TUTORIAL MATHEMATICA 6.0

LE203 - Calculo II - Segundo Semestre de 2009

Professor: Marcio Antonio de Faria Rosa

Aluno: Pedro Henrique de Oliveira Rocha

R.A.: 095922

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Sumario

1 Introducao 3

1.1 Tutorial e Seus Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Software Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Comandos Gerais do Mathematica 4

3 Topicos Introdutorios Para Calculo II 7

3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Graficos 9

4.1 Graficos 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1 Plotagem de Graficos 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.2 Sobreposicao de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Graficos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.1 Plotagem de Graficos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.2 Curvas de Nıvel de Graficos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Mathematica no Calculo II 14

5.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Vetor Gradiente (∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Maximizar e Minimizar Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4 Integral Multiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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1 Introducao

1.1 Tutorial e Seus Objetivos

O tutorial apresentado foi um trabalho proposto, pelo professor Marcio Antonio de Faria Rosa,

aos alunos dos cursos de Engenharia de Producao e Engenharia de Manufatura da Faculdade de

Ciencias Aplicadas, da UNICAMP. Tal trabalho possui como objetivos principais o aprendizado

dos alunos que o realizam e o auxılio para proximas as proximas turmas que farao o curso de

calculo II (ja que o tutorial possui enfase nos assuntos relacionados ao calculo II), dando a essas,

coordenadas iniciais para a utilizacao do software Mathematica, versao 6.0, da Wolfram Research.

1.2 Software Mathematica

No seculo XXI ja nao e mais propıcio uma serie de atitudes que antes eram estritamente necessarias,

um exemplo e o caculo a mao da seguinte integral:∫

1

(x5 − 1)

O resultado e extremamente extenso e difıcil de ser calculado dessa maneira. Dessa forma, com

o avanco da tecnologia, softwares que resolvem tal integral em apenas poucos segundos foram

criados.

Um dos mais conhecidos e eficientes softwares que surgiram e o Mathematica, criado pela Wolfram

Research. Com esse muitas facilidades foram adquiridas, como o calculo de integrais, resolucao

de equacoes, de problemas de otimizacao, plotagem de graficos 2D e 3D, entre outros recursos

dos quais falaremos sobre alguns deles nesse tutorial.

Calculamos a integral pelo mathematica facilmente utilizando os seguintes comandos:

In[1]:= Integrate@1 � Hx^5 - 1L, xD

Out[1]=1

20-2 2 J5 + 5 N ArcTanB 1 - 5 + 4 x

2 J5 + 5 NF - 2 10 - 2 5 ArcTanB 1 + 5 + 4 x

10 - 2 5

F + 4 Log@-1 + xD +

J-1 + 5 N LogB1 - 1

2J-1 + 5 N x + x2F - J1 + 5 N LogB1 + 1

2J1 + 5 N x + x2F

Porem, se decidirmos calcular essa integral manualmente, sera um trabalho imenso. Daı a im-

portancia de tais softwares.

3

2 Comandos Gerais do Mathematica

Alguns comandos sao importantes para qualquer funcao executadas no Mathematica, e muitos

sao essenciais.

∙ Para executar o comando digitado: Somente apertar o botao Enter nao efetiva tal

comando, a menos que seja o Enter do teclado numerico. Caso contrario, devemos segurar

Shift e apertar Enter, dessa forma estaremos executando o comando desejado. Se apertarmos

enter normalmente, apenas estaremos passando para a linha de baixo do programa.

∙ Como digitar o comando: A maioria dos comandos do Mathematica devem ser es-

critos comecando com letra maiuscula, tais como as funcoes trigonometricas, como: Inte-

grate,Plot,Solve,Sin,Cos,Tan,Sinh,Cosh,Tanh,Csc,Sec,Cot, entre outros...

Alem disso, as variaveis, a equacao, ou qualquer outro elemento ligado ao comando que sera

executado, deve estar entre colchetes.

Para definirmos um intervalo para as variaveis da funcao apresentada usamos chaves.

Exemplo: Plot3D[x2 + y2, {x,−2, 2}, {y,−2, 2}]

∙ Onde digitar o comando e onde esse aparecera executado: Para executarmos os

comandos no Mathematica devemos digita-los a frente de In[x], sendo que x e o numero da

acao que voce quer executar no programa. Dessa maneira, obteremos o resultado do que

colocamos em tal In[x] no seu respectivo Out[x].

In[3]:= Solve@x^2 + x + 2 � 0D

Out[3]= ::x ®1

2J-1 - ä 7 N>, :x ® 1

2J-1 + ä 7 N>>

Na figura acima mostra um comando digitado no In[3]. O resultado apos o comando ser

executado apareceu no Out[3].

∙ Obtendo um valor numerico: Nem sempre obtemos diretamente um valor numerico no

Mathematica. Muitas vezes esses valores apresentam=se em forma fracionaria ou raız. Para

obtermos qualquer valor numerico desse tipo basta digitarmos a letra ”N”antes da raız,

fracao, ou ate antes de resolver uma equacao com o comando Solve. Mas dessa forma somos

obrigados a declarar a variavel para qual estamos resolvendo a equacao, mesmo que ela seja

unica.

In[9]:= 5

Out[9]= 5

In[10]:= NB 5 FOut[10]= 2.23607

In[11]:= NSolve@x^2 + x + 2 � 0, xDOut[11]= 88x ® -0.5 - 1.32288 ä<, 8x ® -0.5 + 1.32288 ä<<

4

∙ Soma e Subtracao:O Mathematica pode ser empregado para diversos fins. O mais simples

e para resolver contas de adicao e subtracao. Para resolvermos basta digitarmos a expressao

no programa e executa-la com Shift+Enter.

In[13]:= 3 + 4 + 19 + 188

Out[13]= 214

In[14]:= 95 - 3 - 178 - 12

Out[14]= -98

∙ Multiplicacao e Divisao: Assim como a soma e a subtracao, basta digitarmos as ex-

pressoes de multiplicacao e divisao para executa-las.

In[15]:= 2 * 5 * 8

Out[15]= 80

In[16]:= 18 � 6Out[16]= 3

∙ Potenciacao, Radiciacao e Logarıtimo: Outras operacoes sao extremamente simples de

serem executadas no Mathematica. A potenciacao por exemplo, basta digitarmos a baseˆ

e em seguida o expoente para realizar a operacao. Podemos usar tambem o Ctrl + 6 para

realizar tal operacao. Dessa forma aparecera um quadrado no lugar do expoente e e so

digitarmos o expoente desejado. Para sair desse modo devemos apertar Ctrl + Espaco;

Ja a radiciacao {metodos para raız quadrada}, para essa versao do Mathematica, podemos

usar o Ctrl + 2 e digitamos tudo o que entrara na raız. Ou podemos utilizar o comando

Sqrt[x], sendo x o numero que desejamos achar a raız quadrada;

Os logarıtimos podem ser calculados se digitarmos Log[x, y] sendo x a base do logarıtimo e

y o logaritimando.

In[17]:= 2^8

Out[17]= 256

In[18]:= 28

Out[18]= 256

In[20]:= Sqrt@81DOut[20]= 9

In[21]:= 81

Out[21]= 9

In[24]:= Log@10, 100DOut[24]= 2

∙ Fatorial: O fatorial pode ser calculado atraves de multiplicacoes iteradas ate obtermos o

valor final. Porem esse metodo nao e eficiente. No Mathematica, para calcularmos direta-

mente um fatorial devemos apenas digitar este e mandar o programa executar.

5

In[1]:= 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Out[1]= 40 320

In[2]:= 8!

Out[2]= 40 320

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3 Topicos Introdutorios Para Calculo II

E claro que para estudarmos derivada em funcoes de varias variaveis, integrais duplas e triplas,

e outros topicos de calculo II devemos entender primeiramente o comeco de tais assuntos, como

limites de funcoes de uma variavel, derivada em funcoes de uma variavel, integrais simples, e

outros. Para utilizarmos o Mathematica esse princıpio se mantem, devemos primeiramente en-

tender como executar comandos mais simples como pre requisito para posteriormente aplicarmos

tais conhecimentos para resolver problemas mais complexos de calculo II. Portanto, reservei uma

parte do turorial para tais assuntos introdutorios.

3.1 Limite

Nao ha como comecar a falar de derivada antes de falar de limites, ja que derivada e, resumida-

mente, um ”caso especial”de limite.

Limite e quando falamos que um numero tende a certo valor, ou seja, chega muito proximo a

esse, mas nunca atinge tal valor.

Para calcularmos um limite simples no matematica devemos digitar Limit[f(x), x → y], onde

f(x) e a funcao a qual possui a variavel que tende a certo valor, x e a variavel que tende a certo

valor e y e o valor a que a variavel x tende.

In[3]:= Limit@x^2 � 2, x ® 2DOut[3]= 2

3.2 Derivada

Derivada e um tipo especial de limite definido por:

Limf(x+ ℎ)− f(x)

ℎ, ℎ → 0

A importancia da derivada se deve a inclinacao da reta tangente a certo ponto, utilizada muito

para tracar graficos a mao e resolver problemas de maximos e mınimos.

Calculamos facilmente a derivada de uma funcao da seguinte forma: D[f(x), x] , para f(x) sendo

a funcao a ser derivada e x a variavel na qual desejamos derivar a funcao.

In[12]:= D@u^5 - u^3 + 3 u^2 + 2 u - 1, uDOut[12]= 2 + 6 u - 3 u2 + 5 u4

3.3 Integral

A integral e a anti-derivada de uma funcao. E muito utilizada para calcular area sob curvas de

graficos,area de superfıcies, volume de solidos de revolucao e outros. Para calcular a integral

7

digitamos: Integrate[f(x), x], sendo f(x) a funcao a ser integrada e x a variavel na qual estamos

integrando a funcao.

Podemos ter dois tipos de integral: Proprias e Improprias. Para as improprias basta executarmos

da seguinte maneira:

In[14]:= Integrate@x^3 + 2 x^2 + 5 x - 2, xD

Out[14]= -2 x +5 x2

2+

2 x3

3+

x4

4

Porem, se quisermos calcular a integral propria, devemos por os limites de integracao dessa

maneira, se quisermos que o limite inferior seja 1 e o superior seja 4:

In[15]:= Integrate@x^3 + 2 x^2 + 5 x - 2, 8x, 1, 4<D

Out[15]=549

4

8

4 Graficos

4.1 Graficos 2D

Uma das ferramentas principais do Mathematica e a possibilidade de plotar graficos facilmente

e rapidamente, sejam esses 2D ou 3D. Precisamos apenas indicar a funcao a ser representada

graficamente e definir um intervalo para suas variaveis.

4.1.1 Plotagem de Graficos 2D

O jeito mais simples de representar graficos. Representa a curva descrita no intervalo definido.

Para executarmos tal funcao devemos digitar no Mathematica Plot[f(x),{x,a,b}] , sendo f(x) a

funcao a ser plotada e a e b o intervalo no qual x varia.

In[1]:= Plot@x + 3, 8x, -2, 2<D

Out[1]=

-2 -1 1 2

2

3

4

5

4.1.2 Sobreposicao de Graficos

Para plotarmos dois graficos devemos deixar expressa todas as funcoes que desejamos sobrepor e

em seguida escolher o intervalo da variavel.

Ha a possibilidade de mudarmos a coloracao das curvas, facilitando a visualizacao e analise dessas.

Para isso devemos usar os comandos: Plot[{f(x), g(x)}, {x, a, b}, P lotStyle → {Colour1, Colour2}]

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In[5]:= Plot@8x + 3, x^2 + 2 x + 1<, 8x, -2, 2<, PlotStyle ® 8Blue, Red<D

Out[5]=

-2 -1 1 2

2

4

6

8

4.2 Graficos 3D

4.2.1 Plotagem de Graficos 3D

E executado da mesma forma que a plotagem de graficos 2D, mas devemos expressar o intervalo

das duas variaveis.

De modo geral: Plot3D[f(x,y), {x,a,b}, {y,c,d}]

Exemplo:

In[7]:= Plot3D@x^2 + y^2 + 2 x + 2 y + 1, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

Out[7]=

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

5

10

15

10

4.2.2 Curvas de Nıvel de Graficos 3D

As curvas de nıvel dos graficos sao importantes pois nos ajudam a observar de uma maneira mais

abrangente a funcao expressa, dessa forma podemos facilmente sobrepor uma funcao a outra para

compara-las. Alem disso, esse comando nos ajuda a visualizar problemas de maximos e mınimos

quando uma funcao e vinculada a outra.

Para executarmos tal comando devemos executar: ContourPlot[f(x,y), {x,a,b}, {y,a,b}]

In[8]:=

ContourPlot@x^2 + y^2 + 2 x + 2 y + 1, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Podemos selecionar o numero de curvas de nıvel que desejamos obter, para isso devemos adicionar

o comando Contours → n apos declararmos o intervalo em que variam as variaveis, sendo n o

numero de curvas que desejamos. Desta forma:

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In[9]:= ContourPlot@x^2 + y^2 + 2 x + 2 y + 1, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2< , Contours ® 50D

Out[9]=

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

4.3 Options

Para os comandos de plotagem de graficos e curvas de nıvel podemos ajustar algumas opcoes

conforme nossas necessidades

Para exibir as opcoes vigentes de certo comando devemos digitar Options[Comando]

In[20]:= Options@PlotD

Out[20]= :AlignmentPoint ® Center, AspectRatio ®1

GoldenRatio, Axes ® True, AxesLabel ® None,

AxesOrigin ® Automatic, AxesStyle ® 8<, Background ® None, BaselinePosition ® Automatic,

BaseStyle ® 8<, ClippingStyle ® None, ColorFunction ® Automatic,

ColorFunctionScaling ® True, ColorOutput ® Automatic, ContentSelectable ® Automatic,

DisplayFunction ¦ $DisplayFunction, Epilog ® 8<, Evaluated ® Automatic,

EvaluationMonitor ® None, Exclusions ® Automatic, ExclusionsStyle ® None,

Filling ® None, FillingStyle ® Automatic, FormatType ¦ TraditionalForm,

Frame ® False, FrameLabel ® None, FrameStyle ® 8<, FrameTicks ® Automatic,

FrameTicksStyle ® 8<, GridLines ® None, GridLinesStyle ® 8<, ImageMargins ® 0.,

ImagePadding ® All, ImageSize ® Automatic, LabelStyle ® 8<, MaxRecursion ® Automatic,

Mesh ® None, MeshFunctions ® 8ð1 &<, MeshShading ® None, MeshStyle ® Automatic,

Method ® Automatic, PerformanceGoal ¦ $PerformanceGoal, PlotLabel ® None,

PlotPoints ® Automatic, PlotRange ® 8Full, Automatic<, PlotRangeClipping ® True,

PlotRangePadding ® Automatic, PlotRegion ® Automatic, PlotStyle ® Automatic,

PreserveImageOptions ® Automatic, Prolog ® 8<, RegionFunction ® HTrue &L,RotateLabel ® True, Ticks ® Automatic, TicksStyle ® 8<, WorkingPrecision ® MachinePrecision>

Sao muitas opcoes, cada uma com sua finalidade especıfica. Ressaltamos uma importante, As-

pectRatio, que indica a razao entre o tamanho dos eixos coordenados. Ha funcoes que ficam

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melhor adequadas com diferentes AspectRatio’s.

Por exemplo: uma funcao 10x se tornara muito grande mesmo quando x = 2, no Mathematica, se

o AspectRatio estivesse 1, os eixos estariam na mesma proporcao, ou seja, o eixoy teria cinquenta

vezes o tamanho do eixox.

In[22]:= Plot@8x + 3, x^2 + 2 x + 1<, 8x, -2, 2< , AspectRatio ® 1D

Out[22]=

-2 -1 1 2

2

4

6

8

13

5 Mathematica no Calculo II

Grande parte das materias relacionadas ao Calculo II tambem podem ser encontradas no Math-

ematica.

5.1 Derivadas Parciais

As derivadas parciais sao de suma importancia para o Calculo II. Com elas calculamos os vetores

gradientes, que fazem parte dos problemas de otimizacao de varias variaveis. Para calcularmos

as derivadas parciais devemos executar o seguinte comando: D[f(x, y), x] se quisermos derivar

em x e D[f(x,y), y] se quisermos derivar em y.

O exemplo dado e para funcoes de duas variaveis x e y, mas podemos utilizar o mesmo comando

para funcoes com mais variaveis.

In[6]:= D@x^2 + y^2, xDOut[6]= 2 x

In[8]:= D@x^2 + y^2, yDOut[8]= 2 y

5.2 Vetor Gradiente (∇)

Para acharmos o vetor gradiente de uma funcao devemos seguir o mesmo metodo para encontrar

as derivadas parciais, porem devemos declarar todas as variaveis de uma so vez colocando-as

entre chaves, ou seja: D[f(x,y,z),{{x,y,z}}]. ∇f =< fx, fy, fz >= ∂f∂x

i, ∂f∂y

j, ∂f∂z

k

In[9]:= D@x^2 + 3 y^3 + 12 z - 1, 88x, y, z<<DOut[9]= 92 x, 9 y2, 12=

Podemos, assim como no exemplo das derivadas parciais, adicionar mais variaveis se desejarmos,

o exemplo foi dado com apenas tres.

Utilizando tais ferramentas, podemos resolver muitos problemas de otimizacao no Mathematica

facilmente.

5.3 Maximizar e Minimizar Funcoes

Podemos achar os maximos e mınimos de certa funcao digitando no Mathematica Maximize e

Minimize.

In[28]:= Minimize@x^4 - 3 y^4 + 7 y ^2 - 3 x^2 + 2 x - y - 17, xD

Out[28]= :-3 3

2+

1

4I-77 - 4 y + 28 y2 - 12 y4M, :x ® 1

2J-1 - 3 N>>

14

In[33]:= Maximize@- 3 x^2 + 2 x - y - 17, xD

Out[33]= :1

3H-50 - 3 yL, :x ® 1

3>>

Podemos mudar a variavel que desejamos encontrar nesses problemas:

In[40]:= Minimize@x^3 + 3 y^2 - 12 x + 7, yDOut[40]= 97 - 12 x + x3, 8y ® 0<=

In[41]:= Maximize@-3 y^2 + 12 y - 13 x^2 + 10, yDOut[41]= 922 - 13 x2, 8y ® 2<=

5.4 Integral Multiplas

A importancia da integral de varias variaveis consiste em calcular a massa de placas quando

sabemos sua densidade. Alem disso podemos calcular seu centroide. Area de superfıcie tambem

pode ser calculada por elas, ou seja, sao de extrema importancia para o calculo II, e o Mathematica

nos ajuda facilmente a calcular tais integrais. Basta digitarmos o comando Integrate[f(x,y),

{x,a,b}, {y,c,d}]

In[54]:=

Integrate@x y^2, 8y, 1, 4<, 8x, 0, 3<D

Out[54]=189

2

Sendo a o limite inferior da integral de x e b seu limite superior. Ja c e o limite inferior da integral

de y e d seu limite superior. Podemos adicionar mais variaveis se assim desejarmos, para calcular

integrais triplas.

In[57]:= Integrate@3 x y + z, 8x, -3, 3<, 8y, 0, 6<, 8z, 0, 2<DOut[57]= 72

Se quisermos, podemos digitar esc+ int+ esc para obtermos o sımbolo da integral, e seus limites

sao obtidos digitando ctrl + , para o limite inferior e ctrl + % para o limite superior. Depois,

digitamos esc + dd + esc e colocamos a variavel que integraremos, para integrarmos na variavel

desejada.

In[47]:= à0

3

à1

4

x y2 ây âx

Out[47]=189

2

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6 Conclusao

Vimos no tutorial que nao e muito difıcil utilizar o software Mathematica, mesmo se nao con-

seguirmos utiliza-lo por nos mesmos, podemos pesquisar tutoriais na internet, ou mesmo utilizar

a o modo ’help’ do proprio Mathematica.

Ao final do tutorial, temos ferramentas suficientes para resolver inumeros problemas de calculo I

e calculo II, basta aplicarmos os conhecimentos adquiridos em pro da resolucao desses exercıcios.

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