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LE CARACTI~RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU M O U V E M E N T

B R O W N I E N ET LA LOI DU L O G A R I T H M E IT~'.R~(i)

par Paul L6vy (Paris)

I N T R O D U C T I O N

En parlant du caract~re universel de la courbe F du mouvement brownien

dans un espace euclidien /l N dimensions, nous faisons allusion ~ une propri~t6

bien connue de cette courbe. Si elle est ind6finiment proiong6e, elle contient

presque sfirement des arcs qui, ~ une translation pr/~s, different arbitrairement

peu de n'importe quel arc fini donn6 C. Dans le Chapitre I, nous rappellerons

bri~vement la d~monstration de ce th6or/~me, et indiquerons quelques extensions

simples.

Dans le Chapitre II, qui est le chapitre principal de ce travail, nous nous occupe-

rons de la recherche d'arcs I', partant de I'origine et correspondant chacun ~ I'inter-

valle de temps (0, 0, et qui soient homoth6tiques d'un arc r~duit Tt peu different

de C. Le rapport d'homoth6tie entre F, (au num6rateur) et T, sera d~sign~ par

~. ----- )" (0. La convergence de T, vers C quand t parcourt une suite de nombres In

ind~finiment croissants ne peut alors ~tre obtenue que pour des suites conve-

nablement choisies et des valeurs ~.n = ). (t,) bien d6termin6es, ~ un facteur

pros qui tende vers un pour n infini.

Nous 6tudierons, non la rapidit6 de la convergence de Tt vers C, mais la

relation entre t et )., et cela nous conduira /t de nombreuses g~n~ralisations de

la loi du logarithme it6r~. Citons notamment les r~sultats suivants, dans les-

(l) Ce m6moire d6veloppe une Note pr~sent~e $ rAcad6mie des Sciences le 5 septembre 1953 (C. R. Acad. Sc., 241, p. 689-690).

3 3 8 l ' a U t. L E V Y

quels nous dirons qu 'une fonction al~atoire U (t) v~rifie la loi du Iogarithme

it~r~ si

I v~ (I} - - 11 1 Pr li..~oopmsu 2tlog log' (9

TH[~OREME H.3.3. La longueur maxima L. (t) d'une ligne polygonale h p

cOt~s inscrite darts Ft (les sommets se succ~dant darts le m0me ordre sur cette

ligne et s u r r , ) v~rifie la loi du logarithme itdr~.

!1 est remarquable que ni N, ni p, n'interviennent clans cet enonc~.

T H E O R ~ M E H.9.1. Si C est une courbe rectifiable de longueur unit~, il

existe presque sFzrement des suites de valeurs croissantes tn de t et de hombres

~ associds aux tn qui rdalisent la convergence de y, vers C et pour lesquelles ), (t)

vdrifie la loi du logarithme itdrd. Si la premiere de ces conditions est seule im-

posse aux tn on a presque sFzrement :

lim sup ~-~(t,) ~ 1 n-~oo 2 t~ log log t~

T H E O R ~ M E H.IO. Si y, d6signe maintenant l'arc r6duit ayant la mdme origine

que C et correspondant d la ddtermination ~/2 t log log t de ). (t) (pour t > t o > e),

l'ensemble des u est presque s~rement compact, et l'ensemble des courbes limites

obtenues pour des valeurs de t ind~finiment croissantes est presque s~rement Fen-

semble des courbes rectifiables et de longueurs ~ 1.

D'autres th~or~mes font intervenir, non seulement les arcs C et y,, mais

aussi les lois du mouvement sur ces arcs. L 'extension de tous ces th~or~mes

au cas d 'arcs de F tr~s petits et ayant, soit une origine donn~e, soit une ori-

gine ind~termin~e sur Ft, sera bri~vement indiqu~e.

Le Chapitre Ill sera consacr~ /a des applicat ions simples de ces th~or~mes

gSnSraux. A titre d 'exemple, consid~rons, dans le cas du plan, la mesure su-

perficielle S (t) de la portion du plan entour~e par F,. Pour une ligne C de

longueur ~ 1, le maximum de l'aire entour~e est r~alis~ par le cercle de 1

rayon~-~x. I1 r~sulte alors imm~diatement du th~or~me I1.10 que

pr Ilim sup St I I t - ~ o ~ 2 t log logt ~ ~ ~ 1 .

Au Chapitre IV, nous consid~rerons le cas limite N = ~ , c'est-A-dire ie

(t) Ces r6sultats sont 6nonc6s ici sous une forme un peu diff6rente de celle indiqu6e plus loin ; mais leurs significations ne sont pas chang6es.

LE ~ R A C ' I ~ E UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMlgNT BROWI'fIEN ETC. 339

cas de l'espace de HILBERT. Non seulement les r6sultats g6n6raux des deux

premiers chapitres sont en d6faut, mais la d6finition m~me de la courbe du

mouvement brownien n'a plus de sens. I! ne semble pas qu'on air encore si-

gnal6 qu'au contraire le passage ~t la limite est possible lorsqu'on consid6re

dans l'espace E n ~t N dimensions la courbe du mouvement brownien r6duite, 1

homoth6tique dans le rapport ~ de celle consid6r6e d'abord. I1 se produit alors

/t la limite une d6g6n6rescence; on obtient dans l'espace de HILBERT une courbe de

forme rigoureusement d6finie, pouvant glisser sur elle-m~me comme le fair dans

l 'espace E3 une h61ice trac6e sur un cylindre de r6volution. Ce glissement im-

plique une rotation, qui d6finit un mouvement brownien de rotation analogue

/l celui que V. PEI~RIN (l) a 6tudi6 dans E3, mais singuli6rement plus complexe.

I - DI~FINITIONS ET RAPPEL DE RI~SULTATS CONNUS

1.1. Ddflninition de la courbe r. Soient Xl(t), X~(t) , . . . , Xjv(0 , N d6termi=

nations ind~pendantes de la fonction du mouvement brownien lin6aire, et A(t)

le point de l'espace euclidien /l N dimensions, Ely , dont ces N fonctions sont

les coordonn6es. Nous supposerons que A(0) soit l'origine O des coordonn6es,

et d6signerons par I?, et appellerons courbe du mouvement brownien darts Ely, le

lieu de A (0 quand t varie de - - co /~ + oo. Pt et rt, t, (0 ( t ( t I) d6signeront

les arcs lieux de A (':) quand "c d6crit respectivement les intervaIIes (0, 0 et (t, t').

Nous 6crirons r t et Pt,,' quand nous voudrons consid6rer /~ la lois ces arcs et

la loi du mouvement du point A (.c) qui les d6crit.

1.2. Consid6rons maintenant un point mobile M('c) partant de l'origine, et

d6crivant un arc donn6 C d'un mouvement continu pendant l'intervalle de

temps fini (0, t); C d6signera la ioi du mouvement de ce point.

Nous appellerons distance de C et Pt le maximum de la distance A (~)M ('0

pour 0-~< "c ~ t, et distance de C e t r t la distance d6finie par M. FRI~CHET,

c'est-~-dire la borne inf6rieure de la distance de C et Pt lorsqu'on fair varier

la loi du mouvement sur la courbe donn6e C, a v e c l a seule restriction que ce

mouvement soit continu et monotone, ou du moins n'ait pas d'autres rebrous-

sements que ceux qu'on consid6rerait comme impliqu6s darts la d6finition de C.

(~) F. Perrin - l~tude math6matique du mouvement brownien de rotation Ann. Ec. norm. sup., s. 3, 45, 1928, p. 1-51.

3 4 0 PAUL L~.VY

Nous appellerons ~ - voisinage de C (ou de C) I'ensemble des courbes

F t possibles (ou des mouvements lPt) dont les distances ~ C (ou C) sont ~ ~.

THt~ORt~ME 1.2. Quelque petit que soit ~ ~ O, le e-voisinage de C (ou de C)

a une probabilitd positive p ~ p (~, t) de contenir I" t (ou Ft). Ce th~or~me est

sans doute assez connu pour qu'il soit inutile d'en rappeler la d~monstration.

Pr~cisons bien qu'il n'implique pour la courbe donn~e ou le mouvement donn6

aucune autre restriction que la continuit6 darts l'intervalle fermd [0, t].

Observons aussi que, si 0 ~ to ~ ti ~ 0% ce th~or~me s'applique unifor-

m~ment dans (to, ti), c'est-~-dire que, quand t varie dans cet intervalle, p a une

borne inf~rieure positive. Au contraire, si ~ est assez petit, p tend vers z~ro

aussi bien pour t ~ 0 que pour t infini. Cette probabilit~ a donc un maximum,

sans doute atteint une seule lois, quand t varie de z~ro ~ l'infini. Mais on

obtient une probabilit~ plus grande encore p (~) en laissant t ind~termin~ et

cherchant celui des arcs F t (ou des mouvements Ft) qui est le plus voisin

de C (ou C).

I1 peut ~tre int6ressant de pr6ciser l'ordre de grandeur des probabilit6s

p (E, t ) e t p (~ )pour e tr~s petit. Contentons-nous d'indiquer sans d~monstra-

lion, en ne consid6rant que le voisinage des arcs C et I' t sans nous occuper

de la loi du mouvement sur ces arcs, qu'elles ont asymptotiquement les for-

( + (') m e s / , et g ~- , l ~tant la longueur de C. Pour une courbe non recti-

fiable, le th~or~me reste vrai, mais p (e, t) et p (~) tendent vers z~ro avec e

plus rapidement que dans le cas d'une courbe rectifiable. Ces r~sultats se d~-

duisent ais~ment d'une mdthode qui sera expos~e au n ~ 11.7.

I. 3. Consid~rons maintenant la suite des arcs I v'~ = Fn~.~+l~. Leurs for-

mes, et leurs orientations dans l'espace, sont ind~pendantes, mais leurs posi-

tions ne le sont pas.

Si N = 2 (et aussi dans le cas trivial N-=- 1), la suite des origines A~ de

ces arcs est presque sfirement partout dense dans E s . Nous pouvons en

extraire une suite de points A~, qui tendent vers l'origine O de C. Alors la pro-

babilit~ que l'arc I 'c'~ partant de A; appartienne ~ l 'e-voisinage de C tend vers

une limite positive pour v infini. I I e n rdsulte que cette circonstance est presque

sfirement r~alis~e une infinit~ de lois, et, comme cet ~nonc~ s'applique/~ la fois

~ t o u s l e s ~ d'une suite infinie d~nombrable, et en particulier ~ une suite de

nombres tendant vers z~ro, il en r~sulte que, presque sfirement, on peut extraire

LE CARAC'YERE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROW/glEN ETC. 341

de la suite des arcs F ~) une suite partielle d'arcs tendant vers C. Un r6sultat

analogue s'applique ~ Pn~,tn+t), et C.

Si au contraire N > 2, O n'est presque sfirement pas un point d'accumu-

lation de la suite des An, ni m6me d'aucune suite IA(t~)} si les t~ sont born6s

inf6rieurement. On ne peut donc g6n6raliser le r6sultat pr6c6dent qu'en rame- nant A~ au voisinage de O. Nous pouvons d'ailleurs ramener ce point, soit

exactement en O, soit seulement au voisinage de O, et dans chacun de ces

cas, supposer que le mouvement de I w~ soit une translation ou bien un d6-

placement pouvant comporter aussi une rotation. Quelle que soit la m6thode

ainsi choisie, nous d6signerons par yr~J ou Yn~.t,,+~)~, celui des arcs pouvant

6tre obtenus qui est le plus voisin de C. Alors les r6sultats obtenus pour

F r-J dans le cas N = 2 s'appliquent h yr'), ce qui permet de r6sumer comme

suit les r6sultats obtenus:

THI~OREME 1.3. C dtant un arc fini d'une courbe de JORDAN:

l ~ on peut presque sftrement extraire de la suite des arcs Y~.tn+~ ddduits

de 1' i,,+~), par des ddplacements convenablement ddfinis une suite partielle d'arcs

tendant vers C:

2") le m~me rdsultat s'applique aux mouvements C et Y,~,cn+~),;

3*) si N ~ 2, il s'applique aux arcs 1' .t,+~)~ eux-m~mes sans qu'il soit nd-

cessaire de les ddplacer.

Une g6n6ralisation 6vidente s'obtient en remplaqant ies arcs 1 '~') par les arcs

F,,.,~,, sous les seules restrictions que t~ augmente ind6finiment avec n, et que

ies difi6rences t~, ~ t, soient comprises entre deux nombres positifs fixes.

Ce th6or~me s'applique a f o r t i o r i si, au lieu de se donner d'avance une

suite d'intervalles (t~, t~,), on choisit sur l 'axe des t des intervalles absolument

quelconques (t, t'). II est alors bien 6vident que la convergence la plus rapide

a chance d'6tre obtenue en introduisant le plus grand nombre de param6tres

arbitraires. Pour chaque T, on peut ainsi d6terminer i'intervalle (t, t') int6rieur

/l (0, T), et le d6placement qui transformera F,.,,, en un autre arc y,.,,, de ma-

nitre que la distance de y~,,, et C soit minima; de m6me pour Yt.,' et C.

II serait intd.ressant de pr6ciser la rapidit6 probable de la convergence

ainsi obtenue, et d'6tudier aussi les probl6mes analogues qui se posent Iorsqu'on

introduit moins de param6tres arbitraires. Mais, comme nous I'avons dit, c'est

un probl/~me un peu difi6rent qui est l 'objet du pr6sent travail.

1.4. Ce probl~me se pose lorsque, pour chercher /l d6duire de I',.,, un

342 vAuL L~VV

arc Yt,t" peu diff&ent de C, on utilise, non pas seulement des d6placements,

mais des similitudes. Nous appellerons arc rdduit l'arc Yt, t" ainsi obtenu, et d6-

L ( L e t l peuvent par exemple ~tre signerons ie rapport d'homoth6tie par ~. ~ -7-

les longueurs des plus grandes cordes de Ft. t, et Yt,t'; le param6tre ainsi choisi

n'est nul que pour une courbe r6duite ~t un point).

Comme nous l 'avons dit, nous ne nous occuperons pas de la rapidit6 de

la convergence. Le probl6me consistera /l pr6ciser la d6pendance de ). et de la

dur6e de parcours t " - t, et plus sp&ialement /l obtenir, pour les durdes de

pareours trbs petites ou tr~s grandes, une borne supdrieure asymptotique presque

sfire de la valeur de ). qui donne un arc rdduit peu diffdrent de C. Ce probl~me

n'a d'ailleurs de sens que si l'on restreint convenablement le choix de l'inter-

vaile de temps; nous savons en effet que, pour une valeur donn6e ": de t" - - t,

il existe presque sfirement des arcs Ft,t+ ~ arbitrairement peu diff&ents, /i un

d6placement pros, de n'importe quel arc donn6, et en particutier d'un arc sem-

blable /l C, le rapport de similitude pouvant ~tre arbitrairement grand ou ar-

bitrairement petit.

Nous consid6rerons ainsi trois probl~mes particuliers:

1 ~ Le premier est relatif aux arcs r t , pour t > 1, de sorte qu'on n'a de

chances d'obtenir des arcs r6duits tendant vers C que pour des valeurs de t

et de k ind6finiment croissantes. t '

Remarquons d'ailleurs que, si y est tr~s grand, et ~ d6termin6 de mani~re

que l'arc r6duit Tt' ait sa plus grande corde 6gale (ou ~ peu pros 6gale)h celle

de Tt, la pattie de cet arc qui est semblable/ l "i't est trbs probablement tr~s petite.

Donc, si q est assez grand, les arcs ~'t qui correspondent aux valeurs qn(n=O, 1, ...)

de t sour presque ind6pendants, et on peut presque sfirement, m~me en se

bornant h ces valeurs de t, obtenir une suite partielle d'arcs Tt qui tendent vers C.

2 ~ Le second probl~me est analogue, t > 1 6tant seulement remplac6 par

0 ~ t ~ 1; il s'agira donc ici d'arcs Ft tr~s petits, et les arcs r6duits seront des

arcs agrandis.

3 ~ Dans le troisi~me probl~me, il s'agira d'arcs Fro, to+ t quelconques /~ l'in-

t6rieur d'un arc fini F r . Les valeurs de t ~ consid6rer seront donc encore

tr~s petites.

On sait qu'une transformation ~16mentaire permet de ramener les deux

premiers probl~mes l'un ~ l'autre. Les propri~t~s de la fonction aldatoire vecto- OA (t) 1

rielle V-~ - - son t eu effet invariantes par le changement de t e n - y . Le troisi~-

LE CARACT~RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 343

me probl~me est au contraire ind6pendant des deux premiers. Toutefois, les

m~mes m6thodes s 'appliquant aux trois probl~mes, nous nous contenterons de

traiter le premier, et r6sumerons bri~vement /t la fin du Chapitre II les exten-

sions dont ia possibilit6 vient d'etre indiqu6e.

1.5. - Remarques. 1 ~ ) Du moment que nous ne nous occupons pas de la

rapidit6 de la convergence, il est absolument indiff6rent d'utiliser une similitude

quelconque, ou une homoth6tie, pour d6finir I'arc r6duit Tt. Les arcs I't auxquels

correspondront des arcs peu diff~rents de C seront plus rares dans le second

cas, mais ils existeront.

I1 est de m~me indifferent de chercher l'arc r~duit le plus voisin de C,

dont I'origine ne sera presque sfirement pas exactement en O, ou de ramener

son origine exactement en O.

2') En ce qui concerne le rapport de similitude )., si on a obtenu une suite

de valeurs croissantes t, de t, et des ~., qui leur correspondent, tels que les

courbes r~duites Tt, tendent vers C, le r~sultat subsiste si on remplace les

x~ tende vers un. Autrement dit, ~. n'est d~fini ~., par des hombres ),~ tels q u e ~

qu'asymptotiquement, ~ u n facteur pros qui tend vers l'unit~. Si donc nous

avons obtenu une fonction ~( t ) t e l l e que c? ( t ) soit pour ). une borne sup6-

rieure asymptotique presque sfire si c > 1, mais non s i c < 1, nous pouvons

dire que le th6or~me obtenu est le meilleur possible. Ce sera le cas des th6o-

r~mes du Chapitre II.

II - EXTENSION DE LA LOI DU LOGARITHME ITI~RI~

II. 1. D6signons par k,, k2 . . . . , kv, p nombres positifs de somme unit6,

c~, c2 , . . . , Cp des nombres positifs quelconques. Posons Ko = 0 et

(II. I .I)

Nous dirons que l'on

in6galit~s

(II. 1.2) R+ (t) > /ch I/2 kh t log log t

et par

Kh = k, + k, + " '" + k,

l'~venement ~ t est r~alis6 si

(h = l , 2 , . . . , p). a h la fois les p

(h = 1, 2 , . . , p) ,

oil t?h(t) d~signe la distance des points A (K+_, 0 et A (Kn 0. Nous dirons que

l'~v6nement ~ est r6alis6 s'il existe des valeurs arbitrairement grandes de t pour

lesquelles ~ t soit r6alis6.

THI~ORt~ME ILl . La probabilitd P r ( ~ ) est dgale ~ zdro si 2 2 2

S = c, + c~ + . . . + c~ > 1 et h un s i S < 1.

3 4 4 PAUL LEVY

Remarquons qu'il r~sulte du th6or~me de I 'alternative z~ro ou un de Kol-

mogorov que Pr (lE) ne peut ~tre que z~ro ou un. Remarquons aussi que pour

N = p = 1, ce theorY.me se r~duit /l la lot maintenant classique du logarithme

it~r~ (ou th~or/~me de Khintchine), et que pour p = 1 et N quelconque, il se

r~duit aussi /l un th~or6me connu (l). Pour d6montrer le th6or~me g6n~ral

~nonc~, il n 'y a qu'/l partir du calcul de Pr !lE,I, et appliquer des raisonnements

qui sont les m~mes que dans le cas N = p = 1.

11 nous suffit ~videmment d '~valuations asymptot iques, pour t infini, t?h(t)

~tant le produit de la longueur d 'un vecteur gaussien r~duit par ~ k h t , la pro-

babilit~ de chacune des in~galit~s (lI. 1.2) est

O) N t �9 r N-~ e - ~ d r ,.,,o r N-2 e - ~" c h }'2 log log t r = c h V21og log t

N--2 --c~

= CON, ~(Iog Iogt ) 2 (Iogt) ,

~N et to~,~ ~tant des constantes, et comme ces in6galit6s sont ind6pendantes, on a

p (N--2)

(II. 1.3) P r [lEt} ~ Q,v (log log t) 2 (log t) - s (t -~ o o ) ,

QN ~tant une nouvelle constante. Appliquant ce r~sultat /l la suite des nom-

bres t, = q" (q > 1), on a:

p ( N - - 2 )

(II. 1.4) Pr !lEq,! ~ (.2~(Iog q)-S (log n) "z n_S,

de sorte que cette probabil i t~ est le terme g~n~:ral d'une s~rie convergente si

S > 1 et divergente pour S < 1. Si S : 1, contentons-nous de remarquer

qu'e]le n'est convergente que si N = 1, p > 2. II nous suffit, pour la suite, de

d~terminer Pr (lE) dans ies deux premiers cas.

! ~ Supposons S = 1 -Jr- 2r > !. La convergence de la s~rie de terme g~-

n~ral Pr {lEq, I permet d'affirmer que, quelque petit que soit q - I > 0, il

existe presque sfirement un hombre fini T tel que let ne soit r~alis~ pour aucun

nombre t /l la fois sup~rieur ~. T et de la forme q". Ce r~sultat s'applique natu-

rellement aussi /l l '~ventualit6 lE~ obtenue en rempla~ant c,, c~ . . . . ,c~, par des

hombres un peu plus petits c~, c~ . . . . . c~,, tels que

S / , , / . = c ? + c ~ + . . - + c . ~ = l + ~ > 1

(~) Cf. P. Lbvy. Processus stochastiques et mouvement brownien, th~or/~me 52.2 (p. 251). Cet ouvrage sera d~sign~ darts la suite par l'abr~viation Proc. stoch.

LE CARACTI~RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWN1EN ETC. 3 4 5

Or, si q - - 1 est assez petit, chaque t appar t ient / t un intervalle (q~-t, q') et est

tr/~s voisin de ses extr6mit6s, et R(t) est trb.s probablement peu diff6rent de R(qn). D'une mani~re pr6cise, des ignons par f n l '6ventualit6 de l 'existence d'au moins

un t de I'intervalle (qn-,, qn) pour lequel ~ t soit r~alis6, et posons [3 = Pr (f~).

On d~montre ais6ment que, si q - 1 est assez petit, ~n a une probabilit~

7~ ~ Y > 0 d 'entrainer I'~ventualit6 E ~ , obtenue en remplagant les Ch par ies

c~,. La demonstrat ion, bas6e sur une inegalit6 de KOLMOGOROV dont l 'extension

notre probl~me est 6vidente, 6rant exactement la m~me que dans ie cas

N = p : 1, nous nous contenterons de renvoyer le lecteur /l notre livre de

1937 C). On a donc:

Pr IE~I ~ Y P~,

et comme le premier membre est le terme g~n~ral d 'une s~rie eonvergente, la

s~rie ~ est eonvergente, et le r~sultat /t d~montrer r~sulte du lemme de

BOREL-CANTEL.LI.

2 ~ ) Supposons maintenant S = 1 - - 2 E ~ 1. lei nous n 'avons qu'~ eonsi-

d6rer les valeurs q" de t, et montrer que parmi ces valeurs il y e n a presque

sfirement une infinitd pour lesquels ~ t est r6alis6. A cet effet nous consid~re-

rons 1'6v6nement auxiliaire E~, d~fini par les formules

i R'. :>1 c ; [ 2 ( k l q " - - q " - ' ) log log q", (11.1.5)

Rh (q") ~ chl/2 kh q" log log q ~ (h = 2,3 , . . . , p ) ,

1 off R: d~signe la distance A(q~-~) A (k~q"), et off q > ~ . Les ~v~nements

E : sont ind~pendants les uns des autres, et leurs probabil i t6s sont donn6es par

ia formule (ll. 1.4) off il faut seulement remplacer S par

S Z ~ " 2 2 2 c / + c~ + c~ + . . - + c~.

Si cl ~ : c:~ -t- ~, on a S" ----- I - - ~ ~ !. Ces probabili t~s forment alors une s~rie

divergente, et il r~sulte des lemmes de E. BOREL que, presque sfirement, une

infinit~ d '~v~nements ~ sont r~alis~s.

II reste /~ montrer que, si q et n sont assez grands, la m~me conclusion

s 'appl ique aux ~v~nements E ~ . Si d 'abord q est assez grand, I'intervalle (0, q'-~)

West qu 'une partie n~gligeable de (0, k~ q~), et, dans la premiere in~galit~ II. 1.5,

on commet une erreur relative arbitrairement petite en n~gligeant le terme en q ' - ' .

(l) p. L~vy. Th~orie de l'addition des variables al~atoires, th~or~me 70 (p. 260-264).

346 PAUL LI~VY

D'autre

dans le

r/ ~ n',

0I. et /~ ce

relative

part, d'apr~s ia premiere partie du th~or~me (qu'il suifit d'appliquer

cas classique p = I), il existe presque s6rement un n' tel que pour

on ait :

0 A (q"-') < 2 t / q"- ' log log q",

moment, si q aussi est assez grand, on commet une nouvelle erreur

arbitrairement petite en remplacant R, par R, (q") = 0 A (k,q"). Compte

tenu de ce que c, < c;, nous pouvons supposer q assez grand pour que ces

deux erreurs r6unies n'emp~chent pas la premiere formule (1I. 1.5), jointe

(11.1.6), d'entrainer la premiere formule (11. 1.4), pour t------q". Alors, pour ceux

des n > n' pour lesquels ]E~, est r6alise, c'est-/l-dire pour une suite presque

sfirement infinie de valeurs de n, Eq, I'est aussi.

Cela ach~ve la d~monstration du th6or~me, et montre d'une mani~re plus

pr6cise que, dans le cas S < 1, on trouve presque sflrement darts n'importe

quelle progression g6om6trique de raison q > 1 une infinit6 de valeurs de t

pour lesquelles ~ t est r6alis6 (la condition que q soit assez grand, n6cessaire

pour le raisonnement, ne i'est 6videmment pas pour la conclusion).

II.2. Nous allons maintenant compl6ter le th6or~me II. 1 en nous deman-

dant si I'on peut d6finir une suite de valeurs t, de t ind6finiment croissantes,

et telles que

R~ (t,) -~ Ch (h = 1, 2, p). (11.2.1) Ph(t") = ~'2kht, log Iogt, " ' "

S'il en est ainsi, nous dirons que la propri~t~ ~ est r~alis~e.

La r~ponse /l cette question est donn~e par le th~orbme suivant:

TH~.OR~ME 11.2.1. - La probabilitd Pr (~) est dgale ~ zdro si S > 1 et

un si S ~< 1.

La premiere pattie est ~vidente. Si cl, c~ , . . . , c~, sont respectivement inf~-

rieurs ~ G, co . . . . , Cp et si ~" est la propri~t~ relative /l ces hombres (les kh

~tant inchang~s), ~ implique ~ ' . Or, si S > 1, on peut choisir les c~ de mani6re

que S ' - = Z, c~, z > 1. I1 r~sulte alors du th6or~me II.1 que Pr ( ] E ' ) = 0; donc

Pr (O) = 0.

Supposons maintenant S ~ 1. D~signons par ~ et r deux nombres positifs

arbitrairement petits; si S < 1, ~' peut m~me ~tre nul, mats non ~.

Posons c~ = c ~ - ~', et d~finissons g " comme dans le premier cas. D'a-

pros le th~or~me 11.1, on a Pr { g ' l = 1; rappelons que cela se d~duit de l'~va-

luat ion asymptotique des probabil it~s

~ (t) = Pr [~ (t) >i c~ - - ~'}.

LE CARACTERE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BllOWN1EN ETC. 347

Or on a

Pr {c, ~ ~' ~< p,( t) ~< c, -t- ~1 ~ %(t ) ,

de sorte que le ra isonnement qui nous a conduit au th6or~me 2 subsiste si on

remplace les in6galit6s (!I.1.1) par les doubles in6galit6s

(h = !, 2, . . . , p).

partie du th6or~me

(II.2.2) c, - - ~" ~ p, (t) ~< c, -[-

Comme e et ~' sont arbitrairement petits, la seconde

6nonc6 en r(~sulte.

On d~duit aussi ais6ment du th6or(~me I1.1 que:

THI~OREME H.2.2. On a:

(11.2.3) Pr tlim sup '~-" p : ( t ) = i f = 1.

D'apr~s le th~or/~me ll.l, la limite consid~r6e est presque sfirement ~ 1. Sup-

posons maintenant qu'elle soit ~ 1 + 2E ~ 1. Dans I 'espace /~ p dimensions,

sur ia portion de la sphere Y~ c2, = 1 Jr- r sur laquelle tous les c, sont :>~ 0, on

peut trouver un nombre fini de points M rrJ, de coordonn~es c~% c~ r) rrrJ

tels que la r~union des r~gions d~finies chacune par les p in~galit~s

c, ~ ct,~ j (h = 1,2 . . . . . p)

recouvre toute la portion d 'espace

2 c , ~ O ( h = 1, 2, . . . , p), Y ~ c , > 1 + 2 E .

Pour une de ces r6gions au moins il existerait des valeurs arbitrairement gran-

des de t pour lesquelles le point p,(t), p2(t) . . . . . p,(t) lui appartiendrait . D'a-

pros le th6or~me ll.1, la probabilit6 de cette circonstance est nulle, ce qui

ach~ve la d~monstrat ion du th6or~me 6nonc6.

Revenant au th6or~me 11.2.1., nous voyons que, si S-----1, toutes les

suites de valeurs ind~finiment croissantes de t relies que l iminf p , ( t ) ~ c~ t-t~. oo

(pour h ----- 1, 2 . . . . . p) sont des suites v6rifiant la propri~t6 13. II n'en est pas

de m~me si S < 1.

II.3. Le th6or~me 11.2 entraine une cons6quence importante en ce qui con-

cerne la somme

p P

s (t) = ~ Rh (t) = V~2 t log log t ~ t'-k? ~,, (t) 1 !

348 e ~ o ~ L~V~

c'est-~-dire la longueur de la ligne polygonale OA (K~ 0 A (K2t) �9 �9 �9 A (Kpt). L'in~galit~ de BESSEL donne

p p p

(11.3.1) L2(t).~< 2t iog log t ~-~ k~ E ~(t) = 2t loglogt E~2h(t), 1 1 1

et l'on a d'autre part ~videmment

L (t) >~ O A (t).

Compte tenu, d'une part du th6or6me II.2.2, d'autre part de la lot clas-

sique du logarithme it6r6, on volt que:

THEOR~ME 11.3.1. La lot du logarithme itdrd s'applique ~ L(t), c'est-

~-dire que :

(11.3.2) Pr l lim sup L~(t) t t-~oo 2 f l o g l o g t - - 1 : 1 .

Ce th~or~me s'applique ~videmment aussi quand t - ~ 0 , h condition de

remplacer log log t par log[log t].

II est remarquable que la limite sup~rieure asymptotique presque sore

ainsi obtenue ne d~pende ni de N, ni de p, ni de K~, /42 . . . . ,K . , ces nombres

~tant seulement assujettis /l v~rifier les in~galit~s

(11.3.3) 0 ~ K1 -~</4"2 ~ . . �9 ~ Kp = 1

(l'~galit~ de plusieurs de ces hombres n'est pas exclue a priori; elle ~quivaut

au remplacement de p par un entier p ' ~ p, pour lequel le th~or~me reste vrai).

Naturellement, ce th~or~me implique que N e t p soient des nombres finis

donn6s. Mats en ce qui concerne les Kh, il est naturel de penser qu'on peut les lais-

ser ind~termin~s, et consid~rer le maximum Lp(t) de L(t) quand K~, K2 . . . . ,K,,_~ va-

rient, c'est-/l-dire la longueur maxima de la ligne polygonale O A (01) A (02) ... A (0)

sous les conditions

(II.3.4) 0 ~ 0~ -~< 02 -~< �9 �9 �9 ~ 0" = t.

On a en effet le th~or~me suivant:

TH~ORt~ME 11.3.2. La lot clu logarithme ildrd s'applique dl Lp (t). Avant de d~montrer ce th~or~me, observons qu'il entraine la m~me conclu-

sion pour le maximum /~.p(0 de la longueur de la ligne polygonale h p cBt~s

A(0o)A(0~)..-A(Op) SOUS la condition

( I I . 3 . 5 ) o 0o . .< 0, �9 �9 �9 t,

c'est-/~-dire que :

LE C A R A C T E R E U N I V E R S E L D E LA C O U R B E D U M O U V E M E N T B R O W N I E N ETC. 349

THs163 H.3.3. La lot du logarithme itdrd s'applique h L), (t). Cela r~sulte 6videmment de Lp (t) -~< L,/, (t) ~ Lp+2 (t).

Remarquons que les sommets A (0h) des lignes polygonales qui r6alisent

les longueurs maxima Lp(t) et Lp(t), h l 'exception des extr6mit6s de la pre-

miere de ces lignes qui sont par d6finition O et A(t), sont sur l' des points

exceptionnels , off la courbe atteint un plan qu'elle ne traverse pas. Ainsi, si

0 < h < p, l'arc A (0~,_,) A (Oh~.,) est tout entier ~. l'int~rieur de l'ellipso'fde de

r~volution de foyers A (Oh_,) et A (Oh+,) qui contient A (0t,), donc du m6me c6t6

du plan tangent en ce point.

11 en r6sulte que, pour les sommets de ces lignes, les in6galit6s (11.3.4.)

et (II.3.5.) sont v6rifi6es au sens strict. On peut pr6ciser que le nombre de

leurs cOt6s ne peut devenir inf6rieur h p que dans le cas infiniment peu pro-

bable off Fr se r6duirait h une ligne polygonale h moins de p c6t6s.

II.4. La d6monstrat ion du th6or~me II.3.2. n6cessite quelques remarques

pr61iminaires, relatives h la fonction X(0 ) du mouvement brownien lin6aire,

dans le cas off t et m 6tant des nombres positifs donn6s et Xo 6tant ~ 0, on

salt que les condi t ions:

( ~ ) X (0) = Xo, X (t) = m t' t-,

x (u) > / o (o u O,

sont r~alis~es; si xo = O, nous ~crirons ~o au lieu de ~ .

La premi6re de ces condit ions est une condition initiale. Les autres sont

infiniment peu probables si xo = O, ce qui est le cas important pour la suite.

11 est entendu que, quand nous parlerons de probabilit~s condit ionneHes rela-

t ives au cas off JB est r~alis6, nous les supposons d 'abord calcul6es pour x o ~ O,

pour faire ensuite, si cela est n6cessaire, tendre x o v e r s z6ro. Une remarque

analogue s 'appl ique h la condition X (t) = m l/t. On salt que, dans ces conditions:

m ~

(II.4.1) Pr I X ( 0 > m }"-/iX(O) = 0, JB} = e - - 2

et que d'autre part, si xo > O,

2 n l r n

(II.4.2) P r l ~ [ ~ J - - - - - 1 - - e 1'7- (,)

(~) Ces formules sont, avcc d'autres notations, les formules {11) (p. 2121 et (52) (p. 230) du Chapitre Vi de Proc. stoch. 23 . R e n d . C i r c . M a t e m . P a l e r m o - - S e r i e 11 - T o m o I V - A n n o 1955

350 e ~ w ~tv~

En appliquant successivement ces formules aux intervalles (0, ct) et (r t)

(avec 0 < E < 1), on volt ais~ment que la probabilit6

Fo(x) = Pr I X(~t) < x [~o , ~ ]

est absolument continue et a pour ddrivEe

m x [ x~ m'-' t + x~' 1 (ii.4.3) fo(X) = cx sh (l--E)-ri exp 2Et 20 ~ ~- t / '

c 6tant inddpendant de x, et d6fini par la condition que l'intdgrale du second

membre (de 0 ~ co) soit un. Plus g6neralement la probabilit~

F(x) =-= Pr {X(r < x[~t, ~}

admet la d~riv~e

x~+x~ , ,e t+x , ] xox mx _ exp (!1.4.4) f ( x ) = ?(Xo) sh - ~ sh (I--~)It 2~t ~-I--~J

(Xo) ~tant ind6pendant de x et d6fini par le th6or~me des probabilitds tota-

les. Quand Xo~" O, Xo q~ (xo)'~ c~t, et cette formule se r6duit h la prdc6dente.

Lemme H.4. La probabilit~ Fo(m~ ~'i)ne ddpend que de ~,~ et m. Si ~ r On a:

(11.4.5) lira F o(m'~l / t - ) = 1. m,-~.oo

La premiere partie de I'~nonc~ est ~vidente. Pour d~montrer la partons de la remarque que, dans I'hypoth~se ~ , on a

X ( ~ t ) = (1 - - *)Xo + m~ I:i + V*(1- -0 t ~ (~),

off ~ est, pour chaque E fixe, une variable gaussienne r~duite. Donc, X(,t)

infini, ~ tend en probabilitE vers l'unit~. Par suite

lira Pr iX(~t) < m~V' i ]~ l rn-~oo

existe e t a la valeur 0 si h < r et 1 si r~ > , .

D'autre part, d'apr~s (11.4.2.), si Xo > 0, la difference

F ( m ' ~ V t ) - - Pr IX(Et) < r e f I t ' t i l l

est majorEe par

2rex.

1 - - Pr [ ~ 1 ~ I = e t t- ,

seconde,

pour m

L E CARACTI~RE U N I V E R S E L D E L A C O U R B E D U M O U V E M E N T B R O W N I E N ETC. 351

et tend vers z6ro pour m infini, de sorte que le premier terme a la m~me va-

leur limite que le second.

Pour d6montrer le lemme, il suffit de d6montrer que, si ~ < s, ce r6sultat

subsiste pour xo-----O, et, pour cela, de d6montrer que F(m ~ f t ) est une fonc-

tion d6croissante de xo. Or, d'apr6s (II.4.4), si x > x', on a

d log f(x) __ x XoX x" xox" dxo .t(:r - - ---y- coth ~t ~ - coth -7-/- > O.

Si donc fo (x), Fa(x) et f~ (x), F~ (x) sont respect ivement les ddterminations

de f (x) et F(x) pour les valeurs x0 et xt de X(O), si xi > xo et f i ( a ) ~ kfo(a),

f i ( x ) - kfo(X) a l e m~me signe que x - a, et on a

1 - - F~ (a) = f , (x) d x > k fo (x) d x = k [1 - - Fo (a)l, �9 J Q a

i;,, /o F~ (a) = (x) dx < k fo (x) d x = k F o (a),

de sorte que, quand Xo croit, la probabilit6 des grandes valeurs de X(st ) aug-

mente. Donc F(x) d6cro~t, c.q.f.d.

II.5. Revenons /a la ligne F, et /i la ligne polygonale inscrite OA(O~)A(02)...

. . . A(0p_l)A(t) qui r6alise la longueur maxima Lp (t), et cherchons une borne

sup6rieure de l 'erreur (nGcessairement par d6faut) commise sur Lt,(t) si on rein-

place les 01, par des valeurs approch6es 0~ telles que

(11.4.6) [ 0~ - - O h I ~ ~ t (h -=--- 1, 2 , . . . , p - - 1).

Consid6rons d 'abord i'effet de l 'erreur commise sur un des sommets A (Oh) ,

et d6composons le d6placement A (Oh) A (0~,) en une composante tangentielle /t

I 'ellipsoide de r6volution de foyers A (0~_~) et A (0h+~) (00 et 0p repr6sentant 0 ett),

et une composante normale. La premiere composante ne pouvant qu 'augmenter

la longueur consid6r6e, sa diminution totale est major6e par le double de la

composante normale.

Or cette composante est une fonction X(t) /: laquelle nous pouvons ap-

pliquer le lemme II.4, en remplaqant 0 et t par O h e t 0/,• ~. Comme la loi clas-

sique du logarithme it6r6 permet de majorer OA (Oh) et OA(Oh• , doric

A (0~)A (0h• , et par suite sa composante normale, on a presque sfirement,

pour t assez grand, m ~ cx t/21og log t (c~ 6rant une constante qu'il est inutile

de pr6ciser). I1 r6sulte alors du lemme II.4 que, s i c 2 = -~ c~ > G, l 'erreur par

352 ~ V L LtV~

d~faut commise s u r Lp( t ) quand on remplace 0 par 0;, est, avec une probabilit6

tendant vers un pour t infini, major6e par 2 c2 ~ t '2 t log log t, et par suite :

Lemme 11.5. L'erreur totale commise sur Lp (t) par suite du remplacement de

0t, fo~ , . . . , %_, par 0~, O~ . . . . . 0~,_, est, un, majorde par

[; c3e 2 t l o g l o g t

11.6. Ddmonstration du thdorOme

avec une probabilitd tendant aussi vers

[c~ = 2 (p - - 1) c.,].

11.3.2. Comme Lp( t ) ~ L (t), le th~or6me

!1.3.1. montre que I'on a presque sfirement

l imsuplo(t)>~ 1 12,(t)-- 2ti-ffg,]-ogt ' t..~ oo

et il res te / l montrer que, presque sfirement, cette limite sup~rieure est ~ 1 +

(e ~tant un hombre positif arbitrairement petit).

Pla~:ons-nous clans I'eventualitd contraire. II existerait des valeurs arbi-

trairement grandes de t, et des lignes inscrites O A (0t) A (0.,) . . . A (for_ ,) A (t) 0t 0.2 %_ ,

telles que lp(t).> ! + ~. Les points ) - , u . . . . t de I 'espace ~ p - - I dimen-

sions auraient au moins un point d 'accumulat ion Kt, Ko, . . . ,K ,_~ (avec

0 ~ K I - - . < K . , . . . ~ K p _ , - ~ < 1). S i a lo r s fo~,= K ~ t ( h = 1 , 2 , . . . , p - - 1) les in~-

galit~s (11.4.6.) seraient v~rifi~es pour une suite de valeurs de t ind~finiment E

croissantes, et il r~sulte du lemme 11.5, appliqu~ en rempla~:ant ~ p a r - ~ - . , que,

pour ces valeurs, et avec une probabilit~ tendant vers I'unit6, on aurait aussi

L'(t) > 1 + 2 2 f l o g log t. Cela serait donc presque sfirement r~alis~ une infinitfi

de lois. La probabilit~ de cette circonstance est nulle, d'apr~s le th~or~me II.3.1.

C'est donc que 1'6ventualit~ initialement considdr~e a aussi une probabilit~

nulle, c.q.f.d.

Le th~or~me 11.3.3. est donc aussi d~montr~. Comme nous l 'avons d~j~

observe, les th~or~mes analogues obtenus en supposant que t tende vers z~ro

et en rempla~ant log log t par log ] log t [ sont aussi d~montr~s.

II.7. Nous d~signerons par lit n ' impor te quelle ligne polygonale

O A (foi)A (02)... ,4 (%) inscrite dans l't, et telle que

0 ~ < 0 ~ < a 2 ~ . . . ~ < 0 p = t,

par II,,~ la ligne homoth~tique de lit, le centre d 'homoth~tie ~tant 0 et le rap- I

port d 'homoth6tie ~tant z ' et par P une ligne polygonale donn6e ~ p c6t6s,

LE CARACTERE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMEN'Y BROWNIEN ETC. 353

partant de O, el de Iongueur unit6. Les longueurs de ses c0t~s successifs se-

ront d~sign6es par k~ : c2~ (h : 1, 2 . . . . ,p), et les Kh seront d6finis par la

formule (11.1.1.)

TH~OIPE.ME II .Z On peut presque s6rement ddfinir une suite de valeurs de t

ind~finiment croissantes et, pour chacune de ces valeurs, une ligne l l t , de manikre

que, en prenant ~. : V 2 t l o g l o g t , on obtienne les lignes r~duites 1I,,~ (ou plus

simplement nt) tendant vers P.

D'apr~.s le th~or~me II.3.2., la valeur indiqu6e pour ~. a asymptotiquement

le caracl~.re d'un maximum. Elle peut ~tre multipli6e par un facteur tendant

vers un, mais non par un facteur constant > 1.

Pour d~montrer le th6or~me ~nonc6, observons que, pour les valeurs des

kh et des Ch qui~ nous venons de d6finir, S = Z c2h est ia longueur de la iigne

P, suppos6e ~gale /l I'unit6. I1 r~sulte alors du th6or~me II.2.1 qu'il existe

presque sfirement une suite de valeurs tn de t, ind6finiment croissantes, et pour

lesquelles les conditions (II.2.1.) sont v6rifi6es, c'est-/l-dire que, si l'on d~finit

les Oh par Oh : Kh t, les longueurs des c6t~s de r~t tendent vers les limites

ch I rkhh : kh. 11 n'y a plus qu'/~ montrer qu'on peut presque sfirement extraire

de la suite des t nune suite partielle pour laquelle les angles des directions

des c6t~s de P et de llt qui se correspondent tendent tous vers z~ro.

Cela r6sulte ~videmment de I'ind6pendance des directions el des Iongueurs

des c0t~s de lit. I1 taut bien pr~ciser que nous ~vitons ici la difficult6 qui se

produirait si on prenait pour ]It la ligne qui r6alise la longueur maxima Lp (t);

les arcs de Ft sous-tendus par deux c6t6s cons6cutifs de cette ligne sont alors

au voisinage de leur extr6mit6 commune du m6me cSt~ d'un plan passant par

ce point, et cela implique une certaine corr61ation entre ies directions de ces

c6t~s. Mais en prenant pour lit la ligne O A (K~ t) . . . A (K~_t t) A (t), el en choi-

sissant une suite de valeurs de t ~ l'aide de conditions impos~es aux longueurs

Rh (t) de ses c0t6s, nous n'~tablissons aucune correlation entre leurs directions,

qui sont d~finies par p points ind6pendants les uns des autres, chacun 6rant

choisi au hasard sur une sphere de i 'espace EN. I1 y a alors une probabilit6

positive ~(e) pour que les angles d~finis chacun par une de ces directions el t'

celle du c6t~ correspondant de P soient tous < ~. De plus, si i est assez

grand, le premier c6t6 de lie est seul en corr61ation avec ceux de IIt et cette

correlation est faible. II en r~sulte que, presque sfirement, on peut extraire de

la suite des t~ une suite partielle telle que, pour les valeurs de t de cette suite,

354 P~V~ LEVY

les cOt~s de lit forment avec les c6t~s correspondant de P des angles tendant

vers z~ro. Les cBt6s des lignes r~duites rot ont alors h la limite les m~mes lon-

gueurs et les m~mes directions que ceux de P, c'est-h-dire qu'h la limite rot se

confond avec P, c.q.f.d.

II.8. Nous d6signerons par "(t l'arc homoth6tique de Ft, clans lequel la ligne

polygonale r est inscrite, par l~t et Tt les mouvements des points A (t u) et

a (t u) qui se correspondent dans la m6me homoth6tie, et qui d6crivent respecti-

vement les arcs I't et ~'t quand u varie de z6ro h un. Quand nous parlerons

de 7t, nous supposerons que u est le temps; c'est donc toujours un mouve-

ment effectu6 pendant l'intervalle de temps (0,1). Le mouvement d'un point qui

ddcrit la ligne P avec une vitesse unit6 sera d6sign6 par P.

TH[~OREME 11.8. Pour toutes les suites de valeurs de t vdrifiant les conditions

du thdorbme 11.7, il est presque sftr que Tt tend vers P, et que Tt tend vers P.

Remarquons que la convergence en probabilit6 de Tt vers P, pour les t des

suites consid~r6es, r~sulte de ce que le mouvement moyen de a (t u) entre deux

sommets cons~cutifs de lit est rectiligne et uniforme, l'6cart maximum 6tant en

D~montrons d'abord la convergence presque sfire de ~' vers P. Si, pour une

suite de valeurs de t v~rifiant les conditions du th~or~me II.7, la distance de

ces iignes ~tait born~e inf~rieurement, on pourrait choisir sur au moins un des

arcs a (0h_l) a (0h) de 7t un point a (0) dont la distance au c6t~ a (0h_l) a (0~)

de P serait aussi born6e inf6rieurement. En rempla~ant ce c6t6 de P par la

ligne a (0h_,) a (0) a (0h), on obtiendrait une iigne polygonale ~ p + 1 c6t6s,

inscrite dans Tt, et de longueur sup6rieure ~t un nombre fixe 1 + ~ > 1. D'a-

pros le th6or~me II.3.2., qui s 'applique ~t une telle ligne, la probabilit6 de cette

circonstance est nulle.

Le r6sultat plus pr6cis relatif ~ la convergence de Tt vers P se d6montre

d'une mani~re analogue. Si un point a (0) de l'arc a (0h_i) a (0h) , quoique voi-

sin de la corde de cet arc, n'6tait pas voisin de sa position probable d6finie

par un mouvement uniforme sur cette corde, l'adjonction de ce point au poly-

gone IIt d6finirait un polygone /a p + 1 c6t6s pour lequel les temps r6serv6s

aux diff6rents c6t6s ne seraient pas proportionnels h leurs longueurs. Or cette

proportionnalit6 (c'est-h-dire la proportionnalit6 des c~ aux k,,) est n6cessaire

I,E CARACTERE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 3 5 5

pour que le maximum de L(t) donn6 par la formule (II.3.1) soit atteint, et que

par suite celui donn6 par le th~or~me (11.3.1) ait une probabil i te positive d'etre

atteint; en termes pr6cis, si les c~, n'etaient pas proport ionnels aux k, , il exis-

terait presque sfirement un e positif tel que, pour tout t assez grand de la

suite des valeurs de t consid6r6es, on ait:

L(t) < (1 - -~ ) I/2 t l og iog t .

Cette conclusion est en contradiction avec la d~finition de cette suite. C'est

doric que l 'hypoth~se de i 'existence d'un a(0) qui ne soit pas tr~s voisin de

sa position probable (et cela pour des valeurs arbitrairement grandes de t) est

infiniment peu probable, c.q.f.d.

Naturellement, le th6or~me 11.7 subsiste , si c < 1, pour )`2 = 2c 2 t log log t,

mais le th6or~me II.8 suppose essentiel lement que )2 ait la valeur maxima,

~gale (h une erreur relative pros qui tend vers z~ro pour t infini), h 2 t log Iogt.

La conclusion ne subs is te pas si ~ = 2 c t log log t (0 < c < 1); mais la con-

vergence en probabilit~ de Tt vers P subsiste . Si on sait que la ligne 7r est,

pour une valeur tr~s grande de t, tres voisine de P, il est tr~s probable que

a (0) est pendant tout l ' intervalle (0, t) tr~s voisin de la posit ion d6finie par un

mouvement uniforme sur P. 11 n'en existe pas moins presque sfirement des

valeurs arbitrairement grandes de t, non connues d 'avance, pour lesquelles ce

voisinage n'est pas r6alis6.

11.9. 11 n'y a maintenant aucune difficult6 /l passer du cas de la ligne po-

lygonale P :~ celui d 'une ligne continue C, de Iongueur unit~, b. cela pros quel-

conque. On peut en effet d6finir une ligne polygonale /9, de Iongueur unit6, et

telle que la distance de deux points ddcrivant respect ivement C et P avec la

vitesse unit6 soit cons tamment -_< r Des r~sultats obtenus dans le cas de la

ligne P r~suite aiors le th~or~me suivant :

THt~OR~'ME II.9. I. 1 ~ S i c ~ 1, il existe presque s~rement des suites de valeurs

de t inddfiniment croissantes, auxquelles correspondent des arcs rdduits Tt tendant

vers C et des mouvements rdduits Tt tendant vers celui d'un point qui ddcrit C

avec une vitesse unitd, le rapport d'homothdtie ~ de F t e t 7t ayant la valeur

c I/2 t log log t.

2 ~ Si la convergence de Tt vers C est rdalisde pour une suite de valeurs t,

de t inddfiniment croissantes, il est presque stir que

~,~(t.) ~ 1. lira sup 2 t. log log t n n~oo

356 P*UL LEVY

Dans le cas d'une courbe C non rectifiable, d6signons par 1 (~) la Iongueur

minima d'une courbe rectifiable dont la distance /t C soit ~_< E. L'application du

th~or~me pr6c6dent /l une telle courbe montre qu'avec ie rapport d'homoth6tie

Y2tloglogt o n peut presque sfirement obtenir une suite de valeurs de t et

d'arcs r~duits "r, dont la distance h C soit ~ la limite ~ E, tandis que cela est

impossible avec des valeurs plus grandes de ~.. Pour obtenir des arcs r6duits

tendant vers C, il faut que ~-~0 , donc l(r ~ ; mais on peut prendre I

pour T , donc pour l(~), des valeurs croissant avec t aussi lentement que l'on

veut. On en d~duit que

THEORI~ME 11.9.2. Si f(t) est une fonction ddcroissante de t, et si C est un

arc de courbe fini et non rectifiable, la probabilitd de l'existence d'une suite de

valeurs de t auxquelles correspondent des arcs rdduits y, tendant vers C et tels que

X(t) >.~ f (t) r t log log t

est un si f (~ ) = 0 et zdro si f (~ ) > O.

II.10. Revenons au cas d'une courbe C, partant de i'origine, rectifiable, et

de Iongueur ~ !. D~signons par C~ l'ensemble de toutes les courbes continues,

rectifiables ou non, dont la distance /~ C est < E, par "lk l'ensemble de tous

les C et, pour chaque e fixe, par "IRe ia r~union de t o u s l e s C .

THt~OREME H.IO. A tout E positif correspond presque s~rement un hombre

T = T(e) tel que, pour t ~ T et ~2 = 2 t log log t, % appartienne ~ " ~ .

Montrons d'abord que cela revient/l dire que, presque sfirement, l'ensemble

des y, (t > t o > e) est compact. En effet, les sous-ensembles obtenus en bor-

nant t 6tant ~videmment compacts, il reste h consid~rer le cas d'une suite de

nombres t, ind6finiment croissants. Si le th6or~me est vrai, les ",,, correspon-

dant h ces valeurs t, de t tendent vers ~ , qui est compact; ils forment donc

une suite compacte, lnversement, il r~sulte d u n ~ II.9, que les courbes C de 1k

sont presque sflrement seules des limites possibles pour une suite de courbes

Yt correspondant h des indices t~ ind~finiment croissants, et, si l'ensemble des

y, consid6r~s est compact, ie th~or~me dnonc~ en r~sulte.

Pour le d6montrer, faisons l'hypoth~:se suivante, dont il s'agit de montrer

que la probabilit~ est nulle: il existe un nombre positif e, et des valeurs t, de

t ind6finiment croissantes, telles que, pour ces valeurs, y, n'appartienne pas/ l "lk~.

D6signons par r~,(t) une ligne polygonale /l p c6t6s, inscrite darts y,. Si sa

longueur l[r~p (t)] est ~ I, r:p (t)~'IR, et, si t e s t un des t,, la distance de Xp (t)

LE CARACTI~RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 357

et y, est ~ e . Donc, de deux choses l 'une: ou bien un point au moins de E 7, est /l une distance de ~p (t) sup~rieure ~. ~- ; ou bien la projection sur un des

c6t~s de =p(t) du point a(z) qui d6crit l'arc correspondant de y,, revient au

moins une lois en arri~re sur une distance sup6rieure h r Dans les deux cas,

il existe un nombre r~, bien d6termin6 en fonction de e, tel qu'en ajoutant aux

sommets de np(t) un ou deux sommets convenablement choisis on obfienne

une ligne analogue /l p + 1 (ou p --]- 2) c6t6s de longueur > l[~p(t)] ~ "~ (ou

> l [,~p (t)]-q--2 ~). Si alors lp (t) est le maximum de l [TZp(t)] quand les sommets

de ~p(t) varient sur 7,, s i t = t, et lp (t) ~< 1, on a:

lp+,(t) - - Ip(t) > r 1 ou l,+2(t ) - - lp(t) > 27 .

On peut donc d~terminer un nombre q, ind6pendant de n, tel que l q ( t , )~ 1.

S i c e nombre d6passe tr~s peu l'unit6, il existe une ligne polygonale nq(tn) de

longueur unit6 inscrite darts ~',n, et une derni~re application du r~sultat pr6c6-

dent montre que, pour la valeur q -+- 2 de p, donc pour une valeur bien d6- 1

termin6e, ind6pendante de n, on a b ( t , , ) > l q - " 0 . Or l p ( t ) = f L p ( t ) , avec

~ ) = 2 t log log t. Donc, d'apr~s le th6or~me II.3.3., la probabilit6 de cette con-

clusion est nulle. La probabilit6 de l'hypoth~se initiale est doric nulle, c.q.f.d.

!I.I1. Pour obtenir un th6orbme analogue relatifs aux mouvements ~',, il

faut introduire l 'ensemble lk des mouvements C de mobiles d6crivant les

courbes C pendant l'intervalle de temps (0,1), et tels que pendant n'importe

quei intervalle de temps partiel de dur6e ~, le chemin d6crit soit ~ V":. On a

alors le th~orbme suivant.

THt~ORI~ME I!.11. A tout ~ positif correspond presque s~rement un nombre

T : T (~) tel que, pour t > T, ~, appartienne ~ l 'e-voisinage de ~k.

11 est en effet bien 6vident que les C 6 " ~ peuvent seuls ~tre limites de

7, pour des valeurs de t ind6finiment croissantes. D'autre part la d6monstra-

tion du fait que I'ensemble des y~ est compact est tout /~ fait analogue h celle

donn~e ~ p r o p o s du th~orbme pr6c6dent. I! semble inutile de la r6p6ter.

II.12. I1 n'est sans doute pas inutile d'indiquer bribvement le principe d'une

m~thode assez intuitive qui permet de d~duire les th6or~mes principaux de ce

chapitre des formes ant6rieurement connues de la loi du logarithme it6r6. C'est

par cette m6thode que nous avons d'abord obtenu ces th6or~mes nouveaux.

358 ~ u , . ~ w

Mais il nous a sembl~ ensuite que la m6thode suivie c i -dessus permettait de mieux pr6ciser certains points, et notamment les th6or~mes 11.1 et II.2.

L'id6e directrice de notre m6thode initiale 6tait celle utilis6e au N ~ II.7,

reposant sur I ' ind6pendance des directions et des Iongueurs des c6t~s d 'une

ligne polygonale II, inscrite dans 1',. On en d~duit que, si une cond't ion impo-

s6e aux longueurs est presque sCirement v6rifi6e par des valeurs arbitrairement

grandes de t, ce r~sultat subsis te si on impose en outre aux directions d'avoir

des limites donn~es. Si on se donne la m~me direction limite pour tous les

cft~s, la longueur L(t)de l-I, se confond /i la limite avec celle de la corde

0 A (t), et il en r~sulte que, en premiere approximation, c 'est-/l-dire en ne tenant

pas compte de facteurs de la forme 1 + o(1)( t ~ oo), route formule qui borne

sup~rieurement la croissance de O A (t) s 'appl ique ~ L(t), et reste aussi appli-

cable si les p directions limites donn~es ne sont plus confondues. On arrive

ainsi ais6ment au th6or~me 11.3.1. Par contre la d~monstrat ion du th~or~me

II.3.2. ne nous semble pas pouvoir ~tre simplifi~e.

C'est la m~thode simple que nous venons d 'esquisser qui nous permet

d'affirmer la l~gitimit~ des extensions indiqu~es /~ la fin d u n ~ 1.4, et que nous

pouvons r~sumer comme suit.

1 ~ S i t tend vers z~ro, les thdor/~mes du pr6sent chapitre relatifs aux arcs

F, subsistent , ~, condition de remplacer log log t par log I log t I �9

2 0 ) Si on consid~re, au lieu des arcs F, les arcs l't0.ro+t faisant partie d'un

arc fini O A (T) de I', et si to peut varier d 'une mani~re quelconque quand t tend

vers z~ro, ces m~mes th~or/~mes subs is tent ft. condition de remplacer log log t

par I log t I �9 En effet, comme pr6misse de la th~orie, nous avons h appliquer

le th6or~me de continuit6 ou ioi du logarithme simple, qui remplace la loi du

Iogarithme it~r~. Les ra isonnements sont ensuite les m~mes que s'il s'agit

des arcs F,.

C H A P I T R E I l l

APPLICATIONS

Ill.1. Un THEOREME Gt~NERAL.

Considerons une fonction ~((7) de la iigne C qui soit positive, continue, et

homog~ne de degr6 positif ~, c'est-/l-dire qu'~ deux courbes semblables dont le

rapport de similitude est ). correspondent deux valeurs de ~ ( C ) dont le rapport

soit ~.", et posons

,I, (rt) _~ U(t).

LE CARACTERE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 359

T H E O R E M E III.1. Si �9 (C)

maximum m, on a :

l vl,, I Pr lim sup x. _ m --= 1 t . - ~

a dans l'ensemble ~ (d6fini

Ce th6or~me est un

au n ~ lI.10) un

(~. = (2 t log log t).

corollaire imm6diat des th6or6mes II.9.1. et II.10. En

effet, l 'ensemble "lk 6tant compact, le maximum m est rdalis6 pour une courbe

Co, de longueur 1. D'apr~s le th6or~me II.9.1., il existe presque sfirement des

valeurs arbitrairement grandes de t pour lesquelles 7t soit arbitrairement voisin

de C, donc r ),-~(t)U(t) peu different de m. Donc la limite sup6rieure

considdrde est presque sfirement ~ m.

Inversement, d'apr~s le th6or~me II.10, l 'ensemble des 7t est presque sfi-

rement compact. Toute valeur que ~(Tt) pourrait atteindre ou d6passer pour des

valeurs arbitrairement grandes d e t serait donc atteinte ou ddpass6e pour une

courbe de l'ensemble limite lk. Elle est donc -~< m, c.q.f.d.

III.2. A P P L I C A T I O N S PARTICULIERES .

1 ~ Prenons pour @(C) le diam6tre D(C) de la plus petite sphere entourant C.

Si C E 1k, le maximum de D (C), r~alis6 pour un segment rectiligne de longueur

unitS, est 1. Le degrg d'homog6n~it6 e est 1. Donc:

D2 (rt) I (III.2.1) Pr litm. sup 2tlog logt = 1 = 1.

2 ~ Supposons N : 2, et prenons pour O(C) la mesure superficielle S ( C ) d e

l 'ensemble des points int~rieurs chacun /~ au moins une boucle fermde de la 1 1

courbe C. Le maximum m, r6alis6 par une circonf6rence de rayon T~-~' est 4 ~ "

Une courbe presque ferrule, pour laquelle ap (C)-----0, pouvant tendre vers une

courbe fermde, ~(C) n'est que continu sup~rieurement. Mais il n'en rd-

suite aucune difficult6 essentielle. Nous pouvons prendre pour Co le lieu d'un

point A (t), d6crivant pendant l'intervalle de temps (~, 1 - ~)une circonfd-

fence de longueur I - - 2 e et pendant les intervalles (0, e) et (1 - - ~, 1) deux petits

segments rectilignes de m~me longueur e, disposals de telle mani~re que les

trajectoires correspondant aux intervalles de temps (0, 2 ~) et (1 - - 2 ~, 1) se croi-

sent. Au voisinage d'une telle courbe, O(C) est continu, et comme O(Co) est 1

arbitrairement voisin de -i~-~, on voit que la limite sup6rieure considgrge ddpasse

1 presque sfirement n'importe quel nombre ( -~--~. On a donc:

360 VAUL LtVV

(!11.2.2) Pr l l im sup s{r,) t I t-.~-oo 2 t l o g l o g t - - 4,x ~--- 1 (I).

3 ~ Prenons pour ~(C) la mesure St (C) du plus petit volume convexe con-

tenant C. Si N = 2, S~ (C} est une aire; le maximum m, r6alis~, pour une I

demi-circonf6rence de rayon ~ , est ~-~. On a alors

(I11.2.3) Pr l lira sup s,(r,) 1 t t..~,.oo 2 t log Iog t - - 2 ~ = 1 .

Si N > 2, la valeur de m d6pend d'un problbme de calcul des variations

qui ne semble pas actuellement r~solu; le degr6 d'homog6n~it6 est N. Donc

(!11.2.4) P r l l im sup S~(r,) - - m2! = 1 l t..~,~ (2 t log log t)" ~

m ~tant un nombre positif actuellement inconnu, mais dont il est facile d'avoir

des bornes; ainsi, pour N = 3 on a 6videmment

2 ~< m < ___L___l (!II.2.5) 81 ~ 3 = V3'

la borne inf~rieure ~tant donn~e par une ligne form6e d'un demi-cercle de 2 i

rayon ~- et d'un segment rectiligne de longueur ~- perpendiculaire au plan de

ce cercle, et la borne supdrieure r~sultant de la remarque que, si une ligne C

de Iongueur unitd a une projection de longueur cos 0 sur le plan des x y, sa

projection sur Oz est < sin O; elle est doric int6rieure fi un cylindre de volume

1 I 2 2--~ COS20 s in 0 -~< 2~ 31 .3"

Cette borne sup6rieure est d'ailleurs beaucoup trop grande; la valeur exacte

de m semble assez voisine de 0,01.

111.3. Gtg.NERALISATIONS. Rappelons d'abord que les remarques finales

(t) Cette fonction S(I ' t) et la fonction s l ( r t ) ont d~j~ ~t~ consid~r~es dans mon m6moire

,,Le mouvement brownien p lan , , Amer. Journ. of math., 62 (1940), p. 487-550. II est d 'ai l leurs

difficile de former les lois dont d~pendent ces fonctions, et ie m'~tais pour cette raison bor-

n~ :~ des remarques quali tat ives sur le mode de croissance de ces fonctions de t; la pre-

miere croit par sauts et la seconde est continue. C'est une conversat ion avec J.M. HAM-

MERSLEY, relat ive ~ I 'aire S(Ft) dans le cas du processus de POLYA, qui a attir~ mon at-

tention sur le fail que, sans connaitre la Ioi de probabilitt~ de S(Ft), il est facile d 'obtenir

pour cette fonction une borne sup~rieure asymptol ique presque sore. HAMMERSLEY avait aussi

obtenu une borne inferieure, mais le probl~me de la meil leure borne inf6rieure n'est pas r6solu.

LE CARACT/~RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 361

du Chapitre II s 'appliquent aux th6or~mes que nous venons d'6tablir aussi bien

qu'h ceux du Chapitre II. Les r6sultats pr6c6dents, avec les corrections indiqu6es

h cet endroit, s 'appliquent doric au cas d'arcs tr6s petits, que ieur origine soit

donn6e ou simplement int6rieure h un arc tint donn6.

Ce que nous voulons faire remarquer maintenant, c'est que nos th6or6mes,

reposant essentiellement sur la lot du Iogarithme it6r6, s'6tendent h des pro-

cessus additifs beaucoup plus g6n6raux. Pour fixer les id6es, nous ferons les

hypoth6ses suivantes :

1 ~ Nous supposerons que la lot des d6placements est stationnaire, c'est-h-dire

que, ou bien le d6placement est constamment possible, et la lot dont d~pend

le d6placement A (t) A (t q- "~) ne d6pend pas de t, ou bien le mouvement n'est

possible qu'aux instants t~ = n ~, et la lot du d6placement instantan6 r6alis6

un tel instant ne d6pend pas de n.

2 ~ La valeur probable de [OA(t)] 2 est finie, d'o~ il r6sulte que le proces-

sus est asymptotiquement gaussien, et cette valeur probable, compte tenu de

l'hypoth~se pr6c6dente, est proportionnelle h t (dans le second cas, cela ne

s'applique bien entendu qu'aux valeurs de t multiples de "~). Les unit6s sont

suppos6es choisies de mani~re que cette valeur probable soit N t .

30 M6me si la lot du d6placement 616mentaire n'est pas la m~me darts O A (t) .

toutes les directions, la lot dont d6pend asymptotiquement le vecteur ~ T - e s t

isotrope. Alors la lot du lo]garithme it6r6, et par suite t o u s l e s th6or~mes obte-

nus dans ie pr6sent travail, s 'appliquent sans changement pour les arcs 1', tr~s

grands. I1 Iaut seulement pr6ciser, dans le cas discontinu, que, pour parler de

S (F,), nous consid6rons les positions successives de A(t) comme les sommets

d'une ligne polygonale, qui sera la ligne r. Pour les autres exemples indiqu6s,

il est indiff6rent de consid6rer cette ligne ou ses sommets.

Un des exemples les plus connus de processus auquel s'6tendent ainsi les

r6sultats qui pr6c~dent, est celui de la promenade au hasard dans un r6seau

de rues, consid6r6e par G. POLYA. I1 faut seulement dans ce cas faire atten-

tion au choix des unit6s; si N = 2, et qu'ii y ait un d6placement par unit6 de

temps, il faut que ce d6placement soit le double de l'unit6 de longueur; sinon

les formules doivent ~tre corrig6es en cons6quence.

Un autre exernple est celui dans lequel le point se d6placerait aux instants

t = n'~, chaque d6placement 6tant 6gal ~ l /Nz et de direction choisie au hasard.

On peut g6n6raliser ces deux exemples en supposant que les instants des d6-

placements d6pendent d'un processus de POISSON.

362 PAUL L~v~

C H A P I T R E IV

LE CAS DE L'ESPACE DE HILBERT

IV.1. Dans les chapitres pr~c6dents, la valeur probable de [OA (t)] 2 est N t .

I I e n r6sulte que, pour N infini, le passage /~ la limite n'est possible qu'en

introduisant le point aN (t), extr6mit~ du vecteur

1 0 a (t) = i-N 0 A,v (t).

La Iongueur de ce vecteur ~tant d6sign~e par r(t), on a en effet

r"- (t) l E t = , ~ ' ,

de sorte que r ( t ) t e n d en moyenne quadratique vers i'unit~, pour N infini.

Dans i'espace de HILBERT, O a ( t ) est donc un vecteur de longueur [-t~ et de

direction choisie au hasard.

Considfirons maintenant une suite de points a. = a(t .) , les t. croissant

avec l'indice. De 2 2

aoa, = t, - - to, a,a, t2 - - t,, aoa~ = t 2 - - to,

on d~duit que le triangle ao a, a2 est rectangle en al; il en est de m~me de

aoa, a3, et par suite o 0 a, et a2 a3 (qui est contenu dans le plan a, a2 a3) sont

perpendiculaires. Plus g6n6ralement: d, deux intervalles disjoints de l'axe des t

correspondent, sur la courbe T lieu du point a (t), deux cordes perpendiculaires.

Ce th60r/~me se rattache /l un th60r~me connu de E. BOREL qu'on peut

exprimer en disant que: dans l 'espace E, , si N e s t grand, une direction Ox

choisie au hasard (avec une r6partition de la probabilit6 uniforme sur une

sph/~re de centre O) fait avec une direction donn~e Oz un angle tres probable- "K

ment tr~s voisin de 2 . Ce r6sultat subsiste si la direction Oz a 6t6 pr~a-

lablement choisie au hasard. Donc I'angle de deux directions choisies au

hasard tend en probabilit6 vers ~-quand Naugmente ind6finiment. Dans l'espa-

ce de HILBERT, cet angle est presque sfirememt nui.

Or, /~ deux intervalles disjoints de I'axe des t correspondent sur ",, deux

cordes ind6pendantes. Elles sont donc presque sfirement orthogonales.

IV.2. Une cons6quence des r6sultats obtenus est que: ia courbe "~ a une

forme bien ddterminde et une orientation absolument arbitraire. Cela est 6vident,

puisqu'il s'agit d'une figure clans laquelle la distance de deux points quelcon-

ques est bien d6termin6e. Mais ii y a int6r6t /t pr6ciser la construction de cette figure.

LE CARACTt~-RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 363

cet effet, donnons-nous une suite de nombres t, (n = 0, 1, ...), partout dense

sur i'axe des t, auxquels correspondront des points a~. Nous pouvons supposer

que ao soft I'origine O. La courbe, ~tant continue, est bien d~finie par la suite des an. Pour chaque n, d6signons par (t~, t~) le plus grand intervalle contenant

tn et ne contenant aucun t d'indice plus petit. Si un des nombres t~ et t~ est

infini, si par exemple t~ = ___ 0% a, est l'extr6mit6 d'un vecteur a (tj,) an, de

Iongueur l ' l t~--t; ,I , perpendiculaire /l I'hyperplan Oa, a2.. .an_,, et de direction

/t cela pros queiconque. Si t~ et t'~ sont finis, a(t~) est remplac6 par un point

h du segment rectiligne a (t~) a (t~), qui d6termine sur ce segment deux intervalles

proportionnels /l tn - - t~ et t~ - - tn. Le vecteur h an a alors une Iongueur connue

] / ( t , - t '~ l ( t"~- t , ) , et sa direction se d6termine comme celle de a(t'~)an dans

/

p -

le premier cas, qu'on d6duit d'ailleurs du second en faisant augmenter ind6-

finiment t~. Dans les deux cas, nous nous trouvons bien avoir d6montr6 par r6currence que,

partant d'une ligne polygonale /l n cbt6s de forme connue, nous obtenons une

ligne /i n + 1 c6t6s de forme connue, ses diff6rentes positions possibles se

d6duisant les unes des autres par des rotations autour de l'hyperplan-axe

O a, a2 ... a,,. "A la limite, on retrouve bien le r6sultat 6nonc6. IV.3. La courbe "f se trouve ainsi dans un hyperplan P bien d6termin6 par

une infinit6 d6nombrable de directions deux /l deux rectangulaires, /l cela pros

quelconques. Or, clans ces conditions, il est presque sf~r que, non seulement P

n'est pas tout l 'espace de HILBERT E~,, mats que: E,o est l'espace produit de

P par une autre vari~td lindaire orthogonale ~ P e t qui a aussi une infinit~ de

dimensions. Remarquons d'abord qu'on ne change rien h la d~finition de P e n choi-

sissant successivement dans E,~ des directions arbitraires ind~pendantes D, D~ .... ;

en effet, en les orthogonalisant, on obtient des directions orthogonales, ~ cela pros choisies au hasard, exactement comme dans le premier cas.

11 en r~sulte que les propri~t~s stochastiques de P (nous entendons par Ifi

tout ce qui est li~ fi la distribution de la probabilit~ dans un espace dont

chaque point corresponde A une position possible de ce plan) sont exactement

les m~mes que pour le plan P ' d~termin~ par les directions D2, D4,... ; ce

plan P ' ayant sfirement la propri~t~ indiqu~e, P l'a aussi presque s~rement, c.q.f.d.

Ce r~sultat conduit ~, un ~trange paradoxe de la th~orie des hombres trans- finis. Choisissons au hasard, dans Eo,, ind~finiment et transfiniment, tant que cela

est possible, des directions dont chacune soit orthogonale fi toutes les pr~c~dentes.

364 PAUL L~vY

L'ensemble ordonnd des choix successifs ainsi effectuds correspond d~ un nombre

transfini presque sFzrement sup~rieur ~ n'importe quel nombre donnd de la classe

ddnombrable, et qui pourtant ne peut pas ~tre supdrieur ~ la fois ~ tous ces nom-

bres. On a beau savoir que le principe d 'addit ion des probabil i tds ne s 'appl ique

pas /l un ensemble non ddnombrable de cas exclusifs, le fait dnoncd est assez

curieux.

IV.4. L 'expl icat ion de ce pa radoxe semble tenir au fait suivant : nous

venons de ra isonner comme si la notion de direction choisie au hasard darts

I 'espace de HILBERT dtait quelque chose de clair. II n'en est rien.

Nous avons ddj/l souvent insistd sur le fait suivant. Si on veut ddfinir la

moyenne, sur la sphere O a = r de cet espace, d 'une fonction telle que o o

u = cn I

off les cn sont bornds dans leur ensemble, on ne peut que se placer d 'abord

darts le plan des x ~ x 2 ... xn, et faire ensuite croitre n inddfiniment, et la moyenne

de U (a) se t rouve ddfinie par la formule

t ~ [U (a)] ----- r ~- lim c , + e ~ + . . - + e n n-.~.oo n

Cette limite peut ne pas exister, et, en dehors du cas o/~ la suite des c, a une

limite, sa valeur et son exis tence ms ddpendent du choix et de l 'ordre des

axes. II en est de m~me de la notion de probabil i td; on ne peut pas parler

d 'une Ioi de probabili td vdritable, mais de la limite d 'une loi de probabil i td;

les propridtds qui caractdrisent une loi de probabilitd (ou, si i 'on prdf~re, une

mesure) d ispara issent en partie ~. la limite.

Si nous revenons sur ces remarques connues, c 'est pour faire remarquer

qu'el les subsis tent malgrd l 'exposd de A. KOLMOGOROV, qui a donnd au

calcui des probabil i tds une base axiomat ique tout ~ fait satisiaisante, et cer-

tainement ddfinitive. Une probabilitd est une fonctionnelle compl/. 'tement additive,

d,~finie darts un certain corps borelien. II ne faut pas s 'd tonner de rencontrer

des paradoxes si on sort de ce corps et si l 'on veut mesurer des ensembles

non mesurables .

Quels seront, dans le cas qui nous occupe, ce corps borelien et la pro-

babilitd ddfinie sur ce c o r p s ? Remarquons que, quels que soient I'entier fini p

et I 'hyperplan E r /l p d imensions contenant O, toute proprietd de a s ' expr imant

par le fait que ia projection sur Ep de la demi-droi te O a inddfiniment prolon-

LE CARACT~-RE UNIVERSEL DE LA COURBE DU MOUVEMENT BROWNIEN ETC. 3 6 5

gee coupe la sphere de centre O et de rayon unit6 dans Ep en un point d'un

certain ensemble mesurable sur cette sphere, a une probabilit6 bien d6finie.

Nous obtenons ainsi sur la sphere ~ de i'espace de HILBERT une famille

d'ensembles qui est la base d'un certain corps borelien. Sur ce corps et sur sa

prolongation lebesguienne, la probabilit6 est bien d6finie. Hors de 1i, point de

s~curit6.

Soit. Mais il nous est permis de constater que dans un espace Ep h un

hombre fini de dimensions cette th6orie suffit aux besoins de la pratique, tel-

lement que d'6minents savants ont cru devoir d61ib6r6ment 6carter les ensem-

bles non mesurables des pr6occupations des analystes. Au contraire, dans I'es-

pace de HILBERT, il est impossible d'6tre satisfait par la m~me th6orie,

puisqu'une condition aussi simple que U ( a ) < c, oil U est la fonction consi-

d6r~e tout /l I'heure, peut d6finir un ensemble non mesurable.

Revenons doric h notre courbe 7 - L a phrase ~cette courbe a une forme

connue~> a une signification bien claire. Mais quand nous ajoutons que son

orientation est arbitraire, cela ne correspond pas ~ l'id6e d'une v6ritable Ioi de

probabilit6 dont d6pende le choix de cette orientation. Aussi, quoique le pre-

mier 6nonc6 du n ~ IV.3 n'ait rien de paradoxal et que nous le croyions correct,

ii faut convenir qu'il ne rentre pas dans I'axiomatique de KOLMOGOROV.

En tout cas il n'y a pas lieu d'etre surpris des paradoxes r~sultant de l'em-

ploi des hombres transfinis combin~s avec le rejet de r axiomatique.

IV.5. La d6finition de la courbe ne change pas si, au lieu de partir de O,

on part d'un point a(t) quelconque de cette courbe. L'ensemble 7 et O est donc

superposable /l l 'ensemble T et a(t). En d'autres termes, la courbe peut glis-

ser elle-m~me, sans se ddformer, ~ la mani~re d 'une h61ice de I'espace ordinaire.

Ce mouvement se d6compose en une translation, celle du point a(t) qui d6-

crit y, et une rotation, qui constitue un mouvement brownien de rotation, un peu

analogue ~ celui 6tudi6 par F. PERRIN dans le cas de I'espace Es, mais qui

est quelque chose d'infiniment plus compliqu~.

Nous nous proposons maintenant de d6finir son caract~re au point de vue

de la continuit6. D~signons /l cet effet par A,, e une demi-droite parall/~le /l a(t)

a( t q-0) issue de l'origine O, et 6tudions sa variation quand t augmente de "~.

Si "~ :>/0, les directions A,, 0 et A,+~.0 sont rectangulaires. Donc, quelque

petit que soit z, toutes les directions ,.St, 0 (0 ~< "~, t quelconque) auront tourn6

d'un angle droit. Si au contraire 0 croft de "~ h I'infini, l'angle q: de ces direc-

24 - R e n d . C i r c . M a t e m . P a l e r m o - - Serie U - Tomo IV - Anno ]9s5

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tions, d 'abord tr~s voisin d e ~

voir, d 'une manit~re precise, que

sin 2 ~ _ 2

On voit ainsi quel est le mode

, d~croit, et tend vers zdro. !! est facile de

I

2 Mi . ,). de continuit~ de la rotation consid6r6e.

N'importe quelle corde de ~', correspondant /l une valeur bien definie de 0, varie

d 'une manit~re continue, puisque, pour "~ assez petit, r est inf6rieur fi n ' importe

quel nombre positif donnd. Mais cette continuit6 n'est pas uniforme; quelque

petit que soit z, il y aura des cordes qui auront tourn6 d 'un angle droit.

Remarquons encore que, si y est la courbe complete (t variant de - - ~ / ~ -,r oo),

ce mouvement laisse l 'hyperplan P invariant. Mais si nous consid~rons la

demi-courbe lieu du point a(u) pour u ~ t, quand t croit, elle se superpose /l

une de ses parties, et l 'hyperplan qu'elle ddfinit perd constamment une infinite

de dimensions.

IV.5. La courbe T que nous venons de d~finir a d~j/l ~t~ rencontrde dans

1'6tude d 'un probl~me r les fonctions al6atoires du temps t. On sait

qu'on peut representer les variables al~atoires /l seconds moments finis par

des vecteurs de I'espace de HILBERT, de mani~re qu'/l deux variables U et V

correspondent deux vecteurs dont le produit scalaire soit E{U VI. En appl iquant cette reprdsentation fi une fonction U(t) additive, et telle que

E{[U( t ' ) - - U(t)] 2 ] - - - - I t ' - - t l

on retrouve notre courbe Y (1).

Paris, octobre 1955.

(i) Cf. P. LEVY. Sull'applicazione della geometria dello spazio di HILBERT allo studio delle successioni di variabili casuali. Giorn. d. Ist. ital. d. Attuari, 6, 1935, p. 13-28.