Le problème de Stokes :Approche naïve de la résolution.

Résolution sur cas testRésolution en cavité entraînée

Résolution de Navier-Stokes instationnaireen cavité entraînée.

.1 tempsau connus ou explicites termesles tousregroupe

pression. en limitesaux condition de pas : Rq

domaine du bords lessur ,sur C.L

psà tout tem partout, ,0.

domaine duintérieur l' dans ,

nf

v

v

fPvt

Stokes, un problème couplé vitesse-pression

Le problème de Stokes s’écrit :

Nous allons traiter le cas 2D, avec les vecteurs solutions écrits sous forme vectorielle, en collocation.

tLNNLL

tLNNLL

tLNNLL

PPPPPPPPPP

WWWWWWWWWW

UUUUUUUUUU

,...,,...,,...,,,...,

,...,,...,,...,,,...,

,...,,...,,...,,,...,

0001110101000

0001110101000

0001110101000

Résolution naïve du problème de Stokes.

Les équations sont écrites à la suite les unes des autres en se basant surle vecteur solution comprenant les valeurs des composantes de la vitesseainsi que les valeurs de la pression. En 2D, avec U et W les composantesen x et en z de la vitesse et P la pression:

00

0

0

,

,

CLy

CLx

zx

zCLW

xCLU

F

F

P

W

U

DD

DH

DH

CL. avec membres second ,

CL. avec et sur Helmoltzde opérateurs ,

internes. points lessur que appliquants' ne opérateurs ,,

z.et x en sdérivation de opérateurs ,,

W,CLU,CL

CLWCLU

zx

zx

,FF

WU,HH

DD

DD

La résolution est réalisée dans le programmeE8_1_Stokes_naif_cas_test.m.

)cos()cos(2),(

)sin()cos(),(

)cos()sin(),(

zxzxp

zxzxw

zxzxu

Cas test :

domaine. duintérieur l' dans

-U

: doncest programmé membre second Le

)cos()cos(4),(

:0-U exacte

solutionla à ant correspond source termeledéfinit solutionLa

0)cos()cos()cos()cos(.

: esolénoïdalest solutionLa

SP

ezxzxS

SP

zxzxz

w

x

uU

z

Les conditions aux limitessur la vitesse sont choisiesde type Dirichlet pour fairesimple.

Le programme :

-forme l’opérateur de Stokes stationnaire (Laplacien au lieu du Helmholtz)

-Calcule la solution exacte

-forme le second membre à partir du terme source et de la solution exacte pour les conditions aux limites de Dirichlet

-inverse l’opérateur de Stokes

-Calcule la solution numérique

-la met sous forme matricielle pour les affichages de différents champs

Tester le programme et observer les résultats…

Ca ne fonctionne pas.

Pour le calcul de l’inverse de l’opérateur de Stokes, mettre en commentairela ligne

Stokesinv=inv(Stokes)

Enlever les commentaires des lignes suivantes concernant le nouveau calcul de l’inverse de l’opérateur de Stokes.

Interpréter ce que fait le programme sur ces quelques lignes.

Relancer le programme modifié.

Observer les différents champs tracés sur les figures et cherchez une interprétation aux disfonctionnements précédents.

Les champs U et W sont bien calculés. Observer la décroissance exponentielle du spectre de U et W.

Le champ de pression n’est pas celui attendu

Le gradient de pression est bien calculé.

Le calcul fait intervenir des modes parasites qui sont filtréslors de l’inversion faisant intervenir une décomposition préalable envaleurs singulières.

Résumé des observations :

Les champs U,W,P font intervenir (L+1)*(N+1) valeurs nodales.

Les valeurs de U et W font intervenir des problèmes de Laplace pour lesquels le gradient de pression intervient en terme source et les conditions aux limites sont bien posées.

Pour déterminer la pression, on dispose de (L+1)*(N+1) équations de divergence nulle en tout point . Elles sont indépendantes les unes des autres, mais le sont-elles des équations pour U et W ?

Il peut être montré que le problème de Stokes 2D fait intervenir 8 conditionsde compatibilité entre l’équation de continuité et les conditions aux limites, plusou moins complexes (détail dans le livre de G. Labrosse).

Par exemple, si les conditions aux limites assurent la conservation de la masse au bord, cela est équivalent à assurer la divergence nulle de la vitesse sur ledomaine : c’est donc redondant avec l’ensemble des équations de divergencenulle en tout point.

Il y a apparition de 8 modes de pression parasite que nous allons détailler.

)()(

)()(

)()(

près. constante uneà définie pression :)()(

:erreur l'sur sobservable ,damier"" modes Quatre

1,...,0,0,0,...,0,0,...,...,0,...,0,0,0,...0,0,0,...,0,0

0,...,0,1,0,...,0,0,...,...,0,...,0,0,0,...0,0,0,...,0,0

0,...,0,0,0,...,0,0,...,...,0,...,0,0,0,...0,0,1,...,0,0

0,...,0,0,0,...,0,0,...,...,0,...,0,0,0,...0,0,0,...,0,1

pression deerreur l'sur sobservable coins de modes Quatre

8

07

06

005

4

3

2

1

zTxTP

zTxTP

zTxTP

zTxTP

P

P

P

P

NL

N

L

t

t

t

t

Ces modes polluent la solution en pression.

Pourquoi n’affectent-ils pas le calcul de U et W ?

Les 4 premiers modes ne produisent un gradient de pression non nulque sur les frontières du domaine : le gradient n’y est pas utilisé.

Le 5ème mode est à gradient nul donc n’influe pas.

Les 6ème au 8ème modes ont la propriété d’avoir un gradient nul auxpoints de collocation.

Les points de Gauss-Lobatto en x sont en effet les zéros de T’L(x) et ceux en z les zéros de T’N(x).Ces modes n’influent donc pas non plus sur le calcul du gradient depression.

Problème de Stokes stationnaire : écoulement de cavité entrainée.

V

Parois fixes

Configuration académique d’écoulement largement utilisée comme castest pour les programmes de résolution des équations de Navier-Stokes.

Programme : E8_2_Stokes_naif_cavent.m

Ce programme est simplement obtenu en annulant le terme sourceimposé dans le programme précédent et en imposant une valeur 1à la composante de vitesse horizontale à la frontière du bas.

Faire tourner le programme et observer les solutions obtenues.

Navier-Stokes instationnaire en cavité entrainée

0

Re

1).().(2

2

43

1

111111

n

nnnnnnnnn

U

UPUUUUt

UUU

0

).().(22

4

2

3

Re

1

1

111

111

n

nnnnnn

nnn

U

UUUUt

UUPU

tU

Revient à un problème de Stokes à résoudre à chaque itération temporelle :

-Résolution du problème de Stokes comme condition initiale. Un-1 et Wn-1.Un et Wn.

-Calcul de l’opérateur de Stokes instationnaire : imposition d’uncoefficient de Helmholtz correspondant à la discrétisation temporelleet inversion de l’opérateur.

-Algorithme de calcul d’évolution temporelle de la solution. Un-1 reçoit Un Wn-1 reçoit Wn

Un et Wn reçoivent Un+1 et Wn+1

Evaluation du second membre au temps n+1Calcul de la nouvelle solution Un+1 et Wn+1 grâce à l’opérateur inversé.

- Arrêt des itérations et post-traitements.

Algorithme du programme :

Critique de l’approche naïve

L’opérateur à résoudre est énorme. On résout un opérateur ayant pour solution un vecteur de trois fois la taille d’un problème de Laplace, sans possibilité d’utiliser de méthode dediagonalisations successives.

Prochaine séance : les algorithmes de découplage vitesse-pression.