lec01 - teorema de muestreo

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Teorema del Muestreo

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Digital de SeñalesDepartamento de Maestría

DICIS - UG

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice

1.1. Introducción

1.2. Conversión analógico-digital y digital-analógico

1.3. Proceso de muestreo

1.4. Teorema del muestreo

1.5. Alteración de la tasa de muestreo

1.6. Tarea

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Introducción1.1. Introducción

Las técnicas de señales digitales proporciona un método alternativo para procesar una señal analógica de interés práctico tales como la voz, señales biológicas, sísmicas, del sonar y de los distintos tipos de comunicaciones son. Para realizar esto, es necesario antes que nada de una interfaz entre la señal analógica y el procesador digital y viceversa. Estas interfaces son el convertidor Analógico-Digital (ADC) y el convertidor Digital-Analógico (DAC) como se muestra en la Figura 1.1.

ADC ProcesadorDigital DACSeñal

AnalógicaSeñal

Analógica

Figura 1.1: Diagrama a bloques de un sistema digital


IntroducciónEl procesador digital de señales puede ser un gran ordenador digital programable (p. e. una PC) o un pequeño microprocesador embebido (p. e. un DSP, FPGA, PIC) para realizar las operaciones deseadas sobre la señal de entrada.

Figura 1.2: DSP de la compañía Altera y uno de la Familia TMS320 de Texas Instruments

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Conversión AD y DA1.2. Conversión Analógico-Digital y Digital-Analógico

Para procesar señales analógicas por medios digitales es necesario convertirlas a formato digital, esto es, transformarlas en una secuencia de números de precisión finita. Este procedimiento se denomina conversión analógico-digital (ADC).

Conceptualmente, se puede ver que la ADC posee un proceso de tres pasos los cuales son:

1. Muestreo. Esta es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto. Así xa(t) es la entrada al mues-treador, la salida es xa(nT) ≡ x(n), donde T se denomina el intervalo de muestreo.


Conversión AD y DA2. Cuantificación. Esta es la conversión de una señal en tiempo discreto con valores continuos a una señal en tiempo discreto con valores discretos (señal digital). El valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor seleccionado de un conjunto finito de valores posibles. La diferen-cia entre la muestra sin cuantificar x(n) y la salida cuantificada xq(n) se denomina error de cuantificación.

3. Codificación. En el proceso de codificación, cada valor discreto xq(n) se representa mediante una secuencia binaria de b bits.

Muestreador Cuantificador Codificador

xa(t) x(n) xq(n) 1001…

Figura 1.3: Diagrama a Bloques de un ADC

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Conversión AD y DAADC tipo flash (en paralelo).

Consiste en una serie de comparadores arreglados en paralelo que comparan a la señal con una referencia para cada nivel. El resultado de las comparaciones ingresa a un circuito lógico que “cuenta”los comparadores activados.

Figura 1.4: ADC Flash


Conversión AD y DAADC de simple rampa. Este tipo de convertidor utiliza un integrador con un condensador que se carga a pendiente constante hasta alcanzar la tensión a convertir, instante en el que cesa la integración. El tiempo requerido es proporcional a la tensión de entrada, y puede medirse con un contador digital.

Figura 1.5: ADC Simple Rampa

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Conversión AD y DAADC de doble rampa. Este esquema permite independizarse de la precisión de la frecuencia del reloj, la resistencia y el condensador. La conversión se hace en dos etapas, la primera se realiza la integración de la tensión de entrada durante un tiempo fijo, y en la segunda se produce la descarga con pendiente fija, durante un tiempo que depende de la cantidad de carga acumulada.

Figura 1.6: ADC doble rampa


Conversión AD y DADAC de escalera. Esta configuración permite un rango amplio de valores de las resistencias. En la actualidad, este tipo de circuito es superado por las redes de escalera del tipo R-2R

Figura 1.7: DAC de escalera

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Conversión AD y DADAC de escalera R-2R. La propiedad de esta configuración es que cualquiera que sea el número de secciones en la red, la resistencia vista por el operacional es R.

Figura 1.8: DAC escalera R-2R


Conversión AD y DAExisten otros circuitos convertidores analógico-digital y digital-analógico que poseen circuitería mucho más compleja para mejorar que las vistas atrás. Por ejemplo, los ADC usan DAC dentro de su propia circuiteria. Algunos ejemplos son: de aproximaciones sucesivas, balance continuoy de rampa discreta

Figura 1.9: aproximaciones sucesivas

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Conversión AD y DAAlgunos parámetros de interés para los DAC son:

La resolución, exactitud, el error de escala, error de offset, monotonía,Tiempo de establecimiento, slew-rate, sobrepico y glith, derivadas con la temperatura y con el envejecimiento entre otros parámetros.

Para los ADC son:

Rechazo al ruido, resolución, error de cuantización, error de histéresis, error de offset, error de cero, y error de escala.


Muestreo de Señales5.3. Muestreo de señales analógicas

Existen muchas maneras de muestrear una señal, la más común es el muestreo periódico o uniforme. Este proceso se describe mediante la relación

( ) ( )nTxnx a= (1.1)–∞ < n < +∞

donde x(n) es la señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal analógica xa(t) cada T segundos. Este proceso se ilustra en la Figura 1.10. El intervalo de tiempo T entre dos muestras sucesivas se denomina periodo de muestreo o intervalo de muestreo, y su reciproco (1/T = Fs) se llama velocidad de muestreo (muestras por segundo) o frecuencia de muestreo (Hertz).

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Muestreo de Señales

xa(t)

t

x(n)

n

xa(t) x(n) = xa(nt)

Muestreador

xa(t)x(n) = xa(nt)

Fs = 1/T

T 2T … 5T … 9T … t = nT1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 1.10: Muestreo periódico de una señal analógica


Muestreo de SeñalesEl muestreo periódico establece una relación entre las variables t de tiempo continuo y n de tiempo discreto. De hecho, estas variables se relacionan linealmente a través del periodo de muestreo T o equivalente-mente, a través de la velocidad de muestreo como

TnnTt == (1.2)

Como consecuencia de (1.2), existe una relación entre la variable frecuencia F de las señales analógicas y la variables frecuencia f de las en tiempo discreto. Para establecer dicha relación si se considera una señal analógica de la forma

( ) ( )θπ += FtAtxa 2cos (1.3)

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( ) ( ) ( )θπ +=≡ nFTAnxnTxa 2cos

que, cuando se muestrea periódicamente a una velocidad de Fs = 1 /Tmuestras por segundo, da lugar a

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= θπ

sFnFAnx 2cos

Si una señal en tiempo discreto es expresada como

(1.4)

( ) ( )θπ += nfAnx 2cos (1.5)

entonces, al comparar la relación (1.4) con la (1.5), se observa que las variables de frecuencia F y f están linealmente relacionadas como



TΩ=ω

sFFf = (1.6)

Si ω = 2πf y Ω = 2πF, entonces, la (1.6) queda como

(1.7)

La relación dada en (1.6) justifica el nombre de frecuencia normalizada o relativa, que se usa a veces para describir a la variable f. Como se ve en (1.6), se puede usar a f para determinar a la frecuencia F solo si la frecuen-cia de muestreo Fs es conocida.

El rango de la variable de frecuencia F ó Ω para senoides en tiempo continuo es

–∞ < Ω < +∞ –∞ < F < +∞ (1.8)

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Muestreo de SeñalesSin embargo, la situación es diferente para senoides en tiempo discreto, las cuales establecen que

–π < ω < π–½ < F < ½ (1.9)

Sustituyendo (1.6) y (1.7) en (1.9) se encuentra que la frecuencia de la senoide en tiempo continuo cuando se muestreo a una velocidad Fs = 1/Tdebe encontrarse en el rango

TFFF

Tss

21

2221

=≤≤−=− (1.10)

TFF

T ssππππ

=≤Ω≤−=− (1.11)

o equivalentemente


Muestreo de SeñalesEjemplo 1. considere la siguiente señal analógica

( ) ( )ttxa π100cos3=

a) Si la señal se muestrea a una velocidad de Fs = 200Hz ¿cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?.

b) Si la velocidad de muestreo cambia a Fs = 75Hz.

Sol. Aplicando la (1.4) se tiene

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nnx

200100cos3 π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

2cos3 π

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nnx

75100cos3 π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

34cos3 π

a)

b)

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Figura 1.11: Muestreo de la señal xa(t)


Teorema del Muestreo5.4. Teorema de Muestreo

Dada una señal analógica cualesquiera, ¿cómo se debe elegir el periodo de muestreo T? ó ¿cual es velocidad de muestres Fs? Para contestar esta pre-gunta es necesario cierta información sobre la característica de la señal que va a ser muestreada.

En particular, se debe tener cierta información general sobre el contenido de frecuencia de la señal. Generalmente, dicha información se encuentra disponible, por ejemplo se sabe que la frecuencia mayor en señales de vozronda los 3KHz o en las señales de televisión tiene componentes de fre-cuencia importante hasta los 5MHz.

La información contenida en dichas señales se encuentra en la amplitud, frecuencia y fase de las distintas componentes de frecuencia, pero antes de obtener dichas señales no se conoce sus características con detalle.

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Teorema del MuestreoDe hecho, el propósito del procesado de señal es normalmente la extrac-ción de dichas características. Sin embargo, si se conoce la máxima fre-cuencia de una determinada clase de señal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las señales analógicas en señales digitales.

Si se supone que cualquier señal analógica se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir

( ) ( )∑=

+=N

iiiia tFAtx

12cos θπ (1.12)

donde N indica el número de componentes de frecuencia. Todas las señales, como las de voz ó video se prestan a dicha representación en cualquier intervalo de tiempo pequeño.


Teorema del MuestreoNormalmente, las amplitudes, fases y frecuencias varían lentamente de un intervalo de tiempo al siguiente. Si se supone que la frecuencia de una determinada señal no excede una frecuencia máxima conocida Fmax.

Por ejemplo, si Fmax = 3KHz, para señales de voz y Fmax = 5MHz para señales de video, se puede ver que la máxima frecuencia puede variar ligeramente, y para asegurar que Fmax no sobrepase determinado valor, la señal analógica es pasada a través de un filtro que atenúe fuertemente las componentes de frecuencia por encima de Fmax. En la práctica, este filtrado se realiza antes del muestreo.

Se sabe que la frecuencia más alta de una señal analógica que puede reconstruirse sin ambigüedad cuando la señal se muestrea a una velocidad de Fs = 1/T es Fs/2. Cualquier frecuencia por encima de Fs/2 o por debajo de – Fs/2 produce muestras que son idénticas a las correspondientes a las frecuencias dentro del intervalo – Fs/2 ≤ – F ≤ Fs/2.

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Teorema del Muestreo

Teorema: Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax = B y la señal se muestrea a una velocidad Fs > 2Fmax, entonces xa(t) se puede recuperar totalmente de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

( ) ( )Bt

Bttgππ

22sin

=

Para evitar las ambigüedades, que resultan del aliasing, se debe seleccionar una velocidad de muestreo lo suficientemente alta, esto es, se debe escoger a Fs/2 mayor que a Fmax. Por lo tanto para evitar el problema de aliasing, se selecciona a Fs como

Fs > 2Fmax(1.13)

(1.14)


Teorema del MuestreoAsí, xa(t) se puede expresar como

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n ssaa F

ntgFnxtx (1.15)

donde xa(n/Fs) = xa(nT) = x(n).

Cuando el muestreo de xa(t) se realiza a la tasa mínima de muestreo Fs =2B, la formula de reconstrucción (1.15) se transforma en

( ) ( )( )∑

∞

−∞= −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n Bn

Bn

aa tBtB

Bnxtx

2

2

22sin

2 ππ (1.16)

La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se denomina tasa de Nyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de un DAC ideal que usa estafunción de interpolación.

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Teorema del Muestreo( ) ( )

( )Bn

Bn

tBtBtg

2

2

22sin

−−

=ππ

Figura 1.12: Conversión analógico a digital ideal


Teorema del MuestreoComo puede observarse tanto en la (1.15) como en la (1.16), la reconstrucción de xa(t) a partir de la secuencia x(n) es un proceso complicado que supone la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientemente desplazadas en el tiempo g(t - nT) con –∞ < n < ∞, donde los coeficientes de ponderación son las muestras de x(n).

Dada la complejidad y el infinito número de muestras que se requiere en (1.15) y (1.16), éstas formulas de reconstrucción, son puramente de interés teórico.

Ejemplo 2. Considere la siguiente señal analógica

( ) ttttxa πππ 100cos300sin1050cos3 −+=¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal?

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Teorema del MuestreoSol. Las frecuencias presentes en la señal son:

HzF 251 =HzF 503 =HzF 1502 =

Por lo tanto, la frecuencia máxima contenida en la señal es 150Hz, y de acuerdo a (1.13) la tasa de Nyquist es

max2FFN = HzFN 300=⇒


Teorema del MuestreoEjemplo 3. Considere la siguiente señal analógica

( ) ttttxa πππ 12000cos106000sin52000cos3 ++=

a) ¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal?b) suponga ahora que se muestrea esta señal a una velocidad de Fs = 5000 muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo?

KHzF 11 = KHzF 63 =KHzF 32 =

Por lo tanto

KHzFN 12=⇒

Sol.

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Teorema del Muestreob) Dado que se ha elegido a Fs = 5KHz, la máxima frecuencia que puede ser representada sin ambigüedad mediante las muestras es

( ) ( ) ( ) ( )nnntxa 56

53

51 2cos102sin52cos3 πππ ++=( ) ( ) ( )nnn 5

152

51 12cos1012sin52cos3 ++−+= πππ( ) ( ) ( )nnn 5

152

51 2cos102sin52cos3 πππ +−+=

( ) ( )nn 52

51 2sin52cos13 ππ −=

KHzFs 5.22=

usando la (1.2) se obtiene


Tarea1. Investigue en forma detallada cada uno de los convertidores analógico-digital que se presentaron en esta lectura, cubriendo el análisis del circuito, aplicaciones, ventajas y desventajas que presenta cada uno, entre otros datos de interés.

2. Realice la programación de un DAC y ADC en Matlab aplicando los métodos de conversión descritos en esta lectura.

3. Investigue cual es el estado del arte de los convertidores analógicos-digitales y digitales-analógicos en cuestión de diseño electrónico, en programación de algunos sistemas embebidos (PIC, FPGA, DSP), velocidad, etc.

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Tarea4. Se tiene las siguientes señales analógicas

Encuentre:a) La frecuencia máximab) La tasa de Nyquistc) Si la frecuencia de muestreo cambia a Fs = 500 muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo?

( ) tttxa ππ 1800cos2600cos3 +=

( ) ( ) ( ) tjtjtxa ππ 400expIm7200expRe5 +=

( ) ( ) ( ) tjtjtxa ππ 100expIm200expRe3 −=

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