Capítulo 5

Control del Prototipo

La palabra Control tiene un amplio significado, pero en este apartado se definirácomo la acción ejercida con el fin de mantener una variable dentro de un rango devalores predeterminados. Por lo tanto, para controlar la orientación del vehículo yeste sea capaz de volar en línea recta, es necesario obtener el modelo matemáticolongitudinal del prototipo lo que permitirá conocer su modelo dinámico, que no esmás que su descripción matemática del sistema físico.

5.1. Modelo matemático longitudinal de 3 grados

de libertad de un vehículo aéreo no tripulado

Un modelo dinámico proporciona una descripción matemática de un sistema físi-co o mecánico. En el caso de los vehículos aéreos, el modelo dinámico muestra lasecuaciones que describen las fuerzas y momentos aerodinámicos que actúan sobreestos sistemas referencia en [5]. Gracias al modelado matemático es posible teneruna noción de la orientación y posición de los mismos.

El modelo de la dinámica longitudinal de una aeronave (figura 5.1) consiste enun movimiento plano donde sólo se consideran las velocidades longitudinales y lavertical del avión, así como su giro en torno al eje longitudinal.

Para obtener las ecuaciones representativas de la dinámica longitudinal en modoavión se hacen las siguientes cosideraciones:

Se considera el vehículo como un cuerpo rígido.

No existen variaciones en la masa del vehículo.

Considerando lo anterior, se tienen las ecuaciones (5.1, 5.2 y 5.3) que representanel modelo matemátco longitudinal de la aeronave referencia en [5].

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5.2. Acción de control aplicada al prototipo

Figura 5.1: Modelo Longitudinal de la aeronave

X =1

m[T sin(θ) − L cos(θ + α) −D sin(θ + α)] (5.1)

Z =1

m[T cos(θ) + L sin(θ + α) −D cos(θ + α)] − g (5.2)

θ =1

Iyy

[−lwL cos(α) +M ] (5.3)

donde X, Z y θ son la aceleración, altitud y ángulo pitch, respectivamente. Lamasa está representada por la letra m, la gravedad de la tierra por la letra g, la matrizde inercia está dada por Iyy y la distancia del motor al centro de gravedad por lw.Las letras T, L,D,M se refieren al empuje generado por el motor, al levantamiento,al arrastre y al momento de pitch en el eje y positivo respectivamente.

5.2. Acción de control aplicada al prototipo

Antes de centrar la atención en el diagrama de flujo empleado para el controldel prototipo se definirán algunos conceptos importantes para entender la acción decontrol aplicada.

Controladores Automáticos. Un controlador automático compara el valorreal de la salida de la planta (sistema físico a controlar) con la entrada dereferencia (el valor deseado) referencia en [1]; posteriormente éste determinala desviación o diferencia entre estas dos variables y produce una señal decontrol para disminuir la diferencia o mejor conocida como error a un valorde cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automáticoproduce la señal de control se denomina acción de control.

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5. Control del Prototipo

Entrada de Referencia o Set Point. Es el valor que se desea que tenga lavariable controlada.

Variable Controlada. Es la señal que debe mantenerse en un valor deseado.

Actuadores. Es el elemento final de control que modifica directamente a laplanta de acuerdo a la señal enviada por el controlador automático.

Planta. Es todo sistema físico al cual se le aplica una acción de control.

Sensores. Dispositivo en el cual se produce un fenómeno mecánico, eléctricoo similar, relacionado con la variable de salida de la planta.

En el diagrama a bloques del control de la orientación del prototipo mostrado enla figura 5.2 se pueden identificar los conceptos definidos anteriormente. Por ejemplo,la entrada de referencia corresponde al ángulo deseado de Roll, Pitch y Yaw; elcontrolador automático se identifica como el microcontrolador, donde la variablecontrolada es la señal PWM emitida por el mismo microcontrolador, también sepuede identificar a los servomotores como los actuadores, los cuales mediante elcambio de su posición modifican las superficies de control del UAV que son la plantaen este caso, y por último están los sensores, los cuales transmiten el valor real dela señal obtenida a la salida para ser comparada con la entrada de referencia o valordeseado y así reducir el error.

Figura 5.2: Diagrama a bloques del Control de la Orientación Prototipo

5.2.1. Controlador Proporcional-Derivativo (PD)

De acuerdo a la acción de control que desempeña cada controlador, estos puedenser clasificados de la siguiente forma referencia en [1]:

Controlador On-Off.

Controlador Proporcional (P)

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5.2. Acción de control aplicada al prototipo

Controlador Integral (I)

Controlador Derivativo (D)

Controlador Proporcional-Integral (PI)

Controlador Proporcional-Derivativo (PD)

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

El tipo de controlador a emplear se elije de acuerdo a la planta y a las condicionesde operación del sistema. Por lo tanto, se eligío un Controlador Proporcional-Derivativo (PD) respecto a los demás controladores.

La elección del Controlador Proporcional-Derivativo (PD) es debido aque los acelerómetros (miden la posición angular del vehículo) representan la parteproporcional y los gyros (miden la velocidad angular del vehículo) representan laparte derivativa, es decir, la Acción Proporcional (P); se considera como unamplificador con ganancia ajustable sin importar cual sea el mecanismo real, peroesta acción siempre debe de ir acompañada por otra acción de control ya que losvalores obtenidos del producto de la ganancia proporcional (Kp) y el error, solofuncionan para un cierto rango de valores del sistema.

En conjunto, con la acción proporcional (P) se uso la Acción Derivativa (D).Su función principal es mantener al mínimo el error corrigiéndolo proporcionalmentea la misma velocidad que se produce, de tal forma que el error no incrementa. En laacción derivativa (D), se deriva el error respecto al tiempo y se multiplica por unaconstante Td para así sumarse a la señal proporcional (P).

Otro aspecto importante a considerar en este tipo de control, es que debemosde adaptar la respuesta de control a los cambios en el sistema ya que una mayorderivativa corresponde a un cambio más rápido y el controlador pueda responderacordemente. En el programa realizado para el control de la orientación se empleala rutina de saturación para adaptar la respuesta respecto a los cambios de posiciónde los servomotores.

Donde para la acción proporcional (P), la relación entre la salida del controladoru(t) y el error e(t) corresponde a la ecuación 5.4 y para la acción derivativa (D) estarepresentada por la ecuación 5.5:

u(t) + kpe(t) (5.4)

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5. Control del Prototipo

u(t) + kd

de(t)

d(t)(5.5)

donde kp es la ganancia proporcional ajustable y kd es la ganancia derivativa.

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones 5.4 y 5.5, se obtienen susfunciones de transferencia (es la relación salida entre la entrada del sistema) respec-tivamente, teniendo de esta forma las ecuaciones 5.6 y 5.7 las cuales se sumaránpara formar el Controlador Proporcional-Derivativo (PD) (ecuación 5.9).

U(s)

E(s)= kp (5.6)

U(s)

E(s)= kds (5.7)

La ecuación 5.8 representa la relación entre la salida del controlador u(t) y elerror e(t) para el controlador proporcional-derivativo (PD)

u(t) = kpe(t) + kpTd

de(t)

d(t)(5.8)

U(s)

E(s)= kp(1 + Tds) (5.9)

donde Td es el tiempo derivativo, el cual se refiere al tiempo de acción derivadaen minutos de anticipo.

La acción Proporcional-Integral (PI) ó Proporcional-Integral-Derivativo (PID)no fueron empleadas para el control del prototipo ya que no se realiza una prome-diación del error en un período determinado para corregirlo.

5.3. Control de la orientación

Para realizar el control de la orientación del vehículo, es necesario controlar lostres movimientos rotativos del vehículo dados por Roll, Pitch y Yaw en los ejes X,Y y Z respectivamente.

5.3.1. Control del ángulo pitch, roll y yaw del prototipo

En modo aeronave, la dinámica de pitch es estable en lazo abierto, debido a queel centro de gravedad está ubicado adelante del centro aerodinámico del ala. Por lo

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5.3. Control de la orientación

que el avión efectua un movimiento hacia adelante debido al empuje (T), las varia-ciones de la altura son modificadas por θ y T; que a su vez el pitch (θ) es generadopor el cambio de posición de δe. La variación proporcional de estos parámetros afectaal levantamiento (L).

La estrategia de control que estabiliza la dinámica de pitch referencia en [5] es:

δ =γx

lw(5.10)

donde, γx = Kveθ + Kpe

(θ − θd) con Kvey Kpe

> 0 que son las ganancias dela velocidad angular y posición angular respectivamente.

Considerando que el ángulo de ataque α es muy pequeño decimos que cos(α) ≈ 1.

Al aplicar el control Proporcional-Derivativo (PD) la ecuación 5.3 se reduce dela siguiente forma

θ = −[Kveθ +Kpe

(θ − θd)] (5.11)

donde, θ −→ θd cuando t −→ ınf. La θ deseada es representa como θd.la primera parte de la ecuación correspondiente a θ representa la velocidad an-

gular que es la parte de control derivativo (D) y la segunda parte que involucra a(θ− θd) representa la posición angular que es el control proporcional (P). Aplicandola transformada de Laplace e igualando a cero la ecuación 5.11 obtenemos

s2θ(s) +Kvesθ(s) +Kpe

θ(s) = 0 (5.12)

Aplicando el Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz a la ecuación 5.13 obte-nemos las ganancias del controlador de orientación

Kve> 0

Kpe> 0 (5.13)

Por último se fija la orientación, eligiendo las ganancias del controlador de ori-entación de tal forma que converjan rapidamente a θ = 0 (figura 5.3) en un tiempode aproximadamente 1,4s y θd = π

9− ǫ (figura 5.4), donde ǫ es sumamente pequeño

para evitar que el avión llege a su punto máximo de elevación también conocidocomo stall y después caiga abruptamente referencia en [5]. Esto ocurre con un án-gulo de ataque α ≈ 15 grados dependiendo del perfil aerodinámico utilizado para laconstrucción del ala.

Como podemos ver en la figura 5.4, la gráfica inicia en el valor propuesto paraθ0 ≈ 10 grados e incremente hasta llegar al valor final de θd ≈ 15 grados, que es el

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5. Control del Prototipo

Figura 5.3: Velocidad θ = 0

Figura 5.4: Control del ángulo pitch θ

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5.4. Diagrama de flujo del algoritmo de control

punto deseado para que se mantenga el ángulo pitch durante el vuelo del avión.

Para realizar el control del ángulo roll y yaw se partio del mismo esquema decontrol de pitch el cual consiste en la deflexión del elevador para controlar el desplaza-miento del vehículo. El control de roll es mediante la deflexión de los alerones loscuales generan fuerzas de igual magnitud pero en dirección y sentido opuesto. Seemplea el acelerómetro ubicado en el eje Y y el girómetro ubicado en el eje X paramedir la posición angular y la velocidad angular de la aeronave, respectivamente.

En lo que corresponde al control de yaw se emplea el girómetro ubicado en el ejeY y el magenetómetro; donde, las señales enviadas por estos sensores son procesadaspor el microcontrolador modificando la posición del rudder para lograr el control dela orientación en el eje Z.

5.4. Diagrama de flujo del algoritmo de control

Para realizar el control de la orientación del vehículo, primeramente se realizó undiagrama de flujo que sirvió de apoyo para la realización del programa en el softwarellamado Dynamic C.

Una vez que se acabó el programa, se cargo al módulo RCM3400 conectando elcable de programación del Rabbit de la computadora a la tarjeta donde se encuentramontado el microprocesador.

Se debe de tener especial cuidado en mantener el prototipo en posición horizontaly sin movimientos, mientras se carga el programa de la computadora al microcon-trolador y al encender el prototipo para hacer las pruebas de vuelo; ya que se llevaa cabo la promedición de los sensores para eliminar el offset. De lo contrario, lapromediación será respecto a otra posición del prototipo ocasionando que no vueleen línea recta como se pretende.

El diagrama de flujo realizado es el siguiente:

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5.4. Diagrama de flujo del algoritmo de control

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5.4. Diagrama de flujo del algoritmo de control

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