trigono-metrico, entrano in gio-co anche due parame-tri, che abbiamo chia-mato E e G, che indica-

cazione, rispetto al calcolo dell'Assono-metria, cambiano solo le funzioni diconversione che diventano leggermen-te più complesse.

Risulterà banale, una volta che si ab-biano ambedue i due gruppi di funzioni,creare un programma in cui al momen-to della visualizzazione si scelga qualedei due metodi usare.

Le funzioni per il calcolo della Pro-spettiva Semplificata le vedete in figura13, e non le commentiamo.

Le applichiamo allo stesso disegno diprima (il cubo) al quale abbiamo aggiun-to una piramide.

Nella figura 14, un collage, vediamo ilnostro soggetto «ripreso» da tre puntidi vista differenti e, sullo sfondo, i datinumerici con le coordinate dei punti.

Figura 14 - La Prospet-tiva è un 'altra cosa - Idati e tre altre viste.Dato un soggetto, nelnostro caso un Cubo euna Piramide, lo si puòvedere in infiniti modiin relazione alla distan-za dell'osservatore, alladirezione e all'orienta-mento verso if qualel'osservatore punta losguardo (potrebbe an-che guardare da un 'al-tra parte, oppure met-tersi a testa in giù).Proponiamo un collageche mostra tre vistedel soggetto. Sullosfondo invece i datiche costituiscono ilsoggetto. Come leg-gerli dal file testuale incui risiedono è descrit-to nel testo.

x

l'M'M'C-.+,IO')('IINU"."Mmmpr •• ,!c'xl

flo~t-l1,-1,-1,'

-1, 1,-1,11t 1.-1,11,-1,-1.1

-1,-1,-1,1-1,-1, 1,1-1, 1, 1,11, 1, 1,11,-1, 1,1

-1,-1, 1,1-1,1,-1,0-1, 1, 1,11,-1,-1,'1,-1, 1,11, 1,-1,'1, 1, 1,12, ',-1,' -_. 0.-1,1_. 2.-1,12, 2,-1,12, ',-1,13, 1, 3,1_. ',-1,03, 1, 3,1_, 2,-1,'3, 1, 3,12. 2,-1.'3, 1, 3,1,I

in due funzioni, sono facilmente riutiliz-zabili.

Il passo successivo consiste nel rea-lizzare la Prospettiva, ed è bene chiariresubito che, dal punto di vista dell'appli-

La prospettiva è un'altra cosa

Come appena visto, le formule checalcolano i punti dell'Assonometria so-no semplici, sono facilmente inglobabili

ConclusioniQueste sono le procedure di base, le

stesse che troviamo, già incorporate edopportunamente implementate, in tutti iprodotti grafici di tipo vettoriale, sia inquelli bidimensionali che in quelli tridi-mensionali.

Dal canto nostro possiamo creare di-segni più complessi usando o funzionipiù complicate (ad esempio la superficiemostrata in figura 15) o maneggiandopiù punti, ma sfruttando sempre lo stes-so «motorino» per la visualizzazione.

Esistono ovviamente altre tecnichedi base, che non abbiamo trattato, adesempio quelle che servono per lavora-re per superfici, e non per linee, oppurequelle che servono per individuare, equindi eliminare dal disegno, le linee na-scoste in una visualizzazione 3D.

Si tratta di tecniche di secondo livel-lo, molto più complesse di quelle vistein questo articolo, il cui scopo è spessoquello di realizzare una vista «realistica»del soggetto, e che quindi cercano di si-mulare il più possibile il funzionamentodell'occhio umano. r;;rs

x

f'unct.1en .1.(L, !l. Nl.1. - -L li Cl + K • C2

End funct.ienrunct1en B(L, Il, N)

8 • L • Sl + " li 52 + N[nd funct1enPrivate Sub ferlll_Cl1ekOScale (-6. -6) - (6, 6): Cl~rer X • -3 Te 3 Step O...•

Y • -3Z· -Sqr((X· X) + (Y .•. TI)PSet (A(X, Y. Z), 8(X, Y, Z)rer Y • -3 Te 3 Step 0.1

Z • -Sqr ((X .•. Xl + (Y • Yl)Llne -(l(X, V, Zl, 8(1, Y, 2»

Nl!xt. YNl!xt Xrer l - -3 Te 3 Stl!P o ...•

X • -32 - -Sqr ((X • X) + (l • T) lPSl!t (l(X, Y, 2), B(X, T, Z)lrer X • -3 Te 3 St.l!P O."

Z • -Sqr ((X • X) + (Y li V) lLine -(1(X, Y, Z), 8(X, Y. Z»)

Nl!xt XNl!xt. Y

Figura 15 - Realizzazio-ne di Curve più ardite.Il passo fondamentaleè la messa a punto del-le routine di visualizza-zione (assonometria,prospettiva semplifica-ta, prospettiva comple-ta) e delle routine dilettura dei dati, se ilsoggetto non è espri-mibile con una formu-la, o delle routine dicalcolo della formula. Ilpasso successivo èquello di trovare unafunzione che producaun bel disegno oppurequello di caricare unvolume maggiore didati che rappresentinole coordinate del no-stro soggetto.

288 MCmicrocomputer n. 163 - giugno 1996

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7S0850

1.7402.2902.8903.7904.490

re; P)E'N!l~IJM! 11')')-11'}'; M!Mll I inteLlCONFIGURAZIONE BASE: CASE DESKTOP O MINITOWER CEMAIN BOARD PENTIUM 75-200 MHZ - CHIPSET INTEL TRITON256KB CACHE SINCRONA ON BOARD ESPANDIBILE A 512KBRAM 8MB ESP 128MB - CTRL PCI EIDE MULTI I/O ON BOARD

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-17" CPD-17SE2 1600xl280xO,2S DIGIT - OSON -20"CPD-20SF2 1600xl280xO,30 DIGIT - OSOV -20"GDM-20SE 1600x1280xO,30

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