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8/22/2019 Le spin.pdf

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Le spinDidier Lauwaert.

Copyright 2013.

I. Introduction

II. Moment angulaireII.1. Moment angulaireMoment angulaire orbital ; Moment angulaire intrinsque ; Relations entre moments angulaires

II.2. Charge lectriqueCharges lectriques ; Champs lectriques et magntiques ; Charges lectriques en mouvement

II.3. Moment magntiqueBoucle de courant ; Moment magntique ; Particule en rotation ; Moment angulaire et magntique

III. La mcanique quantiqueMcanique quantique ondulatoire ; Principe dindtermination ; Description par les tats ; Evolution et mesure

IV. Expriences

IV.1. Appareil de Stern-GerlachDescription ; Fonctionnement

IV.2. Expriences avec des particules

Essai avec des pions ; Essai avec des lectrons ; Essai avec des msons rho ; Diffrences avec le cas classiqueIV.3. Appareils en srieModification de lappareil; Deux appareils successifs ; Filtres ; Base dtats ; Etats superposs

IV.4. Appareils et rotationsRotations de lappareil T ; Rotation horizontale ; Rotation sur soi de 180 ; Rotation verticale de 180 ; Rotation sur soi de 90 ;

Appareil S supplmentaire

V. Le groupe des rotations

V.1. Les rotationsRotations deux dimensions ; Combinaison de deux rotations ; Groupe des rotations deux dimensions ; Rotations trois ;

dimensions ; Reprsentations du groupe ; Sphre des rotations ; Reprsentation matricielle

V.2. Effet sur une particuleAction de groupe ; Particule scalaire ; Moment angulaire orbital ; Particule vectorielle ; Un groupe, plusieurs actions

V.3. Algbre des rotationsRotations infinitsimales ; Cas vectoriel ; Algbre des gnrateurs ; Deux solutions

V.4. ReprsentationsCalcul des reprsentations ; Valeurs propres ; Moment angulaire intrinsque ; Lien avec Stern-Gerlach

VI. Le spin 1/2Reprsentations ; Existence ; Spineurs ; Rotations ; Effet du signe

VII. Statistiques

VII.1. Etats symtriques et antisymtriquesEtats deux particules ; Particules identiques ; Etats symtriques ; Etats antisymtriques

VII.2. Statistique de Fermi-DiracPrincipe dexclusion de Pauli; Comportement statistique ; Statistique classique ; Statistique de Fermi-Dirac ; Consquences

VII.3. Structure de latomeStructure de latome ; Changements dtats ; Rpartition des lectrons ; Proprits ; Effet Zeeman

VII.4. Statistique de Bose-EinsteinEtats symtriques ; Comportement grgaire ; Emission stimule

VIII. Thorme spin statistiqueIX. Etats intriqusCombinaisons dtats de deux particules ; Etats intriqus ; Spin ; Dcohrence

X. Rfrences

I. IntroductionLe spin est une proprit assez particulire des particules lmentaires. Elle est lie aux rotations,

comme la rotation dune toupie. Cette proprit trs importante se retrouve partout en physique

des particules. Malheureusement, cest aussi une proprit trs difficile expliquer aux profanes.

Bien que les notions classiques de rotation soient aisment abordables, leurs contreparties en

mcanique quantique, la science du monde de linfiniment petit, sont subtiles et contre-intuitives.

Certains aspects comme ceux du spin nont mme aucune contrepartie dans la vie de tous les jours

et sont donc particulirement difficile conceptualiser.


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Cest ce dfi que nous avons dcid de nous attaquer. Nous aborderons le problme en deux

phases. Tout dabord une approche exprimentale : comment se comportent les particules du point

de vue du spin. Ensuite une approche plus abstraite.

Malgr cette approche abstraite, nous essayerons de ne pas employer de dveloppementsmathmatiques si ce nest quelles relations lmentaires (additions, soustractions,) et des

notations, que nous expliquerons, qui ont surtout pour but de rendre les choses plus claires.

II. Moment angulaire

II.1. Moment angulaire

Moment angulaire orbital

Considrons une petite masse tournant sur une orbite.

Soit m la valeur de la masse et V sa vitesse. R le rayon de lorbite.

On dfinit le moment angulaire, caractrisant cette rotation par le simple produit :

L = mVR

La masse fois la vitesse fois le rayon.

Le moment angulaire a une direction, ce quon traduit en notant sa variable en gras, indiqu par la

flche verticale sur le dessin.

Comme la masse tourne sur une petite orbite, on parle de moment angulaire orbital.

Moment angulaire intrinsque

Au lieu dune petite masse sur une orbite, considrons maintenant une grosse boule tournant sur

elle-mme comme une toupie.


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On peut dfinir la aussi un moment angulaire, comme ci-dessus. On considre chaque petit morceau

de la boule comme sil tournant sur une orbite et on fait la somme sur tous les morceaux de la boule.

Le calcul est videmment plus compliqu et nous ne le ferons pas ici. Cela donne un moment

angulaire S comme indiqu sur le dessin. Cest encore une grandeur comme mVR, mais affecte dun

facteur qui dpend de la forme de lobjet.

Puisque la boule tourne sur elle-mme, on parle de rotation propre et le moment angulaire est

appel moment angulaire intrinsque. Les noms des variables utilises viennent de langlais (L pour

loop , qui signifie boucle et S pour spin qui signifie tourner sur soi-mme ).

Relations entre moments angulaires

Lorsque lon a un systme compliqu, avec plein de parties tournant sur e lles-mmes ou sur des

boucles, on peut faire le calcul pour chaque partie et ajouter les moments angulaires. Ceux-ci

sajoutent comme des vecteurscest--dire comme des grandeurs identifies par des flches, la

relation est plutt lmentaire :

Notons que le moment angulaire est une grandeur conserve. Cest--dire quelle reste identique

elle-mme dans lvolution du systme, du moins si le systme est isol (il est clair que si on lance

une toupie, avant elle ne tourne pas, aprs elle tourne). Mais attention, cest le moment angulaire

totalqui est conserv, cest--dire L + S (ventuellement une forme plus complique si on a pleins

dobjets en rotation).

Cette loi physique trs simple est utilise intuitivement par les patineurs artistiques.


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Ils se lancent sur la glace de manire entrer en rotation avec les bras carts. Puis ils rapprochent

les bras de leur corps, ce qui acclre fortement leur rotation. En effet, le moment angulaire du

patineur est de la forme mVR et cette grandeur est conserve tant que le frottement du patin sur la

glace de freine pas le patineur. En rapprochant les bras, le patineur diminue la grandeur R du cercle

balaye par ses bras. Si R diminue et comme mVR est constant (ainsi que m, son poids ne change

pas), alors V augmente.

Tant que lon reste en physique classique, tout cela est fort simple (seuls les calculs peuvent tre un

peu compliqus comme pour le calcul du moment angulaire dune boule).

II.2. Charge lectriqueNous allons avoir besoin de quelques explications sur les charges lectriques et les champs associs,

mais pas beaucoup, juste parce que le magntisme sera utile pour tudier le spin. Nous ferons donc

cours en prsentant seulement ce qui est ncessaire.

Charges lectriques

On trouve dans la nature des objets chargs lectriquement ainsi que des aimants. Les charges

lectriques peuvent se classer en charges ngatives et en charges positives. Les aimants possdent

un ple nord et un ple sud.

Lexistence des charges lectriques se constate facilement travers llectricit statique, les

dcharges lectriques ou le courant lectrique.

Certaines charges sont ngatives, comme les lectrons qui sont de petites particules trs lgres que

lon trouve dans les atomes et qui constituent le courant lectrique. Dautres charges sont positives,

comme le noyau des atomes ou les protons qui constituent ces noyaux (particules mille fois plus

lourdes que llectron). Les atomes sont neutres, cest--dire que les charges lectriques et ngatives

se composent. Lorsque lon arrache des lectrons par un procd mcanique (frottement,

tribolectricit) ou chimique (piles lectriques), on obtient un flux de charges ngatives. Ce qui reste


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est donc de charge positive puisque lon a enlev les lectrons et quil ne reste que les noyaux

chargs positivement (un atome avec trop ou trop peu dlectrons est appel un ion).

On constate facilement que les charges lectriques de mme signe ainsi que les ples de mme

nature se repoussent, tandis que ceux de signes opposs sattirent.

Un flux de charges lectriques, habituellement des lectrons, constitue un courant lectrique.

Champs lectriques et magntiques

Ce phnomne dattraction et rpulsion se transmet par lintermdiaire dun champ, cest--dire une

grandeur prenant des valeurs en tout point de lespace et pouvant varier autant dans lespace que le

temps. Les charges lectriques sont la source du champ lectriqueet les aimants sont la source dun

champ magntique. On peut aisment visualiser ces champs avec, par exemple, de la limaille de fer.

Ces champs sont caractriss par une intensit, en chaque point, mais aussi par une direction. Ce

quon peut reprsenter par une flche (un vecteur). A titre dexemple, voici les champs lectriques

mis par des charges lectriques :

Les charges lectriques sont galement sensibles aux champs lectriques, ce qui explique les

proprits dattraction et de rpulsion. Voici par exemple les champs lectriques lorsque lon a deuxcharges :


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Et voici le champ magntique mit par un aimant :


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Charges lectriques en mouvement

Considrons des charges lectriques en mouvement, cest--dire un courant lectrique. On constate

que ces charges en mouvement crent aussi un champ magntique (comme un aimant). Les deux

phnomnes sont donc intimement lis.

Le champ magntique forme des lignes circulaires entourant le courant (par exemple un fil

lectrique).

II.3. Moment magntique

Boucle de courantConsidrons un courant de forme circulaire. Celui-ci peut tre par exemple une simple charge

lectrique en orbite.


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Ce dessin se dduit facilement du prcdent.

Cette boucle de courant se comporte donc comme un petit aimant.

Moment magntiqueOn peut caractriser cet aimant par lintensit du champ magntique passant travers la boucle.

Il a une intensit et une direction, on lappelle moment magntiqueM (voir la flche ci-dessus).

Particule en rotationConsidrons maintenant une particule charge en rotation sur elle-mme.


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L aussi elle est comme un courant tournant en rond. Chaque petite portion de la boule tant

comme une petite charge tournant sur une orbite. Et on obtient le champ magntique ou le moment

magntique en faisant la somme pour toutes les petites portions de la boule.

On a donc aussi un moment magntique associ cette particule en rotation.

Moment angulaire et magntiqueLa ressemblance entre le moment angulaire et le moment magntique est frappante et nest par

fortuite. Les deux se construisent exactement de la mme manire.

On peut de plus calculer (ou mesurer) le champ magntique produit par une charge en mouvement.

On obtient ainsi une relation trs simplement entre le moment angulaire dune particule et son

moment magntique.

M = g S

est une constante lie au proprits des champs magntiques et g est appel rapport

gyromagntique. Ce dernier dpend de la rpartition de la charge dans la boule. Pour une particule

lmentaire, petite et sans structure, comme llectron, on calcule et on mesure que g = 2. Pour uneparticule possdant une structure interne comme le proton, g a une valeur fort diffrente de 2.

Nous sommes maintenant arms pour la suite, mais nous allons aussi devoir quitter les eaux

tranquilles de la physique classique pour celles tranges de la mcanique quantique.

III. La mcanique quantiqueLa mcanique quantiqueest la thorie qui sapplique aux atomes et aux particules lmentaires. En

toute rigueur, elle sapplique toutes les situations, y compris par exemple le lancer dune balle de

golf. Mais les corrections infimes apportes par la mcanique quantique ce genre de cas et la

difficult des quations rendent inutile son usage et lon prfre alors utiliser les thories


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classiques (mcanique classique, hydrodynamique, etc.) Elle est malgr tout utilise dans certains

cas complexes tel que la chimie ou des objets macroscopiques (superfluides, supraconducteurs,

ferromagntisme, ) laidede la physique statistique ou doutils mathmatiques particuliers.

La mcanique quantique est une thorie trs puissante. Cest la thorie la mieux vrifie de toutes

les thories, dans tous les domaines (sauf la gravit) et toutes les expriences, avec une prcision

exceptionnelle. Elle explique nombre de phnomnes : les atomes, le magntisme, la chimie, le laser,

etc. La liste est longue.

On ne va pas tout prsenter en dtail, loin de l. On va expliquer un minimum pour comprendre

lessentiel des bases (ce sera dj assez costaud comme a). De mme, on ne verra pas toutes les

subtilits, proprits, mystres et aspects parfois intriguant. Cest intressant mais trop vaste pour

cette petite tude sur le spin.

Rappelons brivement les bases mathmatiques de la mcanique quantique.

Un systme a un tat dcrit par un vecteur dans un espace de Hilbert H complexe, il sera not typiquement comme .Les variables physiques sont des oprateurs agissant sur les vecteurs dtat.

Les variables mesurables (les observables) sontdes oprateurs hermitiques, cest--dire tel que .Les valeurs prises par les variables sont le spectre des valeurs propres de loprateur (ces valeurs sont relles pour les ob servables). Les

seules valeurs mesurables sont ces valeurs.

Lespace de Hilbert tant un espace vectoriel, on peut dfinir diffrentes bases, totalement quivalentes. Par exemple les ba ses (ou bases

dun sous-espace) positions, impulsions, spins, nergie, etc.

Le passage dune base lautre seffectue par une transformation unitaire U (avec ).Le commutateur de deux oprateurs est : .Pour la quantification, on part de lhamiltonien classique (au moins quand il existe) et on obtient lhamiltonien quantique aprs

symtrisation (du type ab+ba) et remplacement des variables par des oprateurs. On impose entre valeurs conjugues la relation o est la constante de Planck divise par.Cest suffisant pour rsoudre tout problme typique. Lvolution dans le temps peut adopter plusieurs point de vue : ce sont les tats qui varient (Schrdinger), ou les observables (Heisenberg)

ou des cas mixtes (reprsentation interaction). On passe de lun lautre par une transformation unitaire (qui ne correspond pas un

changement de base). Par exemple, dans le point de vue de Heisenberg, lquation dvolution dun oprateur O est donn par: Qui a lavantage de mettre clairement en vidence les grandeurs constantes et le rapport la physique classique (quation dvolution dans

lespace des phases utilisant les crochets de Poisson).

Dans le point de vue de Schrdinger, on a :

On travaille souvent dans la base position, dans ce cas les composantes dun tat sobtiennent par le produit scalaire (complexe) o est la base position. On peut crire ce produit scalaire comme une fonction de la position : ()appel fonction donde. Pourune particule de masse m soumise un potentiel V, lquation de Schrdinger prend la forme :

Elle peut tre utilise, par exemple, pour calculer les fonctions dondes et les niveaux dnergie (valeurs propres de lhamiltonien) dun

lectron dans lepotentiel coulombien dun noyau (cas typique de lhydrogne).

Mcanique quantique ondulatoire

Une reprsentation typique des particules quantiques (lectrons, photons,) est sous forme dondes

(phnomne tendu et variant dans lespace et le temps, comme une vague ou une corde qui

ondule). Cela peut sembler trange aux nophytes, qui auraient tendance voir un lectron commeune petite bille, mais la reprsentation sous forme dondes est bien plus proche de la ralit.


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Comme exemple, citons juste lexprience de Young :

Dans cette exprience, on envoie des vagues travers deux ouvertures. Lorsque le creux dune vague

passant par une ouverture rencontre la basse dune vague passant par lautre ouverture, on obtient

ce quon appelle une interfrence: le niveau de leau sgalise. On observe ainsi une figure

dinterfrences typique qui peut servir, par exemple, calculer la longueur donde (la distance entre

deux bosses de londe).

Cette exprience peut tre ralise avec de la lumire (ayant une longueur donde bien prcise, avec

un laser), le rsultat est semblable. Cela montre le caractre ondulatoire indubitable des ondes

lectromagntiques.

Mais lexprience peut aussi tre ralise avec des lectrons.


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Une figure dinterfrences est aussi observe. Cela montre que les lectrons ont un caractre

ondulatoire.

Il y a tout de mme une diffrence typique par rapport aux vagues. Les impacts sur la cible sont

ponctuels. Les lectrons se comportent aussi, tout au moins lors de linteraction avec la cible, comme

de petits corpuscules. Mais cela ne concerne que linteraction, pour lessentiel llectron se

comportant bien comme une onde.

Notons que ces impacts ponctuels sobservent aussi avec la lumire si on utilise une lumire

suffisamment faible pour avoir un photon la fois.

Lexprience montre aussi quil y a une correspondance univoque entre lnergie de la particule et sa

frquence : o est la frquence et h la constante de Planck. Cest Planck avec lmission ducorps noir puis Einstein avec leffet photolectrique (lectrons arrachs dun mtal par de la lumire

ultraviolette) qui ont dcouvert cette relation avec la lumire, montrant son caractre corpusculaire

(petits paquets dondes dnergie bien dfinie).

Il existe aussi une relation univoque entre la longueur donde et limpulsion de la particule (pour une

particule massive comme llectron, cest la masse fois la vitesse). Cest Louis de Broglie qui a

dcouvert cette relation.


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Notons que ces relations ainsi que le caractre ondulatoire des lectrons sont utiliss couramment

dans divers dispositifs comme, par exemple, les microscopes lectroniques.

Principe dindtermination

Londe correspondant llectron est gnralement appele fonction donde. Une reprsentation

dun lectron localis dans une petite rgion de lespace peut tre le paquet dondes :

La particule (le paquet dondes) a une certaine largeur que lon peut noter qui reprsente aussiune certaine incertitude sur la position de la particule puisque cette position nest pas tout fait

prcise.

De plus, il ne sagit pas dune onde sinusodale (une onde de forme prcise dans la grandeur des

bosses reste constante dans lespace et le temps, avec une longueur donde prcise et une frquence

de vibration prcise). Les lois mathmatiques sur les ondes montrent que la longueur donde a aussi

une certaine incertitude . Les deux tant li par : Et ce quel que soit la forme du paquet dondes.

Puisque lon peut relier la longueur donde limpulsion, la masse fois la vitesse, on trouve :

O h est la constante de Planck.

On voit que la position et la vitesse ne peuvent pas tre infiniment prcis simultanment. Il y a

forcment une certaine incertitude. Notons aussi que cette incertitude minimale est fort petite car la


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constante de Planck est minuscule. Ce nest que pour des objets ayant une masse m trs petite que

cette incertitude devient apprciable (des lectrons, par exemple).

Cette relation est appele relation dindtermination de Heisenberg. On peut la vrifier

exprimentalement de toutes sortes de manire. Elle est parfois vue comme un effet de la mesure,

les particules quantiques tant tellement lgre que la moindre perturbation modifie leur position et

leur vitesse. Il est vrai que des expriences de pense impliquant toutes sortes de dispositifs

ingnieux et tenant compte de ces perturbations conduisent ces relations. Mais en ralit cette

indtermination est plus fondamentale quune simple incertitude de mesure et est lie la nature

ondulatoire des particules.

Ce phnomne a fait couler beaucoup dencre et il a mme sembl insupportable certains (dont

Einstein) au dbut de la mcanique quantique, et mme encore maintenant pour quelques

irrductibles. Les dbats sur ce principe dincertitude sont souvent interminables. Pourtant, vu

sous langle ondulatoire, il nest pas si mystrieux.

On peut montrer quil existe dautres principes dindtermination. Lun fort important est le suivant.

Considrons un processus changeant dnergie, E, en un temps t. Il y a l aussi une certaine

incertitude sur les valeurs que lon notre et . Alors on doit avoir : Cette relation peut aussi se dmontrer avec les proprits ondulatoires du paquet dondes, avec le

rapport entre frquence de londe et dure du paquet.

Attention, cela ne signifie pas que lnergie devient imprcise. Elle est simplement comme les autres

grandeurs en mcanique quantique.

Description par les tats

Lexplication ondulatoire a toutefois ses limites car les particules quantiques ne sont pas des ondes

classiques. Plusieurs aspects les en distinguent. Citons les deux principaux :

On la vu plus haut, les interactions entre particules (lectrons et cibles ci-dessus) sontponctuelles. Ce nest pas du tout comme a que ragissent des ondes classiques comme les

vagues ou le son o leffet de londe est rpartit tout le long du front donde (par exemple la

trace mouille trs tendue dune vague sur le sable).

Lorsque lon a deux particules, la thorie ncessite de les dcrire comme un tout. Il faut doncune onde dcrite par sept paramtres : six variables positions (trois par particules) plus letemps. Alors quune onde classique a une valeur qui ne dpend que de quatre paramtres

(trois de position et une de temps). En rgle gnrale, il nest pas possible de dcomposer

londe quantique totale en une somme ou un produit ou une quelconque relation

mathmatique gnrale de deux ondes classiques.

Il est donc utile dintroduire un autre formalisme. Nous allons le prsenter ici mais sans entrer dans

les aspects mathmatiques qui ne seront pas ncessaires. Ce formalisme a lavantage aussi dtre

fort parlant et intuitif. Il nous sera fort utile pour parler du spin.


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Considrons un systme physique quelconque : une particule, un atome, un caillou, Celui-ci peut

tre dans diffrents tats que lon peut caractriser par un certain nombre de variables tel que

position, vitesse, etc. Nous reprsenterons lensemble de ces variables par . Ltat physique du

systme scrit symboliquement : appel un ket. Peu importe sa signification mathmatique,cest avant tout une reprsentation simple et commode.

Parfois, seules certaines variables nous intressent. Par exemple, si la particule est la position x, on

crira son tat , en ignorant volontairement le dtail des autres variables comme la vitesse, parexemple.

Une particularit de ces tats est quils sont soumis au principe de superposition. Par exemple, si

ltat est une solution possible pour ltat dun systme dans une situation donne, et si est une autre possibilit, alors la somme est aussi une solution possible.Comment interprter cette solution ? Prenons un exemple. Soit une particule qui peut se trouver en ou bien en , alors elle peut tre dans les tats ou indiquant que la particule est laposition prcise concerne. Mais ltat est aussi une possibilit. Cet tat signifie que laparticule peut tre aussi bien en quen . Cela ne signifie pas que sa position est prcise maisinconnue. Cest plutt comme si la particule tait aux deux endroits en mme temps !

Ce caractre ubiquitaire des particules peut sembler extrmement trange. Il lest beaucoup moins

aprs ce que nous avons vu ci-dessus. Nous savons que la position peut tre imprcise et quil sagit

dune caractristique fondamentale de la particule. Si on la reprsente comme une onde, on aurait

une reprsentation pour cet tat comme suit :

Notons que les ondes aussi sont soumises au principe de superposition. Quand deux ondes sont deux

solutions possibles dune quation des ondes, leur somme est aussi une solution possible.

Supposons que lon ait une particule dans ltat , on aimerait savoir si dans cet tat on peut latrouver la position x ou bien si on peut la trouver avec une vitesse v. On crira a comme, parexemple :Peu importe sa signification mathmatique. On peut le traduire par cest la possibilit que la

particule dans ltat soit aussi dans ltat , cest--dire que la particule avec les proprits soit la position x. On traduit cela par le terme amplitude, cest lamplitude que la particule soit

dans ltat demand.


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Lensemble de tous les tats possibles forme un espace mathmatique aux proprits assez simples.

Il permet en particulier de choisir des bases dtatsqui dune certaine manire couvrent toutes les

possibilits.

Un exemple est la base position: cest lensemble des tats

pour toutes les positions x

possibles.

Notons que, puisque ces tats dcrivent des situations de position x prcise , alors : La particule ayant une position x prcise est videmment trouve en x.

Et : (pour des positions diffrentes)

La particule ayant une position x prcise ne sera videmment pas un autre endroit.

Revenons notre particule dcrite par . On aura, pour toute position x, unevaleur sauf dans deux cas : Et Cest--dire que la particule a autant de chance dtre dans une des deux positions. En fait, pour tre

exact on devrait crire 1/2 (une chance sur deux) mais nous ferons le lien avec les probabilits plus

bas. Dailleurs mathmatiquement on na ni 1 ni 1/2, mais peu importe. Ce qui compte ici cest que

les deux positions donnent des rsultats identiques.

Tout tat peut se dcrire comme une superposition des tats de base : En disant quelle peut tre en x, en y, en z, etc Cest dans ce sens que la base couvre toute les

possibilits.

Notons que cette gymnastique nest pas inutile. Il est plus facile de travailler uniquement avec les

tats de base, bien dfinis et peu nombreux, que sur linfinie possibilit de tous les tats possibles.

Il est galement possible de choisir dautres bases, par exemple la base des vitesses prcises

.

Toutes les bases sont quivalentes dun point de vue mathmatique. On passe aisment de lune

lautre par des oprations mathmatiques lmentaires. On peut choisir toute base qui savre

pratique pour les raisonnements. Notons juste que ne peut pas tre non nul pour une seuleposition prcise, cause du principe dindtermination.

Pour terminer cette petite excursion lmentaire dans les notations et leur usage, notons que lon

notre traditionnellement :() Qui est juste une autre notation. On lappelle fonction donde, un terme que vous avez srement

dj entendu.


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On peut aussi montrer quil y a une quivalence mathmatique totale entre la reprsentation sous

forme de ket (aussi appels vecteurs dtat) et la reprsentation ondulatoire (non classique) avec la

fonction donde.

Pour les explications, les deux sont parfois utiles. On peut aisment passer de lune lautre.

Mais attention en raisonnant, car sans connaitre le formalisme mathmatique rigoureux cach

derrire il peut tre impossible de voir pourquoi tel ou tel raisonnement est correct et tel autre

compltement erron. Une connaissance vulgarise permet de comprendre certain aspects mais

noffre pas la moindre aide pour btir ses propres raisonnements, ce nest quune traduction

grossire dun raisonnement mathmatique rigoureux. Cest une faute trs frquente chez le

nophyte qui, en plus, nest mme pas arm pour dcouvrir par lui-mme quil commet une telle

faute. Vous voil prvenu, aussi dcevant que cela puisse tre. Aller au-del dune simple

comprhension superficielle ncessite un travail certain impliquant dabsorber des connaissances

mathmatiques.

Revenons au cas de lnergie. Pour un systme S quelconque, il y a une srie dtats correspondant

des nergies prcises : , , etc. Formant l aussi une base (la base nergie). Et un tatquelconque peut tre dans une superposition quantique dtats dnergie diffrente.

Selon les systmes, on peut avoir une srie dnergies bien spares (spectre discret), toutes les

valeurs possibles (spectre continu) ou une partie des valeurs discrtes et une partie continue.

Ces tats dnergie bien dfinie ont une particularit : ils sont stables cest--dire quils ne varient

pas au cours du temps (en dehors de loscillation de londe). Ils sont donc aussi ternels (ce qui en

pratique narrive jamais vraiment, mais un tat peut tre de dure trs longue).

Pour un tat de courte dure, on a forcment une superposition dtats dnergie diffrente. Cest

de l que vient le principe dindtermination de lnergie.

Evolution et mesure

On peut crire une quation dvolutionpour la particule qui nest autre quune quation dondes

(comme lquation dcrivant lvolution dune vague, lquation dcrivant une onde sonore, etc.).

Quoi dtonnant ? Ecrivons l sous une forme simplifie :

Ici reprsente la variation de ltat au cours du temps. H est appel hamiltonien du systme. Ilcontient sa description physique permettant de calculer son volution et il a mme un lien important

avec lnergie.

La seule chose qui nous importe ici est que cette quation est linaire (on dit mme unitaire qui a

une signification plus forte mais dont nous navons pas vraiment besoin ici). Cela signifie quelle

respecte le principe de superposition. Si on a une autre solution de la mme quation : Alors on a aussi :

( ) ( )


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Cette proprit que lon prouve mathmatiquement (ce qui est lmentaire) est mettre en

parallle avec ce que nous avons dit sur le principe de superposition.

Supposons que notre particule soit dans ltat avec diverses possibilits pour sa position : x, y,z, Que se passe-t-il si on mesure sa position ? Dans ce cas, le postulat de probabilit de Born dit

que lon aura une certaine probabilit de la trouver en x, en y ou en z. Cette probabilit est relie

lamplitude (peu importe comment, le lien nest pas trivial, ce qui compte cest que si lamplitude est

grande, la probabilit aussi).

De plus, la somme des probabilits pour toutes les possibilits doit tre gale un (cent pour cent de

chance de la trouver quelque part). Par exemple, avec notre particule deux endroits, on aura une

chance sur deux (1/2) de la trouver en lune ou lautre position. Dautres valeurs sont videmment

possibles, par exemple 1/4 et 3/4.

Supposons maintenant que je mesure la position de la particule dans ltat et que je la trouve la position x. Dans ce cas, nous savons maintenant avec certitude quelle est en x: cest l que nouslavons trouv. Son tat peut donc tre dcrit par . On dit que ltat de la particule sest rduit un tat plus prcis (pour la variable concerne). On parle de rduction du vecteur dtat ou de

rduction de la fonction donde. Cest le postulat de rduction.

Bien quil semble que nous ayons dduit clairement ce rsultat, il sagit en fait bien dune hypothse

supplmentaire. Aprs tout, le fait de savoir que la position est x nexclut nullement dautres

possibilits.

Il est temps de revenir au moment angulaire, au plutt au spin, qui est aussi une grandeur associe

ltat dune particule comme la position ou son nergie. Nous allons dabord aborder ce problme

travers des expriences utilisant le moment magntique.

IV. Expriences

IV.1. Appareil de Stern-Gerlach

Description

Lappareil de Stern-Gerlach se prsente comme suit :


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On a deux grosses pices mtalliques, en fait des aimants, entre lesquelles on fait passer un flux departicules.

Regardons le champ magntique en prsentant lappareil de profil.

A cause de la forme pointue dune des pices, les lignes du champ magntique dans lentrefer sont

incurves. Le champ magntique est ainsi plus intense en haut quen bas. On a ce quon appelle un

gradient du champ magntique.

Fonctionnement

Envoyons dans lappareil des objets dots dun moment magntique. Par exemple de petits

fragments dun aimant. A cause du gradient de champ magntique, on montre que le petit aimant va

tre attir vers le haut ou vers le bas, selon son orientation.

En fait, le moment magntique de laimant peut tre orient nimporte comment et il va subir une

force qui tend le faire basculer. On montre que dans ce cas le moment magntique va tre anim


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dun mouvement de rotation autour de laxe vertical, tout comme une toupie oscille lorsquelle nest

pas parfaitement verticale (la force tendant faire basculer la toupie tant cette fois la gravit).

Mais ce nest pas trs important. Ce qui compte pour nous est que la force qui agit sur laimant varie

en fonction de lorientation de laimant. Cette force dvie laimant et provoque une trajectoire

incurve. Dessinons quelques trajectoires en nous mettant face lappareil.

On constate que les impacts des petits fragments daimants forment une ligne verticale continue sur

la cible droite. Toutes les orientations possibles des aimants conduisent toutes sortes de

trajectoires.

Sssayons maintenant avec des particules tel que des lectrons ou autres.

IV.2. Expriences avec des particules

Essai avec des pions

Les pions ou msons pi sont des particules exotiques observes dans les acclrateurs de particules.

Utilisons des msons pi avec une charge lectrique positive.

Adoptons une forme simplifie pour notre appareil et les trajectoires, par facilit. Le rsultat est

simple :

On voit que la trajectoire des pions nest pas dvie. Cela signifie quils nont pas de moment

magntique et puisquils ont une charge lectrique cela signifie quils nont pas de moment angulaire

intrinsque. On parle de particules scalaires(nous verrons plus tard lorigine de ce terme) et quelles

ont un spin de valeur 0.

Essai avec des lectrons

Utilisons maintenant des lectrons.


22/51

On obtient deux trajectoires et seulement deux. Une se dirige vers le haut et lautre vers le bas.

Suite ce comportement diffrent, on dira que les lectrons ont un spin 1/2. Notons que cette valeur

1/2 est quelque peu arbitraire. Elle est aussi lie lhistoire et la thorie mathmatique du spin.

Llectron a donc un moment angulaire que lon peut dailleurs mesurer et il faut : Avec o h est la constante de Planck que nous avons dj rencontr.Essai avec des msons rho

Ce sont aussi des particules exotiques et nous prendrons des msons rho avec une charge lectriquepositive.

En ralit, ces particules ont une dure de vie extrmement courte, beaucoup trop courte pour ce

type dexprience. Mais on a fait des tas dexpriences de tas de manires sur les particules et le

spin. Il faut donc voir cette exprience comme une exprience de pense illustrant ce qui se passerait

si on leffectuait de cette manire. On peut aussi faire lexprience avec certains atomes donnant le

mme rsultat.

Le rsultat est le suivant :

Cette fois on a trois impacts, un en haut, un en bas et une trajectoire non dvie. On dit que la

particule a un spin 1 et son moment angulaire vaut ment angulaire vaut .On pourrait continuer et trouver des particules ou des assemblages de particules (atomes) avec des

spins s quelconques donnant (2s+1) trajectoires et un moment angulaire .Notons que les photons ont un spin un, mais ils nont pas de charge ni de moment magntique, on nesait pas le mesurer comme a, mais on peut utiliser les proprits des ondes lectromagntiques

pour illustrer le fait que ces particules ont un spin 1.

Diffrences avec le cas classique

La grosse diffrence est que lon a des impacts bien localiss et non pas une dispersion sur toute la

hauteur. Ceci est vrai indpendamment de linclinaison de lappareil (et donc de lorientation des

moments magntiques qui devraient conduire des trajectoires un peu plus ou un peu moins

dvies, ce qui nest pas observ avec des particules).

Manifestement les particules lchelle de latome ne se comportement pas vraiment comme des

objets classiques.


23/51

Essayons de dcrire cela un peu plus prcisment.

IV.3. Appareils en srie

Modification de lappareilOn aimerait mettre plusieurs appareils successifs en srie. Mais les trajectoires incurves

compliquent les choses. Pour viter cette difficult, on va modifier un peu lappareil de Stern-

Gerlach.

On a indiqu les polarits des aimants.

Ainsi, les particules ont des trajectoires incurves par les premiers aimants. Puis, la deuxime pairedaimants redresse les trajectoires et les incurvent dans lautre sens. Enfin, la dernire paire redresse

nouveau les trajectoires. Ainsi les trajectoires des particules ont lallure suivante.

Deux appareils successifs

Grce cette modification, on peut sans difficult mettre plusieurs appareils en srie.

Filtres

Cela permet aussi de placer facilement des filtres, cest--dire des barrires bloquant les particules

suivant telles ou telles trajectoires.

Par exemple, on peut placer des filtres bloquant les trajectoires infrieures.


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Sur ce dessin, nous avons suppos implicitement quune particule suivant la trajectoire suprieure

dans le premier appareil suit aussi la trajectoire suprieure dans le second. On le vrifie facilement

en plaant un filtre au-dessus.

Les particules ont donc bien trois tats diffrents (pour le spin 1 qui nous sert ici dexemple), bien

distincts et qui restent dans un tat donn lorsquelles sy trouvent au dbut.

Base dtats

On peut donc dcrire les diffrents tats lis au spin, selon les trajectoires suivies que lon

slectionne avec des filtres. Pour le spin 1, on aura les tats (trajectoire suprieure), (trajectoire droite) et (trajectoire infrieure).Lensemble des tats forme une base permettant de dcrire les diffrents tats du spin.

Bien sr chaque particule a aussi bien dautres proprits : nergie, vitesse, position. Mais nous

ignorons volontairement ces variables pour nous concentrer uniquement sur le spin. Nous

regroupons donc lensemble de tous les tats dune particule en trois groupes dsigns par ces trois

tats.

Comme, de plus, nous avons utilis un appareil bien prcis, que lon dsignera par S, pour

slectionner les tats, on dira que cest la base S des tats et que ces tats sont , et avec un changement de notation vident.Etats superposs

Quel est ltat des particules arrivant gauche? Il peut tre quelconque. Ltat le plus gnral tant

une combinaison des tats de base : . Pointons en particulier deuxpossibilits, que nous ne pouvons pas distinguer a priori.

Chaque particule est dans un des trois tats, prcis, mais on ne sait pas lequel. Un tiers desparticules sont dans ltat , un tiers dans ltat et un tiers dans ltat . Nousne faisons que trier les particules dans ces trois tats avec nos appareils et nos filtres.

Toutes les particules sont dans le mme tat qui est un tat superpos des trois tats debase : . Lorsque la particule entre dans lappareil, une des trois valeurspossibles est slectionne avec une probabilit 1/3. Une fois dans cet tat slectionn, la

particule reste dans cet tat (rduction).

On ne peut pas savoir quelle possibilit est la bonne car on ignore comment ont prpares les

particules. Mais, maintenant, on peut utiliser nos filtres pour prparer les particules dans un tat

prcis et les rinjecter dans un autre appareil plac juste aprs.


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Cet autre appareil, que lon nommera T, peut tre quelconque, par exemple on peut le faire tourner

par rapport S. Par rapport cet appareil T, on peut aussi dfinir une base dtat , ,, a prioridiffrente de la base S.Nous aimerions savoir comment ces deux bases sont relies, ce qui nous apprendra pas mal de chose

sur les tats quantiques tout autant que sur le spin.

IV.4. Appareils et rotations

Rotations de lappareil T

On peut faire tourner lappareil T, situ aprs S, de trois manires diffrentes.

On peut le faire tourner verticalement.

On peut le faire tourner horizontalement.


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Ou peut le faire tourner sur lui-mme.

Voyons ce que cela donne dans diffrents cas.

Rotation horizontaleEffectuons dabord une rotation horizontale de lappareil T. Lexprience montre que dans ce cas,

ltat des particules nest pas modifi.

Cest assez logique car notre champ magntique est vertical et slectionne les moments magntiques

en fonction de leur direction par rapport la verticale. La rotation ne modifie pas cette direction

verticale et donc ne modifie pas la slection ralise.


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Rotation sur soi de 180

Effectuons maintenant une rotation sur soi de lappareil T de 180. Cest--dire, retournons

compltement lappareil. Ce qui est en haut deviens en bas et vice versa.

Ici non plus la trajectoire nest pas modifie. Mais on voit que dans lappareil T, la trajectoire qui

passait en haut passe maintenant en bas par rapport T. Donc on a la correspondance pour les

tats :

Ce rsultat est assez logique.

Rotation verticale de 180

Si lon effectue une rotation verticale de 180, cela revient aussi renverser compltement lappareil

T. Le rsultat est donc identique ci-dessus.

Rotation sur soi de 90

Effectuons maintenant une rotation de 90 de lappareil T. Il est donc couch sur le flan.

Par rapport T, la verticale de S devient lhorizontale. S ayant slectionn le spin verticalement, par

rapport T il est slectionn horizontalement. Mais dans T, cela na pas deffet. Un spin slectionn

horizontalement puis tri verticalement pour T donne des rsultats quelconques.

Les particules filtres sont nouveau slectionnes selon les trois trajectoires. Ltat lentre de T

dans la base de T est donc une superposition des trois tats , , .Appareil S supplmentaire

Rajoutons, la sortie du dispositif prcdent, un appareil S identique au premier et orient comme

lui.


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On voit que dans S la trajectoire est toujours suprieure. Cest assez logique car les particules sont

passes librement dans T, sans tre modifie ni filtre. Elles ressortent comme elles taient entres

et ltat de la particule est toujours le mme.

Mais filtrons maintenant les particules dans T.

Cette fois le rsultat est diffrent : on a trois trajectoires dans le deuxime appareil S.

Le rsultat peut mme paraitre surprenant car en empchant certaines particules de passer dans T,

on se retrouve dans S avec plus de particules dans la trajectoire du bas, par exemple. Cest un

comportement typiquement quantique sans quivalent classique sauf avec des ondes. Danslexprience de Young aussi en bouchant un trou, on peut obtenir plus de particules un endroit o il

y en avait moins cause des interfrences (ou des vagues plus haute). Et effectivement, dans

lexprience prcdente, ce sont les interfrences entre les trois trajectoires de T (comme les deux

fentes de Young) qui induisent une seule trajectoire dans S.

En plaant le filtre dans T, on slectionne ltat et ltat filtr par S a t oubli . Il est doncspar en trois trajectoires dans S tout comme ltat est spar en trois trajectoires dans T.Cela sajoute , lautre caractre typiquement quantique : ltat de la particule est toujours trouv,

par exemple pour un spin 1/2, dans les tats haut ou bas, quelle que soit la direction utilise pour le

dterminer.

Nous nirons pas plus loin dans cette analyse car cela nous obligerait faire quelques calculs un peu

trop labors pour cette tude (bien que ces calculs ne soient pas si compliqus). De plus il nous

manque les dtails techniques sur les amplitudes et leur rapport aux probabilits, ce qui implique

lusage des nombres complexes. Tout cela nous conduirait seulement obtenir les transformations

exactes entre la base S et la base T en fonction des angles de rotation, ce qui ne nous intresse pas

vraiment ici.

Sachons seulement quen utilisant les rgles de la mcanique quantique, quelques raisonnements de

bons sens, et diverses combinaisons dangles et dappareils comme ci-dessus, on arrive trouver les

transformations quelconques.

Ce que nous avons obtenu est dj trs intressant et enrichissant mais si on a appris des choses

intressantes sur le spin, on aimerait aussi savoir pourquoi il y a diffrents spins comme a. Pour cela

nous allons devoir passer maintenant une description plus abstraite (mais prsente simplement)

de lanalyse des rotations.


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V. Le groupe des rotations

V.1. Les rotations

Rotations deux dimensionsConsidrons les rotations dun angle quelconque dans un plan (autour dun point central) :

On peut considrer ces transformations comme les points dun cercle donnant langle de rotation :

Combinaison de deux rotations

On peut effectuer deux rotations successives dangle et :

Cela donne une rotation dangle .On a utilis le symbole pour indiquer la combinaison de deux rotations. Lexpression se lit de ladroite vers la gauche (rotation dangle puis dangle ).On peut aussi effectuer la combinaison dans lautre sens: une rotation dangle puis une rotationdangle. On obtient bien entendu aussi une rotation dangle . Donc :


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Groupe des rotations deux dimensions

Les transformations par rotation forment ce quon appelle un groupe (mathmatique).

La thorie des groupes est vaste, riche et complexe (et omniprsente en physique) mais la dfinition

dun groupe est assez simple pour tre donne ici. On appelle G un groupe un ensemble dlments g

appartenant G (par exemple lensemble des rotations) et une opration entre lments (parexemple la combinaison de deux rotations) tel que : Pour tous les lments du groupe, appartient G (loi interne).

La combinaison de deux rotations est encore une rotation.

Pour tous les lments du groupe, ( ) ( ) (associativit). Il existe un lment appel lment neutre e tel que pour tout lment : .

Pour les rotations, cest la rotation dangle 0 (qui ne change videmment rien).

Pour tout lment g il existe un lment appel inverse et not tel que .Pour une rotation dangle , cest la rotation inverse dangle (ou, ce qui revient au mme,

ou

si on mesure les angles en radians, ce qui est habituel en physique ou

en mathmatique).

Si pour tout lment on a , alors on dit que le groupe est commutatifou ablien(du nom du mathmaticien Abel). Sinon le groupe est dit non ablien (ce sont gnralement des

groupes beaucoup plus compliqus).

Si les lments du groupe sont en nombre fini (ou infini dnombrable), on parle de groupe discret,

par exemple la rflexion par un miroir est un groupe deux lments (pas de rflexion et rflexion,

vrifiez que cela correspond la dfinition dun groupe).

Si les lments dpendent dun ou plusieurs paramtres variant de manire continue on dit que lon

a un groupe continu. Ici langle varie de 0 , par exemple, et le groupe des rotations deuxdimensions est donc un groupe commutatif continu. Il fait partie dune classe de groupes continusappels groupes de Lie, extrmement importants en physique. Le groupe des rotations deux

dimensions est appel groupe U(1).

Rotations trois dimensions

Ce qui nous intresse ce sont les rotations quelconques trois dimensions, pas seulement celles

limites un plan (mais les rotations dans le plan avaient lavantage de la simplicit pour introduire

le sujet).

On peut considrer une rotation quelconque comme la combinaison de trois rotations autour daxes

perpendiculaires x, y et z :


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Considrons deux rotations. Une rotation de 90 autour de laxe x et une rotation de 90 autour de

laxe z.

Effectuons la premire rotation suivie de la deuxime :

Effectuons maintenant les deux rotations dans lordre inverse, la deuxime suivie de la premire :

Comme on le voit, le rsultat est diffrent. La combinaison de deux rotations trois dimensions est

en gnral non commutative. Le groupe de rotation trois dimensions est donc un groupe de Lie

continu, trois paramtres, non ablien. On le note O(3).

Reprsentations du groupe

Il existe plusieurs manires de reprsenter un mme groupe. On choisit des objets mathmatiques

ou des oprations physiques r qui sont isomorphesaux lments g du groupe. Cest--dire que pour

chaque g il existe un et un seul r qui correspond ( ) et pour deux lments quelconques on apour les oprations correspondantes .Le groupe des rotations peut se reprsenter par de vritables rotations physiques tel que nous

lavons fait ci-dessus. Mais il existe dautres reprsentations du groupe.


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Sphre des rotations

On peut reprsenter une rotation quelconque par un vecteur.

La direction du vecteur donne laxe autour duquel on effectue la rotation et la grandeur duvecteur reprsente langle de rotation autour de celui-ci.

Langle de rotation peut aller de 0 . Mais pour une rotation suprieure , on a la rotationqivalente de avec le vecteur dirig dans lautre sens. Donc, si on veut viter davoir deuxvecteurs diffrents reprsentant la mme rotation, on limite la taille du vecteur (lamplitude de

rotation) .Lextrmit du vecteur (la pointe de la flche) est donc situe une distance maximale du centrede rotation. Lensemble de ces points remplit donc une sphre de rayon .

Cette sphre reprsente lensemble des rotations possibles. Notons quil reste une redondance : les

points opposs situs aux extrmits de la sphre reprsentent la mme rotation (tourner de 180

dans un sens ou lautre revient au mme).

Cette reprsentation nest pas la plus pratique au niveau des calculs. Mais elle peut tre utile pourcertains raisonnements. En particulier, pour tudier les trajectoires obtenues en faisant varier

lentement les angles de rotation dans la sphre de rotation. Cela permet dtudier la structure

globale du groupe des rotations appele aussi topologie du groupe.

Reprsentation matricielle

On choisit un systme de coordonnes. Cest--dire trois directions x, y et z avec un systme de

mesure (un mtre ruban par exemple). Cela permet daffecter chaque point un jeu de coordonnes

(x, y, z) donnant sa position exacte.


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Sous une rotation de lensemble, le point va se retrouv dplac en un autre point de coordonnes

(x,y,z).

On peut montrer que le changement de nimporte quel point, pour une rotation donne, peut tre

exprim comme des combinaisons des coordonnes : Lensemble des coefficients forme un tableau :

Appele matrice de rotation. Les valeurs dans ce tableau obissent quelques rgles simples et elles

dpendent de la rotation considre.

Cette forme est extrmement pratique pour les calculs. De plus, mme sans faire de calculs, cette

simple forme permettra dillustrer les diffrentes sortes de spin.

V.2. Effet sur une particule

Action de groupe

On aimerait savoir comment agissent les rotations sur nos particules. Pour cela, Pour a, on a besoin

de reprsenter nos particules dune manire quelconque. Par exemple, nous avons vu quune

particule peut tre dcrite par une fonction donde () (o x = rsume les coordonnes x, y, z).Laction dune rotation sur un objet sappelle en gnral laction de groupe.

La fonction donde, aprs transformation, aura une autre forme (). On recherche latransformation qui transforme une fonction donde en lautre. On peut lcrire (transformationqui dpend de la matrice de rotation R).


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On aura donc() ().Comment agit cet oprateur ? Pour le savoir, tudions deux cas simples.Particule scalaire

Pour le savoir, on a besoin de savoir ce quest exactement la fonction (), quelle est sa formemathmatique ?Considrons dabord le cas o ()est un simple nombre, lamplitude de trouver la particule en x.En chaque point cette fonction prend une valeur diffrente.

Si lon effectue une rotation R, chaque point x va tre envoy en x. Mais lamplitude en un point

nest pas modifie, juste dplace. Donc, la valeur de la fonction en x est la valeur de la fonction en y, tel que (o R est la matrice de rotation, agissant sur les coordonnes comme nouslavons vu). Soit , o est la rotation inverse.En rassemblant le tout, on a :() () ()Moment angulaire orbital

Supposons que ()dcrive une particule dcrivant une orbite. La valeur de lamplitude estconcentre autour dun anneau constituant lorbite. Aprs une rotation, lorbite va tre oriente

diffremment. Ce qui est donc affect est le moment angulaire orbital. Mais les valeurs de ne sontpas modifies, juste dplace.

On dit alors que la particule est scalaire (car un scalaire en mathmatique est un simple nombre non

affect par des transformations tel que les rotations) et la particule na pas de moment angulaire

intrinsque. Elle est de spin 0.

Particule vectorielle

Supposons maintenant que la particule a un moment angulaire intrinsque reprsent par un

vecteur, cest--dire une flche indiquant laxe de rotation.

Sa fonction donde () est alors un champ vectoriel : elle a une valeur gale un vecteur enchaque point.

Un exemple est le photon dont le champ lectromagntique est typiquement lquivalent de la

fonction donde. Et les champs lectriques et magntiques sont des champs vectoriels (la bonne

reprsentation est en fait le potentiel vecteur mais nous ne sommes pas all aussi loin dans lesdtails techniques).

Sous une rotation, ce vecteur va tourner. Donc, on en dduit immdiatement :() ()Cette expression a donc deux parties : une partie agissant sur les coordonnes et affectant le

moment angulaire orbital et une partie agissant sur le moment angulaire intrinsque et qui est celle

qui nous intresse.

La particule est videmment appele particule vectorielle.


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Un groupe, plusieurs actions

On voit que selon la nature de la particule, laction sur la particule peut tre diffrente. Laction sur

les coordonnes est toujours de type vectoriel. Mais laction sur la particule elle-mme peut tre

scalaire ou vectorielle.

Y en a-t-il dautres ? Y a-t-il dautres types dactions sur les particules, cest--dire dautres types departicules ? Comment les trouver ?

Ce quil faut rechercher ce sont les diffrentes actions possibles du groupe de rotation. Cest ce que

nous allons voir maintenant sans, bien sr, entrer dans le dtail des calculs. Nous prsenterons le

principe de lapproche est les rsultats.

V.3. Algbre des rotations

Rotations infinitsimales

Travailler sur le groupe complet des rotations est assez difficile. Il faut simplifier lapproche. Et il estbeaucoup plus simple de travailler sur les rotations infinitsimales.

On procde comme suit : soit une rotation (autour dun axe quelconque n) dangle . On peutdcouper cette rotation en une infinit de minuscules rotations (infinitsimales, infinimentpetites) autour du mme axe n. La rotation alpha est alors la combinaison de toutes ces rotations

infinitsimales. Le fait quon ait un axe constant revient traiter avec des rotations deux

dimensions et on sait que lordre de ces rotations est alors sans importance.

Tous les calculs peuvent tre adapts pour traiter avec plutt quavec , ce qui simplifie lesrelations.

Cas vectoriel

Dans le cas vectoriel, on peut montrer quune rotation infinitsimale peut se dcrire par un vecteur

avec trois composantes notes , , , chacune de ces composantes agit sur les coordonnes,dune manire assez simple, ou sur les composantes dun autre vecteur.

On les appelle les gnrateurs des rotations ou gnrateurs du groupe. Ils agissent avec un angle de

rotation et le calcul permet ensuite de repasser aisment des rotations finies .Pour la partie moment angulaire intrinsque, on calcule facilement la forme de ces oprateurs.

Chacun agit sur les trois composantes dun vecteur, un peu comme la matrice de rotation, et admet

donc une forme matricielle quon peut calculer.

Pour lexemple, nous donnons ces matrices ( un facteur prs contenant que nous ncrivons pas, ilinterviendra dans le moment angulaire) calcules pour le moment angulaire intrinsque.

Algbre des gnrateursConsidrons le commutateur de deux variables a et b, . Sa forme est simple :


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Si a et b taient des simples nombres, le commutateur vaudrait zro : . Mais le produit de aet de b nest pas ncessairement commutatif. Nous savons, par exemple, que la combinaison de

deux rotations quelconque nest pas commutative.

Avec les oprateurs de rotations infinitsimales dans le cas vectoriel, on trouve (toujours un facteur

prs, le mme que ci-dessus) :[ ] [ ] Cest lalgbre des gnrateurs du groupe. On montre quelle permet de dcrire toutes les

proprits de laction du groupe des rotations (infinitsimales) sur un objet quelconque et de l

toutes les rotations.

On parle aussi dalgbre de Lie.

Deux solutions

On veut trouver toutes les formes des oprateurs obissant ces relations. Cest--dire toutes les

reprsentations possibles de lalgbre du groupe, ce qui revient dcrire tous les types dactions outoutes les formes que peuvent prendre les objets sur lesquels agissent les rotations.

On a dj deux solutions.

Trois matrices (une seule ligne, une seule colonne) scrivant toutes . Elles satisfonttrivialement lalgbre ci-dessus.

Cest le cas scalaire. En utilisant les calculs concernant les transformations infinitsimales, on

trouve que loprateur de transformation pour un angle fini est 1 (pour les curieux, le

passage de la forme infinitsimale la forme finie revient prendre une exponentielle, et

()

).

Lautre solution est donne par les trois matrices ci-dessus, cest le cas vectoriel, dont onvrifie quelles satisfont lalgbre (on a besoin du facteur commun o i est le nombreimaginaire tel que pour le curieux connaissant le calcul matriciel et qui voudraitvrifier).

Quelles sont les autres solutions possibles ?

V.4. Reprsentations

Calcul des reprsentations

Le calcul, particulirement ardu, donne toutes les solutions sous forme matricielle. On a ainsi : Une solution avec des matrices 1 ligne, 1 colonne, que nous avons vu. Une solution avec des matrices 2 lignes, 2 colonnes. Toujours un facteur prs :

avec . Elles sont appeles matrices de Pauli qui les autilis pour dcrire llectron.

Une solution avec trois lignes, trois colonnes, que nous connaissons. Une solution avec quatre ligne, quatre colonnes. Etc. Et plus gnralement une solution avec n lignes et n colonnes.

Valeurs propres

On appelle valeurs propresdun oprateur S ou dune matrice S les valeurs v telles que pour les

vecteurs propres ou tats propres on a :


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La mcanique quantique montre que les valeurs v sont les seules mesurables pour la grandeur

reprsente par loprateur correspondant.

Une matrice avec n lignes et n colonnes possde n valeurs propres.

Moment angulaire intrinsque

On peut calculer les valeurs propres de loprateur S pour une direction quelconque laide des

matrices ci-dessus.

Les valeurs propres trouves pour les diffrentes valeurs de n sont :

Pour n = 1, on trouve la valeur propre 0. Pour n = 2, on trouve deux valeurs propres : +1/2 et -1/2. Pour n = 3, on trouve trois valeurs propres : -1, 0, +1. Pour n = 4, on trouve -3/2, -1/2, +1/2, +3/2.

Etc.

On trouve donc 2s+1 valeurs propres, allant des +s par pas entiers, avec s valant 0, 1/2, 1, 3/2,

etc. appel valeur du spin.

On a trouv les reprsentations pour le cas scalaire (s = 0), le cas avec s = , le cas vectoriel (s = 1),

etc.

Lien avec Stern-Gerlach

Puisque quune particule de spin s a 2s+1 valeurs propres, la mesure peut donner 2s+1 moments

angulaires diffrents (au prs, cela donne les moments angulaires quon a vu) et donc 2s+1moments magntiques.

Cela explique les trajectoires en nombre fini observ dans lexprience de Stern-Gerlach.

Ainsi, la boucle est boucle aprs cette longue excursion dans labstrait, on lespre pas trop

rebutante et obscure sans les dtails techniques. On va maintenant regarder le spin 1/2 dun peu

plus prs et dautres proprits tranges du spin.

VI. Le spin 1/2

ReprsentationsOn a vu que la reprsentation des particules scalaire (spin 0) tait donne par un simple nombre en

chaque point. Et on a vu que la reprsentation dune particule vectorielle (spin 1) tait donne par un

vecteur en chaque point.

Mais quen est-il du cas du spin 1/2 ? Quelque chose entre un point et une flche ???

Il ny a pas dquivalent classique au spin 1/2 o on ne rencontre que les cas de spin entier comme

les cas 0 ou 1. On trouve aussi le cas de spin gal 2. Par exemple, les proprits du champ

gravitationnelmontrent quil a des proprits sous les rotations quivalentes au spin 2, il se

reprsente comme une grandeur dpendant de deux directions en chaque point.


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De mme pour un champ de contraintes mcaniques dans un matriau ou sur chaque surface on a

une pression (perpendiculaire la face) et une contrainte de cisaillement (parallle la surface). Un

peu comme une paire de vecteurs.

Mais les spins demi-entiers ne se rencontrent pas en physique classique.

Existence

Mais les solutions mathmatiques sont claires : il existe des solutions de spin 1/2, 3/2, etc.

On pourrait penser un artefact mathmatique. Ce nest pas parce que la solution est

mathmatiquement possible quelle se manifeste physiquement! Mais lexprience contredit cette

ide. Lexprience de Stern-Gerlach prouve lexistence de particules de spin 1/2 et en particulier le

cas des lectrons, mais aussi des protons, des neutrons et de beaucoup dautres particules ou

atomes (cest le cas des atomes dhlium 3, unisotopelger de lhlium, cest--dire avec un neutron

en moins dans son noyau par rapport lhlium 4, le plus abondant).

SpineursQuelle est la reprsentation mathmatique dun objet de spin 1/2 ? Ce sont ce que lesmathmaticiens appellent des spineurs. Ce sont des objets deux composantes (pour le spin 0, on

avait une seule composante, pour les vecteurs on a trois composantes : les trois coordonnes de

lextrmit de la flche, et au vu du nombre de lignes et colonnes des matrices dcrivant les

transformations du moment angulaire intrinsque, deux pour le spin 1/2, ce rsultat ne devrait pas

surprendre).

Les proprits mathmatiques des spineurs sont claires et prcises, mais nous nen aurons pas

besoin ici et nous cirons leur existence pour mmoire.

RotationsEffectuons une rotation dun objet scalaire: comme on la vu, aucun changement nest perceptible.

Effectuons une rotation dun vecteur. Evidemment, dans ce cas il y a un changement de direction du

vecteur. Si l'on effectue un tour complet de 360, il revient sa position initiale et il ny a pas de

changement.

Effectuons un tout complet de 360 avec un spineur. Le calcul montre quil change de signe. Sa

fonction donde passe de () (). Il faut faire deux tours complet pour retrouver le mmeobjet !

En changeant de point de vue, le caractre trange de ce rsultat apparait plus clairement. Nousavons adopt jusquici le point de vue actif: on fait tourner directement lobjet. Mais on peut aussi

adopter un point de vue passif: on laisse lobjet tel quil est mais cest nous qui tournons autour.

Cela revient faire tourner les axes servant mesurer les coordonnes. Mathmatiquement, ces

deux faons de faire sont identiques.

En tournant autour dun objet de spin 1/2, on trouve un objet diffrent aprs avoir fait un tour

complet. Cela semble totalement absurde. En tout cas pour un objet classique et on comprend que

lon ne trouve pas ce genre de chose en physique classique (bien quil soit possible de construire des

objets alambiqus attachs avec des lastiques et qui doivent faire deux tours sur eux-mmes pour

que les lastiques reprennent une position non noue. Mais ce sont des curiosits plus que des

objets intressant physiquement car on ne peut avoir ce comportement avec un objet isol).


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Effet du signe

En ralit, le signe de la fonction donde nest pas observable. Pour passer des amplitudes aux

probabilits, on doit lever un nombre au carr, ce qui fait disparaitre le signe. Comme on nobserve

jamais que des probabilits (par exemple loccurrence ou non dune valeur mesure), ce signe

disparait de lobservation. Donc, ce signe nest pas physiquement gnant et il peut rellement tre

vu comme un artefact mathmatique.

On ne peut toutefois pas lignorer car si lobjet nest pas isol cela pourrait avoir une influence. On

retrouve ce phnomne avec les curiosit construites avec des lastiques et, aprs tout, ce caractre

trange du spin 1/2 nest peut-tre pas si hrtique que cela.

Avec plusieurs particules, un changement de signe peut jouer des tours. Rappelons que les particules

sont en ralit des ondes (non classiques). Des interfrences peuvent se produire entre plusieurs

particules et un changement de signe est quivalent dcaler une onde (on parle de sa phase ou de

dphasage). Cela a une incidence sur les interfrences :

Il faut donc se tourner vers des systmes deux particules pour voir les effets du signe.

VII. Statistiques

VII.1. Etats symtriques et antisymtriques

Etats deux particules

Considrons deux particules A et B pouvant se trouver dans deux tats que nous nommerons 1 et 2.

Par exemple, si la particule A est dans ltat 1, nous noterons cela A1, si la particule B est dans ltat

2, nous noterons cela B2, etc.

Plusieurs possibilits existent pour dcrire cet tat. Par exemples :

, ou

,

etc. ou toute combinaison de ces tats.


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Particules identiques

Supposons que lon ait deux particules identiques. Cette situation assez particulire ne peut se

produire que dans le domaine des particules lmentaires. Si vous prenez deux objets

macroscopiques, disons deux ds, il y a aura toujours de petites diffrences permettant de les

distinguer : de petites griffes, de petits dfauts dans leur structure, la prsence dune impuret,

Mme si vous ne pouvez distinguer la diffrence lil nu, ces deux ds peuvent tre distingus aumoins en principe. Au pire, vous pouvez les suivre des yeux et ainsi vous avez toujours la possibilit

de dire quel d est devant vous.

Avec les particules cest nettement plus difficile. Dune part leur simplicit et le faible nombre de

proprits permettant de les dcrire rend possible une parfaite identit de deux particules. Dautre

part, lorsquelles sont trop proches, leurs fonctions donde se superposent et il devient impossible de

dire quelle particule est un endroit donn, ce nest jamais quune manifestation du caractre

indtermin de la position dune particule. Si un gnie malicieux venait changer les deux particules,

vous nen sauriez rien.

Si les particules avaient de nombreux paramtres internes et inconnus, alors on pourrait lesdistinguer au moins en principe et les conclusions qui suivent seraient fausses. Le simple fait que les

dductions qui vont suivre sont observes exprimentalement justifie ce caractre lmentaire des

particules.

Supposons maintenant que lon ait les deux tats prsents 1 et 2. On peut donc avoir les tats ou , ou toute combinaison. Par exemple, ces deux tats peuvent tre lestats de spin -1 et +1 de deux photons ou les tats -1/2 et +1/2 de deux lectrons. Quelle

combinaison doit-on utiliser ?

Si les deux particules sont identiques, impossible de dire si cest A ou si cest B quiest dans ltat 1.

Choisir arbitrairement une des deux particules serait lui attribuer un caractre, une proprit,permettant de les distinguer. On doit donc choisir une combinaison qui donne un rle identique aux

deux particules.

Quand on passe des quations classiques aux quations quantiques laide de la machinerie

mathmatique de la mcanique quantique, on doit attribuer un rle identique aux deux particules. Si

on a un produit de type AB, on doit lui substituer une combinaison o A et B jouent un rle

identique. Noublions pas que lordre dans un produit peut avoir son importance. On dit quon

symtrise le produit.

Etats symtriques

La solution la plus vidente qui saute aux yeux est la somme :(ventuellement divis par deux, pour prendre une moyenne).

Cette relation reste inchange si on change les particules A et B. On dit que lon a un tat

symtrique.

Etats antisymtriques

Mais le signe nest pas observable pour une particule seule, on ne peut pas ngliger le fait que le

signe puisse tre ngatif, on la vu, cela existe. Si lon admet que le signe global na pas dimportance

a priori, il existe une autre combinaison des tats qui fait jouer un rle identique aux deux particules :


41/51

On dit quun tel tat est antisymtrique. Si lon change les particules A et B, cette expression

change de signe.

Nous ne ferons pas de lien tout de suite avec le spin bien que cela se devine.

Il se pourrait que lon ait des cas intermdiaires (une combinaison dtats symtriques etantisymtriques) mais lexprience montre quon ne rencontre que ces deux cas. Nous verrons plus

tard pourquoi.

VII.2. Statistique de Fermi-Dirac

Principe dexclusion de Pauli

Considrons dabord le cas antisymtrique. Supposons que lon ait quun seul tat 1 pour les deux

particules A et B. Dans ce cas, ltat devient :

Cest--dire zro.

Cela revient dire que cet tat nexiste pas.

Cest le principe dexclusion de Pauli. Deux particules identiques obissant cette rgle ne peuvent

pas tre dans le mme tat.

Pauli lavait dabord postul pour llectron pour expliquer ses proprits.

Comportement statistique

Comment se comporte une collection de particules de ce type ?

Le comportement statistique dun grand nombre de particules de ce type a t tudi par Fermi et

Dirac et les particules de ce type sont appeles des fermions.

Considrons N particules pouvant prendre les tats 1, 2, 3, Pour illustrer le phnomne nous

supposerons que les tats ont une nergie diffrente, croissante. Les particules ont tendance se

mettre dans ltat dnergie la plus basse, si elles ont une nergie plus leve, les particules

retombent dans les tats dnergie plus faible, par exemple en mettant un rayonnement. Mais

temprature non nulle, avec lagitation thermique, sous les chocs entre particules, certaines vont

monter dans des tats dnergie plus haute. Les particules occupent donc une certaine rpartition

dtats que permet de calculer la physique statistique.

Statistique classique

Supposons dabord que lon ait des particules classiques (des billes par exemple).

Dans ce cas, pour N = 1 on aura une particule dans ltat 1 ou une particule dans ltat 2, ou une dans

ltat 3, etc.

Pour deux particules. Elles peuvent tre toutes les deux dans ltat 2 ou une dans ltat 1 et lautre

dans ltat 2 (deux possibilits car on peut les changer, elles sont discernables), ou toutes les deux

dans ltat 2.

Notons lnergie de ltat en faisant la somme des nergies de chaque particule. E = 2 : une

possibilit, E = 3 : deux possibilits, E = 4, 3 possibilits (1 et 3 deux possibilits, 2 et 2),


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Remplissons un tableau en indiquant lnergie en colonnes, le nombre de particules en lignes et le

nombre de possibilits pour chaque cas.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 3 4 5 6 73 1 3 6 10 15 21

4 1 4 10 20 35

5 1 5 15 35

Cela suffira pour voir les tendances.

Statistique de Fermi-Dirac

Nous savons que deux fermions ne peuvent pas tre dans le mme tat. Cela diminue dratiquement

le nombre de possibilits. Par exemple, deux particules ne peuvent pas avoir lnergie E = 2 car il

faudrait quelles soient dans le mme tat. Et pour E = 3, on na quune possibilit : la combinaison 1-

3, car les deux particules sont indiscernables, il ny a pas de diffrence avec ltat 3-1.

Cela suffit pour remplir le tableau.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 3 3

3 1 1 1

4

5

Pour 4 particules, E vaut au moins 10 (tat 1-2-3-4) et pour 5 particules au moins 15.

Lnergie est automatiquement plus leve, et les rpartitions ont tendance se rpartir sur des

nergies beaucoup plus grandes.

La physique statistique permet de calculer ces rpartitions en fonction de la temprature.

Consquences

Si on a une grande quantit de fermions, ils auront une nergie plus grande que lon sy attendrait

temprature donne. Ils ne peuvent se mettre tous dans le mme tat et en particulier au mme

endroit. Les fermions ont donc tendance staler, non seulement pour ne pas occuper le mme

espace dans le mme tat mais aussi parce que leur nergie est plus grande (donc une nergiecintique, une vitesse, plus grande).

En physique statistique, on compare la diffrence en disant que pour les fermions il y a une force de

rsistance appele pression de Fermi qui a tendance repousser les fermions.

En fait, cette force nexiste pas(cest une force fictive), elle ne fait que mettre en vidence la

diffrence entre comportement classique et comportement quantique/fermions.

Aucune force nempche les particules de se mettre dans le mme tat, cest juste que cet tat

deux particules (ou plus) dans le mme tat nexiste pas.


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Comme exemple, citons le cas des naines blanches. Ce sont des toiles mourantes, petites, en voie

dextinction, et trs dense (des millions de tonnes par centimtre cube). Leur structure est forme

dune matire trs compacte et dun gaz dlectrons , on parle de matire dgnre. Ce qui

empche ces toiles de se contracter encore plus sous leur propre poids (au moins jusqu une

certaine limite calcule par Chandrasekhar) est justement cette pression de Fermi.

On va voir les consquences sur la structure de latome.

VII.3. Structure de latomeLa physique atomique est extrmement vaste. Voyons juste quelques aspects en rapport avec ce que

nous venons de voir.

Structure de latome

Lexprience a montr que les lectrons, petits, lgers et chargs dlectricit ngative, sont situs

autour dun noyau, petit, trs lourd (mille fois plus lourd que llectron) et charg dlectricit

positive.

La mcanique quantique montre que les lectrons ne peuvent se placer que sur des orbites dnergie

prcise.

On numrote ces orbites avec le nombre n appel nombre quantique principal.

Lnergie de chaque orbite a une valeur prcise que lon sait calculer et mesurer (par exemple en

mesurant lnergie ncessaire pour arracher un lectron latome). On peut ainsi classer les orbites

en fonction de leur nergie ainsi que de deux autres nombres appels nombre quantique orbital l et

nombre quantique magntique m. Chaque orbite porte un nombre (la valeur de n) et une lettre

(correspondant la valeur de l).

Voici le spectre en nergie des orbites pour latome dhydrogne :


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Changements dtats

Lorsquun lectron occupe une orbite de grande nergie E2, il a tendance retomber sur une orbite

dnergie plus faible E1 en mettant un photon dnergie E = E2 E1. Comme nous lavons vu, un

photon a une nergie relie sa frquence. Llectron met donc un photon de frquenceprcise.

En fonction des diffrents changements possibles dorbites, latome peut ainsi mettre (ou absorber)

un spectre prcis de rayonnements lumineux. Chaque frquence prcise est appele une raie.

Voici par exemple le spectre de lhydrogne.


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Comme la rpartition en nergie des lectrons dpend de la charge du noyau et qu chaque atome

correspond un noyau avec un certain nombre de charges, chaque atome a un spectre prcis et

diffrent des autres sortes datomes. En observant le spectre mis par un atome, on sait dire sil

sagit dhydrogne, de fer, doxygne, etc.

Rpartition des lectrons

Considrons lhydrogne. Il ny a quun seul proton dans le noyau et un seul lectron en orbite. Il se

place donc de prfrence sur lorbite de plus basse nergie (n = 0).

Ensuite, lhlium a deux protons dans son noyau (et un ou deux neutrons) et deux lectrons autour.

Combien peut-on mettre dlectrons sur la premire orbite ?


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Comme deux lectrons ne peuvent tre dans le mme tat, on ne peut en mettre que deux de spins

opposs (-1/2 et +1/2).

Latome suivant est le lithium, avec trois protons et trois lectrons. La premire orbite tant

entirement occupe, le troisime lectron ne peut se mettre que sur lorbite suivante dnergie plus

leve.

Cette orbite admet en fait quatre tats de moment angulaire orbital et peut accueillir ainsi six

lectrons en tout.

En procdant de la sorte on obtient la rpartition des lectrons des atomes (avec des complications

diverses dues par exemple aux interactions entre lectrons qui ont une charge et se repoussent).

PropritsComme les lectrons sont de plus en plus loigns, cela explique la taille des atomes. Plus dlectrons

implique un atome plus gros.

De plus, les places libres sur une orbite permettent dy loger des lectrons nergie plus faible que

sils devaient se mettre sur une orbite plus leve. Les atomes ont donc tendance mettre en

commun des lectrons afin de remplir les orbites et former des molcules. Cette rpartition explique

les proprits chimiques (loxygne a par exemple deux place libre pour placer deux lectrons et le

sodium Na a un lectron solitaire qui se placerait volontiers sur une orbite plus basse. Le chlore Cl a

une telle place libre et forme ainsi la molcule de NaCl, le sel de cuisine).

Effet ZeemanSi on applique un champ magntique, les lectrons ayant un moment magntique vont gagner ou

perdre de lnergie dans ce champ magntique, selon leur orientation. Comme les lectrons sur une

mme orbite doivent avoir des spins diffrents, ils ragissent diffremment. Il en est de mme des

diffrents tats de moment angulaire orbital.

Les raies spectroscopies se dmultiplient alors. Cest leffet Zeeman qui peut tre utilis, par

exemple, pour dtecter la prsence dun champ magntique plus ou moins intense sur une toile en

observant le spectre lumineux mis par cette toile.


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VII.4. Statistique de Bose-Einstein

Etats symtriques

Considrons maintenant le cas symtrique et le comportement dun grand nombre de particules.

Ce comportement statistique fut tudi par Bose et Einstein. Les particules se comportant suivantcette statistique sappellent des bosons.

Reprenons notre tableau pour dnombrer les tats en fonction de lnergie en reprenant notre

tableau. Cette fois, il ny a aucun problme pour avoir deux particules dans le mme tat. Mais les

particules restent indiscernables, ltat 1-3 est identique ltat 3-1.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 3 3 4

3 1 1 2 3 4 6

4 1 1 2 3 4

5 1 1 2 3

Comportement grgaire

Supposons que jaie dj trois particules dans ltat 3. Et une autre particule, dnergie quelconque

(quon va limiter ltat 5) vient sajouter.

Les tats finaux possibles sont 3331, 3332, 3333, 3334 et 3335.

Si ce sont des particules classiques, le nombre dtats possibles avec ces configurations sont 4, 4, 1,

4, 4. Si tous ces tats sont quiprobables (ce qui est une idalisation abusive mais elle suffira pour

notre propos), alors ltat final 3333 na quune chance sur dix-sept de se produire.

Si ce sont des bosons, le nombre dtats possibles pour ces configurations sont 1, 1, 1, 1, 1, cause

du caractre indiscernable. Si nouveau tous les tats sont indiscernables, ltat final 3333 a une

chance sur cinq de se produire. Soit peu prs trois fois plus qu avec des particules classiques.

Et cette amplification des probabilits augmente avec le nombre de particules.

Un calcul plus rigoureux utilisant larsenal mathmatique de la mcanique ou de la physique

statistique confirme ce phnomne. Il est mme encore plus important que cette analyse simpliste.

Si lon a un grand nombre de bosons dans le mme tat, la probabilit quun autre boson bascule

dans le mme tat est amplifie fortement et tend rapidement vers un avec le nombre de particules.

Cest le comportement grgaire des bosons qui aiment se retrouver tous dans le mme tat.

Ce comportement est la base de phnomnes important tels que la supraconductivit. Les

lectrons sont des fermions. Mais trs basse temprature, les lectrons interagissant par

lintermdiaire des vibrations du rseau cristallin sapparient pour former des paires de Cooper. Une

telle paire de Cooper est un boson. Toutes les paires dlectrons ont donc tendance se mettre dans

le mme tat. Lorsque lon applique un champ lectrique, ces lectrons se dplacent pour former un

courant lectrique. Mais comme ils ont tendance tous tre dans le mme tat, il devient trs

difficile de gner un lectron au dtriment du mouvement densemble. Les lectrons ne sont plus

gn par les imperfections du rseau cristallin et se propagent sans rsistance lectrique. Cest lephnomne de supraconductivit constat avec certains mtaux et alliages.


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Emission stimule

Revenons latome. Lorsquun lectron se trouve dans un tat excit, sur une orbite plus leve, il a

tendance retomber sur son orbite dorigine avec mission dun photon dnergie E bien prcise (et

une direction donne). Cest lmission spontane.

Si daventure il y a dj beaucoup de photons avec cette nergie et cette direction, alors llectronretombe encore plus facilement en mettant le mme photon dans la mme direction. Cest le

phnomne dmission stimule mise en vidence thoriquement par Einstein.

Supposons que lon arrive placer de nombreux atomes dans un tat excit identique. Cela peut tre

obtenu de diverses manires, par exemple en excitant les atomes avec de la lumire. Cest le

pompage optique. Une fois quun grand nombre datomes sont dans ltat excit, ce qui sappelle

une inversion de population, ds quun atome va se dsexciter il va entraner une vritable

avalanche dmissions de photons par mission stimule. Tous ces photons seront identiques : mme

nergie, donc mme frquence, et mme direction.

Cest leffet laser. Le fait que les photons soient des bosons expliquent les proprits remarquablesdu rayonnement laser. Le rayonnement est intense (mission simultane), monochromatique (une

seule couleur, une seule frquence) et directionnel (tous les photons vont dans la mme direction).

En exploitant ces proprits, le laser a reu dinnombrables applications, depuis le dcoupage de

mtaux au recollement de rtines en ophtalmologie, en passant par les lecteurs CD et DVD ou la

communication par fibre optique et bien dautres encore.

VIII. Thorme spin statistiquePeut-on relier le spin au comportement statistique ?

On a vu que les lectrons, de spin 1/2, sont des fermions. Et les photons, de spin 1, sont des bosons.Y a-t-il un lien ?

La rponse est oui. En utilisant la mcanique quantique et, curieusement, la relativit, on peut

dmontrer que les particules de spin demi-entier doivent tre des fermions et les particules de spin

entier doivent tre des bosons. Cest le thorme spin-statistique.

Les fermions ont des tats antisymtriques, ce qui signifie un changement de signe lorsque lon

permute les deux particules. Cela ressemble fort aux comportements des particules de spin 1/2 dont

ltat change de signe lorsquon leur fait subir une rotation de 360. Le lien semble vident, mais ce

raisonnement est superficiel et mme faux. En effet, une permutation de deux particules correspond

une rotation de 180, pas une rotation de 360 ! De plus, une paire de particules de spin 1/2 donneun ensemble de spin 0 ou 1, un boson, comme les paires de Cooper.

Ce lien spin 1/2 combinaisons antisymtriques nest pas trivial et la dmonstration est difficile et

fort abstraite. Elle traduit un lien entre mcanique quantique, relativit, spin et symtries qui reste

assez difficile dcrypter.

En tout tat de cause, ce thorme explique aussi pourquoi les particules se combinent par des

relations symtriques ou antisymtriques mais pas un mlange des deux.


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IX. Etats intriqus

Combinaisons dtats de deux particules

Revenons aux combinaisons dtats de deux particules.

Supposons nouveau que deux particules A et B puissent tre dans des tats 1 ou 2.

Mme si les deux particules sont dans ltat 1, on supposera que dautres variables sont diffrentes,

par exemple elles sont des endroits diffrents. Leur tat complet est donc diffrent et il ny a donc

pas de problme pour que les deux particules soient dans le mme tat 1 (ou 2), mme pour des

fermions. a peut mme tre 2 particules diffrentes.

La particule A peut tre dans ltat ou dans ltat . La particule B peut tre dans ltatou dans ltat .Mais elles peuvent tre aussi dans des tats superposs, par exemple

ou

.Considrons les deux particules ensembles. Elles peuvent tre toutes les deux dans ltat 1, la paire

est donc dans ltat .A pourrait aussi tre dans un tat superpos et B dans ltat 1 :( )Enfin, les deux particules peuvent tre dans des tats superposs :( )( ) Dans le cas o les particules sont identiques, on peut symtriser ou antisymtriser ces tats sanstats sans difficult.

Etats intriqus

Mais les cas que nous avons rpertoris ne sont pas exhaustifs. Il y a encore dautres tats, fort

tranges, comme :Les tats des deux particules sont lis. On dit que les tats sont intriqus.

Supposons que lon fasse une mesure sur la particule A pour connaitre son tat. Le rsultat sera 1 ou

2, avec une chance sur deux. Mais ce rsultat nest pas prdtermin. Ltat de A est i

le spin.pdf

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