CIacuteRCULO

UNIDAD IIFUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMEacuteTRICAS

APR1141 y APR1142J Pomales CeL

UNITARIOCONCEPTOS BAacuteSICOS

OBJETIVOSA traveacutes de esta leccioacuten pretendemos

bull Definir ciacuterculo unitario

bull Representar el ciacuterculo unitario

bull Identificar aacutengulosndash en posicioacuten estaacutendarndash cuadrantalesndash de referenciandash coterminales

CIacuteRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CIacuteRCULOALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola liacutenea llamada circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que estaacute a una distancia fija de un centro

Es el borde del ciacuterculo con medida C = 2πr

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

OBJETIVOSA traveacutes de esta leccioacuten pretendemos

bull Definir ciacuterculo unitario

bull Representar el ciacuterculo unitario

bull Identificar aacutengulosndash en posicioacuten estaacutendarndash cuadrantalesndash de referenciandash coterminales

CIacuteRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CIacuteRCULOALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola liacutenea llamada circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que estaacute a una distancia fija de un centro

Es el borde del ciacuterculo con medida C = 2πr

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

CIacuteRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CIacuteRCULOALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola liacutenea llamada circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que estaacute a una distancia fija de un centro

Es el borde del ciacuterculo con medida C = 2πr

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

CIacuteRCULOALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola liacutenea llamada circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que estaacute a una distancia fija de un centro

Es el borde del ciacuterculo con medida C = 2πr

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que estaacute a una distancia fija de un centro

Es el borde del ciacuterculo con medida C = 2πr

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

PARTES DEL CIacuteRCULOCIRCUNFERENCIA

CENTRO

RADIO (r)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia

DIAacuteMETERO (d)Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado

CENTRO

Es el doble del radio rd 2=

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

PARTES DEL CIacuteRCULO

TANGENTELiacutenea que soacutelo toca la circunferencia

CUERDAUna liacutenea que va de un punto de la circunferencia a otro

ARCO

Una parte de una circunferencia

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

TROZOS DE UN CIacuteRCULOSECTOR

Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos Tiene forma de un pedazo de pizza

SEGMENTOEl espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO

CUADRANTEUn cuarto de ciacuterculo

SEMICIacuteRCULOMedio ciacuterculo

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

CIacuteRCULO UNITARIO

DEFINICIOacuteN

Ciacuterculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas)

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO

1

1

-1

-1

(-10)

(01)

(10)

(0-1)

1

u2 + v2 =1

(00)

iquestCuaacutentos cuadrantes tiene este ciacuterculo

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

iquestCoacutemo son sus signos

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOSDEFINICIOacuteN

La unioacuten de dos segmentos o rayos llamados lados con un punto de interseccioacuten llamado veacutertice

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO

VEacuteRTICE

LADO

LA

DO

θ

Es comuacuten utilizar letras griegas para nombrar los aacutengulos

A la izquierda se muestra el aacutengulo θ (zeta)

Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los aacutengulos

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado

alrededor del siglo IX A C a partir del

alfabeto fenicioContinuacutea en uso

hasta nuestros diacuteas principalmente para denotar eventos en las ciencias (fiacutesica y

astronomiacutea) y las matemaacuteticas

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

MEDICIOacuteN EN GRADOSLa unidad de medida grados fue creada por los babilonios y auacuten es utilizada

Ellos dividieron el ciacuterculo en 360 partes iguales

1o

iquestExisten medias mayores de 360o

Explica

Asiacute que un grado (1o) representa 1360 parte del aacutengulo circular

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

MEDICIOacuteN EN RADIANESEs la unidad de medida de aacutengulos maacutes usada en las matemaacuteticas

En un ciacuterculo se define el aacutengulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del ciacuterculo

Las medidas en radianes de un aacutengulo se escribe solo con un nuacutemero sin unidades

1r

En esta figura iquestcuaacutento mide r

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o

La medida de un radiaacuten es maacutes grande que la medida

de un grado

1r

1o

Grados Radiaacuten

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteNEn un semiciacuterculo

iquestCuaacutentos radianes hay

iquestPor queacute el punto (-10) = π

(-10)π

asymp 014

En el ciacuterculo unitario iquestPor queacute el punto (10) = 2π iquestQueacute valor podriacutea tener π 2π en teacuterminos de grado

(10)2π

Recuerdaπ asymp 314

esto es en teacuterminos de radianes

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

TIPOS DE AacuteNGULOS

Aacutengulo agudo

Los aacutengulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0ordm pero menor que 90ordm

Aacutengulo recto

Los aacutengulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90ordm

Aacutengulo obtusos

Los aacutengulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90ordm pero menor de 180ordm

Aacutengulo llano o plano Los aacutengulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180ordm

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN

bullPrecisar la posicioacuten de objetos

bullDescribir

ndashprocesos dinaacutemicos

bullrotaciones

bullpatrones ciacuteclicos

bulletc

ndashtrayectoria de objetos en movimiento

ndashorientacioacuten entre dos o maacutes rectas

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS

El otro lado del aacutengulo se llama lado terminal

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten estaacutendar si su veacutertice estaacute en el origen (00) y su lado inicial estaacute a lo largo del eje horizontal positivo

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero positivo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj

La medida de un aacutengulo seraacute un nuacutemero negativo si su lado inicial fijo estaacute en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj

AacuteNGULO POSITIVO AacuteNGULO NEGATIVO

Aquiacute el signo del aacutengulo soacutelo representa la direccioacuten del mismo

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS CUADRANTALESAacutengulos que estando en posicioacuten estaacutendar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS DE REFERENCIAUn aacutengulo de referencia para θ θ es el aacutengulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal

θ

θθ =θπθ minus=

θθ

πθθ minus=

θ

θ

θπθ minus= 2

θθ

Explica por queacute los aacutengulos

cuadrantales no tienen aacutengulos de

referencia

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

EjemplosCalcula aacutengulos de referencia de θ

1) θ = 30ordm 2) θ = 190ordm

En este caso para calcular el aacutengulo de referenciautilizaremos la medida en gradosPor tal razoacuten π equivale a 180ordm y 2 π a 360ordm

Como θ esta en el cuadrante I

Por lo tanto

θθ =

deg= 30θ

Como θ esta en el cuadrante III

Por lo tantoπθθ minus=

deg=

minus=

10

180190

θ

θ

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS COTERMINALESDos aacutengulos en posicioacuten

estaacutendar que tienen el

mismo lado terminal

β

α

Lado terminal compartido

Los aacutengulos y son coterminalesβ αiquestQueacute signo tiene cada uno de ellos

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS COTERMINALES

En este caso el aacutengulo coterminal de β tiene signo diferente

β

α

Lado terminal compartido

Para un aacutengulo dado en posicioacuten estaacutendar existen infinitos aacutengulos coterminales a eacutel

pero no necesariamente

con signos diferentesExplica

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos menores de 360ordm)

Encuentre aacutengulos coterminales con θ = 30 deg en posicioacuten estaacutendar Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

AacuteNGULOS COTERMINALES(Para los aacutengulos mayores de 360ordm)

Sacado de httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

REFERENCIASbull ALFABETO GRIEGO httpwwwtaringanetposts

offtopic1434807El-Alfabeto-Griego-[-Aprendelo-]html

bull EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CIacuteRCULO wwwoupcomwordes12025722doc

bull MEDICIOacuteN DE AacuteNGULOS httpbcinteredufacultadntoroTRIG3htm

bull AacuteNGULOS DE REFERENCIA httpwwwvirtualunaleducocursossedesfundamentacionuv00009lecciones_htmlcap5trigo8html

bull LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA httpwwwalgobarcomrecursosspipphparticle190

bull Libro - Precaacutelculo Matemaacuteticas para el caacutelculo httpbooksgooglecombooksid=CiHF4fJ_ezwCampprintsec=frontcoveramphl=esampsource=gbs_v2_summary_rampcad=0

PARA DUDAS O PREGUNTAS

RECUERDE VISITAR NUESTRO FORO DE DUDAS

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• CIacuteRCULO
• OBJETIVOS
• CIacuteRCULO Y CIRCUNFERENCIA
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• CIRCUNFERENCIA
• PARTES DEL CIacuteRCULO
• Slide 7
• TROZOS DE UN CIacuteRCULO
• SECTORES COMUNES DEL CIacuteRCULO
• CIacuteRCULO UNITARIO
• REPRESENTACIOacuteN DEL CIacuteRCULO UNITARIO
• Slide 12
• AacuteNGULOS
• Slide 14
• ILUSTRACIOacuteN DE UN AacuteNGULO
• ALFABETO GRIEGO
• MEDICIOacuteN EN GRADOS
• MEDICIOacuteN EN RADIANES
• Compara el tamantildeo de 1 radian con 1o
• OBSERVA ESTA REPRESENTACIOacuteN
• TIPOS DE AacuteNGULOS
• LOS AacuteNGULOS NOS PERMITEN
• POSICIOacuteN ESTAacuteNDAR DE LOS AacuteNGULOS
• MEDIDA DE LOS AacuteNGULOS
• AacuteNGULOS CUADRANTALES
• AacuteNGULOS DE REFERENCIA
• Ejemplos Calcula aacutengulos de referencia de
• AacuteNGULOS COTERMINALES
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• REFERENCIAS
• Slide 33