LE DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE

DI 1° GRADO IN UNA INCOGNITA

TEORIA IN BREVE

I simboli matematici che permettono di rappresentare una disuguaglianza sono

MAGGIORE MAGGIORE O UGUALE

MINORE MINORE O UGUALE

LE DISUGUAGLIANZE NUMERICHE

Proprietà delle disuguaglianze valide per tutti i numeri:

Monotonia dell’addizione:

Se un numero A è minore di un altro numero B allora addizionando un terzo numero K ad entrambi

mantengo la disuguaglianza:

BA KBKA

Per esempio: 94 6964 infatti 1510

Moltiplicazione per un numero positivo:

Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K

positivo mantengo la disuguaglianza:

BA KBKA

Per esempio: 63 5653 infatti 3015

Moltiplicazione per un numero negativo:

Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K

negativo cambia il verso della disuguaglianza:

BA KBKA

Per esempio: 72 2722 infatti 144

LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali

valori di una o più lettere rendono vera la disuguaglianza.

Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione,

che può essere rappresentato in diversi modi.

ESEMPIO: L’insieme della disequazione x – 3 > 0 è x > 3 che può essere rappresentato da una semiretta:

Per risolvere le disequazioni useremo i principi di equivalenza e le conseguenze (principio del trasporto),

trasformando la disequazione data in disequazioni equivalenti via via più semplici.

Rispetto ai principi di equivalenza delle equazioni cambia solo il 2° principio, se si moltiplicano o dividono i

due membri per uno stesso numero NEGATIVO. In questo caso infatti bisogna cambiare il verso della

disuguaglianza.

ESEMPIO: 5 – x > 3 – x > 3 – 5 – x > – 2 e moltiplicando i due membri per –1 si ha: x < 2

ESERCIZI: Risolviamo le seguenti disequazioni numeriche intere:

253 x trasporto il – 5 al 2° membro (cambiandogli il segno!):

523 x risolvo i monomi simili

33 x applico il 2° principio di equivalenza dividendo i due membri per 3:

1x

1534 xx trasporto il – 3 al 2° membro ed il 5x al 1° (cambiandogli il segno!):

3154 xx risolvo i monomi simili

4 x moltiplico i due membri per – 1 (e cambio il verso della disuguaglianza):

4x

xx 72 trasporto il – 2 al 2° membro ed il 7x al 1° (cambiandogli il segno!):

27 xx risolvo i monomi simili

26 x divido i due membri per – 6 (e cambio il verso della disuguaglianza):

3

1

6

2

x

3

1x

3215 xx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:

6255 xx trasporto il – 5 al 2° membro ed il 2x al 1° (cambiandogli il segno!):

5625 xx risolvo i monomi simili

13 x divido i due membri per 3:

3

1x

xxxxx 43224 risolvo le in modo da eliminare le parentesi tonde:

xxxxx 43284 risolvo le in modo da eliminare la parentesi quadra:

xxxxx 43284 trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1° :

83424 xxxxx risolvo i monomi simili

110 ho ottenuto una disuguaglianza numerica verificata sempre col < da tutti i numeri reali.

La disequazione risulta quindi INDETERMINATA.

2

1

2

1

2

12

2

1

2

3xxx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:

4

1

2

1

2

22

4

3

2

3

1

1

xxx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:

4

3

4

11

2

12

2

3 xxx moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 4

314286 xxx risolvo i monomi simili

20 poiché la disuguaglianza numerica ottenuta è falsa, la disequazione è IMPOSSIBILE.

2

1

3

2

3

2

2

1

10

3xx

x risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:

3

1

3

1

6

2

3

2

6

2

2

1

10

3

xx

x moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 30

1020101593 xxx risolvo i monomi simili

10201918 xx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:

19102018 xx risolvo i monomi simili

92 x divido i due membri per – 2:

2

9

2

2

x

2

9x .

2

3

1

3

1

3

1

4

13

9

42

xxx

xx risolvo le parentesi tonde:

3

2

3

12

3

1

3

2

9

11

4

3

9

4 22

xxxxxxx risolvo la parentesi tonde:

3

2

3

12

3

1

3

2

9

1

4

3

4

3

9

4 22

xxxxxxx risolvo la parentesi quadra:

3

2

3

12

3

1

3

2

9

1

3

1

3

1

9

4 22 xxxxxxx moltiplico tutti i termini per il m.c.d. 9

63189361933422

xxxxxxx trasporto:

13633189693422

xxxxxxx risolvo i monomi simili

12 x divido i due membri per – 2 e cambio la disuguaglianza:

2

1x

i

i Da Bergamini Trifone Barozzi – Matematica vol 1 – Esercizi per il recupero - Zanichelli