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Le grandezze vettoriali e la loro somma
Come fare lezione di matematica e fisica anche attraverso modelli costruiti
dalla classe
Il parallelogramma articolato
• Per la costruzione del modello è necessario prendere quattro asticelle di materiale rigido, come legno o cartoncino da scatola, uguali a due a due e unirle con ferma campioni per formare un parallelogramma in modo che la figura sia mobile.
Il rombo articolato
• Questo modello serve per capire la somma di vettori che hanno la stessa lunghezza, ma direzione variabile.
• Vedremo ora in che modo.
Cosa sono i vettori Bisogna prima ricordare le
tre principali caratteristiche dei vettori, che abbiamo appreso con lo studio delle traslazioni.
1) La direzione, che è l’elemento comune a tutte le rette parallele;
2) Il verso, che viene indicato con una freccia
3) Il modulo, che è la misura del vettore stesso.
Sono equipollenti vettori che hanno la stessa direzione, lunghezza e verso.
Vettori e spostamento • È lo spostamento nello spazio di un oggetto,
ma anche di un “punto geometrico” che suggerisce le caratteristiche di un vettore
1. Quanto è lungo lo spostamento? È la lunghezza del segmento AB ed è sorprendente perché lo spostamento da A a B è sempre il segmento AB, anche se il percorso è frastagliato, curvo, molto più lungo.
2. La direzione è la retta su cui giace il segmento
3. Il verso è quello che va da A (coda) a B (testa).
A
B
Somma di spostamenti e di vettori
• Come si sommano i vettori? Ce lo suggerisce sempre la somma
di due spostamenti: se prima mi sposto secondo il vettore b e poi secondo il vettore a, lo spostamento totale, a + b, è il lato che chiude il triangolo, nel verso indicato nella figura. Tale lato è anche diagonale del parallelogramma, costruito su a e b.
La somma cambia • La somma dei due vettori cambia,
anche se il loro modulo resta invariato. Si vede bene articolando il
parallelogramma:la diagonale cambia. Senza il modello è facile essere indotti in errore.
• Nella figura è evidenziato l’angolo formato dai due vettori (quello formato dai loro versi positivi).
Facendo cambiare l’angolo, cambia di conseguenza anche la diagonale, cioè la diagonale è funzione dell’angolo e l’angolo è la variabile indipendente.
Un caso limite: α = 0° • Spostando il parallelogramma si
vede che al diminuire dell’angolo α tra i due vettori, la diagonale cresce sempre di più, fino al caso limite in cui α è zero. È caso limite poiché il parallelogramma è degenerato in un segmento “doppio”. Il modello ci fa intravedere il caso limite, che si vede meglio col disegno a lato
• La somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, è massima quando:
α=0° essendo α l’angolo formato dai due vettori.
Questo massimo è la somma dei moduli dei due vettori.
Rappresentazione geometrica del nostro modello al caso limite
Un altro caso limite: α = 180°
Dall’osservazione del modello, si ricava che :la somma dei vettori a e b, variabili in direzione, ma costanti in modulo, è minima quando:
α= 180° essendo α l’angolo formato dai due vettori; Questo minimo è uguale alla
differenza dei moduli.
• Si legge poco, ma qui c’è scritto il nostro percorso per arrivare alle conclusioni sulla funzione…
La funzione che esprime la diagonale in funzione dell’angolo α
• (*) Non tutti eravamo convinti che la diagonale crescesse al diminuire dell’angolo, nonostante l’elastico lo mostrasse con evidenza. Qualcuno ha cercato una dimostrazione “autorevole”. E questa c’è: un teorema che ha fatto faticare e che questo modello chiarisce molto bene.
Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali e gli angoli fra essi compresi disuguali, allora all’ angolo maggiore sta opposto il lato maggiore.
N.B. Il nostro α è il supplementare dell’angolo opposto alla diagonale.
• Questa è anche la nostra funzione “somma di due vettori di modulo costante”. In simboli y=ƒ(α). Riepiloghiamo le sue caratteristiche: • È una funzione decrescente (*)
• Assume valore massimo quando α = 0° • Assume valore minimo quando α = 180°
Durante la spiegazione la professoressa è solita porre delle domande alla classe e farla ragionare riguardo ai problemi. I casi sono due: o i ragazzi che capiscono e cercano di risolvere il problema, parlano alla classe oppure talvolta capita che debba intervenire la professoressa stessa data la troppa confusione di idee nei ragazzi.
• Anche stavolta in alcuni punti la classe ha avuto delle incertezze e ci sono stati dei ragazzi che sono attivamente intervenuti o ponendo i loro dubbi ai compagni o cercando di risolvere con il modello il problema posto durante la spiegazione.
Il punto della situazione
• Qualche volta è stato opportuno che la professoressa facesse il punto della situazione e spiegasse l’argomento non capito dalla maggior parte della classe..
È molto utile per la classe partecipare alla discussione sia con l’insegnante sia con i
compagni che meglio hanno capito il tema su cui si sta lavorando, ma anche con chi,
avendo diversi dubbi, chiede chiarimenti e pone domande che fanno riflettere e …
progredire.
Classe II E
Insegnante: Laura Gori
Liceo classico Michelangiolo
Firenze