1

Lección 3: Exponentes racionales: ¿qué son 𝟐𝟏

𝟐 y 𝟐𝟏

𝟑?

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

a. ¿Cuál es el valor de 21

2? Justifica tu respuesta.

b. Grafica 𝑓(𝑥) = 2𝑥 para cada entero 𝑥 de 𝑥 = −2 a 𝑥 = 5. Conecta los puntos en tu gráfica con una

curva suave.

2

La gráfica a la derecha muestra una vista de cerca de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 para −0.5 < 𝑥 < 1.5.

c. Encuentra dos enteros consecutivos que sean una

sobrestimación y subestimación del valor de 21

2.

d. ¿Pareciera que 21

2 está a la mitad entre los enteros que

especificaste en el Ejercicio 1?

e. Usa la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 para calcular

aproximadamente el valor de 21

2.

f. Usa la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 para calcular aproximadamente el valor de 21

3.

Ejemplo 1

a. ¿Cuál es la 4a raíz de 16?

b. ¿Cuál es la raíz cúbica de 125?

c. ¿Cuál es la 5a raíz de 100,000?

Ejercicio 1

Calcula cada expresión.

a. 814

b. 325

3

c. 93

∙ 33

d. 254

∙ 1004

∙ 44

Discusión

Si 21

2 = 2 y 21

3 = 23

, ¿a qué es igual 23

4? Explica tu razonamiento.

Ejercicios 2 al 8

Reescribe cada expresión exponencial como una 𝑛a raíz.

2. 31

2

3. 111

5

4. 1

4

1

5

5. 61

10

Vuelve a escribir las siguientes expresiones exponenciales como expresiones radicales equivalentes. Si el número es

racional, escríbelo sin radicales ni exponentes.

6. 23

2

7. 45

2

4

8. 1

8

5

3

9. Demuestra por qué el siguiente enunciado es verdadero:

2−12 =

1

212

Vuelve a escribir las siguientes expresiones exponenciales como expresiones radicales equivalentes. Si el número es

racional, escríbelo sin radicales ni exponentes.

10. 4− 3

2

11. 27− 2

3

12. 1

4 −

1

2

5

Resumen de la lección

𝒏A RAÍZ DE UN NÚMERO: Supongamos que 𝑎 y 𝑏 son números, y asumamos que 𝑛 ≥ 2 es un entero positivo. Si 𝑏 = 𝑎𝑛 ,

entonces 𝑎 es una 𝑛a raíz de 𝑏. Si 𝑛 = 2, entonces la raíz se denomina raíz cuadrada. Si 𝑛 = 3, entonces la raíz se

denomina raíz cúbica.

PRINCIPAL 𝒏A RAÍZ DE UN NÚMERO: Asumamos que 𝑏 es un número real que tiene por lo menos una 𝑛a raíz real. La

principal 𝑛a raíz de 𝑏 es la 𝑛a raíz real que tiene el mismo signo que 𝑏 y se denota por un símbolo radical: 𝑏𝑛

.

Cada número positivo tiene una principal 𝑛a raíz única. Con frecuencia nos referimos a la principal 𝑛a raíz de 𝑏 solo

como la 𝑛a raíz de 𝑏. La 𝑛a raíz de 0 es 0.

Para cualquier entero positivo 𝑚 y 𝑛, y cualquier número real 𝑏 para el cual exista la 𝑛a raíz de 𝑏 , tenemos

𝑏1𝑛 = 𝑏

𝑛

𝑏𝑚𝑛 = 𝑏𝑚

𝑛 = 𝑏

𝑛 𝑚

𝑏−𝑚𝑛 =

1

𝑏𝑚𝑛 .

Conjunto de problemas

1. Selecciona la expresión de (A), (B) y (C) que completa correctamente en enunciado.

(A) (B) (C)

a. 𝑥1

3 es equivalente a _. 1

3𝑥 𝑥

3 3

𝑥

b. 𝑥2

3 es equivalente a _. 2

3𝑥 𝑥23

𝑥 3

c. 𝑥−1

4 es equivalente a _. −1

4𝑥

4

𝑥

1

𝑥4

d. 4

𝑥

1

2 es equivalente a _.

2

𝑥

4

𝑥2 2

𝑥

2. Identifica cuál de las expresiones (A), (B) y (C) son equivalentes con la expresión dada.

(A) (B) (C)

a. 161

2 1

16 −

1

2 8

2

3 643

2

b. 2

3 −1

−3

2

9

4

1

2

2713

6

6

3. Reescribe en forma radical. Si el número es racional, escríbelo sin usar radicales.

a. 63

2

b. 1

2

1

4

c. 3 8 1

3

d. 64

125 −

2

3

e. 81− 1

4

4. Rescribe las siguientes expresiones en forma exponencial.

a. 5

b. 523

c. 53

d. 53

2

5. Usa la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 que se muestra a la derecha

para calcular aproximadamente las siguientes potencias

de 2.

a. 21

4

b. 22

3

c. 23

4

d. 20.2

e. 21.2

f. 2−1

5

7

6. Reescribe cada expresión en la forma de 𝑘𝑥𝑛 , donde 𝑘 es un número real, 𝑥 es un número real positivo y 𝑛

es un racional.

a. 16𝑥34

b. 5

𝑥

c. 1/𝑥43

d. 4

8𝑥33

e. 27

9𝑥4

f. 125

𝑥2 −

1

3

7. Encuentra un valor de 𝑥 por el cual 2𝑥1

2 = 32.

8. Encuentra un valor de 𝑥 por el cual 𝑥4

3 = 81.

9. Si 𝑥3

2 = 64, encuentra el valor de 4𝑥− 3

4.

10. Si =1

9 , evalúa las siguientes expresiones.

a. 𝑏−1

2

b. 𝑏5

2

c. 3𝑏−13

11. Demuestra que cada expresión es equivalente a 2𝑥. Asume que 𝑥 es un número real positivo.

a. 16𝑥44

b. 8𝑥33

2

4𝑥2

c. 6𝑥3

27𝑥63

12. Yoshiko dijo que 161

4 = 4 porque 4 es un cuarto de 16. Usa propiedades de exponentes para explicar por qué ella

está o no en lo correcto.

13. Jefferson dijo que 84

3 = 16 porque 81

3 = 2 y 24 = 16. Usa propiedades de exponentes para explicar por qué él está

o no en lo correcto.

8

14. Rita dijo que 82

3 = 128 porque 82

3 = 82 ⋅ 81

3, de modo que 82

3 = 64 ⋅ 2, y luego 82

3 = 128. Usa propiedades de

exponentes para explicar por qué ella está o no en lo correcto.

15. Supongamos para algún número real positivo 𝑎 que 𝑎1

4 ⋅ 𝑎1

2 ⋅ 𝑎1

4 2

= 3.

a. ¿Cuál es el valor de 𝑎?

b. ¿Qué propiedades exponenciales usaste para encontrar tu respuesta a la parte (a)?

16. En la lección, utilizaste el siguiente argumento:

213

3

= 213 ⋅ 2

13 ⋅ 2

13

= 213

+13

+13

= 21

= 2.

Puesto que 23

es un número de modo que 23

3

= 2 y 21

3 es un número de modo que 21

3 3

= 2, concluiste que

21

3 = 23

. ¿Qué propiedad exponencial se usó para este argumento?

9

Lección 4: Propiedades de exponentes y radicales

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Escribe cada exponente como un radical y luego usa la definición y propiedades de los radicales para escribir dicha

expresión como un entero.

a. 71

2 ⋅ 71

2

b. 31

3 ⋅ 31

3 ⋅ 31

3

c. 121

2 ⋅ 31

2

d. 641

3

1

2

Ejemplos 1 al 3

Escribe cada expresión en la forma 𝑏𝑚𝑛 para números reales positivos 𝑏 y enteros 𝑚 y 𝑛 con 𝑛 > 0 aplicando las

propiedades de los radicales y la definición de 𝑛a raíz.

1. 𝑏14 ∙ 𝑏

14

2. 𝑏1

3 ∙ 𝑏4

3

3. 𝑏15 ∙ 𝑏

34

Ejercicios 1 al 4

Escribe cada expresión en la forma 𝑏𝑚𝑛 . Si una expresión numérica es un número racional, entonces escribe tu respuesta

sin exponentes.

4. 𝑏23 ∙ 𝑏

12

5. 𝑏−1

5

2

3

6. 6413 ∙ 64

32

7. 93

42

3

2

10

Ejemplo 4

Reescribe la expresión radical 48𝑥5𝑦4𝑧2 de modo que no queden factores cuadrados perfectos dentro del radical.

Ejercicio 5

Si 𝑥 = 50, 𝑦 = 12 y 𝑧 = 3, las siguientes expresiones son difíciles de evaluar sin usar las propiedades de los

radicales o exponentes (o una calculadora). Usa la definición de exponentes racionales y propiedades de exponentes

para reescribir cada expresión en una forma en donde se pueda evaluar fácilmente, y luego usa dicha expresión

exponencial para encontrar el valor.

a. 8𝑥3𝑦2

b. 54𝑦7𝑧23

Ejercicio 6

Ordena estos números del más pequeño al más grande. Explica tu razonamiento.

162.5 93.1 321.2

11

Conjunto de problemas

10. Evalúa cada expresión si 𝑎 = 27 y 𝑏 = 64.

a. 𝑎3 𝑏

b. 3 𝑎3 𝑏 2

c. 𝑎3 + 2 𝑏 2

d. 𝑎−23 + 𝑏

32

e. 𝑎−23 ∙ 𝑏

32

−1

f. 𝑎−2

3 −18𝑏

3

2 −1

Reescribe cada expresión de modo que cada término esté en la forma de 𝑘𝑥𝑛 , donde 𝑘 es un número real, 𝑥 es un

número real positivo y 𝑛 es un número racional.

a. 𝑥− 2

3 ∙ 𝑥1

3

b. 2𝑥1

2 ∙ 4𝑥−5

2

c. 10𝑥

13

2𝑥2

d. 3𝑥1

4 −2

f. 27

𝑥6

3

g. 𝑥3 ∙ −8𝑥23

∙ 27𝑥43

h. 2𝑥4 − 𝑥2 − 3𝑥

𝑥

𝑏𝑚𝑛 ∙ 𝑏

𝑝𝑞 = 𝑏

𝑚𝑛+

𝑝𝑞

𝑏𝑚𝑛 = 𝑏

𝑚𝑛

𝑏1𝑛

𝑛

= 𝑏

𝑏𝑛

1𝑛 = 𝑏

𝑎𝑏 𝑚𝑛 = 𝑎

𝑚𝑛 ⋅ 𝑏

𝑚𝑛

𝑏𝑚𝑛

𝑝𝑞

= 𝑏𝑚𝑝𝑛𝑞

𝑏−𝑚𝑛 =

1

𝑏𝑚𝑛

Resumen de la lección

Las propiedades de exponentes desarrolladas en Grado 8 para exponentes enteros se extienden a exponentes

racionales.

Esto quiere decir que, para cualquier entero 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞, con 𝑛 > 0 y 𝑞 > 0 y cualquier número real 𝑎 y 𝑏 de modo

que se definen 𝑎1𝑛, 𝑏

1𝑛 y 𝑏

1𝑞,tenemos las siguientes propiedades de exponentes:

12

e. 𝑥1

2 2𝑥2 −4𝑥 i.

𝑥 − 2𝑥−3

4𝑥2

Demuestra que 𝑥+ 𝑦 2 no es igual a 𝑥1 + 𝑦1 cuando 𝑥 = 9 y 𝑦 = 16.

Demuestra que 𝑥12 + 𝑦

12 −1

no es igual a 1

𝑥12

+ 1

𝑦12

cuando 𝑥 = 9 y 𝑦 = 16.

De estos números, selecciona (a) uno que sea negativo, (b) uno que sea irracional, (c) uno que no sea un número

real, y (d) uno que sea un cuadrado perfecto:

312 ∙ 9

12

, 2713 ∙ 144

12, 64

13 − 64

23, y 4−

12 − 4

12

12

Demuestra que la expresión 2𝑛 ∙ 4𝑛+1 ∙ 18 𝑛 es igual a 4.

Expresa cada respuesta como una potencia de 10.

a. Multiplica 10𝑛 por 10.

b. Multiplica 10 por 10𝑛.

c. Eleva al cuadrado 10𝑛.

d. Divide 100 ∙ 10𝑛 por 102𝑛.

e. Demuestra que 10𝑛 = 11 ∙ 10𝑛− 10𝑛+1

Reescribe cada una de las siguientes expresiones radicales como una expresión exponencial equivalente en la cual

cada variable ocurra no más de una vez.

a. 8𝑥2𝑦

b. 96𝑥3𝑦15𝑧65

Usa propiedades de exponentes para encontrar dos enteros que sean los cálculos aproximados mayor

y menor del valor de 41.6.

Usa propiedades de exponentes para encontrar dos enteros que sean cálculos aproximados mayor

y menor del valor de 82.3.

La tercera ley de movimiento planetario de Kepler se relaciona con la distancia promedio, 𝑎, de un planeta desde el

Sol hasta el tiempo 𝑡 que le lleva al planeta completar una órbita completa alrededor del Sol, de acuerdo con la ecuación

𝑡2 = 𝑎3. Cuando el tiempo, 𝑡, se mide en años Tierra, la distancia, 𝑎, se mide en unidades astronómicas (AU). (Una AU es

igual a la distancia promedio de la Tierra al Sol).

a. Encuentra una ecuación para 𝑡 en términos de 𝑎 y una ecuación para 𝑎 en términos de 𝑡.

13

b. A Venus le lleva aproximadamente 0.616 años Tierra orbitar el Sol. ¿Cuál es la distancia promedio desde el Sol?

c. Mercurio tiene una distancia promedio de 0.387 AU desde el Sol. ¿Aproximadamente a qué distancia está su

órbita en años Tierra?

Lección 5: Exponentes irracionales: ¿qué son 𝟐 𝟐 y 𝟐𝛑?

Trabajo en clase

Ejercicio 1

d. Escribe los siguientes decimales finitos como fracciones (no necesitas reducirlos a los términos menores).

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421

e. Escribe 𝟐𝟏.𝟒, 𝟐𝟏.𝟒𝟏, 𝟐𝟏.𝟒𝟏𝟒 y 𝟐𝟏.𝟒𝟏𝟒𝟐 en forma radical ( 𝟐𝒎𝒏

).

f. Calcula una aproximación decimal a 𝟓 posiciones decimales de las radicales que encontraste en la parte (b)

utilizando tu calculadora. En cada aproximación, subraya los dígitos que también están en la aproximación

anterior, empezando a continuación con 𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, el cual ya se hizo para ti. ¿Qué es lo que observas?

𝟐𝟏 = 𝟐 = 𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Ejercicio 2

g. Escribe seis términos de una secuencia que puede usar una calculadora para aproximar 2𝜋 .

(Pista: 𝜋 = 3.14159… )

h. Calcula 23.14 = 2314100 y 2𝜋 en tu calculadora. ¿En qué dígito empiezan a diferir?

i. ¿Cómo puedes mejorar la exactitud de tu cálculo aproximado de 2𝜋?

Conjunto de problemas

21. ¿Es posible que un número sea tanto racional como irracional?

14

22. Utiliza propiedades de los exponentes para volver a escribir las siguientes expresiones como un número o una

expresión exponencial con solo un exponente.

a. 2 3 3

b. 2 2 2

c. 31+ 5 1− 5

d. 31+ 5

2 ⋅ 31− 5

2

e. 31+ 5

2 ÷ 31− 5

2

f. 32co s2 𝑥 ⋅ 32si n2 𝑥

g. ¿Entre cuál de las dos potencias de enteros de 2 está 2 5?

h. ¿Entre cuál de las dos potencias de enteros de 3 está 3 10?

i. ¿Entre cuál de las dos potencias de enteros de 5 está 5 3?

Usa el proceso que se describe en la lección para aproximar el número 2 5. Usa la aproximación 5 ≈ 2.23606798.

a. Encuentra una secuencia de cinco intervalos que contenga 5 cuyos puntos finales se vayan acercando

sucesivamente a 5.

b. Encuentra una secuencia de cinco intervalos que contenga 2 5 cuyos puntos finales se vayan acercando

sucesivamente a 2 5. Escribe tus intervalos en la forma 2𝑟 < 2 5 < 2𝑠 para números racionales 𝑟 y 𝑠.

c. Usa tu calculadora para encontrar aproximaciones a cuatro posiciones decimales de los puntos finales de los

intervalos en la parte (b).

d. Con base en tu trabajo en la parte (c), ¿cuál es tu mejor cálculo aproximado del valor de 2 5?

e. ¿Podemos decir si 2 5 es racional o irracional? ¿Por qué o por qué no?

Usa el proceso que se describe en la lección para aproximar el número 3 10. Usa la aproximación

10 ≈ 3.1622777.

a. Encuentra una secuencia de cinco intervalos que contenga 3 10 cuyos puntos finales se vayan acercando

sucesivamente a 3 10. Escribe tus intervalos en la forma 3𝑟 < 3 10 < 3𝑠 para números racionales 𝑟 y 𝑠.

b. Usa tu calculadora para encontrar aproximaciones a cuatro posiciones decimales de los puntos finales de los

intervalos en la parte (a).

c. Con base en tu trabajo en la parte (b), ¿cuál es tu mejor cálculo aproximado del valor de 3 10?

Usa el proceso que se describe en la lección para aproximar el número 5 7. Usa la aproximación 7 ≈ 2.64575131.

a. Encuentra una secuencia de siete intervalos que contenga 5 7 cuyos puntos finales se vayan acercando

sucesivamente a 5 7. Escribe tus intervalos en la forma 5𝑟 < 5 7 < 5𝑠 para números racionales 𝑟 y 𝑠.

15

b. Usa tu calculadora para encontrar aproximaciones a cuatro posiciones decimales de los puntos finales de los

intervalos en la parte (a).

c. Con base en tu trabajo en la parte (b), ¿cuál es tu mejor cálculo aproximado del valor de 5 7?

¿El valor de un número irracional elevado a una potencia irracional alguna vez puede ser racional?