lección 3: errores y su tratamiento - universidad de …andyk/docencia/teb/03errores.pdf · unas...
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Técnicas Experimentales Básicas
Errores y su Tratamiento
• Introducción• Errores y conceptos relacionados• Tratamiento estadístico de datos• Regresión y correlación
Técnicas Experimentales Básicas
“Los Biólogos”
• La edad de una formación geológico– Sur-este de Inglaterra– North Downs --- “The Weald” --- South Downs– North Downs --- “The Weald” --- South Downs
• Estimación de la edad de “The Weald”:– Taza de erosión: 1” por siglo– Anchura total: 22 miles
– Estimación de su edad: 306,662,400 años
• Charles Darwin, 1859, Origin of Species (capítulo IX)
Técnicas Experimentales Básicas
“Los Biólogos”
• ¿Porqué es ridículo “306,662,400 años”?
• En esta época, Lord Kelvin estimó que la Tierra tenía nada más de 24,000,000 años (ignoró lo de la radioactividad)
• Actualmente, se estima la edad “The Weald” en 100,000,000 años
• 3.066624 E8 años ----- demasiado cifras!
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Estimaciones
• En esta asignatura, aprenderemos poner un número de cifras defendibles
• Darwin habría hecho súper bien si hubiera estimado 3±2 E8 años
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Granada – Málaga131±1 km
• ¿Es interesante decir 131.02 km?• ¿Es exacto/científico?• ¿Qué es “la verdad”?• Se puede aceptar un error de más de 1000 m
Técnicas Experimentales Básicas
¿Cuánto mides?
• ¿Se puede aceptar un error de 1000 m?• ¿Qué error se puede aceptar?
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Contexto
• Esta pequeña introducción nos ha plantado algunas preguntas
• Ahora pasamos a algunas definiciones interesantes para empezar a contestar
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Error Absoluto
xxx m −=∆• ∆x = error absoluto• x = “la verdad”• xm = valor medido o aproximado
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Error Relativo
• e = error relativo• ∆x = error absoluto• xm = valor medido o aproximado
%100×∆
=mxxe
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Intervalos de confianza
{ max
min
δδ+−= mxx
maxmin δδ +≤≤− mm xxx
δmin = máximo posible subestimaciónδmax = máximo posible sobreestimaciónxm = valor medido o aproximadox = “la verdad”
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Simetría
• En el caso que
• (lo que pasa con frecuencia)
• Solemos escribir la medida así
x∆=−= minmax δδ
xxx m ∆±=
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Ejemplo asimétrico
• Distancia sol-tierra : 150 ± 3 x 106 km• Error absoluto: 3 x 106 km• Error relativo: 2%
• No es simétrico, en realidad (varia)• 147.09 x 106 km < x < 152.10 x 106 km
• Nosotros trabajaremos con casos simétricos
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Definiciones
• Precisión - concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales
• Exactitud - grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental
• Sensibilidad - el valor mínimo de la magnitud que un aparato es capaz de medir
• Exactitud -.
• Precisión -. .. .
• Sensibilidad - .. .
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¿Qué sabemos
• Aceleración de gravedad, g= ________• Número de Avogadro, N= ________• Velocidad de luz, c= ________
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Expresión de magnitudes físicas
• Cantidad• Unidad (!!)• Grado de confiabilidad
– índice de exactitud – error
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Expresión de cantidades
• ¡El orden no es intuitivo!
• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad
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¿Qué edad tienes?
• Antes de contestar:
• PRIMERO: aceptas un error absoluto (ejm., nunca contestas hasta más o menos una hora)
• SEGUNDO: eliges las unidades– Casi siempre en años– ¿Un bebé puede tener 0 años? (mejor 2 meses)
• Están relacionados (y mucho)• ENTONCES: 22 años
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Expresión de cantidades
• Seguimos el mismo orden
• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad
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El error absoluto • Convenio: solo tiene uno o dos dígitos significativos• En general, uno
– (1,2,3,4,5,6,7,8,9) x 10N
• Ejm: población de Granada ± 40000 = (± 4)104
± 30000 = (± 3)104
± 35000 = (± 35)103
• Podemos usar dos cuando redondear nos quita mucha información:– Si el primero dígito es 1– Si el primero dígito es 2 y el segundo es inferior a 5
• Redondear 75 o 84 a 80 nos da un error de menos de 6%• Redondear 6 o 14 a 10 es bruto: hay mucha diferencia!
– (10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24) x 10N-1
• Ejm. Población de Almuñecar±1000 = (± 1)103
±1300 = (± 13)102
±1350 = (± 135)101
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El valor de la cantidad
(6 ±4)x10N
(6.2 ±0.5)x10N
(6.2 ±0.2)x10N
(6.23 ±0.5)x10N
• Solo las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto (la “cifra de acotamiento”)
(6.2 ±0.15)x10N
(6.23 ±3.5)x10N
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Ejemplos de MagnitudesIncorrectos (U) Correctos (U)
3.418±0.123
6.30±0.085
46.288±1.553
428.351±0.15
0.01683±0.0058
Mejor? (U)
(34±1) 10-13.4±0.1 ó 3.42±0.123.42±0.12
(630±9) 10-26.30±0.09
(463±16)10-146.3±1.6
(42835±15) 10-2428.35±0.15
(17±6) 10-30.017±0.006
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Errores
• Se desconoce la “verdad”• Siempre hacemos algún tipo de error• Objetivos:
– Caracterizar/conocer los errores– Minimizarlos cuando es posible
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Tipos de Errores
• Errores sistemáticos– Difícil a caracterizar
• Si los conocemos, los corregimos
– Pueden ser constantes – afectan todas medidas
• Errores aleatorios– Inevitables y desconocidos, pero unas hipótesis:– Distribución de frecuencias “normal”
• Más pequeñas, más frecuentes• Promedio de cero
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Errores Sistemáticos
• Errores de método (equivocación, insuficiencia, mal uso de datos, etc.)
• Errores instrumentales (bies, histéresis)• Errores de calibro (frecuencia de calibración)• Errores humanos• Errores aritméticos (falta de memoria en
ordenadores)• Errores de respuesta dinámica
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Errores aleatorios
• Errores de discernimiento• Cambios en las condiciones experimentales• Errores de especificación en los procesos de
fabricación (por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada o contener planos)
• Se pueden reducir (¿cómo?)
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Error cuadrático medio (MSE)
• Cuando se hace múltiples (N) medidas (xi) de un fenómeno, se puede estimar el error cuadrático medio,
• Donde es el promedio de las N medidas• Cuando más medidas hay, menos error• (Hasta cierto punto)
xσ
∑ −=N
ix xxN 1
22 )(1σ
x
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Deducciones
• Una estimación es mejor cuando– menos error sistemático tiene– menos error aleatorio tiene
• Los errores son inevitables• Medir con cuidado, y precisión• A veces, hacen falta muchas medidas• ¿Cuántas medidas necesitamos?
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Unas reglas prácticas para medir una cantidad en el laboratorio
• Para empezar: tres (3) medidas con error experimental εx (sensibilidad)
• Calcular la dispersión: D = xmax – xmin• Comparar D y εx
D <= εx• Error dominante es tipo sistemático• No se puede hacer mucho!• Tomar como valor, x ± εx
D > εx• Error es tipo aleatorio• Posiblemente, hace falta más medidas!• ¿Cuántas medidas bastan?
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Tanto por ciento de dispersión
xDT 100
=
T<2 2<T<8 8<T<15 T>15
N 3 6 15 50
Error εi
Expresión
),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ
ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ
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Tanto por ciento de dispersión
xDT 100
=
T<2 2<T<8 8<T<15 T>15
N 3 6 15 50
Error εi
Expresión
),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ
ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ
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Cuantas Medidas
• Volveremos a este tema con unas definiciones de la estimación de errores
• Ahora: motivación para el tratamiento de (y propagación de) los errores
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Motivación
• Granada – Jaén: 94±1 km• Digamos que se sabe que el tiempo promedio
para el viaje es 1.0± 0.1 horas
• ¿Cuál es la velocidad promedia para el viaje?• ¿Cómo podemos determinar el error en esta
estimación?
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Propagación de errores
• Hay una distinción entre– Errores en medidas directas– Errores en magnitudes derivadas
• Un poco de teoría (importante)
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Propagación lineal de errores
-Sea ),,,( czyxff =La función f liga a la magnitud que nos interesa hallar (f) con las magnitudes independientes que se obtienen del experimento (x,y,z) y con una constante (c).
Diferenciando:
dccfdz
zfdy
yfdx
xfdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Si identificamos los incrementos con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá:
ccfz
zfy
yfx
xff ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆
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Derivados parciales
• Son imprescindibles en esta asignatura– ¡A revisar!– No solemos trabajar con ejemplos muy difíciles
• Vamos a ver unos truquillos para simplificar
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Casos particulares
Una suma de errores absolutos
21 xxy ∆+∆=∆
21 xxy −=21 xxy +=
21 xxy ∆+∆=∆
216 xxy ∆+∆=∆216 xxy +=
2
2
1
1
xx
xx
yy ∆
+∆
=∆
21xxy =Una suma de errores relativos
2
1
xxy =
2
2
1
1
xx
xx
yy ∆
+∆
=∆
2
2
1
1
xx
xx
yy ∆
+∆
=∆
216 xxy =
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Casos particularescba zyxf =
zzc
yyb
xxa
ff ∆
+∆
+∆
=∆
zcybxaf lnlnlnln ++=
Una suma lineal de los errores relativos
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Ejemplo numérico
• Densidad de flujo radiativo emitida por un cuerpo negro
•• σ = 5.67 ± 0.01 x 10-8 W m-2 K-4
(constante de Stephan-Boltzmann)• Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K• ¿Como podemos expresar E?
4TE σ= 4 valores…
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Ejemplo numérico
• E = 459 ± 7 W m-2
( )2
2
74590151.0
67.501.0
30014
4
−
−
=
=∆
+=
∆+
∆=
∆
WmWmE
TT
EE
σσ
Podemos hacer mejorσ = 5.6703 ± 0.0007 x 10-8 W m-2 K-4
( ) 281.012.6 −+= Wm
( ) ( )421043 10114 −−−×+= KWmTKTσ
σσ∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ET
TEE
4TE σ=
Técnicas Experimentales Básicas
Resumen: propagación lineal de los errores
),,,( czyxff =
ccfz
zfy
yfx
xff ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆
¡Es la ecuación más importante de esta asignatura!
Técnicas Experimentales Básicas
Resumen: propagación lineal de los errores
),,,( czyxff =
ccfz
zfy
yfx
xff ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆
Tenemos que pensar en ella en muchas ocasiones
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Ejm: (intuitivamente) Como pesar una cantidad de H2O(l)
90.04g70.04g
Botella vacía:
(Misma)
botella con agua:
El agua pesa: 20.00g ¿ERROR? 20.00 ± 0.01g
Escala con sensibilidad = 0.01g
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Como pesar una cantidad de H2O(l) (científicamente)
90.04g70.04g
Botella vacía: x=
z = y – x = 20.00g 20.00 ± 0.02gxyz
(Misma)
botella con agua: y=
∆+∆=∆
± 0.01g
± 0.01g
xxzy
yzz ∆
∂∂
+∆∂∂
=∆
Técnicas Experimentales Básicas
Resumen: propagación lineal de los errores
),,,( czyxff =
ccfz
zfy
yfx
xff ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆
Los trucos (casos particulares) son muy útiles, cosa que se refleja en los exámenes (!)
Errores: absoluto vs. relativo
Cambiamos de tema…
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Interpolación en tablas
Temperatura (ºC)
Calor latente de evaporación (J/g)
0 25015 248910 (x1) 2477 (z1)15 (x2) 2466 (z2)20 2453
• ¿Qué valor (z) tiene el calor latente a una temperatura de x=12+/-1ºC? ¿Qué error tiene este valor?
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Interpolación Lineal
x1
z2
z1
x2x
zx
xxzzz ∆
−−
=∆12
12
( )112
121 xx
xxzzzz −
−−
+=
Hipótesis:
A. Error proviene de x
B. Relación lineal
Técnicas Experimentales Básicas
En tablas de doble entrada
y1 y2
x1 z11 z12
x2 z21 z22
( ) ( )112
11121
12
112111 yy
yyzzxx
xxzzzz −
−−
+−−−
+=
yyyzzx
xxzzz ∆
−−
+∆−−
=∆12
1121
12
1121
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Estadísticas
• “Hay tres clases de mentiras: las mentiras, las malditas mentiras y las estadísticas.” (Mark Twain)
• “Si su experimento necesita el uso de estadísticas, debería haber mejorado su experimento.” (Ernest Rutherford)
• (Tiene mala fama)• En TEB, pretendemos establecer una base
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Tratamiento estadístico de datosPrimer paso: clasificación
• Una colección de N muestras• Resultados x1, x2, x3, … xN
• Localizamos (xmín,xmáx)• Dividimos el rango (xmín,xmáx) en m subintervalos
(clases) delimitados por los puntos (y1, y2, y3, ..., ym)– El “rango de clases”
Las yj definen los subintervalos/clases
Una definición:
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La función de distribución
∑=
i i
jj n
nf
∑=
=m
jjf
1
1
• Para cada subintervalo, j:
• nj = el número de valores de x que satisfacen la condición
• Esta función está normalizada:1+<≤ jj yxy
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La función de distribución
• El gráfico fj frente a xj [xj=(yj-1+yj)/2] se llama un Histograma
• Da una clara idea de cómo se distribuyen los valores de la magnitud en estudio
• Estos cálculos están implementados en las hojas de cálculo comerciales
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Dos conjuntos de muestras con igual valor medio, pero con distintos
grados de dispersión
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Parámetros estadísticos que describen una distribución
• El promedio (la media) –.
• La mediana –. .
• La moda –
• El promedio (la media) – da una idea del centro de masa de la distribución
• La mediana – es el punto que se encuentra con la mitad de los datos a su derecha, y la mitad a su izquierda
• La moda – es el punto de máxima frecuencia
• Para una distribución normal, son iguales• (no en general)
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“Normal”: Un proceso aleatorio
• Lanzar una moneda al aire– cara (a) =50%– cruz (z) =50%
• Lanzar cinco:– 5a/0z = 1/32– 4a/1z = 5/16– 3a/2z = 10/16– 2a/3z = 10/16– 1a/4z = 5/16– 0a/5z = 1/16
Número de caras
Prob
abili
dad
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“Normal”: Un proceso aleatorio
• Lanzar mil monedas al aire
Número de caras
Prob
abili
dad
500
N ᅇ“normal”“gaussiana”
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Definición de parámetros que describen una distribución (los
primeros 2 momentos)
• 1º: el promedio (la media)
• 2º: la varianza (dispersión)• desviación estándar = σ
• coeficiente de variación, c.v.(%) =
∑=
=N
iix
Nx
1
1
∑=
−=N
iix xx
N 1
22 )(1σ
xσ100
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Comentario: grados de libertad
• N = número de cantidades independientes• En la determinación de σ para una población
entera con promedio conocido
– Ejemplo: capitales de los países en la UE (N=25)
∑=
−=N
iix xx
N 1
22 )(1σ
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Grados de libertad
• N = número de cantidades independientes• Importante en la determinación de σ
– Cuando se calcula la media a partir de una muestra de una población, se pierde un grado de libertad
– Si conozco los valores x1, x2, ..., xN-1 y también especifico el promedio , entonces el valor xN ya está determinado (no es independiente)
∑=
−−
=N
iix xx
N 1
22 )(1
1σ
x
Técnicas Experimentales Básicas
Otros parámetros que describen una distribución (dos momentos más)
• 3º: el sesgo (asimetría)(normalizado)
describe la asimetría de la distribuciónEl sesgo de la distribución normal es 0.
• 4º: el kurtosis(normalizado)
para una distribución puntiagudaEl kurtosis de la distribución normal es 3.
∑=
−=
N
i
i xxN 1
3
3)(1σ
∑=
−=
N
i
i xxN 1
4
4)(1σ
Técnicas Experimentales Básicas
Kurtosis < 3 Kurtosis > 3 Bimodal
Normal(Kurtosis = 3)
Sesgo < 0 Sesgo > 0
Técnicas Experimentales Básicas
La distribución normal (gaussiana )
• La campana de Gauss está centrada en y su ancho está determinado por σ.
• Los puntos de inflexión de la curva están en y
x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−== 2
2
2 2)(exp
21),;()(
σπσσ xxxxNxf
σ+x σ−xµ=xNotación:
Técnicas Experimentales Básicas
Área de la distribución normal68.3% se encuentra entre –σ y σ96% entre –2σ y 2σ99% entre –3σ y 3σ
Promedio
Valor
Frec
uenc
ia
Técnicas Experimentales Básicas
Una medida útil y frecuente para una distribución normal
El ancho a mitad de su altura (“full width half maximum” = FWHM).
FWHM = 2.35 σ
Promedio
Valor
Frec
uenc
ia
Técnicas Experimentales Básicas
Cuantas Medidas• Ahora sabemos estimar σx y que disminuye al aumentar N
• No tiene sentido (en física) disminuir hasta que σx << sensibilidad del instrumento (método de medida) .
• Ejm: Con una regla graduada en mm, no podremos obtener con certeza cifras en µm, por más que hagamos más medidas
• Balance óptimo cuando σx≈ σsens :2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≈
sens
xopN
σσ
Técnicas Experimentales Básicas
Incertidumbre Absoluta Combinada
22xsensx σσ +=∆
• En todos los casos la incertidumbre absoluta combinada vendrá dada por:
• Estas ideas se han considerando en:
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Tanto por ciento de dispersión
xDT 100
=
T<2 2<T<8 8<T<15 T>15
N 3 6 15 50
Error εi
Expresión
),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ
ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ
Técnicas Experimentales Básicas
Regresión y Correlación (Métodos cuantitativos de análisis gráfico)
• Importancia de las representaciones gráficas • Utilidad de las versiones linealizadas de los
gráficos (X, Y)• Distintas maneras de llevar a cabo una
linealización
Técnicas Experimentales Básicas
Regresión Lineal
• El método se llama también “mínimos cuadrados”– La relación analítica que mejor se ajusta a
nuestros datos– La importancia de la elección del variable
“independiente”
Técnicas Experimentales Básicas
¿En que dirección?
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
Error despreciable
y = ax + b
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Suma de cuadrados (Sum of squares)
• Es útil definir la función χ2 (Chi-cuadrado):
• Una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal.
• Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada en el origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.
( )22 )(∑ +−=i
ii baxyχ
Técnicas Experimentales Básicas
Mínimos cuadrados (Least Squares)Como buscar el mínimo de una función cuadrática:
Primer derivado = 0
∑ ∑
∑ ∑ ∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i iiiii
xxN
yxyxNa 2
2
02
=∂∂
aχ
02
=∂∂
bχ
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i i iiiiii
xxN
yxxyxb 2
2
2
Técnicas Experimentales Básicas
Bondad del ajuste (Goodness of fit)
• El criterio de mínimos cuadrados es objetivo; reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta.
• Además, da una posibilidad de estimar la bondad del ajuste, a través el coeficiente de correlación (ρ) entre las variables X e Y
• Muchas veces se presenta su cuadrado (R2).
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El coeficiente de correlación
>><<−>=<−
=∑ ∑ ∑= = = yxxy
N
yxyxNyxCov
N
i
N
i
N
iiiii
21 1 1),(
22
2
11
2
)( ><−>=<
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑== xxN
x
N
xxVar
N
ii
N
ii
22
2
11
2
)( ><−>=<
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑== yyN
y
N
yyVar
N
ii
N
ii
)()(),(
yVarxVaryxCov
=ρ 11 +≤≤− ρ
Técnicas Experimentales Básicas
El coeficiente de correlación
• Describe la correlación entre los variables
• ρ = 0, los variables no son correlacionados• ρ < 0, los variables son anti-correlacionados• ρ > 0, los variables son correlacionados
ρ = 0.95, mucha correlaciónρ = 0.7, correlación, pero no mucho
Técnicas Experimentales Básicas
22 ρ=R• El cuadrado del coeficiente de correlación
exprime el porcentaje de la varianza en los variables X y Y que explica el modelo lineal
ρ=0.95, el modelo explica 90% de la varianzaρ=0.7, explica 49% de la varianzaρ=0.3, explica 9% de la varianza
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Otra ventaja del método
• Podemos estimar los errores asociados con los parámetros a y b
• El valor Chi-cuadrado por grado de libertad conocido como χΝ2, viene dado por:
)(·
2
xVarNN
aχσ =
)(·1
22
xVarN
xN
iiN
b
∑==
χσ
( )[ ]∑ +−−
=−
=i
iiN bxayNN
222 ·2
12
1 χχ
Técnicas Experimentales Básicas
En función de ρ
• Las incertidumbres de a y b también pueden describirse así:
• Estas ecuaciones son muy útiles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste indican a, b y ρ (ó a veces R2).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= 11
)2( 2
2
ρσ
Na
a2xab σσ =
Técnicas Experimentales Básicas
Incertidumbre de los parámetros de un modelo general
• Al igual que en el caso del modelo lineal, minimización de la función Chi-cuadrado:
• de modo que χmin2 = χ2(a*, b*, …)
• ¿Cómo determinar a*, b*, …?– Procedimiento sofisticado– Diversas teorías y opiniones– Depende de cómo es de no-lineal
( ) 0,...,,**
2
=∂
∂⇔
=aaacbaa χ
Técnicas Experimentales Básicas
Transformar (a lo lineal)
• En general, es preferible • Método: suponemos un modelo y = a ln(x)
– Definimos z=ln(x)– Entonces: y = a z ( + b )– Buscamos ajuste lineal entre y & z– Podemos estimar los errores asociados con los
parámetros a y b
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Regresión lineal con incertidumbres de medición
• Un caso particular– Sencillo– De relativa importancia
• Las expresiones generales se pueden resolver por el método
• “Mínimos Cuadrados Pesados” (Weighted Least Squares)
Técnicas Experimentales Básicas
Mínimos Cuadrados Pesados
• Serie de N medidas (xi, yi, σi), – σi es la incertidumbre de yi– despreciable incertidumbre de xi
• Queremos evaluar un modelo de variación determinista de y(x): y(xi) = f(xi,a,b,c,…)
• En el ajuste, queremos aprovechar de la información de la incertidumbre de yi
Técnicas Experimentales Básicas
Mínimos Cuadrados Pesados
• Factores de peso (weighting factor): (wi) – asociados con cada triada de datos (xi, yi σi )– incertidumbre absoluta asociada a yi; en este caso
tomamos los factores peso como:
2/1 iiw σ=
( )∑∑==
−=−=
N
i i
iiN
iiii
xyyxyyw1
2
2
1
22 )())((σ
χ
– (se podrían elegir de otras maneras)
• Definimos el valor de (Chi-cuadrado) χ2
Técnicas Experimentales Básicas
Mínimos Cuadrados Pesados
• Algunas otras posibilidades para los factores de peso (wi)
2/1 ii yw =ii yw /1=
Técnicas Experimentales Básicas
Parámetros estadísticos pesados
• Independiente del modelo elegido, podemos definir:– El valor medio,
– El error medio,
– La varianza total,
∑∑==
== N
ii
N
i i
wNN 11
2
2
11
111
σ
σ
∑∑
=
== N
i i
N
i ii
w
ywy
1
1
( )2
1
2
11 ∑
=
−−
=N
iiit yyw
NS
Técnicas Experimentales Básicas
Grados de libertad con respecto a un modelo pesado con . 2/1 iiw σ=
Degrees of freedom
• Cada parámetro implica la perdida de un grado de libertad• El número de grados de libertad es υ = N – npar
• La varianza del ajuste o el valor de Chi-cuadrado por grado de libertad
• dispersión residual de los datos alrededor del valor determinista; se puede comparar con la varianza total St
2
( )∑=
==−−
=N
iii
parf xyyw
nNS
1
2222 1)(1υχχ
υ
Técnicas Experimentales Básicas
Calidad del ajuste
• El coeficiente de regresión da una idea de la bondad modelo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= 2
222
t
ft
SSSR
• “Buen” modelo– Pequeños valores de Sf y χ2
– St>>Sf – R2≈1
• “Mal” modelo– Grandes Sf y χ2
– St ≈ Sf – R2≈0
Técnicas Experimentales Básicas
Calidad de ajuste de un modelo pesado con . 2/1 iiw σ=
• Directamente a partir de la varianza del ajuste, χυ2:
• En el caso que todo los datos experimentales tienen desviaciones del modelo < σi, el modelo es ciertamente adecuado y χυ2 tendrá un valor próximo a uno.– χυ2 ~ 1 ó menor, el modelo es adecuado.– χυ2 >> 1, el model no es una buena descripción de los datos.– χυ2 << 1, el modelo “demasiado bueno”
• Quizás se sobreestiman los errores• Quizás la distribución de los datos no es normal
( )∑=
−==
N
i i
ii xyy1
2
222 )(11
συχ
υχυ
Técnicas Experimentales Básicas
Equations∑ =
=N
iniiXn xwS
1 ∑ ==
N
iniiYn ywS
1 ∑ ==
N
i iiiXY yxwS1 ∑ =
=N
i iw wS1
w
X
SSXx =≡
w
Y
SSYY =≡ 22)( X
SS
xVarw
X −= )(·)( 222 XVarSSSS wXXw =−=∆
Es posible demostrar que:
[ ]YXwXY SSSSa ···1−
∆= [ ] xaySSSSb XYXYX ····1
2 −=−∆
=
Siendo sus incertidumbres:
( )( )
( ) )(··2)(
2
22
xVarSN
baxywSaaVar
w
iiii
wa −
−−=
∆=∆≡≡
∑σ ( )
w
XXb S
SaVar
SbbVar 22 )·()( 22 =
∆=∆≡≡σ
Y de modo análogo se demuestra:
[ ][ ] )()·(),(
·····
2222 yVarxVar
yxCovySSxSS
yxSS
wYwX
wXY =−−
−=ρ